CC BY
36
Оценка нахождения реконфигурируемой вычислительной системы в состояниях эффективного функционирования А.А. Строцев, А.А. Андреев
Южный Федеральный университет, г. Ростов-на-Дону
По состоянию на июнь 2012 года в соответствии с рейтингом и описанием 500 самых мощных общественно известных компьютерных систем мира около 80% суперЭВМ реализованы в рамках архитектуры кластерных вычислительных систем (КВС). Поскольку для обеспечения требуемой вычислительной производительности кластерная архитектура вычислительных систем подразумевает наличие в своём составе достаточно большого числа кластеров (а тем более их узлов), то одним из недостатков таких систем является относительно их невысокая надёжность [1] по показателю вероятности нахождения в состоянии, при котором они соответствуют всем требованиям нормативно-технической и (или) конструкторской (проектной) документации. Поскольку закреплённой в ГОСТ [2] основой для оценки сложных технических систем в условиях риска является аппарат дискретных марковских случайных процессов, а ряд факторов (причин неисправностей) могут не иметь вероятностного описания, то в [3] разработана методика теоретико-игровой оценки нахождения КВС в состояниях эффективного функционирования на основе марковской модели.
С другой стороны, тенденцией развития КВС является постепенный переход от их применения для решения в основном исследовательских и проектировочных задач к применению в различных системах управления реального времени. В таких системах совокупность решаемых задач требует интенсивного информационного обмена, что делает их «сильносвязанными». При этом для этого класса задач реальная производительность КВС существенно снижается и не превышает 5-10% от декларируемой пиковой производительности системы [4]. Как показано в [5] - [7], причинами этого является несоответствие архитектуры суперкомпьютера структуре решаемых задач. Для преодоления этого несоответствия в НИИ МВС ЮФУ разработана концепция создания реконфигурируемых вычислительных систем (РВС), т.е. систем с динамически перестраиваемой (перепрограммируемой) архитектурой, позволяющей создавать на её базе структуру проблемно-ориентированных вычислителей, соответствующую структуре решаемой задачи [7], [8]. Поскольку РВС, как и КВС, состоят из большого числа элементов, то задача оценки их надёжности в рамках создания отказоустойчивых вычислительных систем [9], [10] также является важной. Однако непосредственное применение известных методик, например, представленной в [3], невозможно, т.к. они не учитывают структуру проблемно-ориентированных вычислителей, реализуемых в РВС.
Таким образом, разработка методики теоретико-игровой оценки нахождения реконфигурируемой вычислительной системы в состояниях эффективного функционирования на основе марковской модели, учитывающей структуру проблемноориентированных вычислителей, является актуальной задачей.
Пусть РВС состоит из базовых модулей , і = 1,1, каждый из которых включает
проблемно-ориентированные вычислители Cj , і = 1,1, ji = 1, Ji (описание базовых модулей
семейства РВС, состоящих из элементов, в частности, из ПЛИС, модулей памяти SDRAM, подсистемы питания, LVDS-каналов и пр., представлено в [4]).
В соответствие с ГОСТ [2] для описания сложной технической системы в классе марковских процессов необходимо ввести понятие состояния и перечислить все возможные состояния системы. Для этого, как и в [3], обозначим наборы двоичных чисел
разрядности Я = 2 J¡ в виде пк ( к = 0, К , К = 2Я -1), где каждый г-й разряд ( г = 0, Я -1)
характеризует состояние соответствующего элемента базового модуля РВС: разряд (Я-1)
- состояние элемента С11,..., разряд ( Я - J1) - состояние элемента Си^ , разряд (Я - J1 -1) -
состояние элемента С21,., 0 разряд - состояние элемента Сц^ . При этом нулевое
значение в разряде обозначает неисправность соответствующего элемента базового модуля РВС, а единичное - его работоспособное состояние.
Однако в отличие от методики, рассмотренной в [3] для КВС, под состоянием РВС нельзя понимать совокупность состояний её любых отдельных элементов, и представить конечное множество состояний РВС выражением
Я =&. V-. ^}.
поскольку такая формализация не будет отражать учёт структуры РВС.
Для такого учёта: 1) под элементами базовых модулей будем понимать их конструктивные элементы, которые при поиске и устранении неисправности базового модуля подлежат оперативной замене; 2) положим, что для решения задачи в РВС формируется V проблемно-ориентированных вычислителей - ПОВу, V = \,У; 3) введём в
рассмотрение множества Ь = ^ :(/, ji) , 1Ч = 1, \ , С ц е ПОВv}, V = \у, где С\к е ПОВу
означает принадлежность j ¡ -го элемента базового модуля М 1 v-му проблемноориентированному вычислителю.
Тогда можно определить наборы двоичных чисел разрядности V в виде р2,
г = 0,2 ,2 = 2V -1, где каждый Ь -й разряд ( Ь = 0У -1) характеризует состояние соответствующего проблемно-ориентированного вычислителя РВС: 0 разряд - состояние вычислителя ПОВх,..., разряд (Р-1) - состояние вычислителя ПОВV. При этом нулевое
значение в разряде обозначает неисправность соответствующего проблемноориентированного вычислителя, а единичное - его работоспособное состояние.
Тогда под состоянием РВС, учитывающим структуру проблемно-ориентированных вычислителей, можно понимать совокупность их состояний, каждое из которых определяется состоянием элементов из соответствующего множества , V = 1, V. В свою очередь, конечное множество состояний РВС определяется выражением
Состояния 8р , г = 0,2 образуют Я групп с признаком принадлежности к группе
, g = 0, Я -1 по общему числу единиц в двоичном числе р2, равном g . Группы,
отличающиеся по номеру на единицу, являются соседними. Множество, образованное парами соседних состояний, обозначим .
На основе анализа функционирования РВС может быть получен граф состояний (диаграмма состояний-переходов) Г = (£,и), и - множество дуг графа, с интенсивностями
переходов Лг^ , (г, г1) е 2 = [г,):^Рг,£Рг1 е8с,г=0,2,г1 =0,2}, учитывающими действие случайных
факторов.
Во множестве Б можно выделить подмножество состояний £э, обеспечивающих эффективное функционирование РВС в системе управления реального времени с учётом отказоустойчивости, т.е. состояний, обеспечивающих удовлетворения требований к ней с заданными количественными характеристиками. В этом случае показателем эффективности РВС может являться стационарная (предельная) вероятность нахождения системы в одном из состояний из множества £э.
¡-=1
(1)
Тогда в условиях, определяющих возможность существования стационарных вероятностей нахождения системы в соответствующих состояниях Pz = P(Sp ), z = 0, Z (представленных, например, в [11]), искомая оценка может быть получена по выражению
P{S,) =£ Pz , (2)
а для нахождения Р2 = Р(5р ), г = 0, Z необходимо решение системы алгебраических уравнений вида:
-Р IX, + ТРЛ = 0. г = 0,Z; ^Р = 1- (3)
г =0 -1=0 г=0
(: ,-1 )еZ (-1,-)еZ
Для получения оценки стационарной вероятности нахождения РВС в одном из состояний её эффективного функционирования по выражениям (2), (3) необходимо знание
интенсивностей Л .
--1
Однако, при переходе из состояний, входящих в группу Оё , в состояния из группы Оё-1 возможны ситуации, для которых неисправность соответствующего проблемноориентированного вычислителя связана с несколькими причинами, определяемыми неисправностью элементов из соответствующего ему множества . V = 1. V . При этом
локализация неисправности (действия, направленные на идентификацию неисправной составной части или нескольких составных частей на соответствующем уровне разукрупнения [12]) однозначно влечёт и устранение этой неисправности. Например, локализация неисправности проблемно-ориентированного вычислителя осуществляется путём последовательной замены обеспечивающих его работу элементов базовых модулей (из соответствующего ему множества Lv, V = 1. V), рассматриваемых в качестве причин неисправности, на достоверно работоспособные. Обозначим множество пар таких состояний через 5сн. Тогда, если 5р^ е , я е ое и ^ е а?-1, то интенсивность перехода
из состояния в состояние неизвестна, т.к. зависит от стратегии локализации-
устранения неисправности и её причины. Если вероятности появления этих причин неизвестны или их оценки статистически не достоверны, то можно воспользоваться теоретико-игровым подходом, который является гарантированным в смысле достижения ситуации равновесия в антагонистической игре с матрицей выигрышей первого игрока
- (4)
p
Решение игры в чистых стратегиях (при наличии седловой точки в матрице (4)) позволяет определить искомую интенсивность в виде:
Л?2'Pz1 = max min 4Pz2'Pz1 j
Pz2’ Pz, jpz, ' Pz2 iPz2' Pz, jPz,' Pz2 PZ1’ PZ1 PZ1’ P'2
= min max Лр2'р . (5)
jP P iP P ‘Pz2 ' Pz1 1 Pz1' Pz2
J Pz1 ' Pz2 Pz2 ' Pz1
Если равенство (5) не выполняется, то решение игры X* = arg max (min H р2'p (X, Y)), Y* = arg min(max H p2'p (X, Y)),
^ P2 ' Pz1 Jpz1 ' Pz2
H = V V Лр2 'Pz1 . E n. может быть получено на множествах смешанных
pz2 ' pz1 jpz1 ' pz2 pz2 ' pz1 jpz1 ' pz2
iPz2' Pz1 1 jPz1' Pz2 1
стратегий M#' M, ( X eM^ ' Y eM,' X = (£&... En )T ' Ei ^ 0' i = 1' n, Y = (шт-Пт )
T
Spz eSэ
п ¡> 0, j = 1, т, = 1, ТП]= 1) как результат решения прямой и двойственной задач
¿=1 j=l
линейного программирования [4].
При этом в качестве оценки неизвестной интенсивности Л принимается её
математическое ожидание Н Рг’р (X *, У *).
Тогда методика может быть представлена в виде следующей последовательности операций:
1. Формирование множества 5 состояний РВС (1).
2. Оценка состояний по эффективности функционирования РВС в системе управления реального времени, учитывающая структуру проблемно-ориентированных вычислителей, и определение множества .
3. Формирование диаграммы состояний-переходов и определение множества я™
пар состояний с неизвестными интенсивностями переходов.
4. Решение теоретико-игровых задач, определяемых матрицами (4) для всех пар индексов из множества я™, с получением оценок неизвестных интенсивностей переходов
в виде значений интенсивностей (5) или их математических ожиданий НРп’р (х *, У *).
6. Решение системы линейных алгебраических уравнений (3) относительно предельных вероятностей нахождения системы в состояниях из множества 5.
7. Определение оценки вероятности нахождения кластерной вычислительной системы в состояниях эффективного функционирования по выражению (2).
Таким образом, разработанная методика позволяет получить гарантированную в теоретико-игровом смысле оценку нахождения реконфигурируемой вычислительной системы в состояниях эффективного функционирования в системах управления реального времени, учитывающей структуру проблемно-ориентированных вычислителей, при деградации её структуры в результате отказов отдельных элементов базовых модулей.
Кроме того, на основе полученных оценок могут быть реализованы алгоритмы оптимизации процессов поиска и устранения дефектов РВС. Для малого числа реализаций игровой ситуации применимы модели и методы решения смешанного расширения матричных игр неклассического типа, представленные в [13].
Литература:
1. Наумов А. Блейд-система T-Blade 2 // Суперкомпьютеры, 2010. - № 1. - С. 46,
47.
2. ГОСТ Р 51901.15-2005 Менеджмент риска. Применение марковских методов. -М.: Стандартинформ, 2005.
3. Строцев А.А. Методика теоретико-игровой оценки нахождения кластерной вычислительной системы в состояниях эффективного функционирования на основе марковской модели // В сб. «Суперкомпьютерные технологии (СКТ-2012) // Материалы 2й Всероссийской научно-технической конференции. - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2012. - 410 с». - С. 192 - 196.
4. Дмитренко Н.Н., Каляев И.А., Левин И.И., Семерников Е.А. Реконфигурируемые вычислительные системы для решения вычислительно трудоёмких задач // В сб. «Труды Всероссийской научной конференции (22-27 сентября 2008 г., г. Новороссийск).- М.: Изд-во МГУ, 2008. - 468 с. ISBN 978-5-211-05616-9» . - С. 265 - 270.
5.Алдышев О.С., Дикарев Н.И., Овсянников А.П. и др. СуперЭВМ: области применения и требования к производительности // Известия ВУЗов. Электроника, 2004. -№1. - С.13-17.
6. Воеводин В.В., Воеводин Вл.В. Параллельные вычисления. -С.-Пб.: «БХВ-Петербург», 2002. -599 с.
7. Каляев И.А., Левин И.И. Модульно-наращиваемые многопроцессорные системы со структурно-процедурной организацией. - М.: Янус-К, 2003. - 380 с.
8. Каляев И.А., Левин И.И. Семерников Е.А., Шмойлов В.И. Реконфигурируемые мультиконвейерные вычислительные структуры / Под ред. И.А. Каляева. - Ростов-на-Дону: Издательство ЮНЦ РАН, 2008. - 320 с.
9. Авиженис А. Отказоустойчивость - свойство, обеспечивающее постоянную работу цифровых устройств // ТИИЭР, 1978. - Т.66. - №10. - С. 5-25.
10. Катаев О. В. Методология проектирования отказоустойчивых вычислительных систем // В сб. «Суперкомпьютерные технологии (СКТ-2012) // Материалы 2-й Всероссийской научно-технической конференции. - Ростов-на-Дону: Издательство Южного федерального университета, 2012. - 410 с». - С. 220 - 224.
11. Макаров Ю.Н., Строцев А.А. Методология исследования сложных организационно-технических систем, функционирующих в конкурентной среде при ограниченных ресурсах. Монография. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2010. - 132 с.
12. ГОСТ Р 27.002-2009 (Р 53480-2009). Надёжность в технике. Основные понятия. Термины и определения. - М.: Стандартинформ, 2011.
13. Строцев А.А. Построение смешанного расширения матричной игры «неклассического» типа // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1998. - № 3. - С. 119-124.
