CC BY
29
УДК 519.21
ОЦЕНКА МАРКОВСКОГО ПРОЦЕССА ПО ЕГО ФРАГМЕНТАМ
БАСМАНОВ А.Е.
Рассмотрены неоднородные марковские процессы и предложен подход к построению оценки стохастической матрицы процесса по стохастическим матрицам его фрагментов. Такая оценка может быть найдена как решение задачи минимизации. Указанный подход применим и в случае, когда наблюдения фрагментов проведены в различные моменты времени.
1. Построение задачи минимизации
Одним из вариантов моделирования сложных физических и экономических систем являются марковские процессы. В [1] предложен подход к восстановлению показателей всей системы по характеристикам ее подсистем. Сформулированные условия такого синтеза и вычислительная процедура опираются на точные значения переходных вероятностей фрагментов (характеристик подсистем). Однако в реальных задачах эти значения, полученные из опытных данных, могут содержать ошибки. Рассмотрим случай, когда условие 1 теоремы о необходимых и достаточных условиях синтеза [1] (условие согласования) не выполняется, а условия 2, 3 выполнены. Это может быть в том случае, когда во фрагменты
pli,pl2,...,plm были внесены ошибки, например,
погрешности измерений. Будем искать такую матрицу P, которая бы минимально отклонялась от своих фрагментов.
Найдем k-ю строку матрицы P. В дальнейшем
.2 хj = А, і є Bkj; (3)
J єІі
Xj > 0, j = 1, 2, ... n. (4)
Это задача квадратичного программирования. Она имеет единственное решение, которое всегда можем найти. Целевая функция (1) при ограничениях (2)-
(3) имеет единственный и притом глобальный минимум. Функция (1) неотрицательна при любом значении Xj. Очевидно, что в случае, когда условие согласования выполнено, решение задачи минимизации x будет совпадать с решением x , найденным по методу, приведенному в доказательстве теоремы. Действительно, x** обращает целевую функцию (8) в 0, являющийся, в силу свойств целевой функции, глобальным минимумом.
Для нахождения оптимального решения задачи квадратичного программирования будем применять дифференциальный алгоритм [2, 3], представляющий, по существу, модификацию метода покоординатного спуска.
Пусть Xq — зависимая переменная, а xr — независимые (г = 1, 2, ... q-1, q+1, ... n). Тогда из (2) имеем
Xq = I- 2 Xr. . r ^q
Запишем частные производные от минимизируемой функции y (x, b) по независимым переменным xr, рассматривая их как производные сложной функции y (x, xq (x), b (x)), где x = (xb ... xq-1, xq+1, ... xn) — вектор независимых переменных. При этом учтём, что
flvix = -1; дМ д x г
Тогда,
1 i є Bkr
0 i « Bkr.
будем опускать индекс строки k и обозначать хj - p kj
— искомые элементы k-й строки матрицы P; p Iі = p kj
— заданные элементы k-й строки фрагмента ріі.
Введём множество Bkj = {i : k, j є Ii, 1< i <m}. Оно содержит номера тех множеств Ii, которые включают в себя индексы k, j одновременно. Заметим, что условие 2 теоремы эквивалентно тому, что Bkj ф 0 для любых k, j О IS.
Если бы условие согласования выполнялось, элементы k-й строки i-го фрагмента были бы пропорциональны соответствующим aлементамk-й стро -ки исходной матрицы:
Xj = Pipj , i є ^ j = 1 2 ... n.
Будем искать такие xj, сумма квадратов отклонений которых от величин Pj p Iі была бы минимальной. Это приводит к задаче минимизации:
y (x, Р) = 2 2 (xj - PiP^ji) ^ min • (1)
i єBkjєIi' J j x,p ; (1)
2 Xj = 1; (2)
j=i
Sy / 5 xr = dy / дxr +2 (дy / dpi)(dpi / дxr) +
i=1
+ (дУ / дXq)(д xq / д xr) = (5)
= дy / дxr + 2 ду/ дрі -ду/ дxq, r ф q.
i !EBkr
Аналогично можем получить соотношение для второй производной:
52У / 5x2 = 2|Bkr| -2 2
ієВкг
2 p rj
+4 2 pq + 2|Bkqr ф q.
iєBkr
(6)
В [2] показано, что необходимым условием минимума для задачи (1)-(4) является равенство нулю условных производных по положительным независимым переменным (5) и неотрицательность условных производных (6) по нулевым независимым переменным (условие Куна-Такера): dy/dxr = 0, если xr > 0, dy/dxr і 0, если xr = 0, req.
Кроме того, ввиду выпуклости целевой функции и области ограничений для всякого допустимого решения необходимые условия будут также и достаточными. Это означает, что если выполнено условие Куна-Такера и xq > 0, полученное решение x является оптимальным.
72
РИ, 1998, № 1
Дифференциальный алгоритм относится к итерационным методам и состоит в том, что на k-м шаге изменяется только одна из независимых переменных:
x(k+D = x(k> + д x(k>,
X(k+1) = xf, j * r, j * q
Значение Д x(k) выбирается из анализа условий
Куна-Такера. Нарушение этих условий в точке x(k) может произойти по двум причинам:
1) если (5y/5xr)(k) >0, то
Д x(k) = max{-xr ;-(8y/5xr)(k) /(S2y/5x?)(k)};
2) если (5y/5xr)(k) <0, то
Д x(k) = min{xq; -(5y/5xr)(k) /(52y/5x2)(k)} .
Вычисляем новые значения независимой и зависимой переменных:
x(k+1) = x(k) + Д x(k),
xqk+i)=x qk)-д x(k).
Если значение x(k) выбиралось из соображений обращения независимой переменной xr или условной производной по ней в нуль, система зависимых и независимых переменных остаётся прежней, в противном случае независимая переменная xr и зависимая xq меняются ролями. После этого переходим к (k+1) итерации. Алгоритм завершается, если условия Куна-Такера выполнены либо после некоторого наперёд заданного числа итераций (в [2] приведены примеры, когда применение данного алгоритма приводит к последовательности точек x(k), приближаю... * щейся к оптимальному решению x , но не достигающей его). Как правило, условия Куна-Такера оказываются выполненными через конечное число шагов. Достоинством метода является и то, что все
точки последовательности x(k) принадлежат области допустимых решений.
2. Наблюдения фрагментов в различные моменты времени
Пусть имеются наблюдения фрагментов в различные моменты времени:
PIl(tl),Pl2(t 2),...,P* Im(tm).
Для нахождения синтезируемой матрицы в момент времени t, близкий к рассматриваемым, можно воспользоваться решением задачи минимизации (как для устранения ошибок измерения). Сформулируем эту задачу так, чтобы вес каждого фрагмента был тем
больше, чем ближе момент его измерения tk к моменту прогнозирования t. Для этого в задачу I ё( ё! ёдабёё ааааа! еїуооебеаі oa(t-ti):
y(x Р) = Е Е (xj-a(t-t i)eipI‘) ^ mirn
ieRk jeli 7 xP
где Е a (t -1 i) = 1, a(s) — четная неотрицательная
ieBk
функция, достигающая максимума при s = 0 и монотонно убывающая на интервале (0, да).
Это позволяет учесть те ситуации, когда t совпадает с одним из моментов t1, t2, ... tm. Более того, можно говорить об оценке синтезируемой матрицы на отрезке времени [tmn, W], где tmin = min |tb ... tm}, tmax = max {t1, ... tm}. Такой подход допускает наличие ошибок измерений и не требует на этот случай никакой модификации.
Литература: 1. БасмановА.Е., Дикарев В.А. Синтез стохастической матрицы по системе её фрагментов. 1997. 8с. Деп. в УкрИНТЭИ 23.01.97, № 76-УІ 97. 2.Евдокимов А.Г. Минимизация функций и её приложения к задачам автоматизированного управления инженерными сетями. X.: Вища шк., 1985. 288 с. 3. СухаревА.Б., ТимоховА.В., Фёдоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986. 382 с.
Поступила в редколлегию 25.03.98 Басманов Алексей Евгеньевич, аспирант кафедры ПМ ХТУРЭ. Научные интересы: вычислительная математика. Адрес: 310166, Украина, Харьков, пр. Ленина, 14, тел.: (0572) 40-93-36, (0572) 97-23-77.
УДК 519.21
МАРКОВСКИЕ ПРОЦЕССЫ С ИЗМЕНЯЮЩИМСЯ ЧИСЛОМ СОСТОЯНИЙ
РОДЗИНСКИЙ А.А.
Изучены условия, которым должна удовлетворять матрица согласования при “стыковке” марковских процессов с различным числом состояний. Сформулированы и решены задачи о фокусировке таких процессов. Полученные результаты могут быть использованы в радиоэлектронике, экономике, экологии и медицине.
1. Неоднородный марковский процесс
При рассмотрении многих прикладных задач часто приходится иметь дело с такими системами, эволюция которых может быть описана с помощью
соответствующим образом подобранного марковского процесса с изменяющимся числом состояний. В работе изучаются такие процессы. Для понимания сущности этого вопроса обсудим сначала теорему из
[1], которая будет использоваться в данной работе. Рассмотрим неоднородный марковский процесс с непрерывным временем и конечным числом состояний. Предположим, что инфинитезимальная матрица Л^) процесса непрерывна в некоторой левой полуокрестности W точки to .
Теорема. Пусть Лф) удовлетворяет условиям: а) существует такой её столбец j о, что все элементы удовлетворяют условию
с
Jx ij0 (s)ds
s0
да, S0
(1)
и порядки роста всех элементов jo -го столбца одинаковы. Последнее означает, что для всех i,j= =1,
РИ, 1998, № 1
73
