CC BY
29
------------------------------------------- © С.И. Фомин, Т.В. Донченко,
2006
УДК 622.271.3
С.И. Фомин, Т.В. Донченко
ОЦЕНКА РИСКА РЕАЛИЗАЦИИ ПРОЕКТОВ ГОРНОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Семинар № 12
ш и роблема точности и надежности
И. проектных решений - характерная черта современного этапа развития всех сфер материального производства, в том числе и горного. В современной теории принятия решений разработан ряд подходов, позволяющих снизить уровень неопределенности исходной информации. При этом в некоторых случаях возможно использование экспертных методов, где оцениваются субъективные вероятности мнений специалистов. В других наиболее рационально применение вероятностного, гарантированного или байесовского подходов. Исследовательская, проектная и производственная практика наглядно демонстрирует, что между исходными данными, показателями и результатами деятельности горнодобывающих предприятий наблюдается некоторое, а порой и значительное, несоответствие. Это несоответствие обусловлено отсутствием исчерпывающей исходной информации о проектируемом или разрабатываемом месторождении, возможностях созданного на его базе предприятии, стохастическом характере исходных горно-геологических данных и т. д. Поэтому в последнее время чаще стали появляться исследования по изучению возможностей и разработке методов принятия решений по горным вопросам в условиях неопределенности и риска.
Используемое при оценке проектных решений рассмотрение средних значений ожидаемых параметров и показателей карьеров часто приводит к значительным ошибкам. При этом принимается допуще-
ние, что основные параметры системы разработки достигнут заданных значений.
Рассмотрим пример, где буровой блок карьера может содержать скважины с кондиционным и некондиционным содержанием полезного компонента в руде. Что в данном случае можно принять за вероятность успеха и как оценить эту величину? Данные о строении и составе горных пород слагающих буровые блоки носят стохастический характер. Чем большее количество буровых блоков рассматривается, тем больше вероятность успеха - вероятность того, что в скважине, содержащей кондиционное полезное ископаемое, содержание полезного компонента приближается к требуемому по условиям усреднения среднему по карьеру значению. Стратегия открытой разработки месторождения должна опираться на анализ риска возможных проектных решений. Основой такой стратегии является рентабельность предприятия.
Вероятность успеха для одного из значений параметра карьера, например, превышение определенного содержания полезного компонента в руде содержащейся в одном из взрывных блоков:
^ = (1 - рД1 - р2)(1 - Рз)• к • (1 - рп) (1)
где р1 - ьое значение вероятности успеха для рассматриваемого параметра карьера, (1 = 1, 2, 3,..., п).
При равенстве всех значений вероятности успеха для параметра карьера уравнение (1) можно представить в следующем виде:
V = (1 - Р)
(2)
или
V = (1 - р) [С/х 1, (3)
где х - эксплуатационные затраты необходимые для достижения заданной величины параметра карьера; С - предельно возможные капитальные затраты, необходимые для достижения заданного значения параметра карьера.
Отношение [С/х] - определяет количество значений параметра, которое может быть получено в пределах допустимых затрат (начальных инвестиций). Выражение
(3) характеризует вероятность истощения допустимых затрат без достижения заданного значения параметра карьера.
Принимая среднее значение вероятности успеха для рассматриваемого параметра карьера (р), остающееся постоянным на определенный срок отработки, процесс можно рассматривать как биноминальный [1].
Вероятность достижения т заданных значений параметра карьера, при общем количестве значений параметра п:
п !
Р (т / п) =
т ! (п - т) !
Рт (1 - Р)п
(4)
В результате достижения заданного значения параметра карьера может быть получена чистая текущая стоимость (Я), тогда количество значений параметра карьера пт, удовлетворяющего неравенству:
С + тИ [С + (т +1 )И 1 (5)
---------< пт <±-------------------------^^ . (5)
X X
Вероятность превышения допустимых затрат достижения заданного параметра карьера и не превышения величины т -отсутствие рентабельности: т I
V = £ Р (-). (6)
1=0 п
Отметим, что если пт = [С/х] при т = 0 формула (6) преобразуется в формулу (3).
Вероятность превышения инвестиционных (предельно возможных) затрат до достижения заданного значения параметра карьера:
т+[С / И1 I
V = X Р (-) • (7)
1=0 п
Основное ограничение для выражений (6) и (7) состоит в предположении продолжения реализации производственной программы даже в случае превышения предельных затрат на ее выполнение. В том случае, когда значение вероятности отсутствия рентабельности - неудача, неприемлемо высоко, то для его уменьшения можно использовать фактор производственного интереса (1п). Если проектировщик задается максимально возможным в данных условиях значением вероятности неудачи, тогда возможно определение максимального значения фактора производственного интереса (1п ).
В^1ражение (3) можно представить в следующем виде:
V = (1 - р) С /(/»х^), (8)
где 1п - фактор производственного интереса; хс - суммарные эксплуатационные затраты, необходимые для достижения заданной величины параметра карьера.
Фактор производственного интереса:
С 1од (1 - р) хс 1од V
(9)
Таким образом, из выражения (9) фактор производственного интереса может быть определен при установленной величине V - вероятности неудачи.
Предположим, что для подготовки ряда буровых блоков карьера, обеспечивающих заданный объем готовых к выемке запасов, горнодобывающее предприятие имеет оборотные средства в объеме С = 10 млн руб. Подготовка одного блока потребует в среднем эксплуатационных затрат в размере х = 1 млн. руб., с вероятностью превышения заданного среднего содержания полезного компонента в блоке р = 0,15, т.е. 15 %.
1 п =
Принимая значение фактора производственного интереса равным 100 % (іп = 1), определяем по формуле (8) вероятность превышения предельно возможных капитальных затрат: V = 0,196. Следовательно, вероятность невыполнения производственной программы составит около 20 %. Такое достаточно высокое значение вероятности неудачи может оказаться неприемлемо для предприятия.
Например, проектировщик принимает решение снизить эту вероятность до 5 % (V = 0,05), тогда используя формулу (9) получаем іп = 0,542 или 54,2 %, при этом отношение [С / (іп хс)] = 18,45 необходимо округлить до целого количества блоков, т.е. 19. Таким образом, і = 10/19 или
52.63 % , V = 0,0456. Другими словами, максимально возможное значение фактора производственного интереса составляет
52.63 % для обеспечения непревышения 5 % вероятности неудачи.
Значения максимально возможного фактора производственного интереса для различных значений вероятности неудачи при выполнении производственной программы представлены в табл. 1.
Таблица 1
Максимально возможный фактор производственного интереса
Вероятность неудачи (V), % Максимум фактора производственного интереса, ( Іп ), % Количество блоков, С / ( Іп Хс )
1 2 3
20 100 10
10 66,7 15
5 54,2 19
2 41,7 24
1 34,5 29
0,5 30,3 33
Уровень рентабельности и риск получения убытка в результате реализации проектных решений может контролироваться путем разработки проектной стратегии. Примером действия такой стратегии является временное прекращение от-
работки месторождения в случае не подтверждения фактических параметров и показателей карьера заданным или использование фактора производственного интереса для увеличения возможной рентабельности работы карьера; регулирование количества значений параметра карьера участвующих в оценке.
Для первоначального анализа возможного риска принятия решений целесообразно использование матриц позволяющих сравнивать уровни риска оценки потенциальных объемов готовых к выемке запасов карьера или среднего содержания полезного компонента в руде взрывных блоков. Для оценки риска можно использовать трехмерную версию матриц (рис. 1).
Области данных I и II являются нереальными для условий проектирования разработки месторождений. Области III и IV характеризуют соответственно низкую и высокую степень неудачи - отсутствия рентабельности реализации проектных решений, которые следует избегать.
Плоскость АВСБ - профиль риска, разделяещий объемную матрицу на две части. В левой части сосредоточены данные по неприемлемым проектным решениям, а в правой - по приемлемым, т. е. обеспечивающим рентабельность реализации проекта. Профиль риска не только характеризует альтернативы приемлемых проектных решений, но и показывает какие варианты более предпочтительны.
График зависимости кумулятивных затрат, связанных с реализацией проектных решений, от уровня риска для различных типичных стратегий, представлен на рис. 2. Этот график показывает, как стратегия проектирования влияет на уровень риска. Кривая 1 характеризует стратегию сбалансированного риска, при которой суммарные затраты равномерно распространяются по всем уровням риска. Кривая 2 представляет консервативную стратегию риска или средний риск, при котором суммарные затраты превышают их уровень по всем альтернативным вариантам стратегий. Стратегия агрессивного риска харак-
и
Рис. 2. График зависимости кумулятивных затрат от уровня риска реализации проектных решений для различных видов типичных стратегий
Рис. 1. Трехмерная матрица сравнения уровня риска принятия проектных решений
теризуется кривой 3. Кривая 4 показывает стратегию усредненного риска.
Анализ рентабельности проектных решений позволяет находить оптимум, переходя от одной стратегии риска к другой. Определение величины возможных убытков или прибыли от разработки проектируемого карьера наиболее целесообразно проводить с использованием метода Монте-Карло [2].
Проектирование карьеров - процесс с конечным результатом, обладающим неопределенностью. В эту неопределенность вовлечены не только геологические и горнотехнические стохастические исходные данные, но и большое количество экономических факторов. Среди этих факторов можно выделить цены на сырье, эксплуатационные и капитальные затраты, уровень инфляции и налоги. Часто понятие риска ассоциируется с понятием неопределенности, а не с вероятностью получе-
ния убытков от реализации проекта отработки месторождения. Понятие неопределенность целесообразно применять к факторам, в которых конечный результат носит вероятностный характер и где возможность получения убытков (ущерба) не так очевидна как при оценке риска.
Современная практика принятия проектных решений предполагает включение в рассмотрение геологических, горнотехнических, экономических аспектов, а также оценку риска инвестирования реализации проекта. Теория вероятностей рассматривает все возможные события, присущие данному процессу, и стремится определить наиболее вероятное из них. Использование теории вероятностей при оценке проектных решений целесообразно при значительном количестве рассматриваемых реализаций этих событий. Оценка риска инвестирования реализации проекта проводится до начала основного проекти-
232
1
0,9
0,8
0,7
Є 0,6 І 0,5 £ 0,4 и 0,3
0,2
0,1
0
“С* 'Ряд1 и с г- 1- ятті ь т—
Ряд2 “ ^ Ряд3 'Ряд4 'Ряд5 У , - **
у г1 > и р
І * *
/ / 3 , 1 У
г / т і 4
✓ і *
/ ґ 5 о
1 * *■ «с Ф
Г- \ * с І- - у ^
0
5
10
40
45
15 20 25 30 35
Количество блоков
Рис. 3. Кумулятивный график вероятности реализации проекта (для нормы успеха 10%)
50
рования, т. е. на стадии обоснования инвестиций в строительство карьера, в которой используется ограниченный объем исходной информации, данные карьеров и месторождений - аналогов.
Например, при реализации программы обеспечения карьера готовыми к выемке запасами, вероятность превышения заданного среднего содержания полезного компонента в руде бурового блока - 8 (успех), вероятность непревышения заданного среднего содержания - Б (неудача). При этом для упрощения, принимаем, что при реализации производственной программы для каждого бурового блока успех равновероятен. Оценка возможного результата проводится из биноминального выражения:
Для одного бурового блока: й + Б = 1 или
й + Б = (й + Б)1 . (10)
Для двух блоков:
ОО + ОБ + БО + ББ = 1 . (11)
т.к. ОБ + БО = 2ОБ , выражение (11) можно представить в виде:
02 + 2 ОБ + Б2 = (О + Б)2 = 1 . (12)
Для трех блоков:
03 + 3 О 2Б + 3 ОБ2 + Б3 = (О + Б)3 = 1
(13)
Вероятность успеха по крайней мере в одном блоке:
008,080,800 088,808,880 888.
Вероятность успеха по крайней мере в двух блоках:
088,808,880 888.
Вероятность успеха по крайней мере в трех блоках:
888.
Вероятность полной неудачи:
000
Биноминальное расширение просто использовать в том случае, когда количество блоков незначительно. Например, если принять вероятность успеха и неуспеха равной 50 % (норма успеха), то для двух
буровых блоков возможный результат определяется из выражения: йй + йБ + Бй + ББ .
При этом имеем
25 % - вероятность неудачи для 2 блоков (ББ);
50 % - вероятность успеха только в одном блоке (Б8 + 8Б);
25 % - вероятность успеха в двух блоках (88);
75 % - вероятность успеха, по крайней мере, в одном блоке (Б8 + 8Б + 88).
Однако, если рассматривать большее количество блоков и другие значения вероятности для Б и 8, математическое выражение оценки возможного результата:
Для пяти буровых блоков: й5 + 5 й4 Б +10 й3 Б2 +10 й 2Б3 + 5 йБ4 + Б5 = 1 Во многих изданиях посвященных статистике, имеются таблицы со значениями вероятности в зависимости от количества параметров (в данном случае блоков). Такие таблицы позволяют построить кумулятивный график вероятности (рис. 3), ха-
рактеризующий вероятность исключительно успеха при различном количестве блоков для заданной нормы успеха (10 %).
На рис. 3 кривая 1 характеризует успех, по крайней мере, в одном блоке; кривая 2 -успех, по крайней мере, в двух блоках; кривая 3 - успех, по крайней мере, в трех блоках; кривая 4 - успех, по крайней мере, в пяти блоках и кривая 5 - успех, по крайней мере, в семи блоках.
Значение вероятности успеха обеспечивает дополнительную информацию о величине риска при заданной норме успеха. В качестве средства предсказания возможного диапазона колебаний значений параметров и показателей карьера используются различные виды распределения. В горном деле особое значение имеют нормальное и логнормальное распределения случайной величины. Это объясняется тем, что изучаемые случайные величины являются суммой большого количества случайных слагаемых.
Таблица 2
Средневзвешенная ценность риска, млн. руб.
Результат Вероятность Дисконтированная, текущая прибыль, млн. руб. Средневзвешенная ценность риска, млн. руб-
Недостижение заданного среднего содержания 0,71 - 1,50 - 1,065
Достижение заданного среднего содержания 0,29 7,50 +2,175
Сумма 1,00 1,110
Таблица 3
Средневзвешенная ценность риска для трех случаев реализации параметра карьера
Результат Объем кондиц. ГВЗ, 3 тыс.м Веро- ятность Риск-взвешенные объемы ГВЗ, 3 тыс.м Дисконтированная, текущая прибыль млн руб. Средневзвешенная ценность риска, млн руб.
Недостижение заданного среднего со- 0 0,71 0 - 1,50 - 1,065
держания Минимум 300 0,09 27 - 0,10 - 0,009
Наиболее вероятный 1000 0,18 180 7,50 1,350
Максимум 4000 0,02 80 30,50 0,610
Сумма 1,00 287 0,886
Эти случайные величины могут подчиняться любым законам распределения, и среди этих слагаемых нет сильно выделяющихся по величине и по значениям дисперсии. Принятие обоснованного проектного решения только с учетом вероятности достижения заданного значения параметра или показателя невозможно. Оценка экономического риска проектных решений позволяет избежать серьезных последствий возможных ошибок из-за отсутствия рентабельности реализации проекта. Определение ожидаемой извлекаемой ценности, риска и чистой текущей стоимости реализации проекта позволяет оценить окупаемость инвестиций в разработку месторождения.
Для оценки экономического риска проектных решений необходимо определить следующие величины:
• годовые капитальные затраты с учетом налоговых отчислений;
• поступления доходов с учетом календарного плана отработки месторождения за вычетом налоговых отчислений;
• поток затрат и доходов за оцениваемый период;
• дисконтирующий фактор;
• чистую текущую стоимость реализации проекта или чистый дисконтированный доход.
При известной вероятности успеха и неуспеха достижения заданного параметра карьера и текущей ценности реализации проекта определяется значение средневзвешенного риска. Рассмотрим пример определения средневзвешенного риска реализации параметра карьера, результаты которого представлены в табл. 2. В табл. 2 величина средневзвешенной ценности риска (столбец 4) получена как произведение вероятности
результата (столбец 2) на текущую ценность реализации (столбец 3).
Для более подробного рассмотрения данного примера, представим вероятность достижения заданного значения параметра карьера в виде 3 случаев - минимального, наиболее вероятного и максимального (табл. 3).
Дополнительное рассмотрение максимально-минимальных случаев позволило получить информацию для более точной оценки реализации проектного решения. Средневзвешенная ценность риска при трех дополнительных случаях реализации составила только 0,8886 млн. руб., что на 0,224 млн. руб. меньше результата представленного в табл. 2.
Полученный в табл. 3 результат, позволяет говорить о большей чувствительности вероятности максимально возможного объема кондиционных готовых к выемке запасов (ГВЗ) карьера. Величина минимально возможного объема кондиционных готовых к выемке запасов, обеспечивающего рентабельность разработки, должна быть несколько больше 300 тыс. м3 при процентной
1. Weaver W. Lady Luck. The theory of probability. Science Study Series S 30. Doubleday, Gordon City. New York, 1994, 392 p.
ставке 1 = 10 %. Однако, если процентная ставка будет снижена до 8 %, то величина минимально возможного объема кондиционных готовых к выемке запасов составит около 250 тыс. м3. Суммарный риск-взвешенный объем ГВЗ составляет 287 тыс. м3, в то время, как наиболее вероятный объем готовых к выемке запасов - 1000 тыс. м3. Отметим отсутствие гарантии в том, что взрывной блок будет содержать объем кондиционных готовых к выемке запасов 287 тыс. м3 , но в среднем для п блоков карьера эта величина является наиболее вероятной. В реальности для создания модели риска, реализуемой на компьютере, следует рассматривать значительно большее количество случаев, чем представлено в табл. 3.
Таким образом, принятие обоснованного проектного решения только с учетом вероятности достижения заданного значения параметра или показателя невозможно. Оценка инвестиционного и экономического риска проектных решений позволяет избежать серьезных последствий возможных ошибок из-за отсутствия рентабельности реализации проекта.
--------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
2. Фомин С.И. Производительность карьеров и спрос на минеральное сырье. С-Пб., изд. “Тема”, 1999, 169 с.
— Коротко об авторах ---------------------------------------------------------------
Фомин С.И., Донченко Т.В. - Санкт-Петербургский государственный горный институт (технический университет).
