Оценка параметров моделей линейного предсказания по спектральной плотности мощности Текст научной статьи по специальности «Математика»

На рис. 5 представлена зависимость (15) от длиныгвдающейволны X для случая, коїда радиус сферы a = 0,15 см, постоянная решеїкий = 2,3 см, xs=0 = 1,15 см.

Из выражения (15) и рис. 5 следует, что коїда длина рассеиваемой волны соизмерима с постоянной решетки X ~ d , то в решетке возникают решеточные структурные резонансы электромагнитного взаимодействия сфер двух типов — электрического и магнитного.

Анализируя резонансные условия, найдем, что при сближении сфер решетки резонансные значения длин волн для внутренних электрических резонансов сфер увеличиваются, адля внутренних магнитных резонансов сфер уменьшаются относительно аналогичных резонансных значений длин волн одиночной сферы.

УДК 621.396.2.: 621.316.2

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛЕЙ ЛИНЕЙНОГО ПРЕДСКАЗАНИЯ ПО СПЕКТРАЛЬНОЙ ПЛОТНОСТИ МОЩНОСТИ

ТИХОНОВ В.А., ДОРОВСКИЙв.в,

ГОРЕЛОВ Д.Ю., ЛИХОШЕРСТОВ Е. С.________

Приводится способ расчета параметров моделей авторегрессии и скользящего среднего по заданной СПМ случайного процесса или АЧХ линейной системы. Описываются системы уравнений для расчета параметров моделей. Анализируются возможности применения такого метода оценки параметров моделей для различных форм СПМ или АЧХ.

Модели авторегрессии (АР) и скользящего среднего (СС) широко применяются в анализе коррелированных слу-чайныхпроцессов, например, при подавлении коррелированных помех [1], для коррекции каналов связи [2], в системахкодирования-декодирования речевых сигналов в цифровых системах связи [3]. Модели АР и СС используются в параметрическом спектральном анализе, который имеет ряд преимуществ над класси-

3. Заключение

Полученное в данной задаче решение учитывает влияние структурных резонансов электромагнитного взаимодействия магнитодиэлектрических сфер решетки на внутренние резонансы сфер, входящих в соответствующие резонансные зоны сфер [5], и их совместное влияние на рассеянное поле, что рассмотрено впервые.

Это решение может быть полезно при создании композиционных материалов с сильной дисперсией c использованием области аномальной дисперсии решеток, изучении влияния дефектов решетки на рассеяние и распространение полей, а также для разработки устройств по управлению полем излучения электромагнитных излучателей, в которых используются тонкие эффекты взаимодействия решеточных структурных резонансов и внутренних резонансов сфер решетки.

Литература: 1. Козарь А.И., Хижняк Н.А. Отражение электромагнитных волн от резонансной диэлектрической сферы в волноводе // Укр. физ. журн. 1970. Т. 15. С. 847-849. 2. Хижняк Н.А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наук. думка, 1986. 279 с. 3. Козарь А.И. Рассеяние электромагнитных волн системой плоских однослойных решеток резонансных магнитодиэлектрических сфер // Радиотехника. 2002. Вып. 130. С.42-53. 4. Левин Л. Современная теория волноводов. М.: Изд-во иностр. лит. 1954. 216с. 5. Козарь А.И. Рассеяние электромагнитных волн в волноводе с однородными магнитодиэлектрическими сферами // Радиофизика и электроника. Харьков: Ин-т радиофизики и электроники НАН Украины. 2002.

7. Спец. выпуск. С. 183-189.

Поступила в редколлегию 08.01.2004 Рецензент: д-р техн. наук, проф. Стороженко В.А.

Козарь Анатолий Иванович, канд. физ.-мат. наук, профессор кафедры физики ХНУРЕ. Научные интересы: радиофизика. Адрес: Украина, 61103, Харьков, ул. 23 Августа, 39, кв. 51, тел. 33-61-43 дом., 702-13-45 раб.

ческими методами спектрального оценивания при анализе выборок конечной длины [4]. Классическим примером успешного применения модели АР является анализ солнечной активности [5].

Параметры моделей АР и СС находятся по известным выборкам сигналов [5], функциям корреляции или параметрам СПМ случайного процесса [6, 7]. Однако проблема оценки параметров модели линейного предсказания по заданным спектральным отсчетам, как правило, не рассматривается. Вместе с тем, при решении ряда задач необходимо оценить параметры моделей АР или СС, если известны отсчеты СПМ процесса или заданы значения АЧХ некоторой линейной системы. Найденные таким образом параметры моделей можно использовать для анализа случайных процессов или систем с известными спектральными характеристиками, для построения моделей линейного предсказания, для синтеза формирующих или обеляющих фильтров. С помощью формирующих фильтров получают имитационные случайные процессы с заданными статистическими характеристиками.

Целью работы является создание методики расчета параметров моделей АР и СС по известным значениям СПМ.

РИ, 2004, № 2

9

2

Задачи: формулировка нового подхода к синтезу моделей линейного предсказания в частотной области, вывод уравнений для нахождения параметров моделей АР и СС, оценка возможности применения полученной модели для различных форм спектров.

Для синтеза моделей АР и СС обычно анализируется выборка коррелированного случайного процесса. По полученной оценке корреляционной функции рассчитывают коэффициенты модели АР, используя уравнение Юла-Уокера [5]:

R = £ фікі-і , (1)

i—1

где Фр+і — коэффициенты АР; p — порядок модели АР; Rj — значения функции корреляции.

Коэффициенты модели СС рассчитываются с помощью системы уравнений вида [5]

- Q[j]+Q[i]Q[j+1] +

q 2

і+ £ Q2[i]

i=1

r[j] = \

+ Q[q ~ j]Q[q]

q 2

і+ £ Q2[i]

i=1

0, j>q

1 ^ j ^ q

(2)

здесь Q[i] — коэффициенты, а q — порядок модели СС; rj — коэффициенты корреляции.

В некоторых случаях модели АР или СС строят по известной или задаваемой корреляционной функции. Для этих целей в уравнения (1) или (2) подставляют значения корреляционной функции и определяют параметры моделей. Порядок модели оценивают по близости коэффициента АР или СС к нулю, используя некоторый критерий.

Рассчитать коэффициенты АР или СС можно по заданным параметрам СПМ процесса: частоте пика fi и их ширине полосы Afi [3, 4]. Для этих целей используются соотношения, устанавливающие связь коэффициентов АР и корней характеристического уравнения, зависящих от указанных параметров спектра. При этом порядок моделей АР и СС определяется числом пиков СПМ.

Однако для сложных форм спектра его описание с помощью параметров fi и Afi вызывает затруднение . В таких случаях коэффициенты моделей АР и СС можно рассчитать непосредственно по отсчетам СПМ. Для этой цели необходимо решить задачу, обратную параметрическому спектральному оцениванию, т.е. по выборке СПМ найти параметры подходящей модели линейного предсказания.

АР оценка СПМ находится согласно выражению

S(f)

Da

1 - £ ФіЄхр(- j2 nifT) i=1

2

(3)

где t — интервал дискретизации сигнала. Формула для СС оценки СПМ имеет вид

S(f)

1 - £Qnexp(-j2nnfT)

n=1

Da

(4)

Модель АР наиболее точно описывает случайные процессы, спектры которых содержат острые пики и не имеют глубоких впадин. Для моделирования случайных процессов, спектры которых содержат широкие пики и острые минимумы, больше подходит модель СС. Поэтому для разных форм СПМ необходимо искать соответствующие достаточно точные модели линейного предсказания.

Будем полагать, что значения S(f) известны. Тогда из (3) и (4) получаем уравнение

m 2 m

1 - £ Gicos2 nifT _ i—1 _ + £ Gisin2 nifT _i=1 _

Da

K(f) ,

(5)

где Gi = Фі , K(f) = S(f) и m = p для модели АР; Gi = Qi, K(f) = 1/S(f) и m = q для модели СС. В уравнении (5) переменная f известна, а неизвестными являются параметры Gi. Вид полученного уравнения (5) практически одинаков для моделей АР и СС. Поэтому они будут рассматриваться совместно.

Уравнение (5) путем несложных преобразований можно представить следующим образом:

1+ £ G2 +2

i=1 n=1

cosn2nfT| -2Gn + £2GiGi+n i=1

Da

K(f)(6)

Введя обозначения

m—n

1+ £ G2 = X0 , i=1

m-n

- 2Gn + £2GiGi+n = Xn ,

i=1

уравнение (6) преобразуем к виду

m

X0 + £ Xncosn2 nfT

n=1

Da K(f).

(7а)

(7б)

(8)

Заметим, что число неизвестных параметров Xn на единицу больше количества оцениваемых коэффициентов АР или СС. Поэтому для нахождения Gp будем использовать только первое уравнение (7а).

Естественно полагать, что в общем случае спектральные отсчеты S(f) являются случайной функцией частоты. Тогда оценки параметров X0 , Xn можно найти на основе множественного регрессионного анализа. Уравнение регрессии, с учетом (8), представляется в виде

Da m

Kf) = X0 + £Xnc°sn2nfT + ef , (9)

где ef — ошибки уравнения регрессии. Метод наименьших квадратов позволяет получить систему m уравнений вида

N N D

£ (X0 + X1cos2 nfnT+... + Xmcos2 fj) = £ —7^, n=1 n=1K(fn)

N N D

£ (X0 + X1cos 2 nfnT+... + Xmcos 2 nfn T) ,(10)

n =1 n=1K(fn)

10

РИ, 2004, № 2

N

2 (X0cos2 nmfnT+ Xicos2 nfnTcos2 nmfnT+ ... n=1

... + Xmcos2 2 nmfnT) =

^ Dacos2nmfnT n=i f

где N — число спектральных отсчетов, используемых для оценки параметров моделей. Спектральные отсчеты лежат в интервале от минимальной частоты fmin до максимальной частоты fmax . Интервал выбирается таким образом, чтобы в него попали основные особенности спектра, а получаемые решения удовлетворяли необходимой точнос -ти модели.

Найденные из (10) коэффициенты регрессии подставляются в (7). Нелинейная система уравнений (7) имеет несколько решений в виде векторов параметров моделей. Из всех решений выбираются только действительные решения, по которым находятся параметрические оценки СПМ. В качестве параметров модели выбирается вектор, дающий наилучшее совпадение найденной по нему оценки СПМ с известным значением СПМ. Рассмотрим два примера получения оценок параметров моделей АР и СС с разными формами СПМ.

Пример 1. Оценка параметров моделей АР и СС по двумодовому спектру, описываемому выражением

S(f) _ K0iAf! + K02Af2

Vf2 + (f-f0i)2 д/Afl+(f-f02)2 , (11)

где f0i, Af;, K0i — частота, ширина полосы и мощность i -го пика соответственно. Параметры СПМ задавались следующими:

K0iAfi = 1; Afi = 45; f0i = 40;

K02Af2 = i; Af2 =420; f02 = 80 •

При нахождении коэффициентов модели АР использовались параметры: Da = i, минимальная частота fm;n = 0, максимальная частота fmax = i00, N = i00. Порядок модели АР выбирается как минимум в два раза больше количества пиков СПМ, расположенных на ненулевой частоте. Подходящие параметры модели АР были найдены при p = 5 .

Решив систему уравнений (10), а затем, подставив найденные параметры регрессии в (7), для данного примера получили 8 решений, из которых было выбрано одно, наиболее точно аппроксимирующее заданную СПМ (рис.1). Как видно из рис.1, моделируемая СПМ содержит довольно узкие пики. Так как СС спектральные оценки имеют широкие пики, то аппроксимация СПМ этой моделью дала худшие результаты (рис.2). Наиболее подходящая модель СС рассчитывалась при следующих параметрах: Da = 0,0i, fmin = 0 , fmax = i00, N = i00, q = 5 . В результате были получены 7 решений, из которых выбиралось наиболее приемлемое. Как и следовало ожидать, СПМ с довольно острыми пиками лучше описывается моделью АР.

Пример 2. Оценка параметров моделей АР и СС по одномодовой СПМ, описываемой выражением

_ (f-fm)2 i 2

S(f) = -=—e 2 Af

42% Af

(12)

Рис. 1. Аппроксимация узкополосной СПМ моделью АР: 1 — моделируемая СПМ; 2 — аппроксимирющая СПМ

Рис. 2. Аппроксимация узкополосной СПМ моделью СС: 1 — моделируемая СПМ; 2 — аппроксимирющая СПМ

Характеристики СПМ выбирались следующими: Af = 20, fm = 60 • При построении модели АР использовались параметры: Da = 0,01, fmin = i5 , fmax = i00, N = i00, p = 3 . Частота fm;n выбрана равной 15 по причине того, что при меньших ее значениях все решения системы (7) были комплексными. Наиболее подходящее решение дало оценку СПМ, представленную на рис. 3. Оценка коэффициентов модели СС по СПМ вида (12) проводилась при следующих параметрах: Da = 0,00i, fm;n = 0, fmax = i00, N = i00, p = 3 . Было получено 4 решения. На рис. 4 приведен спектр для вектора параметров, давшего минимальную ошибку аппроксимации. Анализ рис. 3 и 4 показывает, что, как и следовало ожидать, для широкополосных СПМ наилучшую аппроксимацию дает модель СС.

Найденные параметры модели АР могут не удовлетворять условию стационарности. Поэтому такие параметры нельзя использовать для синтеза формирующих фильтров. Однако эти модели можно применять для получения обеляющих фильтров. Подбором параметров, используемых при решении уравнений (7) и (10), можно попытаться найти подходящее решение, удовлетворяющее условию стационарности.

РИ, 2004, № 2

11

Рис. 3. Аппроксимация широкополосной СПМ моделью АР: 1 — моделируемая СПМ; 2 — аппрокси-мирющая СПМ

Рис. 4. Аппроксимация широкополосной СПМ моделью СС: 1 — моделируемая СПМ; 2 — аппрок-симирющая СПМ

Не все полученные предложенным способом параметры модели СС могут удовлетворять условию обратимости. Если они не удовлетворяют этому условию, то формирующий фильтр СС будет устойчивым, а обеляющий фильтр — неустойчивым.

Выводы. Новый способ оценки параметров моделей АР и СС позволяет строить модели линейного предсказания по известным СПМ или АЧХ. Научная новизна полученных результатов заключается в том, что впервые получены соотношения, позволяющие строить модели АР и СС не по выборкам

данных случайных процессов, а по их частотным характеристикам. Предложенный способ расчета коэффициентов АР и СС расширяет возможности применения моделей линейного предсказания, что имеет практическое значение при моделировании линейных систем и случайных процессов с заданными АЧХ и СПМ. В дальнейших исследованиях следует найти выражения для оценки параметров модели авторегрессии — скользящего среднего по выборке СПМ, а также определить параметры моделей для СПМ реальных случайных процессов.

Литература: 1. Haykin S. Radar signal processing. IEEE ASSP Magazine, 1985. Vol. 2. P. 2-18. 2. Куреши Ш.У.Х. Адаптивная коррекция // ТИИЭР. 1985. Т. 73, №9. С. 5 — 497. 3. Коротаев Г.А. Эффективный алгоритм кодирования речевого сигнала на скорости 4,8 кбит/с и ниже // Зарубежная радиоэлектроника. 1996. №3. С. 57-68. 4. Марпл.-мл. С. Л. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990. 584 с. 5. Бокс Дж, Дженкинс Г. Анализ временных рядов: Пер. с. англ. М.: Мир, 1974. Вып.1. 406 с. 6. Тихонов В.А., Русановский Д.Е., Тихонов Д.В. Еенерация имитационных случайных процессов // Радіоелектроніка та інформатика. 1999. №4 (9). С. 83-85. 7. Тихонов В.А., Бажина А.В., Тихонов Д.В. Моделирование широкополосных случайных процессов // Збірник наукових праць ХВУ. Х.: ХВУ, 2000. Вип. 4 (30).

Поступила в редколлегию 27.12.2003

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Волощук Ю.И.

Тихонов Вячеслав Анатольевич, канд. техн. наук, доцент кафедры РЭС ХНУРЭ. Научные интересы: теория линейного предсказания, негауссовы процессы, распознавание и кодирование речи, экономическая статистика. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-15-87, 700-59-01.

Доровский Владимир Витальевич, научный сотрудник РИАЛ НАН Украины. Научные интересы: радиоакустическое зондирование, спектральный анализ радиоакустических сигналов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, ул. Академика Проскуры, 12, тел: 43-05-01.

Горелов Денис Юрьевич, ассистент кафедры ОРТ ХНУРЭ. Научные интересы: статистический анализ временных рядов. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14.

Лихошерстов Евгений Сергеевич, студент ХНУРЭ, группа АРТ 99 — 2. Научные интересы: модели линейного предсказания. Адрес: Украина, 61166, Харьков, пр. Ленина, 14, тел. 702-15-87.

УДК 514.14:621.391

СИНТЕЗ ФРАКТАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ГИПОЦИКЛОИДЫ

ПАЩЕНКО Р.Э._______________________

Рассматривается фрактальная недифференцируемая функция, полученная на основе гипоциклоиды (астроиды), для синтеза фрактальных сигналов. Строится фрактальный сигнал, его фазовый портрет и спектр. Оценивается фрактальная размерность сигнала в зависимости от параметра р гипоциклоиды.

1. Постановка проблемы и анализ литературы

Исследования хаотической динамики в радиотехнике и электронике охватывают широкий круг проблем, включающий как поиск и изучение новых явлений и закономерностей, так и комплексное исследование динамики конкретных систем с прикладными целями. Среди направлений, связанных с исследованием сложной динамики, фигурируют разработка и изучение генераторов хаотических (фрактальных) колебаний в различных участках электромагнитного спектра [1], электронных цепях [2], гибридных системах с оптической бистабильностью [3], а также квантовых генераторах. Большое внимание уделяется изучению возникновения и развития хаотических колебаний и разработке основных типов

РИ, 2004, № 2

12