CC BY
115
УДК 625.72:656.11
ОЦІНКА ШВИДКОСТІ ТА ПРИСКОРЕННЯ АВТОМОБІЛЯ ПІД ЧАС РУХУ У КОЛОНІ «ЗА ЛІДЕРОМ» НА ОСНОВІ МЕТОДУ ЧИСЕЛЬНОГО РОЗРАХУНКУ ПОХІДНОЇ З ВИКОРИСТАННЯМ ШВИДКОГО СПЛАЙН-ПЕРЕТВОРЕННЯ
Є.Б. Угненко, професор, д.т.н., ХНАДУ, А.О. Бєлятинський, професор, д.т.н., Н.В. Кужель, аспірант, Національний авіаційний університет, м. Київ
Анотація. Розглянуто розвиток методики оцінки швидкості та прискорення автомобіля під час руху у колоні «за лідером» на основі нового математичного методу.
Ключові слова: транспортний потік, швидкість, прискорення, мікроскопічна модель транспортного потоку.
ОЦЕНКА СКОРОСТИ И УСКОРЕНИЯ АВТОМОБИЛЯ ВО ВРЕМЯ ДВИЖЕНИЯ В КОЛОННЕ «ЗА ЛИДЕРОМ» НА ОСНОВЕ МЕТОДА ЧИСЛЕННОГО РАСЧЕТА ПРОИЗВОДНОЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БЫСТРОГО СПЛАЙН-ПРЕВРАЩЕНИЯ
Е.Б. Угненко, профессор, д.т.н., ХНАДУ, А.О. Белятинский, профессор, д.т.н., Н.В. Кужель, аспирант, Национальный авиационный университет, г. Киев
Аннотация. Рассмотрено развитие методики оценки скорости и ускорения автомобиля во время движения в колонне «за лидером» на основе нового математического метода.
Ключевые слова: транспортный поток, скорость, ускорение, микроскопическая модель транспортного потока.
ESTIMATION OF THE VEHICLE SPEED AND ACCELERATION DURING ITS MOVEMENT IN THE LANE “FOLLOWING THE LEADER” ON THE BASIS OF THE NUMERICAL CALCULATION METHOD OF THE DERIVATIVE WITH THE USE OF FAST SPLINE-TRANSFORMATION
Ye. Uhnenko, Professor, Doctor of Technical Science, KhNAHU, A. Bielyatynskiy, Professor, Doctor of Technical Science, N. Kuzhel, postgraduate,
National Aviation University, Kyiv
Abstract. The article deals with the development of the technique of speed and acceleration estimation of the vehicle at its movement in the lane “following the leader” on the basis of a new mathematical method.
Key words: transport stream, speed, acceleration, transport stream microscopic model.
Вступ
Умови руху, тобто реальна обстановка на дорозі, в якій рухається автомобіль у певний момент часу, істотно змінюються із збільшенням інтенсивності руху. Завантаження дороги безпосередньо впливає на ступінь
зручності руху автомобіля по дорозі, на ефективність використання автомобільного транспорту і витрату пального.
Залежно від завантаження дороги розрізняють кілька характерних режимів транспорт-
них потоків, пов’язуючи з ними поняття про рівні зручності руху.
Щільний, або насичений потік (рівень зручності руху Г) - це найбільш складна структурна форма транспортного потоку, для якого характерні однакові швидкості й приблизно однакові відстані між прямуючими один за одним автомобілями, немає можливості обгону, тобто рух кожного автомобіля потоку пов’язаний з діями переднього автомобіля. Швидкість руху різко знижується. В місцях погіршення дорожніх умов можуть виникати затори. Умови роботи водія напружені.
Рух у щільному потоці машин вимагає особливої уваги і високої концентрації. При русі в щільному потоці машин багато що залежить від водія транспортного засобу, що їде попереду (є навіть такий термін - «водій-лідер»). Все, що він робить, так чи інакше безпосередньо впливає на рух всього транспортного потоку, тому рішення повинні прийматися виважені і грамотні, а маневри виконуватися безпомилково і чітко. Водій-лідер повинен вибрати оптимальний швидкісний режим з урахуванням вимог Правил дорожнього руху і рухатися по змозі рівномірно, без різких прискорень або гальмувань. При русі за водієм-лідером потрібно спостерігати не тільки за його діями, але й за поведінкою на дорозі водіїв автомобілів, що рухаються позаду і по боках. Оскільки при їзді в потоці машин огляд дороги перед рухомими попереду автомобілями обмежений, то вам важко буде заздалегідь передбачати причини їх ймовірного зниження швидкості або екстреної зупинки. Тому потрібно уникати їзди за великогабаритними транспортними засобами (автобусами, фурами, вантажівками тощо).
Аналіз публікацій
При розв’язанні питань, пов’язаних зі зменшенням числа дорожньо-транспортних пригод (особливо викликаних зіткненням автомобілів між собою), необхідно детально вивчити взаємодію автомобілів, що рухаються один за одним.
Основи математичного моделювання закономірностей дорожнього руху були закладені в 1912 році російським ученим професором Г.Д. Дубеліром.
Перша спроба узагальнити математичні дослідження транспортних потоків і представити їх у вигляді самостійного розділу прикладної математики була зроблена Ф. Хейтом.
Відомі математичні моделі, які знайшли практичне застосування в організації дорожнього руху, можна розділити на дві групи, залежно від підходу. Це детерміновані та ймовірнісні, тобто стохастичні. До детермінованих належать моделі, в основі яких лежить функціональна залежність між окремими показниками, наприклад, швидкістю і дистанцією між автомобілями в потоці. При цьому приймається, що всі автомобілі віддалені один від одного на однакову відстань.
Стохастичні моделі відрізняються більшою об’єктивністю. У них транспортний потік розглядається як імовірнісний, випадковий процес. Наприклад, розподіл часових інтервалів між автомобілями в потоці може прийматися не чітко визначеним, а випадковим.
Для уточнення взаємного просторового положення рухомих транспортних засобів введено таке поняття як динамічний габарит транспортного засобу. Цей параметр визначають як суму довжини транспортного засобу, дистанції безпеки і зазору до автомобіля, що зупинився попереду. Для легкових автомобілів цей зазор коливається в межах 1-3 метри. Відомо принаймні три підходи до визначення динамічного габариту. При розрахунку мінімальної теоретичної дистанції виходять з абсолютно рівних гальмівних властивостей пари автомобілів і враховують тільки час реакції веденого водія. Тоді динамічний габарит складається із суми довжини транспортного засобу, зазору, швидкості і часу реакції водія. У цьому випадку можлива інтенсивність транспортного потоку не має меж у міру збільшення швидкості. Однак це не відповідає реальним характеристикам водіїв і призводить до завищення можливої інтенсивності потоку. Тут головну роль відіграє практичне значне збільшення часу реакції за високих швидкостей.
При розрахунку на повну безпеку виходять з того, що дистанція безпеки повинна дорівнювати повному гальмівному шляху заднього автомобіля. Такий підхід більше відповідає вимогам забезпечення безпеки руху за швидкостей, що перевищують 90 кілометрів на годину.
dxn+1 dxn . dvn
Найбільш реальний підхід базується на тій передумові, що при розрахунку дистанції безпеки треба враховувати різницю гальмівних шляхів автомобілів, а також ту обставину, що лідер у процесі гальмування також переміщається на відстань, рівну своєму гальмівному шляху.
У результаті вивчення транспортних потоків високої щільності і спеціальних експериментів, проведених американськими фахівцями, було запропоновано теорію проходження за лідером, математичним виразом якої є мікроскопічна модель транспортного потоку. Мікроскопічною її називають тому, що вона розглядає елемент потоку, пару слідкуючих один за одним транспортних засобів. Особливістю цієї моделі є те, що в ній відображені закономірності комплексу «водій-
автомобіль-дорога-середовище», зокрема
психологічний аспект управління автомобілями. Він полягає в тому, що при русі в щільному транспортному потоці дії водія зумовлені змінами швидкості лідируючого автомобіля і дистанції до нього.
^+1 ХЛЛ'П , клуп і о п
—;— = —Г + і-р~г, де ”-1, 2, 3.
dt dt dt
Це рівняння може бути виражено через швидкість у наступному вигляді
IV.
vn+1 = Vn + хр п dt
IV.
^+1 ■ - V. = tP dt
dvn 1
dt 1р Л+1 - Vn
де — прискорення заднього автомобіля; vn dt
та уп+1 - швидкості заднього і переднього автомобілів; tp - час реакції водія.
Можна виразити це правило через прискорення
= 11 ^ п+1 ^
dt2 tp
Це питання розглянуто у роботах іноземних та вітчизняних науковців, таких як Ф. Хейт [1], В. Сильянов [2], Е. Лобанов [3] та ін.
Теорія «слідування за лідером» є розвитком теорії спрощених динамічних моделей. Вона базується на гіпотезі про існування деякої закономірності взаємодії автомобілів, які рухаються один за одним на близькій відстані. Ди-ференційне рівняння теорії «слідування за лідером» одержане з початкової умови, що усі автомобілі рухаються в колоні на відстані, яка вимагається правилами дорожнього руху. Тоді координати положення п-го і (п+1)-го автомобілів можна описати залежністю
= Хп + (10 + tVVn ) + Іп
(1)
де 10 - мінімальна відстань між стоячими автомобілями; ґрУп - відстань між автомобілями,
які встановлюються залежно від швидкості руху; їп+1 - довжина автомобіля; п - порядковий номер автомобіля.
Диференціюючи рівняння (1) за часом, одержуємо
Мета та постановка задачі
Щоб дослідити цю модель руху за лідером для реальних об’єктів, потрібно обробляти дані про рух зв’язаних об’єктів (наприклад, за допомогою ОР8-приймача), які отримані з похибками (похибки викликані неточністю вимірювальної апаратури).
Також потрібно знаходити першу та другу похідні від «зашумлених» графіків руху об’єктів, що відповідає швидкостям та прискоренням руху автомобілів. Тому ставиться задача розробки математичного методу оцінки параметрів руху, який дозволив би мінімізувати вказані похибки.
Удосконалення методу чисельного розрахунку похідної з використанням швидкого сплайн-перетворення
Методи чисельного розрахунку похідної від функції, яка спостерігається на фоні випадкових похибок дослідних даних, основані на згладжуванні цієї функції поліномами найкращого середньоквадратичного наближення, рядами Фур’є, сплайнами. Тоді подальше знаходження самої похідної виконується аналітично.
X
Тобто ставиться задача: обчислити чисельно похідну функції виду
Р (ї) =
ідо
dt
Нехай на відрізку [0,Т] в точках t = (їг }^=1 задані значення У = (уг деякої дискретної
часової функції. Їм відповідають (ще не розраховані) відліки похідної Р = (/ }і=1 в точках t = (їг ^ . Тоді У і Р будуть пов’язані співвідношеннями:
Р = РУ і У = дР,
де Р ід - оператори диференціювання та інтегрування відповідно.
Будемо вважати, що значення похідної Р описуються локальним кубічним ермітовим сплайном 53 = ХА, де X - матриця планування, А = (а, }г=0 - вектор оцінюваних параметрів (ординат точок «склейки» ділянок сплайну). Такий сплайн належить С1 - класу неперервно диференційованих функцій.
Тоді У = дХА .
совими відліками початкової функції У = (уг }^=1 швидко знаходимо сплайн-апрок-симацію 53 похідної Р цієї функції без попереднього розрахунку самих відліків похідної
Р = (ї }=1.
Значення локального кубічного ерміто- сплайну в довільній точці обчислюється за формулою:
5(ї) = а,-1 1 х(ї) + а, 2х(ґ) + а,+1 3 х(ї) + а,+2 4x(t)
для ї є [їй,, +1],
де а, -е - значення ординат вузлів "склейки"
ділянок сплайну; кх(ї) - локальні функції форми, дискретні значення яких заповнюють сто-вбці матриці планування Х і розраховуються за формулами
1Т, ЬІХг, (1 - Хг, )2
і = 1 + т-1, т,, і = 2, г ;
2 Хг1 = 1 - Хг1 -
Ь Х1 (1 - Хг1)
(Ь1 + Ю
г = 1, т;
Позначимо через Ж = дХ матрицю розмірністю N * (г +1), яка складається з проінтегрова-них локальних функцій форми сплайну.
Вимагатимемо виконання умови мінімуму се-редньоквадратичного відхилення:
N г ___
X[Уг - Е ™їаі]2 = тіП І = 0, Г .
г=1 і=о
Цій умові задовольняє розв’язок системи нормальних рівнянь:
(У - ЖА)Т (У - ЖА) = тіп;
ЖТЖА = ЖТУ;
А = (ЖТЖ )-1 ЖТУ = Z-1В.
Знайдений вектор оцінюваних параметрів А = (а^ }Г=0 повністю визначає сплайн
53 = ХА . Відмітимо, що матриці ЖТ і Z- не залежать від вхідних параметрів і можуть бути розраховані попередньо. Таким чином, за ча-
2 Х = 1 х Ц (1 - Хі ) , (1 - Х, )2
ХІ = 1- Хг]-
7-1
І = 2,г-1, і = 1 + т, 1,т, ;
2 Х = 1 - х - Ьгхгг(1 - Хгг )
УІ іг — і Хіг
Ьг-1
2
і = 1 + тг-1, тг;
Ь Х1(1 - хг1)
'
г = 1, т;
3 Х = х - ^(1 - х,) - (1 - х,)2
У У и и ,
Ч+1
і-1 і
І = 2,г-1, і = 1 + т, 1,т, ;
3х = Х - Ьг Х,г (1_____________Хіг) і = 1 + т т ■
Л.,г — Ліг , 1 ^ -Г ГПг-1, "V ?
Ьг-1 + Ьг
4 Х =„ ВД (1 - Хі )
ЬІ+1(Ьі + ЬІ+0'
і = 1, г-1, і = 1 + т,-1,т, ;
X - л:,-1 —
хі =—г—; =х,- хсі--1 ;і=1,г;
:[;%і-1,хі], і = Іг-1; хг є[хг-1,хг];
розрахованої класичним методом, змінювалося з 2,40 до 3,48;
- середньоквадратичне відхилення теоретичної похідної від похідної, чисельно розрахованої запропонованим методом, змінювалося з 0,53 до 2,87.
В такий спосіб можна розрахувати і швидку сплайн-апроксимацію другої похідної (прискорення). Детальний розгляд цього методу виходить за межі даної статті.
ті =Е 1=1 ки, і=1,г;
т-1 = т0 = 0 ; тг = N;
де Ки - кількість відліків на и -му відрізку.
Кількість операцій множення, додавання, необхідних для обчислення швидкої сплайн-апроксимації похідної від функції, яка спостерігається:
Висновки
Таким чином, похибки чисельного розрахунку похідної від функції, яка спостерігається на фоні випадкових похибок дослідних даних, запропонованим методом менші, ніж похибки чисельного розрахунку цієї ж похідної класичним методом.
Література
х
М = N *(г +1) + (г +1)2.
Зробимо порівняння якості запропонованого методу чисельного розрахунку похідної від функції, яка спостерігається на фоні випадкових похибок дослідних даних, із класичним методом (згладжування цієї функції сплайном і подальше аналітичне знаходження самої похідної).
Для 64 відліків початкової функції і 16 вузлів «склейки» сплайну отримано такі результати:
- середньоквадратичне відхилення «вхідного» гаусівського некорельованого шуму змінювалося з 0,2 до 1,1;
- при цьому середньоквадратичне відхилення теоретичної похідної від похідної, чисельно
1. Хейт Ф. Математическая теория транс-
портных потоков / Ф. Хейт. - М. : Мир, 1966. - 286 с.
2. Сильянов В.В. Теория транспортных пото-
ков в проектировании дорог и организации движения / В.В. Сильянов. - М. : Транспорт, 1977. - 300 с.
3. Лобанов Е.М. Продолжительность реакции
водителей в реальных дорожных условиях // Проектирование дорог и безопасность движения / Е.М. Лобанов, В.В. Сильянов. - М., 1974. - С. 155-160.
Рецензент: О.П. Алексєєв, профессор, д.т.н., ХНАДУ.
Стаття надійшла до редакції 13 жовтня 2010 р.
