Оценка напряжений в матрице при деформации шарового включения Текст научной статьи по специальности «Физика»

----------------------------------- © А. В. Дугарцыренов, 2006

УДК 622.233:622 А.В. Дугарцыренов

ОЦЕНКА НАПРЯЖЕНИЙ В МА ТРИЦЕ

ПРИ ДЕФОРМАЦИИ ШАРОВОГО ВКЛЮЧЕНИЯ

я ж ри деформации включения в -1-І неоднородной горной породе в ней возникает локальное поле напряжений, которое может привести к появлению микротрещин и разупрочнению породы. Для оценки напряжений рассмотрим шаровое включение радиуса г0 в неограниченной матрице. Пусть в результате внешних воздействий радиус включения увеличивается при свободном расширении до Я0 (рис. 1). В силу

упругого противодействия матрицы равновесный радиус включения будет меньше и равен Я12 < Я0. Равновесный

радиус достигается с одной стороны в результате расширения сферической полости в матрице от первоначального радиуса г0 до равновесного Я1;2, с другой

стороны - вследствие всестороннего сжатия включения от Я0 до Я1; 2. Процесс расширения включения считаем квазистатическим, а деформации изо-

тропными и адиабатическими. Тогда с учетом перемещений при расширении полости в неограниченной среде и сжатии шара [1,2], получим

R1; 2 = Г0 +1 и 11 = Сл ' Г0 ;

Я1; 2 _ Я 0 | и 2 \ _ С2 ' Я 0

I.. \_ РрС1 +У.)Г0 I |_

и _ 2е И иА _

(1)

Р0О - 2 у) Я С Е,

^1 _1 +

_ 1 -

РрО + У)г0 . 2Е1 ’

Р0(1 - 2 у) Я 0 Е 2

где и,, V, Е I (/ = 1,2) - соответственно

перемещения, коэффициенты Пуассона и модули упругости (индекс 1 относится к матрице, 2 - к включению); и С2 -

упругие коэффициенты, учитывающие соответственно деформацию расширения полости в матрице и сжатия включения; р0 - давление на контакте включения и матрицы (на поверхности сферы радиуса RV2). Отсюда находим условие

равновесия

2Е,

Рис. 1

Г,к

Рис. 2

Мг

—'

20 40 60 80 гг, 100

Рис. З

Радиальные, полярные и азимутальные напряжения в матрице определяются соответственно

формулами для расширения

сферической полости под действием давления р0 , которые с учетом

величины Я1;2 (г > Я12) приводятся к

виду: ^

аг =-Ро I I =-Ро^13|Г0-

. (3)

(4)

Р о =

1 + V. 1 - 2у. г.

+ _^С1 +а2(Т - го)]

, (5)

Соответственно для коэффициентов ^1 и £2 имеем

^1 -1 + -

а2(Т - То)

1 +

£ = 1 -

а2(Т - То)

1 + -Е2~-^+^ + а2(Т - То)

(6) . (7)

Уравнения (3) определяют локальное поле напряжений вблизи включения.

Напряжения в включении являются сжимающими и не зависят от координаты г :

аг -°9-°¥,- - Ро .

Величина Яо находится при условии свободного расширения включения, исходя из конкретных физических воздействий. Последнее возможно в частности при тепловом (СВЧ) и магнитост-рикционном воздействиях на включение. Например, при свободном тепловом расширении включения имеем

Яо - Го = а2(Т - То)-Го ^ Яо =

- Го [1 +а2(Т - То)]

где а2 - коэффициент линейного теплового расширения включения; Т и То -соответственно текущая и начальная температура включения.

Отсюда выражение (2) с учетом (4) преобразуется к виду

а2(Т - То)

2Е1 1 - 2 V.,

Подставляя Ро и £1 из (5) и (6) в соотношения (3) находим напряжения в матрице вблизи включения. Графики зависимости контактного давления Ро и коэффициентов £1 и £"2 от текущей температуры согласно (5),(6) и (7) для магнетитового включения в матрице из кварца (железистый кварцит) при тепловом воздействии даны соответственно на рис. 2 и 3. В пределах изменения температуры до 100 оС зависимости Ро(Т) , ^1(Т) и С2Т)

имеют практически линейный вид. Характер изменения напряжений в матрице по мере удаления от контакта представлен на рис. 4. Напряжения имеют локальный характер - на расстоянии 3-х радиусов Го их величины практически равны нулю. Максимальные растягивающие напряжения

достигаются на контакте магнетит-кварц. Их величина превышает предел прочности кварца на растяжение. Нетрудно видеть, что Я1;2 - £ го - £2 Я о.

Равновесный радиус Я12 включения и величина Яо , характеризующая

его свободное расширение практически линейно зависят от температуры (рис. 5). При этом как и предполагалось, неравенство Я12 < Яо выполняется на

всем диапазоне изменения температуры.

В качестве второго примера рассмотрим ту же систему «магнетит-кварц», в которой деформация включения магнетита вызвана магнитострикционным

0.001

0.0015

0.002

0.0025

Г , М 0.003

Рис. 4

эффектом. Максимальное относительное удлинение включения при магни-тострикции составляет 8м ~ 40-10-6 .

Отсюда, при свободном расширении включения получим

£М ' Г0 ^ К - Г0 [1 + £М ].

К0 - Г0

Подставляя полученные величины в выражение (2), находим

Р 0 -

1 + У + 1 - V

2 Е1

Е 2

: 5,1406 -106 Па

[1 + £Ы ]

(8)

С'-

1 +

2 Е х 1 - 2у2

1,00003

1 + у1

[1 + £м ]

(9)

Расчет радиальных и полярных напряжений проводим по формулам (3) с учетом (8). Согласно (8) контактное давление относительно мало, поэтому и напряжения должны быть небольшими, что и подтверждают графики на рис. 6.

Максимальные растягивающие (полярные) напряжения в матрице реализуются на контакте включения и матрицы и достигают величины 2,57 10 6 Па или 26,21 кгс/см 2, что существенно меньше (примерно в 8 раз) предела

прочности <Ур кварца на растяжение

(ор * 210-105 Па).

Приведенные примеры показывают, что использование эффекта магнитост-рикции для разупрочнения же-лезистых кварцитов малоэффективно, в то же время разупрочнения можно достичь, применяя такие физические явления, ко-

1. Бреховских Л.М., Гончаров В.В. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн). - М.: Наука, 1982. 336 с.

торые приводят к нагреву включений в горной породе. В частности, согласно проведенным оценочным расчетам, эффективным с позиции разупрочнения породы является СВЧ нагрев. Оптимизация параметров СВЧ воздействия требует специальных экспериментальных исследований.

-------- СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теор. физика. т. 7. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. 248 с.

Коротко об авторах

Дугарцыренов Аркадий Владимирович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Физика горных пород», Московский государственный горный университет.

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ ДИССЕРТАЦИИ

Автор Название работы Специальность Ученая степень

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ НАУЧНЫЙ

ЦЕНТР ПО БЕЗОПАСНОСТИ РАБОТ В УГОЛЬНОЙ ПРОМЫШЛЕННОСТИ ВостНИИ

ПЛОТНИКОВ Евгений Анатольевич Обеспечение безопасности при отработке ударно- и выбросоопасных угольных пластов в зонах влияния разрывных нарушений и передовых выработок 05.26.03 25.00.20 к. т. н.