Оценка приближенного решения динамической задачи о камуфлетном взрыве Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

УДК 622.235

А.В. Дугарцыренов

ОЦЕНКА ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ О КАМУФЛЕТНОМ ВЗРЫВЕ

Задача о напряженно-деформированном состоянии упругой среды при камуфлетном взрыве в ней относится к пространственным динамическим задачам теории упругости с внезапным нагружением полости заданной формы. Известны только некоторые частные случаи точного решения данной задачи [1, 2 и др.], а также различные приближения, в частности асимптотические [3]. Основная сложность решения таких задач связана с колебательным характером перемещений, деформаций и напряжений в точках среды. В то же время статические аналоги этих задач решаются достаточно просто и одно из первых решений дано Ламе [4].

Динамическая задача о камуфлетном взрыве сосредоточенного и удлиненного зарядов взрывчатого вещества (ВВ) в большинстве работ сводится к моделям соответственно сферической и цилиндрической полостей в неограниченной среде, внезапно подверженных действию давления газообразных продуктов детонации ВВ. Указанные выше решения динамических задач относятся к действию постоянного давления и не учитывают снижения ее величины по мере расширения полости. Учет расширения полости в этих моделях произведен в работах [5-7], в которых перемещение точек среды при действии на ее границу давления р0 выражается в безразмерном виде соотношениями:

• для сферической полости (линейное приближение [5, 6]):

—ґ _л и p0H D 1

и (г,т) = — =

1 - e

r0 2PC1 2 Г

cos w0T + ^D і (1 - 2 Г)sin w0T

(1)

r - C C -

r = —, t = — t,T = — T = t - r + 1,

где

T = t--

'0 '0

r - r

0

D = 2

1 — v

2 E

2У D -1 ’ D

E - мо-

1 - 2v 2E + 3p0 k(1 + v)' дуль Юнга, v - коэффициент Пуассона, H(_) - функция Хевисайда, p -

плотность среды, C1 - скорость продольной волны, к - показатель адиабаты взрывных газов, r0 - радиус полости.

• для цилиндрической полости (акустическое приближение [7]):

_ и Р0(1 + v)

и (r _ = - = H _)—-------- ---- X

r0 E + 2кР0(1 + v)

x( = ](1 - e-“П

, (2)

где к2 =

1 - 2v 1 - v

Приведенные решения получены в предположении, что полость под действием давления продуктов детонации ВВ расширяется по закону адиабаты:

Р ( *) = - Ро

1

1 + и ( Го, *)/Го

о

(3)

-3*

= - Ро(1 + £

где р (*) - текущее давление газов, £ = и (Го,*)/Го .

Учитывая, что, г = 1 и пренебрегая в разложении (3) в ряд по степеням £ членами второго и более порядков малости, находим линейное приближение:

(1 + £)-3* * 1 - 3*£. (4)

Оценка погрешности представленных решений (1) и (2) проведена на основе численных решений соответствующих уравнений теории упругости, записанных в безразмерном виде:

• для сферической полости:

д2и 2 ди 2и д2й

—г+=—--—г = —т; (5)

д г г д гг дт

уравнение (5) решалось при следующих начальных и граничных условиях:

Г > 1, Т = 0, и = = 0 ,

дт

_ _ , ди 2у и тт/ . р(*)

т > 0, г = 1 ^---+---------= -Н(*)^Ч-

дг 1 -V г рС2

(6)

• да :

и

• о.

• для цилиндрической полости:

д2и 1 д и и д2й

д г г д гг дт

2

(7)

здесь начальные и граничные условия те же, кроме условия на границе полости, которое определяется соотношением

Ёй+-^. и=- Н (,) Щ.

д г 1 - V г рС1

Величина р (*) в условиях на границе полости (6) и (8) определяется

(8)

выражением (4). Расчеты проведены в математическом пакете «Ма1Ьса<<-13» с применением функции «Р<<е8о1уе», предназначенной для решения дифференциальных уравнений в частных производных. Результаты расчетов по аналитическим формулам (1) и (2) и данные численных расчетов в графическом виде представлены на рис. 1 и 2. Функции s(г,*) и s(г,т) на данных рисунках соответствуют перемещению и (Г, т) согласно уравнениям (5) и (7), а ^(г, *) и ^(г,т) - аналитическому выражению для перемещения соответственно для сферической (адиабатическое приближение -уравнение (1)) и цилиндрической (акустическое приближение - уравнение (2)) полости. Как видно из рис. 1, результаты численного расчета в пакете «МаШса<<-13» полностью совпадают с расчетными данными, полученными на основании аналитической формулы (1) для сферической полости с учетом ее расширения, как для точек границы полости, так и для внутренних точек. Что касается цилиндрической полости, следует отметить, что точное аналитическое решение задачи о взрыве цилиндрического заряда в упругой среде до настоящего времени не получено. Сложность решения указанной задачи обусловлена тем, что напряжения в среде при динамическом рассмотрении носят колебательный быстрозатухающий характер, определяемый в изображениях функциями Бесселя и Макдональдса, обратное интегральное преобразование которых связано с контурным интегрированием, которое выполняется только в простейших случаях. Численные расчеты по уравнению (7) показывают, что изменение перемещения во времени имеет характер аналогичный случаю сферической полости (рис. 2).

Рис. 1

Рис. 2

б

t

т

Акустическое приближение (2) является монотонно возрастающей функцией, совпадающей с точным численным решением в начале возмущения в заданной точке и вблизи состояния стабилизации. Поскольку при разрушении горных пород равновесные параметры зон разрушения определяются напряжениями, формируемыми вблизи статического состояния, то сравнение этих решений показывает их полную идентичность. Следовательно, приведенное акустическое приближение с достаточной точностью отражает развитие перемещений, деформаций и напряжений в среде во времени и может быть использовано для определения напряженно-деформированного состояния среды при взрыве удлиненного заряда.

При взрыве скважинного заряда большое значение имеет время достижения статического состояния в массиве (упругой среде), когда пере-

1. Sharp J.A. The program of Elastic Waves by Explosive Pressure, Geophisics, 7 (1942), 144-154, 311-321.

2. Selberg H.L. Transient Compression Wave from Spherical and Cilindrical Cavities, Arkiv f. Fisik, 5, 7, (1952), 97-108.

3. Сагомонян А.Я. Волны напряжений в сплошных средах. - М.: Изд-во Моск. Унта, 1985. - 416 с.

4. Lame G. Lecons sur La Theorie ... de l’Elasticite, Paris. 1852.

5. Дугарцыренов А.В. О равновесном состоянии упругой среды при камуфлетном взрыве в ней сосредоточенного и удлиненного зарядов. Обозрение прикладной и

мещения, деформации и напряжения не изменяются во времени. Формально эти изменения существуют при сколь угодно большом времени, однако значения их колебаний настолько малы при t > 8 + 10 , что не оказывают заметного влияния на процесс разрушения породы. Проведенное сравнение аналитических соотношений (1) и (2) с результатами численных расчетов показывает, что указанное время с достаточным приближением может быть определено из этих соотношений. Таким образом, данные соотношения, в которых учтено расширение полости при камуфлетном взрыве сосредоточенного и удлиненного зарядов ВВ подтверждаются численными расчетами, проведенными непосредственно по волновым уравнениям и могут быть использованы при анализе динамики напряженно-деформированного состояния среды.

-------------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

промышленной математики.-2005.-Т. 14,

вып. 1.-с. 106-107.

6. Дугарцыренов A.B. Динамика на-

пряженно-деформированного состояния горных пород при камуфлетном взрыве сосредоточенного заряда. Горный информационно-аналитический бюллетень, № 4,

2007, с. 166-179.

7. Крюков Г.М., Дугарцыренов A.B. Динамические поля напряжений и деформаций при камуфлетном взрыве сосредоточенного и удлиненного зарядов с учетом расширения взрывной полости. Горный информационно-аналитический бюллетень, № 9, 2007, с. 13-28. \ГШ

— Коротко об авторах-------------------------------------------------------------

Дугарцыренов A.B. - докторант кафедры «Физика горных пород и процессов», Московский государственный горный университет.

Статья представлена кафедрой «Физика горных пород и процессов» Московского государственного горного университета.

Рецензент д-р физ.-мат. наук, проф. К.В. Халкечев.