Оценка погрешности расчета тепломассопереноса в дисперсном слое при использовании формулы аддитивности фазовых сопротивлений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24:66.015.2

А.Г.Муравьев

ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТИ РАСЧЕТА ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В ДИСПЕРСНОМ СЛОЕ ПРИ ИСПОЛЬЗОВАНИИ ФОРМУЛЫ АДДИТИВНОСТИ ФАЗОВЫХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

The possibility of using the phase resistance additivity formula, when estimating process of heat mass transfer in a disperse layer is discussed. The model within of framework of which the arising error can be estimated, is used. Cases of monodisperse layer and large and small particles layer are considered. If phase resistances are close in values, then computation error can reach a significant value.

Введение

Процессы переноса в дисперсных системах широко используются в промышленности, поэтому их корректное описание имеет важное практическое значение для расчета и проектирования технологического оборудования.

В настоящее время большое распространение при расчете процессов тепло- и массо-переноса в дисперсных слоях при соизмеримых фазовых сопротивлениях получил метод, основанный на использовании формулы аддитивности фазовых сопротивлений. Суть его заключается в следующем. Аналитически или с помощью полуэмпирических зависимостей определяется осредненная по слою величина площади межфазной поверхности на единицу объема слоя as. Затем с помощью осредненных по межфазной поверхности слоя коэффициентов тепло- или массоотдачи в дисперсной ag и сплошной ас фазах по формуле аддитивности фазовых сопротивлений находится коэффициент тепло- или массопередачи а.

1/а = 1/ag+1/a<. (1)

Далее рассчитывается межфазный поток J тепла или массы в слое по формуле

J = аАуа sV,

где Ау — межфазный температурный или массовый напор, являющийся движущей силой процесса переноса; V — объем слоя.

Если коэффициенты тепло- или массоотдачи для каждой точки межфазной поверхности в слое одинаковы, то правомерность использования выражения (1) не вызывает сомнения. Однако во многих моделях [1,2], описывающих процессы тепломассопереноса внутри частиц, капель и пузырьков, движущихся в слое сплошной фазы, коэффициент тепло- или массоотдачи зависит от времени, т. е. меняется по высоте слоя. В этом случае более корректным является метод учета фазовых сопротивлений в дисперсном слое, заключающийся в расчете процессов тепломассопереноса на единичном включении дисперсной фазы (в дальнейшем оно будет называться частицей) с помощью математических моделей, учитывающих перенос в обеих фазах, с последующим интегрированием полученных плотностей тепловых и массовых потоков по межфазной поверхности слоя.

В данной работе сравниваются результаты расчета процессов тепло- и массопереноса в дисперсном слое, полученные обоими методами для случая, когда внутреннюю фазу можно считать неподвижной. Тогда необходимые расчеты можно провести аналитически. Рассматриваются случаи монодисперсного слоя, т.е. когда все частицы имеют одинаковый размер, и слоя, в котором присутствуют частицы различных размеров. Предполагается, что при движении в слое наличие соседних частиц не влияет на протекание процессов переноса на одной частице.

Для определенности, без уменьшения общности, рассматривается только процесс переноса тепла. Это обусловлено тем, что описания процессов переноса тепла и массы в математическом виде близки между собой, поэтому результаты данной работы, полученные

при описании процессов теплопереноса, можно использовать и при анализе протекания в слое процессов массопереноса.

Предполагается, что теплоперенос внутри частицы осуществляется только теплопроводностью, т.е. отсутствует движение внутренней фазы. Такое допущение справедливо не только для твердых частиц, но и для капель и пузырей в случае малых чисел Пекле [2]. Форма частицы считается сферической.

Теплоперенос в сплошной фазе учитывается с помощью коэффициента теплоотдачи ас, осредненного по поверхности частицы. В начальный момент частица имеет температуру Т0 и охлаждается, проходя через слой, сплошная фаза которого имеет постоянную температуру Тс. Известно аналитическое решение данной задачи [3], сводящееся к решению дифференциального уравнения теплопроводности внутри частицы с граничным условием третьего рода.

Случай монодисперсного слоя

Рассчитаем поток тепла Q через межфазную поверхность в слое по методу, учитывающему фазовые сопротивления при решении дифференциального уравнения теплопроводности для каждой частицы. Расчет Q с помощью интегрирования плотности потока тепла по межфазной поверхности можно заменить вычислением количества теплоты, теряемого за время прохождения слоя частицами, покидающими его в единицу времени.

Пусть частица покидает слой со средней по ее объему температурой Тк. Тогда Q можно определить следующим образом:

Q = Сг р * (То - Тк )О = Сг р з (То - Тс )ОФ, (2)

где С*, рг — массовая теплоемкость и плотность частицы соответственно; О — объемный

(Т - Т )

поток дисперсной фазы в слое; Ф = —0-------— безразмерная средняя температура части-

(Т о - Тс )

цы, покидающей слой. В соответствии с решением дифференциального уравнения нестационарной теплопроводности с граничными условиями третьего рода на сферической частице [3]

Ф = 1 -^ Впе _Д^, (3)

6 (sift Дп - Дп C0s Дп )2

где Вп = —————--------------r п/ ; t = -^2; а — коэффициент температуропроводности

Д3п Дп - sin Дп C0s Д п R

частицы; R — радиус частицы; т — время движения частицы в слое. Коэффициенты цп являются решениями уравнения

tg д п = - Вг~1 , (4)

Bi -1

где Bi = a cR / X g; Xg — коэффициент теплопроводности частицы.

Теперь рассчитаем поток тепла в слое по методу, основанному на использовании формулы аддитивности фазовых сопротивлений (1). Обозначим этот поток Qag, тогда

Qag = АаДТ, (5)

где А — межфазная поверхность в слое; ДТ — средний температурный напор; а — коэффициент теплопередачи.

Как правило, средний температурный напор в рассматриваемом методе для случая противотока рассчитывается как средний логарифмический. Учитывая определение величины Ф, его можно записать в следующем виде:

= ДТн -ДТк = Ф(Т0 - Тс) (6)

ln ДТн ln(1 - Ф) , ( )

ДТ к

где ДТн = То - Тс; ДТК = Тк - Тс.

п=1

Чтобы определить коэффициент теплопередачи а по формуле (1), необходимо найти коэффициент теплоотдачи в дисперсной фазе ае Коэффициент аg определяется следующим образом:

Qg=^ ДТ^ (7)

где Qg, ДТе — поток тепла через межфазную поверхность в слое и средний температурный напор, когда все сопротивление теплопереносу сосредоточено в дисперсной фазе. ДТе можно определить по формуле, аналогичной формуле (6):

Фя (То - Тс)

ДТ е =----—--------—, (8)

е 1п(1 - Фе )

где Фе определяется аналогично Ф как безразмерная средняя по объему частиц температура на выходе из слоя, которая рассчитывается по известному [3] решению задачи о теплопере-носе внутри частицы с постоянной температурой на поверхности Тс:

Ф, = 1 -£ -2-у е (9)

п=1 П П

В общем случае, в рамках данного метода, величина ае находится с помощью полу-эмпирических зависимостей, построенных на основе соотношения (7) путем обобщения экспериментальных данных. Для рассматриваемой модели теплопереноса величину Qе можно определить с помощью Фе как количество теплоты, теряемое в слое частицами, покидающими его в единицу времени:

Qg = Сере (То - Тс)ФгО. (10)

Межфазную поверхность в слое А можно рассчитать как площадь поверхности частиц, входящих в слой за время т. Объем частиц, входящих в слой в единицу времени, — это объем-

ный поток дисперсной фазы в слое О. Разделив О на объем частицы V можно найти число частиц Ы, входящих в слой в единицу времени. При умножении этой величины на площадь поверхности одной частицы и время прохождения ею слоя т можно определить величину А:

2 3О

А = 4пЯ 2 Ыт =----т. (11)

Я

Воспользовавшись выражениями (7)—(11), определениями безразмерных параметров t, В/ и учтя, что коэффициент температуропроводности а = X е / Се р е, величину ае можно представить в виде

а

а е =- зБ*1п(1" Фе). (12)

Подставив в формулу (1) выражение (12), рассчитаем коэффициент теплопередачи:

1п(1 - Фе)

а = а с---------е-----. (13)

с 1п(1 - Ф ) - 3Би

Введем величину є а,, = 1----—, которую определим как погрешность, возникаю-

0а_,

Є

щую при расчете теплового потока в дисперсном слое при использовании формулы аддитивности фазовых сопротивлений.

Используя формулы (2), (5), (6), (11), (13), можно получить следующее выражение:

1

= і--------------

'аЯ

1п(1 - Ф)

11

1п(1 - Фе ) 3Би

Величина еае зависит от двух параметров — t и В/. В регулярном режиме, когда всеми слагаемыми в суммах выражений (3), (9), кроме первых, можно пренебречь, гае практически не зависит от t и имеет максимальное значение 0,11 при В/ = 3,54 [4]. На рис.1 в качестве при-

1 Ы

Рис.1. Зависимость еад от Б1 при t = 0,5 для монодисперсного слоя

ис-

мера представлена зависимость еаг от В/, полученная на основе формулы (14).

Анализируя зависи-

мость еаш от / и В/, можно сделать вывод, что величина е, положительна, т. е. при пользовании формулы аддитивности фазовых сопротивлений при расчете теплопере-носа в дисперсном слое результат занижается. Кроме того, еаг достигает максимума в области значений В/, соответствующей близким значениям фазовых сопротивлений.

Случай бимодального распределения частиц в слое

В реальных технологических контактных устройствах слои взаимодействующих фаз в большей или меньшей степени полидисперсны. Это зависит от множества причин. Например, от способа образования дисперсных частиц, взаимодействия их со сплошной средой, между собой и т. д.

Распределение частиц по размерам можно моделировать как непрерывное или дискретное. Так, в работах [5,6] процессы переноса в газожидкостных слоях тарельчатых колонн и барботажных реакторов моделировались в предположении, что частицы дисперсной фазы можно разбить на две фракции по размерам. Одна фракция состоит из «малых» частиц, другая из «больших». Назовем это распределение бимодальным [5] и оценим, какую погрешность будет вносить использование формулы аддитивности фазовых сопротивлений при расчете теплопереноса в таком слое. Оценка производится для той же модели теплопе-реноса на частице, что и в монодисперсном слое.

Обозначим радиусы «больших» и «малых» частиц соответственно Яб и Ям и время их нахождения в слое тб и тм. Отношение этих величин обозначим следующим образом:

х = Лб/Ям; X = Тб /Тм. (15)

Объемную долю «больших» частиц, покидающих слой, обозначим у. Тогда средняя по объему температура дисперсной фазы на выходе из слоя Тк2 находится из соотношения

Тк2 = Ткб У + Ткм (1 - У),

где Ткб и Ткм — средние по объему температуры покидающих слой «больших» и «малых» частиц соответственно. Введем безразмерные средние по объему температуры частиц, покидающих слой:

Ф _ Т 0 - Т кб . Ф _ Т 0 - Т км

Фб _~ ~; Фм _■

Т 0 - Тс

Т 0 - Тс

Допустим для упрощения расчета, что коэффициент теплоотдачи в сплошной фазе ас одинаков для частиц разных размеров.

Определим критерии Био для «малых» и «больших» частиц соответственно

а СЯ„ асЯб

в/м _-г-^; в/б - с б

Они связаны соотношением В/б _ хЫм.

Тогда поток тепла в слое можно рассчитать аналогично выражению (2):

02 = С р8 (Т0 - ТК2) О = СрО(Т0 - ТС)Ф2, (16)

где Ф2 = уФб + (1 - У)Фм.

Выражение для расчета функций Фм и Фб имеют вид, аналогичный соотношениям (3) и (4) с учетом (15):

Ф = 1 -V В _ЦмА • Ф = 1 -V В /*2

м МП > б (

би

П=1

6 (єіпЦм„ - Дм„ сотЦм„)2 о = 6 (єіпЦб„ - Дб„ сотЦб„)2 , = ат

м

г) ~ ^ гм« г ми гм^ о 4---г'бп г'бп г'бп-' ^

где Вмп = 3 . , Вбп = 3 • , м = 2 '

ИЗмп И™ - Ими ^ Цмп Ибп Ибп - 5Ш Ибп ^ Ибп К

Коэффициенты цмп и цбп являются решениями уравнений tg цмп = И

^ Ибп =

Вм -1)

Дби

Вб -1)

Теперь вычислим поток тепла через межфазную поверхность в слое Рщ2 с помощью формулы аддитивности фазовых сопротивлений. При расчете используется тот же метод, что и для монодисперсного слоя, с учетом, однако, наличия частиц разных размеров.

Для бимодального распределения средний температурный напор в слое ДТ2 находится по аналогии с формулой (6):

дТ2 = - Ф2(Т0 - Т). (17)

2 1п(1 - Ф2)

Аналогично выводится выражение для коэффициента теплоотдачи в дисперсной фазе:

Ся Р я° а я 2 = А—1п(1 - ф2г),

где ф2я = У Фб + (1 - у) Фм; Фям = 1-^~1Пе^Жп‘м ; Фяб = 1-^~Пе "2 ; А2 —

п=1 П п п=1 П п

межфазная поверхность в слое.

С учетом различия времени пребывания в слое частиц разных размеров формула для А2 приобретает вид

А2 = 3СТм@ , (18)

2 ^

где © = (1 - у + ух)/х.

Коэффициент теплопередачи для бимодального распределения а2 можно рассчитать по формуле

1 1п(1 - Ф 2 я )

а2 = “[-----— = ас , „ ^ . (19)

. +____ Іп(1 - Ф2я ) - 3ВімІм®

а с

Тогда

ас ая2

баг2 = А2 а2 (20)

Если погрешность, возникающую при расчете теплового потока с помощью формулы аддитивности фазовых сопротивлений в дисперсном слое с бимодальным распределением частиц определить как єая2 = 1 - Qаg2IQ2, то, используя формулы (16)-(20), можно получить выражение

Є ая 2 = 1 —

1

ІП(1 - Ф2

(21)

1п(1 - Ф2& ) 3Б1и Ги ©_

Очевидно, что величина еаг2 является функцией пяти аргументов: /м, Б/м, х, х и у. Однако, как правило, размеры частиц и скорости их движения в слое связаны определенными зави-

1

1

симостями. Предположим, что квадрат скорости движения частицы в слое пропорционален ее радиусу (как в случае витающих частиц при уносе в контактных теплообменниках [7]).

Тогда величины х и х связаны соотношением х = 1/>/Х. На рис.2 и 3 показаны полученные на основе формулы (21) зависимости.

1- Y

Рис.2. Зависимость величины еад2 от Ь для бимо- Рис. 3. Зависимость величины еад2 от у для бимодального распределения. 1 — В/м = 5; х = 5; дального распределения. 1 — В/м = 5; х = 5; ^ = 0,2;

у = 0,2; 2 — В/м = 5; х = 10; у = 0,2; 3 — В/м = 3,5; 2 — В/м = 5; х = 10; tм = 0,2; 3 — В/м = 3,5; х = 10;

х = 10; у = 0,2 tм = 0,2

Анализ данных зависимостей показывает, что погрешность в расчете теплопереноса с использованием формулы аддитивности фазовых сопротивлений в дисперсных слоях, содержащих частицы разного размера, может достигать значений, значительно искажающих результаты расчета. При этом, как и в случае монодисперсного слоя, результаты занижаются. Погрешность увеличивается с увеличением времени пребывания частиц в слое /м, с увеличением отношения размеров частиц х и имеет максимум при изменении объемного содержания фракций дисперсной фазы у.

Выводы

Таким образом, использование формулы аддитивности фазовых сопротивлений при расчете процессов переноса в дисперсных слоях приводит к незначительным погрешностям в случае, когда одно из фазовых сопротивлений значительно меньше другого. Если же они близки по значениям, то нужно оценить возможные погрешности, или расчет необходимо вести по методике, основанной на учете фазовых сопротивлений на каждой частице с последующим осреднением результата по слою. Это особенно важно учитывать при расчетах массопереноса в дисперсных слоях, так как в этом случае соотношение фазовых сопротивлений зависит от констант равновесия, которые являются функциями параметров процесса.

1. Броунштейн Б.И., Щеголев В.В. Гидрогазодинамика, массо- и теплообмен в колонных аппаратах. Л.: Химия, 1988. 336 с.

2. Clift R., Grace J.R., Weber M.E. Bubbles, Drops and Particles. N.Y.:Academic Press, 1978. P. 380.

3. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. 599 с.

4. Гавриш К. А., Лапин О.В., Муравьев А.Г. // Тез. докл. VI науч. конф. преподавателей, аспирантов и студентов НовГУ им. Ярослава Мудрого. В.Новгород, 1999. С.48-49.

5. Hofer H. // Ger. Chem. Eng. 1983. V.6. P. 113-118.

6. Шендеров Л.З. Автореф. дис. ... канд. техн. наук. М., 1984. 24 с.

7. Контактные теплообменники / Таубман Е.И., Горнев В. А., Мельцер В.Л. и др. М.: Химия, 1978. 256 с.