CC BY
37
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ №26 2011
ПГПУ
ИМ. В. Г. БЕЛИНСКОГО
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA IMENI V.G. BELINSKOGO PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES №26 2011
УДК: 514.76
ОЦЕНКА СКАЛЯРНОЙ КРИВИЗНЫ СПЕЦИАЛЬНОЙ РИМАНОВОЙ МЕТРИКИ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ
© О. В. ЯКУНИНА
Пензенский Государственный Педагогический Университет, кафедра геометрии e-mail: [email protected]
Якунина О. В. — Оценка скалярной кривизны специальной римановой метрики на касательном расслоении // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2011. № 26. С. 321—325. —
На касательном расслоении риманова многообразия изучается класс римановых метрик структуры почти произведения, содержащий как частный случай метрику Сасаки и метрику Чигера-Громола. Для некоторых метрик рассматриваемого класса найдены промежутки знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения в случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны.
Ключевые слова: риманово многообразие, касательное расслоение, скалярная кривизна
Yakunina O. V. — The scalar curvature estimate of the special Riemannian metric on the tangent bundle // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2011. № 26. P. 321—325. — We study the class of Riemannian metrics on the tangent bundle of Riemannian manifold which contains, in particular, the Sasaki metric and the Cheeger-Gromoll metric. In the case when the basis manifold is a space of constant section curvature, we find the constant signs intervals of the scalar curvature of the tangent bundle for some metrics of the considered class.
Keywords: Riemannian manifold, tangent bundle, scalar curvature
1. Пусть M - гладкое n-мерное многообразие, g - риманова метрика на M, V - связность Леви-Чивита, TM - касательное расслоение над M. Связность V определяет горизонтальное распределение H : z G TM ^ Hz С Tz (TM), и, следовательно, структуру почти произведения на TM:
Tz (TM) = Hz 0 Vz,
где V : z G TM ^ Vz С Tz (TM) - вертикальное распределение, касающееся слоев.
Рассмотрим на TM риманову метрику д структуры почти произведения, определяемую равенствами:
д(Х h,Y h) = g(X,Y), д(Х h,Yv ) = g(X v ,Y h) =0, g(Xv,Yv) = ф)д(Х, Y) + ф^)д(Х, y)g(Y, y),
где у и ф - некоторые функции аргумента г = 1 ||у||2 = 2д(у,у), такие, что у > 0 и у + 2гф > 0; X ь,Уь и Xу, Уу - соответственно горизонтальные и вертикальные лифты векторных полей Х,У с базы на касательное расслоение в связности V.
Далее для отличия объектов, заданных на базе, от объектов, заданных на касательном расслоении, будем использовать для последних символ ” ~ ”. Также будем обозначать символом {,) метрику д или метрику д, в зависимости от того, векторные поля базы или касательного расслоения указаны в качестве аргументов.
2. Секционная кривизна касательного расслоения ТМ с метрикой д в 2-мерном направлении, определяемом в каждой точке значениями векторных полей X и 'У, вычисляется по известной формуле ([4], §3, п.3.6):
У У'У даум, (1)
<3(Х ,У)
где К - тензор кривизны пространства (ТМ,д), 3 = {X,Х}{У,У) — {Xу,У)2 - определитель Грамма. Вычисляя связность Леви-Чивита и тензор кривизны метрики д, из (1) находим:
К(Xь, Уь) = К (X, У у — ^ . l|R(Q(XXYy)y^|2, (2)
киь 'V) = _____ІІКу,у^I2_______ (3)
( , ) 4 IXI2 (у||У I2 + ф{у,у)2), ()
Г 2 ГГ Г Г Г
У(^ 'V ) = 3(р — 2^ (2^ф — ^ф )((р + г(р) +
, 4у2ф 2у2ф(у + 2гф)
22 2уу — 3у + у(2ф2 — уф — гуф) + гу ф) (
4ф 2ф(у + 2гф)
Я^У у
у^, У у + уф(^ ||2 {У, у}2 — 2{X, У}{X, у){У, у) + IУI2 {X, у}2)'
3. Построим в точке 2 = (х, у) Є ТМ ортонормированный относительно метрики д репер |ё/} *}, состоящий из лифтированных векторов репера { ортонормированного относительно метрики д. Положим:
{Уі, Уі*}, состоящий из лифтированных векторов репера {ві = ,в2, ...,еп}, заданного в точке х Є М и
еу в“ _____
вh, у1* = / \ I, ур* = , (р = 2,п)
V у + 2гф у/у
Используя полученные равенства (2)-(4), вычислим секционные кривизны Ки вдоль 2- мерных направлений, определяемых парами векторов репера |ё/}. Имеем:
К і] = КіЗ — ~4~ ||R(вi, в3 )у\\2 , (і = j), (5)
Кіі* =0, Кір* = Уцк(у,вр)енц2, (6)
2
К =_ У г + у + гу (у + гф) + гуф (у + гу) + у2ф (
1 р у (у + 2гф) у2(у + 2гф)2 ,
Г Г2
- 2уф — 2уу — гу
КР*■>* = ^учу+2:фГ' (р = я)’ (8)
где Кіз - секционная кривизна базы (М,д) вдоль 2-мерного направления, определяемого векторами ві, в3 ортонормированного базиса {ві} касательного пространства ТХМ.
Скалярная кривизна Б многообразия ТМ в точке г = (х, у) € ТМ может быть вычислена как сумма секционных кривизн Ки:
Б = 2 ^ ^ К3 + 2 ^ ^ К^з* + 2 ^ ^ К* у *. (9)
ij ij i j i<j i,j i <j
В соответствии с (5)-(8) находим:
Б(х,У) = Б(х) — ~2^ ^ Ш(е1,ез)у\\2 + у ^ \\К(у,ер)е^\\2 +
1<3 г,р
а/ /2 II
+2( _ Ш- у г + у + гу (у + гф) + гуф (у + гу) + у2ф + у (у + 2гф) у2(у + 2гф)2
, , 2 , , г>л2Уф — 2УУ — гУ -х
+ (П - 2) 4у2(у + 2гф) }’ (10)
где 5(х) - скалярная кривизна базисного многообразия (М,д).
Если базисное многообразие М имеет постоянную секционную кривизну к, то
К(Х, У )Я = к ({У, Я )Х — {X, Я)У), Б = к ■ п(п — 1).
Вычисляя в этом случае все суммы правой части равенства (10), получаем формулу, выражающую зависимость скалярной кривизны Б касательного расслоения с метрикой д от кривизны к, размерности п
базы и функций У и ф:
Б(х, у) = п(п — 1)к — уг(п — 1) ■ к2 +
2
+ _ гу (у + гф) + гуф (у + гу ) + у2ф уг + у
у2(у + 2гф)2 у(у + 2гф)
, , 2
2уф — 2уу — гу
+ (п — 1)(п — 2)------тт,----------. (11)
^ Л У 2у2(у + 2гф) У ;
4. Рассмотрим некоторые частные случаи. Пусть M - пространство постоянной секционной кривизны к, а функции у и ф имеют следующий вид:
у = ег,ф = 0,
где c = const > 0. Вычисляя скалярную кривизну S пространства (TM, д) по формуле (10), находим:
3
S = n(n — 1)к — ck2z2(n — 1)-2- (n — l)(n — 2).
2г2 с
Для п > 2 исследуем знак скалярной кривизны Б как функции аргументов (г, к) € О = (0, +то) х К. График уравнения Б(г,к) = 0 определяется в плоскости (г, к) уравнением второго порядка относительно к
3
—ск2г2 + кп — , (п — 2) = 0,
2г2с
дискриминант которого всегда положителен. Разрешая его относительно к, находим:
n ± %/n2 — 6n + 12
kl'2 =-----------------2z2-----------.
На рисунках 1 и 2 приведены схемы графиков функций кі(г) и к2(г) в плоскости (г, к) при п = 2 и п > 2. Данный контур разбивает область Б на три связные компоненты В і, 02, Б%. Скалярная кривизна
Б положительна в любой точке компоненты В2 и отрицательна в двух других.
k2(z) D3
z
D3
z
Рис.1. n = 2
Рис.2. n > 2
Нас будут интересовать те значения к G R, при которых S положительна (отрицательна) для всех z G (0, +го), то есть те горизонтальные полупрямые, которые целиком содержатся в компоненте D2 (соответственно в компонентах Di и D3).
Анализируя поведение решений ki (z) и k2(z), приходим к следующему результату.
Теорема 1. Пусть (M,g) - двумерное риманово многообразие постоянной секционной кривизны к, у = cz,ф = 0, где c = const > 0. Тогда скалярная кривизна касательного расслоения (TM,g) отрицательна при к < 0, равна нулю при к = 0 и знакопеременна при к > 0.
Теорема 2. Пусть (M, g) - риманово многообразие постоянной секционной кривизны к, dimM > 2, у = cz,ф = 0, где c = const > 0. Тогда скалярная кривизна касательного расслоения (TM,g) отрицательна при к < 0 и знакопеременна в остальных случаях.
5. Пусть M - пространство постоянной секционной кривизны к,
Нетрудно убедиться, что при п > 2 дискриминант данного уравнения всегда положителен. Находим:
I = cz,ф = 1,
где c = const > О. Тогда скалярная кривизна S пространства (TM,g) имеет вид:
2 — Зс
S = n(n — 1)k — ck2z2(n — 1) + -—27---т (n — 1)(n — 2).
2cz2(c + 2)
График уравнения Б(г, к) = 0 определяется в плоскости (г, к) уравнением второго порядка относи-
тельно k
ki,2
n^c + 2 ± yjn2(c +2) + (n — 2)(4 — 6c)
2cz‘2\/ c + 2
Если п = 2 или с = 3, то кі = 0, к2 = и мы получаем схему, аналогичную рисунку 1. Если п > 2 и с = !,то возможны два случая: при с > | иллюстрацией графиков функций кі(г) и к2(г) может служить рисунок 2, при 0 < с < % схемы графиков функций к1(г) и к2(г) в плоскости (г, к) будут иметь вид, приведенный на рисунке 3.
Аналогично предыдущему случаю, исследуя знак скалярной кривизны S касательного расслоения (TM,g), приходим к следующему результату.
Теорема 3. Пусть (M,g) - двумерное риманово многообразие постоянной секционной кривизны к, у = cz,ф = 1, где c = const > 0. Тогда скалярная кривизна касательного расслоения (TM,g) отрицательна при к < 0, равна нулю при к = 0 и знакопеременна при к > 0.
Теорема 4. Пусть (M, g) - риманово многообразие постоянной секционной кривизны к, dimM > 2, у = cz,ф = 1, где c = const > 0. Тогда возможны следующее случаи:
1) если c = 3, то скалярная кривизна S касательного расслоения (TM, д) отрицательна при к < 0, равна нулю при к = 0 и знакопеременна при к > 0;
2) если c > 2, то S отрицательна при к < 0 и знакопеременна в остальных случаях;
3) если 0 < c < 3, то скалярная кривизна S положительна при к = 0 и знакопеременна в остальных случаях.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Sekizawa M. Curvatures of Tangent Bundle with the Cheeger-Gromoll Metric. // Tokyo J.Math. Vol.14, N2,(1991). P. 407-417.
2. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the Tangent Bundle with the Cheeger-Gromoll Metric. // Tokyo J.Math. Vol.25, N1, (2002). P. 75-83.
3. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Риманова геометрия в целом. Мир, М., 1971.
4. Сухова O. Кривизны касательного расслоения со специальной метрикой структуры почти произведения. // Математические заметки. Vol. 89, No. 4, 2011. C. 603-607.
