Оценка искажения коэффициента изопериметричности тетраэдра при билипшицевом отображении Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Шуркаева Д.В., 2013

УДК 517.51 ББК 22.161

ОЦЕНКА ИСКАЖЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА ИЗОПЕРИМЕТРИЧНОСТИ ТЕТРАЭДРА ПРИ БИЛИПШИЦЕВОМ ОТОБРАЖЕНИИ

Шуркаева Диана Васильевна

Ассистент кафедры компьютерных наук и экспериментальной математики

Волгоградского государственного университета

[email protected]

Проспект Университетский, 100, 400062 г. Волгоград, Российская Федерация

Аннотация. В статье дается оценка коэффициента изопериметричности тетраэдра, полученного при квазиизометрическом отображении через коэффициент изопериметричности исходного тетраэдра. Этот коэффициент дает условие сохранения аппроксимируемости градиента для тетраэдральной сетки при квазиизометрическом отображении.

Ключевые слова: коэффициент изопериметричности, тетраэдр, определитель Кэли — Менгера, формула Герона — Тарталья, билипшицево отображение, квазиизометрическое отображение.

Отображение / : М™ ^ М™ называется билипшицевым или квазиизометрическим, если существуют постоянные 0 < I < Ь такие, что для любых двух точек Х\,Х2 € М™ выполнено

11хг - Ж2| < I/(Ж0 - / (Ж2)| < Цхг - Х2 |.

Коэффициентом изопериметричности и-мерного симплекса Т будем называть

Величина а(Т) характеризует отклонение произвольного симплекса Т от правильного, поскольку минимальное значение достигается на правильном симплексе. Данный термин был введен В.А. Клячиным в докладе «Задачи анализа на е-сетях» Научной сессии ВолГУ в 2012 г.

Пусть [й^ : 0 < і < j < п} - совокупность п(п + 1)/2 переменных. Рассмотрим квадратную (п + 2) х (п + 2)-матрицу (см. [1] или [2])

0 1 1 1. ■ 1

1 0 Й 2 и0 1 ^02 ■ ■ $0п

1 с]2 и01 0 <Р°2 ■ с]2 ■ а1п

1 с]2 и0 2 с]2 и0 1 0. ■ <^п

^1 й2 ид п й2 а1п А\п ■ ■ 0 )

Многочлен от многих переменных Гга := ёе1(СМга) Є Ъ, <1^ : 0 < і < j < п называется

определителем Кэли — Менгера. Этот определитель дает формулу для вычисления п-мерного объема симплекса Т в терминах евклидовых расстояний := ^^(^,Vj) : : 0 < г < j < п} между рассматриваемыми точками:

V2

(-1)

га+1

_Гга(^0 1, ^02,

і ^(га— 1)га)

2га(Ы)2

В пространстве М3 объем тетраэдра будет вычисляться по формуле

V2

1

144

0 1 1 1 1

1 0 ^2 и01 ^0)2 ^3

1 ^2 и01 0

1 ^2 и02 ^01 0 ^2 и23

1 ^2 и03 ^3 с]2 а23 0

Следует отметить, что при п =3 из определителя Кэли — Менгера получается формула Герона — Тарталья (см. [3]), которая является обобщением хорошо известной формулы Герона и позволяет вычислять объем тетраэдра по заданным длинам ребер:

V2

144 (^01 ^23 (^02 + ^03 + ^2 + 4з — ^01 — ^05 ) + ^02^3 (^01 + ^03 + ^2 + ^23 — ^02 — ^3 ) +

+ И2 И2 (И2 + И2 + И2 + И2 — И2 — И2 ) — И2 И2 И2 — И2 И2 И2 — И2 И2 И2 —

+ и03и12(и01 + и02 + и13 + и23 и03 и12) и01 а02а12 и01 а03а13 а02 а03а23

— и2 и2 и2

а12 а13а23

(2)

Теорема 1. Пусть в пространстве заданы тетраэдр Т, у которого длина максимального ребра равна d, минимального - а, площадь наименьшей грани - в, и би-

липшицево отображение / : М3 ^ М3 с константами у < коэффициента изопериметричности образа тетраэдра справедлива оценка

3а4

6 1 +-—, тогда для

5 а4

п Ь4 - I4 Зв4 ^3/4

і3 V1 ^їе^2/ / / ^3

ь3 а I ь6 -16 ю^6 < а'< і3 а

1 +

Ь6 144У2

I4 - I4 3й4 \3/4 1 + Ь4 165У

I6 - I6 Ш6 ‘

Т6 144У2

(3)

1

Доказательство. Обозначим через Р сумму слагаемых из формулы (2), перед которыми стоит знак «+», а через Q - сумму слагаемых, перед которыми стоит знак «-», взятых с обратным знаком, то есть

Р = н2 н2 н2 + н2 н2 н2 + н2 н2 н2 + н2 н2 н2 + н2 н2 н2 + н2 н2 н2 + н2 н2 н2 +

Г = «01^02^13 + «01 «02^23 + ^01^03^12 + и01и03 и23 + и01и12и23 + и01и13и23 + и02и03и12 +

+ г]2 г]2 г]2 + г]2 г]2 г]2 + г]2 г]2 г]2 + г]2 г]2 г]2 + г]2 г]2 г]2 + и02и03 и13 + и02и12и13 + и02и13и23 + и03и12и13 + и03 а12а23,

Q = ^01^02^12 + ^01^03^13 + ^02^03^23 + ^12^13^23 + ^01^23 + ^01^23 + ^02^13 + ^02^13 +

+ ^03^12 + ^03^12,

и

68

ДВ. Шуркаева. Искажение коэффициента изопериметричности тетраэдра

тогда формула Герона — Тарталья перепишется в виде:

у = 12 ■

Объем полученного при квазиизометричном отображении тетраэдра

12VIер - ьед < V/ < 12- 16Я,

или

L6 144V2

Но поскольку Q < 10d6, где d = max dij, 0 < г < j < 3, тогда

• i L6 -16 Ш6 ^ T^r L L6 -16 10^6 , 4

nV1 - ишт2 < v,< LVy1 + ^-r- rnv2 ■ (4)

Воспользуемся оценкой площади из [4], получим, что площадь г-й грани

L4 16S2'

где di - длина максимального ребра г-й грани. Обозначим через S = min Si, 0 < г < 3, и, так как max di = d, суммируя оценки площадей всех граней, получаем, что площадь полной поверхности тетраэдра

Ч' - ^ш < « < ‘2 илf + ^£ (5

Применив формулу (1) к (4)-(5), получим (3).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Берже, М. Геометрия / М. Берже. — М. : Мир, 1984. — Т. 1. — 560 с.

2. Д’Андреа, К. Определитель Кэли — Менгера неприводим при п > 3 / К. Д’Андреа, М. Сомбра // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, № 1. — С. 90-97.

3. Сабитов, И. Х. Обобщенная формула Герона — Тарталья и некоторые ее следствия / И. Х. Сабитов // Мат. сб. — 1998. — Т. 189, № 10. — С. 105-134.

4. Шуркаева, Д. В. Оценка искажения коэффициента изопериметричности треугольника при билипшицевом отображении / Д. В. Шуркаева // Материалы XI Казанской летней школы-конференции «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы». — 2013. — С. 467-468.

REFERENCES

1. Berger M. Geometriya [Geometry], vol. 1. Moscow, Mir Publ., 1984. 560 p.

2. D’Andrea K., Sombra M. Opredelitel’ Keli — Mengera neprivodim pri n > 3 [The Cayley — Menger determinant is irreducible for n > 3]. Sib. mat. zhurn. [Siberian Mathematical Journal], 2005, vol. 46, no. 1, pp. 90-97.

3. Sabitov I.Kh. Obobschennaya formula Gerona — Tartal’ya i nekotorye ee sledstviya [A generalized Heron — Tartaglia formula and some of its consequences]. Mat. sb. [Sbornik: Mathematics], 1998, vol. 189, no. 10, pp. 105-134.

4. Shurkaeva D.V. Otsenka iskazheniya koeffitsienta izoperimetrichnosti treugol’nika pri bilipshitsevom otobrazhenii [The estimate of the distortion of the tetrahedron isoperimetricity coefficient under bi-Lipschitz mapping]. Materialy XI Kazanskoy letney shkoly-konferentsii «Teoriya funktsiy, ee prilozheniya i smezhnye voprosy» [Proceedings of the Eleventh International Kazan Summer Scholl-Conference “Theory of Functions and its Applications and Related Matters”], 2013, pp. 467-468.

THE ESTIMATE OF THE DISTORTION OF THE TETRAHEDRON ISOPERIMETRICITY COEFFICIENT UNDER BI-LIPSCHITZ MAPPING

Assistant Teacher, Department of Computer Science and Experimental Mathematics

Volgograd State University

[email protected]

Prospect Universitetsky, 100, 400062 Volgograd, Russian Federation

Abstract. The article assesses the tetrahedron isoperimetricity coefficient obtained by quasi-isometric mapping through the original tetrahedron isoperimetricity coefficient. This coefficient determines the condition of finiteness conservation of gradient for tetrahedral mesh under quasi-isometric mapping.

Main Results: Let’s in the space given tetrahedron T, in which the length of the maximum edge is equal to d, the minimum is a, the lower face area is S,

Key words: coefficient of isoperimetricity, tetrahedron, Cayley — Menger determinant, Heron — Tartaglia formula, bi-Lipschitz mapping, quasi-isometric mapping.

Shurkaeva Diana Vasilina

and f : R3 ^ R3 is bi-Lipschitz mapping with constants

isoperimetricity coefficient of the tetrahedron image estimates as

Д.В. Шуркаева. Искажение коэффициента изопериметричности тетраэдра