CC BY
60
Автовслны. Самоорганизация
Изв. вузов «ПНД», т. 15, № 6, 2007 УДК 537.86
ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИК АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ В ПЕРИОДИЧЕСКОМ РЕЖИМЕ
В.И. Пономаренко, М.Д. Прохоров, Е.П. Селезнев
Предложен метод восстановления систем с запаздыванием, находящихся в периодическом режиме колебаний. Метод основан на анализе отклика этих систем на слабое периодическое импульсное воздействие. Показано, что при помощи слабого внешнего воздействия предложенный метод позволяет восстановить время задержки в кольцевой автоколебательной системе с запаздыванием и определить порядок модельного дифференциального уравнения с запаздывающим аргументом.
Автоколебательные системы с запаздывающей обратной связью широко распространены в природе и технике [1]. Их распространенность обусловлена тем, что запаздывание реакции на сигнал и обратная связь с запаздыванием присущи многим физическим, химическим и биологическим объектам и процессам. В последние годы внимание многих исследователей привлекает задача определения параметров систем с запаздыванием по экспериментальным временным рядам. Для решения этой задачи были предложены различные методы, позволяющие восстановить модельные уравнения систем с запаздыванием по временным рядам хаотических колебаний этих систем [2-9]. Однако в случаях, когда системы с запаздыванием находятся в периодических режимах, эти методы оказываются неэффективными. Вместе с тем, задача оценки времени задержки и остальных управляющих параметров системы с запаздыванием по периодическому временному ряду является актуальной, поскольку многие практически важные системы с запаздыванием функционируют в периодических или близких к периодическим режимах [10]. Например, близки к периодическим колебания артериального давления в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей [11], и колебания многих других физиологических систем [12]. В данной работе предложен метод определения параметров систем с запаздыванием, совершающих периодические колебания.
В основе предлагаемого метода лежит исследование отклика системы с запаздыванием на внешнее воздействие. Если внешнее воздействие достаточно сильное, то оно приводит к возникновению переходного процесса. В результате движение системы проходит в более широкой области фазового пространства, что позволяет получить дополнительную информацию о динамике системы и может помочь восстановить ее параметры [13]. Однако во многих случаях сильное воздействие на
систему является нежелательным, так как может привести к ее разрушению или существенному изменению поведения. В этих случаях предпочтительнее оказывается воздействие слабым сигналом. Нами предложена методика оценки характеристик автоколебательных систем с запаздыванием, заключающаяся в воздействии на систему слабым периодическим импульсным сигналом. Поскольку при слабом воздействии на систему шумы могут быть соизмеримы по величине с сигналом воздействия, при анализе отклика системы использован метод накопления [14].
Рассмотрим кольцевую автоколебательную систему с запаздыванием, состоящую из линии задержки, нелинейного элемента и фильтра (рис. 1, а) совершающую периодические автоколебания х(Ь) с периодом Та (рис. 1, б). Будем воздействовать на систему внешним сигналом у(Ь), представляющим собой прямоугольные радиоимпульсы с линейно увеличивающейся частотой заполнения (рис. 1, в). Период заполнения при этом всегда остается намного меньше периода колебаний Та, а период следования радиоимпульсов Тр значительно превышает предварительную оценку времени запаздывания системы (время задержки всегда меньше Та/2). Вид модельного уравнения, описывающего такую систему, определяется параметрами фильтра и тем, в какой точке внешний сигнал вводится в кольцевую систему с запаздыванием. В случае, когда фильтр состоит из трех последовательно соединенных низкочастотных фильтров первого порядка, а сигнал у(Ь) вводится в систему между фильтром и линией задержки (рис. 1, а), рассматриваемая автоколебательная система описывается дифференциальным уравнением третьего порядка с запаздыванием:
х(г) + £2х(г) + е1хх(г) = -х(г) + f (х(г - т) + у(г - т)), (1)
б
Рис. 1. а - блок-схема кольцевой автоколебательной системы с запаздывающей обратной связью под внешним воздействием. ЛЗ - линия задержки, НЭ - нелинейный элемент, Ф - фильтр; б - временная реализация периодических автоколебаний системы; в - временная реализация внешнего периодического импульсного сигнала с линейно увеличивающейся частотой заполнения
где т - время запаздывания; е\, е2, £3 - параметры, характеризующие инерционные свойства системы; f - нелинейная функция. Если в качестве фильтра используется двухзвенный фильтр, то е3 = 0, а в случае однозвенного фильтра е2 = £3 = 0 и модельное уравнение принимает вид уравнения с запаздыванием первого порядка. Так как нас интересует периодический режим колебаний системы, мы выбрали сигмоидную нелинейную функцию
с с
f (х) =_с___с_ (2)
' (1 + аехр [—Ь (х — х*)]) (1 + а ехр [Ь (х — х*)])'
обеспечивающую устойчивые периодические колебания в широком диапазоне изменения управляющих параметров. Исследования проводились при времени задержки т = 120 с, частоте среза фильтров fp = 0.0032 Гц и параметрах нелинейной функции а = 1, Ь = 2, с = —2, х* = 0.5. Радиоимпульсы имели амплитуду А = 0.05, период следования Тр = 2000 с, длительность 1000 с и частоту заполнения fr, линейно изменяющуюся от 0.01 до 0.04 Гц. Амплитуда колебаний в автогенераторе была близка к 1, а период колебаний Та принимал значения 320, 410 и 510 секунд для систем первого, второго и третьего порядка, соответственно.
Следует отметить, что для линейных систем существует ряд методов, позволяющих определить их характеристики (импульсную, фазочастотную и амплитудно-частотную) по отклику системы на некоторое воздействие [15]. При применении аналогичных подходов к нелинейным автоколебательным системам необходимо разделять собственную динамику системы (в данном случае это периодическое поведение автогенератора) и отклик на тестирующий импульс. Поэтому сигналы внешнего воздействия и автоколебаний фильтровались высокочастотным фильтром высокого порядка с частотой среза ^ = 0.01 Гц, намного большей основной частоты автоколебаний f'a = 1/Та, но не превышающей частоту заполнения радиоимпульса fr. Затем проводилось сложение участков временного ряда отфильтрованных автоколебаний, начала которых соответствуют началам радиоимпульса (рис. 2, а). Такой подход, основанный на методе накопления, позволяет существенно увеличить амплитуду импульса, прошедшего по кольцу обратной связи, так как сложение высокочастотных радиоимпульсов происходит в одинаковой фазе. Собственные колебания системы, напротив, складываются в разных фазах и компенсируют друг друга. В результате удается выделить слабый сигнал воздействия в отклике системы даже при наличии шумов, которые имеют случайные амплитуды разного знака и при наложении стремятся к нулю при увеличении числа складываемых участков ряда. На следующем шаге строилась взаимная корреляционная функция сигналов воздействия у(Ь) и отклика г(Ь) системы
С(^ = (У(^ + 5)) , (3)
л/т2)т2)
где угловые скобки обозначают усреднение по времени. По ее виду можно определить время запаздывания и порядок фильтра в цепи обратной связи системы с задержкой.
Рассмотрим изменения, которые претерпевает тестовый сигнал воздействия у(Ь), проходя по кольцу обратной связи системы с запаздыванием (см. рис. 1, а). Во-первых, он задерживается линией задержки. Взаимная корреляционная функция
Рис. 2. Накопленный за 100 наложений отклик г(£) системы с запаздыванием на периодическое импульсное воздействие и взаимная корреляционная функция С(5) сигналов воздействия и отклика системы с запаздыванием первого (а, б), второго (в, г) и третьего (д, е) порядка. Пунктирными линиями показано время, соответствующее времени задержки т = 120 с
между сигналом у (£) и откликом, выделенным из автоколебаний после линии задержки, будет иметь максимум, сдвинутый относительно нуля на время задержки. Во-вторых, тестовый сигнал проходит через нелинейный элемент. Так как нелинейная функция (2) имеет отрицательный наклон, нелинейный элемент изменяет фазу сигнала на п [16]. Это приводит к тому, что взаимная корреляционная функция между сигналом у (£) и откликом, выделенным из автоколебаний после нелинейного элемента, вместо максимума будет иметь минимум на времени задержки. В-третьих, тестовый сигнал проходит через фильтр, который изменяет фазу сигнала, причем, поскольку частота ^ сигнала у(£) больше частоты среза фильтра в цепи обратной связи fF, то сдвиг фазы для всего радиоимпульса с переменной частотой заполнения почти одинаков для начала и конца импульса. Для фильтра первого порядка
изменение фазы сигнала составляет около —п/2. В результате, взаимная корреляционная функция сигналов воздействия и отклика системы сдвигается относительно нуля таким образом, что времени запаздывания соответствует положение нуля корреляционной функции С (в), расположенного слева от самого глубокого минимума (рис. 2, б). Для фильтра второго порядка дополнительный сдвиг фазы составляет почти —п, а значит, в этом случае времени задержки вновь соответствует положение максимума взаимной корреляционной функции сигналов воздействия и отклика системы (рис. 2, г). Для фильтра третьего порядка дополнительный сдвиг фазы составляет почти — 3п/2. При этом время запаздывания определяется положением нуля корреляционной функции (3), расположенным слева от самого большого максимума (рис. 2, е). Заметим, что фильтр высоких частот не изменяет фазовые соотношения между сигналом воздействия и откликом системы, поскольку оба этих сигнала проходят через одинаковые фильтры.
Оценить время задержки и порядок фильтра в цепи обратной связи системы с запаздыванием можно не только по виду взаимной корреляционной функции сигналов воздействия и отклика системы, но и по виду самого отклика системы на внешнее воздействие. На рис. 2 а, в и д приведен накопленный за 100 наложений отклик на внешнее воздействие системы с запаздыванием первого, второго и третьего порядка, соответственно. Задержка отклика позволяет оценить время запаздывания системы. С ростом частоты заполнения тестового радиоимпульса хорошо заметно уменьшение амплитуды отклика. Свойства такого поведения отклика определяются амплитудно-частотной характеристикой фильтра. Ослабление сигнала вне области пропускания низкочастотного фильтра увеличивается со скоростью примерно —6п дБ/октава, где п - порядок фильтра [15]. Мы получили следующую оценку уменьшения амплитуды: 7.5 дБ/октава для рис. 2, а, 13.5 дБ/октава для рис. 2, в и 16.8 дБ/октава для рис. 2, д, что позволяет уверенно определить порядок фильтра и модельного уравнения.
При тестировании метода в присутствии как аддитивного, так и динамического шума, дисперсия которого до 40 раз превышала дисперсию радиоимпульса, мы получили результаты, качественно подобные представленным. При дальнейшем увеличении уровня шума требовалось суммировать большее число откликов системы на тестирующий импульс для выделения слабого сигнала воздействия в отклике системы методом накопления.
Предложенный метод позволяет оценить время задержки и порядок модельного дифференциального уравнения с запаздыванием и в случае, когда система с запаздыванием находится в хаотическом режиме колебаний. Однако, в отличие от известных методов восстановления систем с запаздыванием по хаотическим временным рядам [2-9], такой подход связан с оказанием на систему внешнего воздействия, что не всегда является возможным.
Таким образом, нами предложен и апробирован на системах с запаздыванием первого, второго и третьего порядка метод оценки времени задержки и порядка модельного дифференциального уравнения с запаздыванием для автоколебательных систем с запаздыванием, находящихся в периодическом режиме колебаний.
Работа выполнена при поддержке РФФИ, гранты № 07-02-00589 и № 08-0200081.
Библиографический список
1. Hale J.K., Lunel S.M.V. Introduction to Functional Differential Equations. New York: Springer, 1993.
2. Bunner M.J., Popp M., Meyer Th., Kittel A., Rau U., Parisi J. Recovery of scalar time-delay systems from time series // Phys. Lett. A. 1996. Vol. 211. P. 345.
3. Voss H., Kurths J.Reconstruction of non-linear time delay models from data by the use of optimal transformations // Phys. Lett. A. 1997. Vol. 234. P. 336.
4. Hegger R., Bunner M.J., Kantz H., Giaquinta A. Identifying and modeling delay feedback systems // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 558.
5. Bezruchko B.P., Karavaev A.S., Ponomarenko V.I., Prokhorov M.D. Reconstruction of time-delay systems from chaotic time series // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 056216.
6. HorbeltW., TimmerJ., VossH.U. Parameter estimation in nonlinear delayed feedback systems from noisy data // Phys. Lett. A. 2002. Vol. 299. P. 513.
7. Udaltsov VS., Larger L., Goedgebuer J.P., Locquet A., Citrin D.S. Time delay identification in chaotic cryptosystems ruled by delay-differential equations // J. of Optical Technology. 2005. Vol. 72. P. 373.
8. Ortin S., Gutierrez J.M., Pesquera L., Vasquez H. Nonlinear dynamics extraction for time-delay systems using modular neural networks synchronization and prediction // Physica A. 2005. Vol. 351. P. 133.
9. Prokhorov M.D., Ponomarenko V.I., Karavaev A.S., Bezruchko B.P. Reconstruction of time-delayed feedback systems from time series // Physica D. 2005. Vol. 203. P. 209.
10. Рубаник В.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969.
11. Ringwood J.V., Malpas S.C. Slow oscillations in blood pressure via a nonlinear feedback model // Am. J. Physiol. Regulatory Integrative Comp. Physiol. 2001. Vol. 280. P. 1105.
12. Bocharov G.A., Rihan F.A. Numerical modelling in biosciences using delay differential equations // J. Comp. Appl. Math. 2000. Vol. 125. P. 183.
13. Bezruchko B.P., Dikanev T.V., Smirnov D.A. Role of transient processes for reconstruction of model equations from time series // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. 036210.
14. Харкевич А.А. Борьба с помехами. М.: Наука, 1965.
15. Баскаков С.И. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Высшая школа, 2000.
16. Войшвилло Г.В. Усилительные устройства. М.: Радио и связь,1983.
Саратовский филиал Института Поступила в редакцию 29.08.2007
радиотехники и электроники РАН
ESTIMATION OF CHARACTERISTICS OF SELF-OSCILLATING TIME-DELAY SYSTEMS IN PERIODIC REGIME
V.I. Ponomarenko, M.D. Prokhorov, Ye.P. Seleznev
A method is proposed for reconstructing time-delay systems in periodic regime of oscillations. The method is based on the analysis of these systems response to a weak periodic pulse driving. It is shown that proposed method with using of weak driving allows one to recover the delay time of a ring self-oscillating system with time-delayed feedback and to define the order of a model delay-differential equation.
Пономаренко Владимир Иванович - родился в 1960 году в Саратове, окончил Саратовский государственный университет (1982). Кандидат физико-математических наук (1992). Старший научный сотрудник Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН. Область научных интересов - статистическая радиофизика, анализ временных рядов, нелинейная динамика и ее приложения. Автор более 130 научных публикаций.
Прохоров Михаил Дмитриевич - родился в 1968 году в Саратове, окончил Саратовский государственный университет (1992). После окончания СГУ работает старшим научным сотрудником Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук в СГУ (1997). Область научных интересов - математическое моделирование, анализ временных рядов, синхронизация. Опубликовал более 100 научных работ.
Селезнев Евгений Петрович - родился в 1960 году в Саратове, окончил Саратовский государственный университет (1982). После окончания СГУ работает ведущим научным сотрудником Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН. Защитил диссертацию на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук (1990) и доктора физико-математических наук (2006). Область научных интересов - радиофизика, экспериментальное исследование нелинейных явлений. Имеет более 120 научных публикаций.
