CC BY
51
ОЦЕНКА КЛИНОВИДНОСТИ РАЗВЕРТКИ ОТРАЖАТЕЛЬНОЙ ПРИЗМЫ А.М. Бурбаев, Г.В. Егоров, А.П. Смирнов
Предложен новый подход к анализу клиновидности развертки отражательной призмы, в основе которого лежит компьютерное моделирование процесса прохождения пучка лучей через призму, имеющую технологические погрешности изготовления. Приводится текст программы, реализующей указанную процедуру в среде MathCAD.
Введение
В процессе проектирования оптических приборов, содержащих отражательные призмы, приходится решать самые разнообразные задачи, связанные как с общим функционированием оптической системы, так и с обеспечением надлежащей точности функционирования, а также качества изображения.
Известно, что погрешности углов призм вызывают клиновидность плоскопараллельной пластины, в которую призма разворачивается. Это приводит к отклонению вышедшего из призмы луча от расчетного его направления (отклонение линии визирования), а также к появлению таких дефектов, как кома, астигматизм, поперечный хроматизм и дисторсия [1-5].
На этапе конструирования, при выполнении чертежа той или иной призмы, разработке элементов ее базирования (крепления) и юстировки приходится, в частности, рассчитывать ее габариты, устанавливать допуски на углы призмы в плоскости главного сечения, а также пирамидальность. При этом используют такие методы анализа и расчета, как графоаналитический метод развертки, метод приведения сложных зер-кально-призменных систем к простейшим зеркальным эквивалентам, метод сферической тригонометрии, векторно-матричный и другие [6-12]. Разные по сложности и достаточно трудоемкие, эти методы к тому же не являются универсальными с точки зрения получения проектировщиком всего объема необходимой информации. В этой связи метод компьютерного моделирования открывает перед разработчиком дополнительные возможности.
Основные результаты
Для оценки клиновидности и пирамидальности отражательной призмы воспользуемся методом моделирования. Процесс прохождения пучка лучей через призму включает циклическую последовательность двух физических процедур: встречу луча с плоскостью грани призмы и акт преломления или отражения.
Пусть Ь = (р, д, т) - оптический вектор луча из пучка лучей, проходящего через призму, Х0 = (р, у0, р) - декартовы координаты точки старта луча (реальной или мнимой), N = (Ых, N у, N г) - орт нормали к плоскости грани, на которую этот луч падает, п - показатель преломления призмы. Декартовы координаты точки встречи луча с плоскостью грани найдутся из очевидного векторного равенства
X, = X, + (р ■ р1 0)). Ь . (1)
1 0 Ь)
Оптический вектор преломленного в точке Х1 луча определяется из векторного соотношения
Ь' = Ь -у- 5/<§п(п,7)л/т2^П'Г—ПГ N, у = (N, Ь), (2)
где п и п - показатели преломления, соответственно, в пространствах предмета и изображения (в случае отражения п"=-п), функция б1§п(х) возвращает знак ее аргумента, она равна 1, если х>0, и равна -1, если х<0.
Нахождение координат орта нормали к граням призмы с учетом погрешностей удобно проводить с использованием элементарных поворотов координатной системы относительно координатных осей. В правой декартовой системе координат 0ХУ2 поворот относительно координатной оси, напомним, считается положительным, если при наблюдении с вершины оси он совершается против часовой стрелки. Например, поворот относительно оси 0Х от оси 0У к оси 02 - положителен. Матрица поворота (1 0 0 >
Ых (а) =
0 cos(a) sin(a)
(3)
v0 - sin(a) cos(a)y
Заметим, что ось поворота отмечена единицей на главной диагонали и нулями по первой строке и первому столбцу, остальные элементы главной диагонали равны cos(a), а остальные элементы - это sin(a). В строке, соответствующей координатной оси, по направлению к которой совершается поворот, у функции sin появляется знак минус. Это мнемоническое правило действует и при составлении двух других матриц элементарных поворотов относительно координатных осей OY и OZ: fcos(a) 0 - sin(a) ^ f cos(a) sin(a) 0
Mz (а) =
MY (а) =
0
sin(a)
1
0
0
cos(a)
Л
- sin(a) 0
cos(a) 0
0 1
(3а)
Для примера рассмотрим определение ортов направлений нормалей к граням пен-тапризмы, имеющей погрешности клиновидности, вращающейся относительно оси, нормальной к входной грани призмы (рис. 1)
Рис.1. К определению координат ортов нормалей к граням пентапризмы
Декартову систему координат выберем таким образом, что ось ОХ перпендикулярна входной грани АЕ (рис. 1). В этом случае главный луч пучка лучей, падающего на призму, составляет угол т с осью ОХ. В начальном положении призмы главный луч лежит в главном сечении призмы (плоскости рисунка). Ось вращения призмы наклонена относительно координатной оси ОХ на угол 0 и проходит через начало координат.
Погрешности углов призмы моделируются поворотами граней относительно осей, параллельных оси ОУ, на углы АЛ, ДВ и ДЕ. Пирамидальности моделируются поворотом граней относительно осей, лежащих на пересечении соответствующих граней с главной плоскостью. Положительное направление углов на рисунке указано стрелками.
С помощью матриц элементарных поворотов (3) матрица поворота призмы на угол а вокруг оси, имеющей наклон на угол 0 в главной плоскости 0X2, запишется как М (а) = Мт (-в)Мх (а)Мт (в). (4)
Для составления матрицы (4) система приводится путем элементарных вспомогательных поворотов в положение, в котором ось вращения совпадает с одной из координатных осей. После этого совершается необходимый поворот, рабочий или вследствие погрешностей положения, и далее происходит компенсация вспомогательного поворота. Этот же принцип сохраняется и при выводе выражений для проекций ортов нормалей граней реальной призмы, имеющей погрешности клиновидности и пирамидально-сти.
На рис.1 приведена глобальная система координат, связанная с идеальной призмой. Для вывода выражения для координат нормали N4 свяжем ось 02 локальной системы координат (на рисунке не показана) с этой нормалью так, что нормаль и ось аппликат имеют противоположные направления. В этом случае путем элементарных поворотов приводим локальную систему к глобальной и получаем необходимое выражение для координат нормали в глобальной системе координат:
N4 = Mr i-M)Mx (-жАВ)
0
V- Ъ
л
f0 ^ f- sin(AA) cos(nAB) sin(nAB ) - cos(AA) cos(nAB) j
(5)
Здесь жлв - пирамидальность грани ЛВ, АЛ - ошибка прямого угла Л.
При нахождении выражений для остальных нормалей к граням реальной призмы
п в 3п
учитываются конструктивные параметры призмы: у = —, р = —. Для определения
8 8
нормали N2 представим локальную систему координат, в которой искомая нормаль направлена по оси абсцисс. В этом случае переход от глобальной системы координат к локальной системе и обратный переход запишем в виде
Г1 ^
Mz (nCB )MY (y + AB + AA) N2 =
0
v 0 j
f 1 ^ f cos(y + AB + AA) cos(nCB)
(6)
^ N2 = MT (-y-AB -AA)Mz (-ncB)
v0j v
sin(nCB )
- sin(Y + AB + AA) cos(nCB) j
Аналогично находим выражение для нормали N3:
f-f - cos(ß - AE) cos(nDE) ^
N3 = MY (AE -ß)Mz ( nde )
v 0 j
- sin(nDE )
sin(ß - AE) cos(nDE)
(7)
Моделирование клиновидности развертки призмы проведем в среде MathCAD [13]. В качестве исходных параметров зададим координаты входного луча: координаты точки на луче X, орты оптического вектора направления L и матрицу параметров призмы Syst:
0
0
(х > 0 (- соэ(г)^ Х2 N 2 X . .. Хк
X = .Ус , Ь = 0 = У1 Кц У 2 N27 . . Ук , (8)
V 20 ) 2 2 N 22 .. 2к
где к - число граней призмы. Число столбцов матрицы параметров призмы равно удвоенному числу ее рабочих граней. В нечетных столбцах помещены координаты произвольной точки соответствующей грани, в качестве которой удобно указывать координаты соответствующей вершины главного сечения призмы, если не учитывать погрешностей формы призмы. В четных столбцах помещены найденные по методике, указанной выше, координаты ортов нормалей к граням.
Текст программы приведен на рис.2. Поскольку описание операторов программы в МаШСАО максимально приближено к математической транскрипции, то построение программы, ее схема, легко воспринимаемы непосредственно из текста. Заметим, что после имени программы Рг^ш в скобках перечисляются имена вводимых параметров.
Рис. 2. Программа моделирования пентапризмы.
В первой строке определяется число граней по числу столбцов матрицы параметров призмы. С четвертой строки осуществляется циклическое вычисление координат луча и его направление с помощью формул (1) и (2). В первых двух строках цикла используется функция МаШСАВ, имеющая структуру: ¡^условие, операнд при удовлетворении условия, операнд при невыполнении условия).
Погрешность ДА ДВ ДЕ ПАВ ПВС ПВЕ 9 О шах
Передаточный коэффициент -0,51 -3,02 -3,02 0,51 2,79 -2,79 1 1
Таблица 1. Передаточные коэффициенты первичных погрешностей пентапризмы
В качестве примера в табл. 1 приведены результаты моделирования первичных погрешностей пентапризмы (рис. 1) с представлением передаточных коэффициентов, связывающих эти погрешности с углами отклонения осевого луча, вышедшего из призмы, от номинального направления.
Заключение
С использованием компьютерного моделирования предложен новый подход к анализу влияния технологических погрешностей изготовления отражательной призмы на отклонение прошедших через нее лучей и положение изображения. Разработанная программа может быть использована как для моделирования передаточных коэффициентов первичных погрешностей, так и для моделирования реальной призмы в режиме Монте-Карло при учете всех погрешностей, не исключая погрешностей юстировки и позиционирования, задаваемых статистически.
Литература
1. Мальцев М.Д. Расчет допусков на оптические детали. М.: Машиностроение, 1974. 168 с.
2. Погарев Г.В. Юстировка оптических приборов. Л.: Машиностроение, 1982. 238 с.
3. Сокольский М.Н. Допуски и качество оптического изображения. Л.: Машиностроение, 1989. 222 с.
4. Чуриловский В.Н. Теория оптических приборов. М.-Л.: Машиностроение, 1966. 564 с.
5. Чуриловский В.Н., Халилулин К.А. Теория и расчет призменных систем. Л.: Машиностроение, 1979. 269 с.
6. Грейм И.А., Зальц А.Е. Зеркально-призменные системы, их расчет и элементы юстировки. Л.: СЗПИ, 1978. 79 с.
7. Кулагин В.В., Михайлов Н.А. Учебное пособие по конструированию деталей и узлов оптических приборов. Часть 1. Типовые оптические детали. Л.: ЛИТМО, 1975. 82 с.
8. Латыев С.М., Егоров Г.В., Тимощук И.Н. Конструирование деталей и сборочных единиц оптико-электронных приборов: Часть 1. СПб: СПбГИТМО (ТУ), 2001. 144 с.
9. Погарев Г.В., Киселев Н.Г. Оптические юстировочные задачи. Справочное пособие. Л.: Машиностроение, 1989. 260 с.
10. Русинов М.М. Габаритные расчеты оптических систем. М.: Геодезиздат, 1959. 258 с.
11. Тудоровский А.И. Теория оптических приборов. Т. I. Общая часть. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. 661 с.
12. Турыгин И. А. Прикладная оптика. Геометрическая оптика и методы расчета оптических схем. М.: Машиностроение, 1965. 363 с.
13. Дьяконов В. Mathcad 2001: специальный справочник. СПб: Питер, 2002. 832 с.: ил.
