Оценка характеристического показателя решения функционально-дифференциального уравнения -го порядка с отклоняющимся аргументом в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОЦЕНКА ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКОГО ПОКАЗАТЕЛЯ РЕШЕНИЯ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ n -ГО ПОРЯДКА С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ Эмирова И.С. Email: [email protected]

Эмирова Ирина Султановна - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа, Дагестанский государственный университет, г. Махачкала

Аннотация: дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, находят много приложений: в теории автоколебательных систем, при изучении проблем, связанных с горением в ракетном топливе, ряде экономических проблем, биофизических и многих других. Наличие запаздывания в изучаемой системе зачастую оказывается причиной явлений, существенно влияющих на ход процесса.

В последние годы широкое развитие получили исследования по операторно-дифференциальным уравнениям в различных пространствах.

Рассматривается уравнение L^U^t) = f(t), t > tQ > +<X>, с неограниченными операторными коэффициентами Ajj (t), область определения которых принадлежит X , область значений - Y , где X,Y - гильбертовы пространства, X С Y, — ||j|y ,

1 dk

Dj = —---— , Sfo^ (t)u(t) = u(t — Нщ (t)), hjj (t)- абсолютно непрерывные функции,

i dt kj

Hj(t)< r < 1, k = 0,n — 1, j — 1, Hk0(t) = 0, k = 0,n — 1, R+ =(t0,+<x>).

Получены условия на резольвенту, при которых оценивается характеристический показатель решения рассматриваемого уравнения.

Ключевые слова: функционально-дифференциальное уравнение, гильбертово пространство, неограниченные операторные коэффициенты, запаздывающий аргумент, резольвента.

EVALUATION OF CHARACTERISTIC INDEX OF SOLUTION OF THE FUNCTIONAL-DIFFERENTIAL EQUATION OF THE n -TH ORDER WITH DEVIATING ARGUMENT IN THE HILBERT SPACE

Emirova I.S.

Emirova Irina Sultanovna — PhD in physics and mathematics, Associate Professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, DAGESTAN STATE UNIVERSITY, MAKHACHKALA

Abstract: differential equations with deviating argument, especially differential equations with the delayed one, describing the processes with post action find a lot of applications: in the theory of self -oscillatory systems, when studying problems, associated with burning in rocket fuel, in a series of economic, biophysical and many other problems. The presence of delay in the system studied is often the reason of the phenomena, essentially influencing the process.

Investigations on operator - differential equations in various spaces have got wide development during last years.

Functional-differential equation L0u(t) = f (t), t > t0 > with unlimited operator coefficients A^j (t), range of definition X and range of values Y of which belong Hilbert space, X С Y,

НX 411Y, Dk = 1 • dp Shkj(t)u(tu{t — hj (t)), hj (t)- are absolute

continuous functions, h^(t)< r < 1, k = 0,n -1, j > 1, h^0(t) = 0,k = 0,n — 1, Rt = (t0,+ro) in considered.

Conditions on resolvent under which characteristic index of the solution of the considered equation are obtained.

Keywords: functional-differential equation, Hilbert space, unlimited operator coefficients, delaying argument, resolvent.

УДК 517.929

Исследуется уравнение

n—1 m

Lou(f) = D?u(t)—Ц Aj (t )S'hkj (t )D^u(t) = f(t), t > to > +», (1)

k=0j=0

с неограниченными операторными коэффициентами A]j (t), область определения которых принадлежит , область значений - Y , где X,Y - гильбертовы пространства,

X С Y, IИ X >И Y , D] , 1. £, Sj )U(tu(t — hj (t)), hj (t) -

i dt

абсолютно непрерывные функции,

hj (t) < r < 1, k = Ой—1, j > 1, hk0(t) = 0, k = 0,n — 1, R+ = (t0,+»).

Введем обозначения:

XRtQ - пополнение множества функций u(t), u(t) = 0,

t < 10, с компактными в

R+0 носителями и со значениями в X, имеющих сильно непрерывную (й — 1) -ю производную в X и сильно непрерывную n -ю производную в Y по норме

+» f n—1 2 2

||u(t)||2 = J exp(2at)|l||u'(k)(t)^ + u(n)(t)7 Jdt, a = conste R;

- пополнение множества сильно непрерывных функций u(t), u(t) = 0, t < to , с компактными в R+ носителями и со значениями в Y по норме

||u(t= ( J exp(2at)\\u(t)fY dt)12 ;

to

L2 (R °, X) -

пополнение множества сильно непрерывных функций с компактными носителями и со значениями в X по норме

+» у

\\u(t)\\ = ( J|\u(t)\\2Xdt)12;

HI - множество абсолютно непрерывных в I с R скалярных функций h(t), у которых в точках существования производной h'(t) < Г < 1, t £ I.

0

Теорема. Пусть выполнены условия:

а) для V / е Я Л- (/): У ^ У - замкнутые, } > 0, к = 0, И - 1; Л^ (/): X ^ У -

сильно равномерно непрерывные, существуют сильные производные ыЛк

Ж

ЖЛ} ()

() / > ^

8Ир

Ж

<5 5> 0, к = 0, п -1, } > 0;

б) резольвен^1 Я(Я,^ ^-£(¿Лкехр(-а^(О)! регулярны при

I к=0}=0 ^

1т Л < а < да, t > существуют постоянные ^0 , С0 и целое положительное число Р, что для V/ > ^0 и 1т Л = X < а выполняется неравенство

И-1.. .. .. ..

-|лкЯ0(Л,+|ЛИЯ0(Л,<с0^"Р + С0, А = а

к=0

в) /(/) е Уд ,х;

г) к- ) е НЯ+0, 0 < Ьк] (/) < к0, Нщ (/) - равномерно непрерывны в Я+0 , } > 1, к = 0, п -1.

Тогда для характеристического показателя % ^ф) решения u(1) уравнения(1), справедливо неравенство

%(и(/)) = ит)1п |К0||7 + ЬЩ\г ]<-а + СД^+Л / >0.

Доказательство. Используя уравнение ) = /(/) имеем

1,а1

(1 (' )|К1

<

1 т

/ (/)+££ Л, (/ К (/)

к=0-=0

0,аЛ 2

Я+0 у

<

< 2(/(/Ц? I2 + 4(т +1)- - Г Лк- (/К )

к=0-=0^

0,аЛ2

Я+0 у

<

< 2(/(/)£ )2 + 4(т +1)-- £ +| ехр(2а^)|Л-- (/)|2 (||аЧ - Н- (/))2V

+ к=0 }=0 л У V у

к=0}=0ь

ах/)|| Л- (/ - Н- (/)) Ж/ <

< 2( / (/ )Ц й'01 ) + 4(т + 1)®ир

¡.Х £ £ ( - к-- (/))]

к=0}=%-к- (/)

х ехр^к-(/))|и(к)(/)^ Ж- <

- г

< 2( / (/)| £ )2 + ^ 41 Ак] (/) 2 £ £ ехр(2а1Н°)

+ 1 - Г г>и ' к=0 }=0

0

У

-1

х

0

х

( 'о ,, „2 ^

} ехр(2а^|gk('12 Ж' + { ехр(2а^)||и(к)| &

V 'о ^ ьк] ('о 1 'о

<

^ М')1 ¿2 (Д+0,х)

С {(/ (' )10? ^ + ехр^к0 )|| ехр(а^ )и(' )| 11ехР(а1' М' ) ¿2 (д+о,х ) + | |ехР(а1' )gо(' | ¿2 (('о _ ^ )

1

+11ехР(а1')|¿2((^_Ао,,о)}гДе а1 = а -

(

С = с

+

1+ р

¿2 (('п - к \

т,8ир|| А(' ))

V '-'о

Для 1т Я = а <а выполнены все условия теоремы 1 [2] и для решения

да

и(') = I и к('), полученного при доказательстве этой теоремы, имеет место оценка

к=0

\ехр (а11)м (' | ¿2 (Ко,х)

ехр (а1'¿-1 I /к (')

к=0

<

2(я+°,х)

< С

I /к (')

к=0

0,а1 \

* /

=Со 4 / (») ? )2

В силу того, что для любого конечного интервала (1д, 1д представляет собой конечную сумму, то для М'(? ) получим оценку

да 2

ХР(а1')1 Мк (')

('о,'о + Т) ряд и(') = 1 ик(')

к=0

\ехр (а1' )и'(' | ¿2 (К,0Л)

к=0

<

2 (й+°,Х)

< С,

ехР(а1' )1 /к (')

к=0

II2

2 (К°,Х)

=С0(/ (') 0а 2

еХР(а1')и('|¿2^) + ||еХР(а1')и'('|¿2х) < С0 (/(У ■ (3)

Из (2) и (3) следует \\0ai

(и'' (')$ У < С1) +1|ехр^)gо (')|¿2((,0-„0,„) +

+

|еХР(а1')gl (')|¿2(('0-к0Ло),х)}.

(4)

'АЧ^2 (('о-Н0Л0) Из (4) и (1) получим

х

2

L

2

¿

2

да

¿

1 V

\u(t)\

\2,a-Cb ( e )51+p

R+0

v +

< C2 {|/(t)llR^ +1 \expiat)s0 HL((tfl-A0,tfl\x)

+

(5)

\exp(at )gi(t )| ^ ((to -hotg ),x)} Откуда в силу леммы 1 [2] вытекает оценка

г f

|u(t)Y +|u'(t)Y < Cexp<

1 \

-e

a - C5(e)5 1+p

К t > t0

(6)

V У

где C=const, зависящая от f(t), g0(t), gi(t).

Разделив обе части (6) на С, логарифмируя и поделив затем обе части полученного неравенства на t > 0, получаем оценку

1

1lnlu(t\ +\\u'(t^-^lnC< -a + C(e)51+P S, t > 0, из которой вытекает утверждение теоремы.

Список литературы / References

1. Алиев Р.Г. Функционально-дифференциальные уравнения в гильбертовом пространстве. Махачкала, ИПЦ ДГУ, 2001, 256 с.

2. Эмирова И.С. О разрешимости функционально-дифференциального уравненияn -го порядка с запаздывающим аргументом в гильбертовом пространстве // Сб. Вестник ДГУ. Махачкала, 2012. С. 55-59.

t

ПРОБЛЕМЫ ИНЖЕКЦИИ СПИН-ПОЛЯРИЗОВАННЫХ ЭЛЕКТРОНОВ ИЗ МЕТАЛЛА В ПОЛУПРОВОДНИК Виглин Н.А.1, Павлов Т.Н.2, Цвелиховская В.М.3 Em ail: [email protected]

'Виглин Николай Альфредович — кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник; 2Павлов Тимофей Николаевчи - инженер-электроник; 3Цвелиховская Вера Михайловна - инженер-электроник, лаборатория квантовой наноспинтроники, Институт физики металлов им. М.Н. Михеева Уральское отделение Российская Академия наук, г. Екатеринбург

Аннотация: в статье анализируются проблемы и возможные решения в области транспорта спин-поляризованных электронов в гибридных планарных системах вырожденный полупроводник-ферромагнитный металл на примере соединений InSb и CoFe, соответственно. Подробно обсуждается схема устройства возбуждения, передачи и детектирования спин-поляризованных электронов, приводятся аналитические выражения для расчета величины нелокального напряжения в случае спиновой инжекции и даются оценочные данные важные для создания конкретных устройств спинтроники и СВЧ-электроники.

Ключевые слова: спин-поляризованный транспорт, спиновая инжекция, антимонид индия, туннельный барьер, спинтроника, СВЧ-электроника.