CC BY
21
УДК 004.421.5
ОЦЕНКА КОЛИЧЕСТВА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ, ПОРОЖДАЕМЫХ КАСКАДНЫМ МЕТОДОМ
В.В. РУМБЕШТ
А.З. ЯДУТА R ,
В статье выводится формула, оценивающая количество
Белгородский государственный последовательностей, п^жд^ьк каскадньш методом, в
национальный исследовательский зависимости от порядка группы и количества каскадов. университет
Ключевые слова: каскадный метод, кумулятивная e-mail: последовательность, количество последовательностей.
В работе [i] предложен каскадный метод порождения периодических последовательностей над элементами циклической группы. В этой статье показано, что порождаемые этим методом последовательности имеют следующие структурные свойства.
1. Период последовательности зависит от порядка группы и количества каскадов
(уровней преобразования). Эта зависимость выражается формулой: ж = Nk, где ж - период последовательности; N - порядок группы; k - количество каскадов.
2. Характеристическая функция периодического отрезка последовательности, порожденной каскадным методом, имеет вид Vu gU : % (к) (u) = Nk, где U - множество
LX ^ ]
элементов группы, над которой строится последовательность; X(Jk) - чисто периодическая последовательность к -го уровня преобразования; [X^)] - ее периодический отрезок. Т.е. любые две из таких последовательностей совпадают с точностью до порядка следования элементов их периодических отрезков.
Очевидно, что мощность множества Q - всех возможных чисто периодических последовательностей с такими структурными свойствами равна количеству перестановок с повторениями из N элементов, каждый из которых повторяется Nk^1 раз, за вычетом количества перестановок из N элементов, каждый из которых повторяется Nk~2 раз:
Nk! N^1!
Ю = ■
(Ж^1!)1 (Ык~2\)1
а последовательности, порождаемые каскадным методом, составляют лишь относительно небольшую часть этого множества. Поэтому, для каскадного метода актуальной является задача оценки количества последовательностей им порождаемых.
Каскадный метод сформулирован для абстрактной циклической группы. Такая формулировка определяет лишь общие структурные свойства элементов множества последовательностей, порождаемых посредством применения каскадного метода, но не позволяет установить мощность и состав этого множества. Поэтому далее будем предполагать, что на всех уровнях преобразования применятся одна и та же конкретная группа.
В этом случае количество последовательностей, порождаемых каскадным методом, зависит от N - порядка группы и к - количества каскадов. Обозначим это количество как у( 1, к). Целью данной статьи является нахождение указанной зависимости.
Далее в работе будем использовать определения и обозначения, введенные в [1]: < и,0 > - циклическая группа порядка N > 2 (это принципиально); ^ - множество
ее образующих элементов; 1пё(и) - индекс элемента и е и по основанию е е 0<и %>;
Х^ = (х,х2,...,х,•••) - последовательность над и; [Х^] - периодический отрезок чисто
периодической последовательности Х^, ] - характеристическая функция периодического отрезка, Ъх - характеристический элемент чисто периодической последовательности Х^.
Для оценки количества последовательностей необходимо определить отношение, позволяющее различать либо не различать две последовательности.
Определение 1. Две последовательности Х^ = (х, х2,..., х ,.••) и
У^ = (у,у,...,у.,...) называются равными (обозначается Х^ = У^), если для всех натуральных г имеет место х = у.
Поскольку чисто периодические последовательности однозначно задаются своими периодическими отрезками, то о равенстве таких последовательностей можно судить по равенству периодических отрезков.
Каскадный метод использует два вида преобразований: процедуру порождения кумулятивной последовательности (процедура порождения КП) и процедуру-фильтр [1].
Параметрами процедуры порождения КП выступают начальный элемент у0 е и и
очередной член входной последовательности. Внутренне состояние процедуры на момент инициализации совпадает с начальным элементом. После каждого обращения к этой процедуре она выдает на выход значение равное результату групповой операции примененной к внутреннему состоянию и очередному члену входной последовательности. При этом очередное внутреннее состояние принимается равным выходу. Таким образом, процедура порождения КП формирует на выходе кумулятивную последовательность с начальным элементом у и порождающей последовательностью, подаваемой на вход
данной процедуры [1].
Докажем два утверждения об условии равенства кумулятивных последовательностей.
Утверждение 1. Кумулятивная последовательность У^ = (у,у2,...,у,...) с начальным элементом у0 и порождающей Х= (х,х2,...,х,.••) равна кумулятивной последовательности = (у\,у'2,...,у',-,...) с начальным элементом у'0 и порождающей Х' ^ = (х 'х '2,...,х 'г,...) тогда и только тогда, когда для всех натуральных г > 1 имеет место х = х' I и у0 0 у'о"1 = X 1 0 х 'г.
Доказательство. С одной стороны, по определению кумулятивной последовательности (см. определение 3 в [1]), для всех г > 1: х = у 0 у~ 1 1, х' = у '0у\~ 1". Отсюда следует, что, если У^ = У, то и для всех г > 1 имеет место х = х\ . Кроме этого, если у = у\, то у 0 у\ 1 = у 0 х 0 10у'0 1 = е. Умножив левую и правую части выражения у 0 х 0 х'х_10у'0_1 = е на х 1 0 х' г получим у 0 у'о"1 = х0 х' г. Следовательно, если У^ = У'^, то для всех натуральных г > 1 имеет место х = х' I и у 0 у' 0 1 = х 1 0 х' 1.
С другой стороны, если у 0 у1-1 = х 1 0 х', то у = у 0 х = у0 '0х:' = у\. А, если у = у\ и для всех г > 1 имеет место х = х', то У^. = У. Что и требовалось доказать.
Утверждение 2. Пусть кумулятивная последовательность У^ = (у,у,...,у,...) с начальным элементом у0 и порождающей Х= (х, х2,..., х,.■■) и кумулятивная последовательность У= (у\,у'2,...,у',■,...) с начальным элементом у'0 и порождающей Х= (х\,х'2,...,х\,...) являются чисто периодическими. Эти последовательности равны тогда и только тогда, когда Х^ = Х\ и у = у'0.
Доказательство этого утверждения становится очевидным, если принять во внимание тот факт, что согласно части утверждения 1 кумулятивные последовательности равны, когда для всех натуральных i > 1 имеет место х = х\ • Для чисто периодических
последовательностей это условие должно быть истинным и при х = x'i • Из второй части утверждения 1 с учетом сказанного автоматически следует y0 = y'0 • Что и требовалось доказать•
Поскольку каскадный метод имеет дело только с чисто периодическими последовательностями, то, согласно утверждению 2, выход процедуры порождения КП уникален для любой возможной комбинации значений параметров на ее входе. Входные параметры этой процедуры не зависимы друг от друга, а так же для начального элемента существует возможность выбора из N вариантов. Таким образом, количество последовательностей на выходе к -го уровня преобразований в зависимости от N составляет:
К N, к) = N N, к), (1)
где о(N, к) - количество входных порождающих последовательностей, поступающих на вход процедуры порождения КП к -го уровня.
В частности, на первом уровне преобразований на вход процедуры порождения КП подаются элементы стационарных последовательностей [l], члены которых суть образующие элементы группы < U,0 >. Очевидно, что всего таких стационарных последовательностей существует ровно (p(N). Таким образом, количество последовательностей порождаемых первым уровнем преобразования каскадного метода составляет:
К N,1) = N N) • (2)
Для всех уровней преобразования, начиная со второго, применению процедуры порождения КП предшествует применение процедуры фильтра, а последовательность, подаваемая на вход этой процедуры, есть результат предыдущего уровня преобразования.
Процедура-фильтр принимает на вход члены чисто периодической последовательности Х^ = (х,х2,...,X,■■■) с периодом ж и характеристическим элементом hx , а так же заданные для замены параметры: характеристический элемент выходной последовательности g е G<v %> и позиция замены m е {0,1,..., ж — 1} • Она формирует в качестве результата соответствующие члены выходной чисто периодической последовательности Х^ = (X,...Д.,.) такого же периода, но с характеристическим элементом h~ = g:
Гх, если m Ф (i mod ж);
Vi е{1,2,.}: X =\ . (3)
I х 0 g 0 h— , если m = (i mod ж).
Пусть Х^ = (Xj,х2,...,xi,...) и Y^ = (y,y2,...,yi,...) - чисто периодические последовательности такие, что Х[х_,]= Х[г_,]= Х> Х^ = (X,X,.,X,■■■) - последовательность, сформированная процедурой-фильтром из Х^ с применением параметров g и щ; Y^ = (33,~2,.--,33,■■■) - последовательность, сформированная процедурой фильтром из Y^ с применением параметров g2 и щ •
Условие равенства характеристических функций периодических отрезков [ Х^ ] и [Y>. ] выражает тот факт, что данные отрезки совпадают с точностью до порядка следования их элементов. Структурные свойства Х^ и Y^ - период: жх = жг =ж= ^%(п) и
VueU
характеристический элемент: hx = h = h = 0 uz(u) •
^ ^ VueU
Докажем утверждения об условиях равенства последовательностей, сформированных процедурой-фильтром.
Утверждение 3. Необходимым условием равенства Х^ и У^ является равенство gl и g2 .
Доказательство. Из Х^ = У^ следует, что х[х }= X? ]. В свою очередь из
1 [] равен п~ = 0 ]
^\ \ • Х ^ уиеи Уиеи
g2 = П~ , то ^ = ^. Что и требовалось доказать.
X У (и) Ж ~ (и)
X у = Жу следует, что П~ =0 и [] равен П~ = 0 и ] . Поскольку g1 = П ~ а
[л ^ \ \ Х ' w —ТТ У - w —гт Х -
Утверждение 4. Необходимым условием равенства Х^ и У^ при ^ = g2 = g и щ = т2 = т является равенство Х^ и У^.
Доказательство. По формуле (3): ~.ж+т = х?. ж+ т 0 g 0 , У .ж+т = уч. ж+ т 0 g 0
для Уд е {0,1,___}, а все остальные члены Х^ и У^ совпадают с соответствующими членами Х и У . С учетом этого, из равенства Х и У следует равенство Х и У . Что и требовалось доказать.
Утверждение 5. Необходимым условием равенства Х^ и У^ при ^ = ^ = g и щ ф щ является
(У г е {1,2,...} \ {д. ж + щ, д • ж + щ I д е {0,1,...}}: х = у ) &
(Уд е {0,1,.}: (уд. л+= хч,л+щ 0 g 0 Г1) & (х^ = у?.ж+т2 0 g 0 Л""1))-Другими словами, последовательности Х и У должны отличаться только членами, стоящими в позициях д. ж + щ и д• ж + т2, где д е {0,1,...}, и для этих членов должно
быть характерно (уд . ж+т = хд.ж+т1 0 g 0 п'1) & (хд. ж+„2 = уд .ж+ щ 0 g 0 П'1) .
Доказательство. По формуле (3): . ж+тх = хЧ. ж+тх 0 g 0 , Уд . ж+тх = удж+ щ ,
Уд-ж+ т2 = уд.ж+т2 0 g 0 , У ж+ щ = хд. ж+ щ для Уд е {0, Ъ .} , а все остальные члены и
У совпадают с соответствующими членами Х и У . С учетом этого, из равенства Х и
~ следует (уд.ж+щ = хд.ж+щ 0 g 0 п~1)&(х9.ж+тг = уч.ж+щ 0 g 0 п_1) и х, = уг при г ф д. ж + щ, г ф д. ж + щ .Что и требовалось доказать.
Утверждение 6. Для равенства Х^ и У^ необходимо и достаточно (& = g2) & (((щ = щ) & (Уг е {1,2,...}: х = у,)) V
((щ ф щ ) & (У г е {1,2,...} \ {д. ж + щ, д. ж + щ | д е {0,1,.}}: х = у ) & (4)
(Уд е {0,1,.. : (у? .л+щ = хч,л+щ 0g1 0Г1) & (х^ = у?.ж+ т2 0g2 0П^1)))
Доказательство. Необходимость этого составного условия уже доказана по частям (см. утверждения 3, 4 и 5). Докажем его достаточность. Это доказательство удобнее провести не в терминах последовательностей, как это было в предыдущих утверждениях, а в терминах их периодических отрезков.
Пусть Х^ ф У^. Это равносильно тому, что множество позиций, в которых имеет место несовпадение элементов в периодических отрезках [ Х^ \ и [У^ \, не пусто. Обозначим это множество символом 5 ^ {1,2, .,ж}.
\щ, если щ > 0; Гщ, если т2 > 0;
Случай 1. е 5 : ^ ф\ & ^ ф\ По формуле (3) имеем:
[ж, если щ = 0; [ж, если щ = 0;
= х и = у . Из этого следует х ф У, что, очевидно, противоречит (4).
Гт, если m > 0;
Случай 2^ Пусть щ = щ = m и 3s е S : s = < По формуле (з) имеем:
[ж, если m = 0;
X = хх 0 g 0 h— и 33 = y 0 g2 0 h— • Из этого следует хх 0 g Ф y 0 g2 • Это в свою очередь влечет х Ф ys v g Ф g, что, очевидно, противоречит (4)
Гщ , если щ > 0; Гщ , если щ > 0;
Случай з^ Пусть щ Ф щ и 3^, s2 е S : s =\ & s2 =\
[ж, если щ = 0; [ж, если щ = 0;
По формуле (з): ~ = ^ 0 g 0 h—; ~ = ySi; Я2 = y*2 0 g2 0 h—; = Xs2 • Из этого следует y Ф х 0 g 0 h— и х Ф y 0 g2 0 h—, что, очевидно, противоречит (4)
Три случая, рассмотренных выше, исчерпывают все возможности существования элементов S, и каждый из них приводит к ложности условия (4^ Это, в свою очередь, доказывает достаточность. Что и требовалось доказать•
Из утверждения 6 следует, что две разные комбинации значений параметров на входе процедуры-фильтра могут привести к одному и тому же результату. Чтобы такого не случилось достаточно, чтобы, введенное в доказательстве утверждения 6, множество S содержало более чем два элемента.
Последовательности, формируемые на выходе первого уровня преобразования
каскадного метода, имеют вид Х^ = (х0 0 g,х0 0 g2,...,х0 0 gN,.), где х0 eU, g е G<v %> [l] Период Х^ равен N • Пусть Х^ = (хх,х2,...,Xi,...) - такая последовательность при х0 и g, а Y^ = (y, y2,..., y,...) - при y0 и g2 • В этом случае условие равенства q -тых элементов периодических отрезков [Х^ ] и 7 ] запишется как х0 0 g\ = y0 0 gq, где q е{1,2,...,N}• Если перейти индексам элементов, то это условие эквивалентно сравнению:
Ind(х0) + q ■ Ind(g ) = (Ind(y0) + q ■ Ind(g2 )) mod N • Выполнив несложные преобразования, получим:
q ■ (Ind(g1) — Ind(g2 )) = (Ind(y,) — Ind(X0)) mod N • (5)
Таким образом, оценка мощности множества S сводится к определению количества решений сравнения (5) относительно q •
Пусть d = gcd((Ind(g) — Ind(g2)) mod N, N), тогда мощность S есть:
ИШ, если (Ind(y0) — Ind(х0)) mod N не кратно d; = \ (6) [N — d, иначе.
Если Ind(g) = Ind(g2) , то d = N • Следовательно, при Ind(х0) Ф Ind(y0) имеем: = N, иначе |S| = 0 • Если Ind(g) Ф Ind(g2), то 1 < d < N/c, где c - наименьший простой делитель N • Не сложно видеть, что при N > 4 получается, что |S| > 2, если
(Ind(g1) Ф Ind(g2)) v (Ind(х0) Ф Ind(y0)) •
Приведенные выше рассуждения свидетельствуют, что на втором уровне преобразований при N > 4 любая комбинация значений параметров процедуры-фильтра приводит к уникальной последовательности на ее выходе. Остаются два интересных случая: N = 3 и N = 4 •
Рассмотрим случай N = 3 •
0, если (Ind(g) = Ind(g2)) & (Ind(х0) = Ind(y0)); = <{ 2, если Ind(g) Ф Ind(g2);
3, если (Ind(g) = Ind(g2)) & (Ind(х0) Ф Ind(y0)).
При ¡пЛ(^) ф ¡пЛ(^) имеем |5| = 2 и существуют пары различных между собой
комбинаций значений параметров процедуры-фильтра, которые приводят к формированию одной и той же последовательности на ее выходе.
Несложно видеть, что периодические отрезки последовательностей, формируемые первым уровнем преобразований каскадного метода при N = 3, представляют собой перестановки из 3-х элементов. Всего таких перестановок существует 6. Количество последовательностей, формируемых на первом уровне преобразования, то же равно ^(3,1) = 6. Следовательно, периодические отрезки всех элементов множества последовательностей, формируемых первым уровнем, суть все возможные такие перестановки.
Значения параметров процедуры-фильтра выбираются независимо друг от друга. Количество различных комбинаций таких значений на втором уровне преобразования при N = 3 составляет 36. Это число получается произведением количества входных последовательностей (И(3,1) = 6) на количество вариантов выбора характеристического элемента выходной последовательности (<р(3) = 2) и на количество вариантов выбора позиции замены, равное 3.
Последовательность, у которой периодический отрезок представляет собой перестановку 3-х элементов, процедура-фильтр преобразует в последовательность такую, что ее периодический отрезок представляет собой перестановку с повторениями. В такой перестановке с повторениями два элемента, причем один из них имеет кратность 2, а другой кратность 1. Всего таких перестановок с повторениями 3, возможность выбора одного из элементов ограничивается 3-мя случаями, а возможность выбора другого элемента - 2-мя случаями. Всего таких перестановок с повторениями существует 18, и каждая из них при соответствующем подборе значений параметров может быть получена в качестве периодического отрезка последовательности на выходе процедуры-фильтра.
Таким образом, 36 комбинаций значений на входе процедуры-фильтра приводит к формированию лишь ¿э(3,2) = 18 различных последовательностей на выходе.
Рассмотрим теперь случай N = 4.
0, если (¡пЛ(g1) = ¡пЛ(g2)) & (¡пЛ(х0) = ¡пЛ(у0));
= <{ 2, если (¡пЛ(g1) ф ¡пЛ(g2)) & ((¡пЛ(у0) - ¡пЛ(х0)) = 0 mod 2);
4, если ((¡пЛ(у0) - ¡пЛ(х0)) = 1 mod 2) V ((¡пЛ(g1) = ¡пЛ(g2)) & (¡пЛ(х0) ф ¡пЛ(у0)).
При (¡пЛ(g1) ф ¡пЛ(g2))&((¡nd(у0) - ¡пЛ(х0)) = 0шоё2) имеем |5| = 2. Как и в
предыдущем случае, существуют пары различных между собой комбинаций значений параметров процедуры-фильтра, которые приводят к формированию одной и той же последовательности на ее выходе. Но такие пары можно найти, если предоставить возможность выбора входной последовательности из множества всех последовательностей, периодические отрезки которых суть перестановки множества из 4 элементов.
Последовательности, порождаемые на первом уровне преобразования каскадного метода, принадлежат лишь подмножеству указанного множества. Что само по себе уже не гарантирует существование пар таких комбинаций.
Составим систему сравнений, решение которой позволяет установить пару комбинаций значений параметров процедуры-фильтра, при которой выполняется условие (4) и условие (5) при N = 4:
Ind(у0) - Ind(x0) = 0 mod 2;
Ind(g ) - Ind(g) = 2 mod 4;
Ind(g ) = 1 mod 2;
< Ind(g) = 1mod2; (7)
Ind(g) = 1 mod 2;
Ind(y0) + щ • Ind(g2) = (Ind(x0 ) + щ • Ind(g ) + Ind(g) + 2) mod 4;
Ind(x ) + m • Ind(g ) = (Ind() + m2 • Ind(g ) + Ind(g) + 2) mod 4;
В этой системе сравнений одна из комбинаций значений параметров << gl > g, т1 > , а ВТоРаЯ << Уо, g2 >, g, m2 > , ГДе X G U , gl G {gL«> glaJ оДно3наЧно задают входную последовательность Х^; у0 е U, g2 е {g^e, g3Base} однозначно задают входную последовательность Y^; g е {g^e, glase} - совпадающий по условию (3) параметр "характеристический элемент выходной последовательности"; щ и т2 - позиции замены.
Система сравнений (7) противоречива. В этом легко убедиться, если привести 7-ое сравнение в системе к виду щ • (Ind(g) - Ind(g2)) = (Ind(y0) - Ind(x0) + Ind(g) + 2) mod 4
и учесть, что Ind(g) - Ind(g2) = 2 mod 4, а Ind() - Ind(x0) = 0 mod 2 и Ind(g) = 1 mod 2.
Следовательно, любая, допустимая каскадным методом, комбинация значений параметров процедуры-фильтра на втором уровне преобразования при N = 4, приводит к уникальной последовательности на ее выходе. То есть, о(4,2) = 64.
Таким образом, общий вывод по количеству последовательностей, формируемых каскадным методом на втором уровне преобразования, есть:
'N2 v(N)■КN,1)
К N ,2) =
, если N = 3;
2 (8) N2 • (р{N) • у(N,1), если N > 3. Перейдем теперь к оценке у(N, к) при к > 2. В этом случае, последовательности Х^ = (х,х,■••,X,■■■), формируемые на выходе к -1 -го уровня и подаваемые на вход процедуры-фильтра к -го уровня преобразования каскадного метода, имеют период N-1 и обладают следующей структурой: V/ е{1,2,-,е{0,1,■.}: х^к-2 = х 0 Я4ш°й,
где я е [1]. Пусть Х^ = (х,X,■■■,xi,■••) - последовательность такой структуры при
Я , а Y^ = (У^ У^"^ У г-пРи §2 .
На основе Х^ определим N-2 последовательностей Х = (х ,х ,■..,х ,■..), а на
^ 4 Л '2 'г у
основе - N-2 последовательностей ^ = (у , у ,■.., у] ,■..) таких, что
Vг е{1,2,„.},^' е{1,2,-,Nk-2}: х = х „ „гк-2 ; у = у, Л,,гк-2 . Не сложно заметить, что
(.5 5 J (55 5 ) /г (г-l)•Nk 2 + // ^ (/-l)•Nk 2 + / '
любая из последовательностей Х. или ^ имеет период равный N и при этом
Хи = (хЛ 0 яО, хл 0 §1,-, хл 0 .) , Yu = (ул 0 §0, Ул 0 £,..., Ул 0 ¿Г"1,-). То есть
они устроены аналогично последовательностям, формируемым первым уровнем преобразования.
Проведем оценку мощности множества £ при сравнении Х^ и У^. Очевидно, что
м"-2
£1 = 2£1' где - множество позиций несовпадения элементов на периодических от-
7=1
резках [] и [у ].
О равенстве Х^ и У^ можно судить по выполнению условия (У/ е {1,2,...,М"-2} : х, = у ) & (& = ^). В этом случае У/ е {1,2,...,М"-2} : Х^ = У^ и, естественно, £ = 0 и любое |£| = 0
Если (3/ е {1,2,.,М"-2} : х Ф у) & (й = й) , то найдется хотя бы одна пара Ху. и У^ , для которой, как было показано ранее = N. Следовательно £ > 2.
Если ^ Ф ^, то пар неравных между собой Ху и у найдется N-2, причем У/ е{1,2,...,М"-2}: > 2. Следовательно, в независимости от порядка группы и любых
других условий, общая сумма £ > 2.
Таким образом, любая, допустимая каскадным методом комбинация значений параметров процедуры-фильтра на уровне преобразования " > 2, приводит к уникальной
последовательности на ее выходе и о(М,") = N-1 • р(М) • у(N," -1).
Количество последовательностей, формируемыхо на " -том уровне преобразований при " > 2 составляет:
кМ,") = М • КМ) • КМ," -1). (9)
Вывод
Формулы (2), (8) и (9) позволяют вычислить количество последовательностей, порождаемых каскадным методом, в зависимости от М и " = 1, " = 2 и " > 2 соответственно. Видно, что при М > 3, формулу (9) можно обобщить и на случай " > 2.
Формула (9) рекурсивна. Пусть М > 3. Избавимся от рекурсии.
к М,1) = М • р( М);
КМ,2) = М2 • р(М) • КМ,1) = М2 • М • М)2; КМ,3) = М3 • р(М) • КМ,2) = М3 • М2 • М • р(М)3;
" 2 / У(М,") = П М-7' •<(М)" = М/=1 •<(М)" = М 2 •<(М)".
7=1
В случае М = 3 можно провести аналогичные рассуждения, но с учетом того, что М2 • М • р(М)2
!/(М,2) =--——. В итоге получим, что при М = 3 и " > 2:
"2+"
КМ,") = М—р(М) .
Сведя эти промежуточные результаты в единое целое, окончательно получаем зависимость количества последовательностей от порядка группы и количества уровней преобразования:
НАУЧНЫЕ ВЕДОМОСТИ
117
v( N, к) =
N ■ ф(N), если к = 1 и N = 3;
к 2 + к
■ ф(N)к
2
если к > 2 и N = 3;
к 2 + к
N 2 ■ ф(N)к, во всех остальных случаях.
Список литературы
1. Румбешт В.В. Каскадный метод порождения периодических последовательностей над элементами циклической группы // Научные ведомости БелГУ. Серия: История. Политология. Экономика. Информатика. № 8 (179) 2014 Выпуск 30/1. Белгород: БелГУ, С. 103-112.
<
EVALUATION OF THE NUMBER OF SEQUENCES GENERATED BY THE CASCADE METHOD V.V. RUMBESHT
A.Z. YADUTA In this article, we derive a formula that estimates the number of se-
quences generated by a cascade method, depending on the order of the group Belgorod State and the number of cascades.
National Research
University Key words: cascade method, cumulative sequence, the number of se-
quences.
e-mail:
