Оценка глубины обратимых схем из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 004.312, 519.7

ОЦЕНКА ГЛУБИНЫ ОБРАТИМЫХ СХЕМ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ NOT, CNOT И 2-CNOT

Д. В. Закаблуков1

Рассматривается вопрос об асимптотической глубине обратимых схем, состоящих из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT. Вводится функция Шеннона D(n, q) глубины обратимой схемы, реализующей какое-либо отображение /: Z2 —Z2, как функция от п и от количества дополнительных входов схемы q. Доказывается, что при реализации отображения /, задающего четную подстановку на множестве Z2, обратимой схемой, не использующей дополнительные входы, верно соотношение _D(n, 0) > 2™/(31og2 п). Устанавливается также, что при использовании qo ~ 2™ дополнительных входов для реализации произвольного отображения /: Z2 —> Z2 в обратимой схеме верно соотношение D{n, qo) < 3п.

Ключевые слова: обратимые схемы, глубина схемы, вычисления с памятью.

The paper discusses the asymptotic depth of a reversible circuit consisting of NOT, CNOT and 2-CNOT gates. The reversible circuit depth function D(n, q) is introduced for a circuit implementing a mapping / : Z" Zj as a function of n and the number of additional inputs q. It is proved that for the case of implementing a permutation from A(Z2) with a reversible circuit having no additional inputs the depth is bounded as D(n, 0) > 2™/(3 log2 n). It is proved that for the case of implementing a transformation /: Z2 —» Z2 with a reversible circuit having qo ~ 2™ additional inputs the depth is bounded as D(n, qo) < 3n.

Key words: reversible logic, circuit depth, computations with memory.

1. Введение. В дискретной математике нередко возникает задача оценивания асимптотической сложности того или иного преобразования. Теория схемной сложности берет свое начало с работы К. Шеннона [1]. В ней в качестве меры сложности булевой функции предлагается рассматривать сложность минимальной контактной схемы, реализующей эту функцию. О. Б. Лупановым [2] установлена асимптотика сложности L(n) ~ р2п / п булевой функции от п переменных в произвольном конечном полном базисе элементов с произвольными положительными весами, где р обозначает минимальный приведенный вес элементов базиса.

Вопрос о вычислениях с ограниченной памятью был рассмотрен Н.А. Карповой в работе [3], где доказано, что в базисе классических функциональных элементов, реализующих все р-местные булевы функции, асимптотическая оценка функции Шеннона сложности схемы с тремя и более регистрами памяти зависит от значения р, но не изменяется при увеличении количества используемых регистров памяти. Также было показано, что существует булева функция, которая не может быть реализована в маломестных базисах с использованием менее двух регистров памяти.

О. Б. Лупановым в работе [4] рассмотрены схемы из функциональных элементов с задержками. Было доказано, что в регулярном базисе функциональных элементов любая булева функция может быть реализована схемой, имеющей задержку Т(п) ~ тп, где т — минимум приведенных задержек всех элементов базиса, при сохранении асимптотически оптимальной сложности. Однако не рассматривался вопрос зависимости Т(п) от количества используемых регистров памяти. Хотя задержка и глубина схемы в некоторых работах определяются по-разному [5], в исследуемой далее модели обратимой схемы их, по мнению автора, можно отождествить.

В настоящей работе рассматриваются схемы, состоящие из обратимых функциональных элементов NOT (инвертор), 1-CNOT (контролируемый инвертор, CNOT) и 2-CNOT (дважды контролируемый инвертор, элемент Тоффоли). Будут использоваться формальные определения этих элементов и состоящих из них схем из работы [6]. В [7, 8] доказано, что для любой четной подстановки h € А(Щ) существует задающая ее обратимая схема с п входами, состоящая из элементов NOT, CNOT и 2-CNOT.

В работе [9] рассматривались обратимые схемы без дополнительных входов (дополнительной памяти), состоящие из обобщенных элементов Тоффоли fc-CNOT; была установлена нижняя оценка

1 Закаблуков Дмитрий Владимирович — асп. каф. информационной безопасности ф-та информатики и систем управления МГТУ им. Н.Э. Баумана, e-mail: dmitriy.zakablukovQgmail.com.

функции Шеннона сложности таких схем L(n) > ■ В [7] также рассматривались обратимые

схемы без дополнительных входов, но уже в базисе NOT, CNOT и 2-CNOT; были доказаны нижняя

оценка функции Шеннона сложности таких схем L(n) = Q га) и верхняя оценка L(n) ^ 0(п2п).

В [10] была улучшена верхняя оценка Ь(п) < Ъп2п. Однако схемы с дополнительными входами в данных работах не рассматривались.

В работе [11] было доказано, что для функции Шеннона сложности обратимых схем без дополнительных входов, состоящих из элементов NOT, CNOT и 2-CNOT, верно соотношение L(n) х ^ п. Также было показано, что использование дополнительной памяти в таких схемах почти всегда позволяет снизить сложность схемы.

Автору не удалось найти какие-либо опубликованные результаты об оценке функции Шеннона глубины обратимых схем, состоящих из элементов NOT, CNOT и 2-CNOT. Тем не менее в работе [12] было экспериментально показано, что использование 0(п) дополнительных входов позволяет значительно снизить глубину таких схем.

В настоящей работе рассматривается множество F(n, q) всех отображений %2 —> 1j2, которые могут быть реализованы обратимой схемой, состоящей из элементов NOT, CNOT и 2-CNOT (далее просто обратимая схема), с (п + q) входами. Оценивается глубина обратимой схемы, реализующей отображение / € F(n, q) с использованием q дополнительных входов. Вводится функция Шеннона D(n,q) глубины обратимой схемы как функция от п и от количества дополнительных входов схемы q. Показывается, что, как и в случае сложности обратимой схемы [11], глубина обратимой схемы существенно зависит от количества дополнительных входов (регистров памяти, см. [3]).

При помощи мощностного метода Риордана-Шеннона доказывается нижняя оценка глубины обратимой схемы D(n,q) ^ (2п(п — 2)— nlog2(n + q))/(3(n + q)\og2(n + q)). Описывается аналогичный методу О. Б. Лупанова [4] подход к синтезу обратимой схемы, для которого глубина синтезированной схемы D(n, qo) < 3п при использовании qo ~ 2п дополнительных входов.

2. Основные понятия. Определение обратимых функциональных элементов было впервые введено Т. Тоффоли [13]. Обратимые функциональные элементы NOT и fc-CNOT, а также синтез схем из этих элементов были рассмотрены, к примеру, в работе [14].

Будем пользоваться следующим формальным определением функциональных элементов NOT и fc-CNOT [6]. Через N™ обозначается функциональный элемент NOT (инвертор) с п входами, задающий преобразование Z:2 —>■ Z2 вида

N"((x i,.. .,хп)) = (жь ...,xj® 1,...,хп) . (1)

Через С™ ¿ • = C'j.j, j ф. I, обозначается функциональный элемент fc-CNOT с п входами (контролируемый инвертор, обобщенный элемент Тоффоли с к контролирующими входами), задающий преобразование Щ —> вида

(i ' ■ ■ ■ ' ^п)) — ) • • • ) Xj ф Xii А ... A Xik,..., хп) . (2)

Далее будем опускать верхний индекс п, если его значение ясно из контекста. Обозначим через множество всех функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT с п входами.

Схема из функциональных элементов классически определяется как ориентированный граф без циклов с помеченными ребрами и вершинами. В обратимых схемах, состоящих из элементов множества запрещено ветвление и произвольное подключение входов и выходов функциональных элементов. В ориентированном графе, описывающем такую обратимую схему 6, все вершины, соответствующие функциональным элементам, имеют ровно п занумерованных входов и выходов. Эти вершины нумеруются от 1 до I, при этом г-й выход m-й вершины, m < I, соединяется только с г-м входом (m + 1)-й вершины. Входами обратимой схемы являются входы первой вершины, а выходами — выходы 1-й вершины. Соединение функциональных элементов друг с другом будем также называть композицией элементов.

Всем г-м входам и выходам вершин графа приписывается символ r¿ из некоторого множества R = { п,..., гп }. Каждый символ r¿ можно интерпретировать как имя регистра памяти (номер ячейки памяти), хранящего текущий результат работы схемы. Из формул (1) и (2) следует, что в один момент времени (один такт работы схемы) может быть инвертировано значение не более чем в одном регистре памяти. В этом заключается существенное отличие обратимых схем от схем из классических функциональных элементов, рассмотренных О. Б. Лупановым в своих работах.

Среди основных характеристик обратимой схемы можно выделить сложность и глубину схемы. Пусть обратимая схема Gen входами представляет собой композицию I элементов из множества

: 6 = * Ej(tj, Ij), где tj и Ij контролируемый выход и множество контролирующих входов i=i

элемента Ej соответственно. Сложность L(&) обратимой схемы 6 количество элементов в схеме I. Классически глубина схемы из функциональных элементов определяется как длина максимального нуги на графе, описывающем данную схему, между какими-либо входными и выходными вершинами. В рассматриваемой модели обратимой схемы граф, описывающий такую схему, представляет собой просто одну цепочку последовательно соединенных вершин. Поэтому, если использовать классическое определение глубины схемы, получится, что в нашем случае глубина обратимой схемы равна ее сложности.

Для того чтобы не менять модель обратимой схемы, введем следующее определение глубины

обратимой схемы. Будем считать, что обратимая схема 6 = * Ej(tj,Ij) имеет глубину D(6) = 1,

j=i

если для любых двух ее функциональных элементов E\(t\,I\) и £/2(^2? ^2) выполняется равенство

({il}U/i)n({i2}U/2) = 0 .

Также будем считать, что обратимая схема 6 имеет глубину D(&) ^ d, если ее можно разбить на d непересекающихся подсхем, каждая из которых имеет глубину 1:

d

б = у е'г, D(e'i) = 1. (з)

г= 1

Тогда можно ввести следующее определение: глубина D(&) обратимой схемы 6 минимально возможное количество d непересекающихся подсхем глубины 1 в разбиении схемы & но формуле (3). Используя это определение, можно вывести простое соотношение, связывающее сложность и глубину обратимой схемы (5, имеющей п входов:

^^ < D(6) < L(6) . (4)

На рис. 1 показан пример обратимой схемы со сложностью 6 и глубиной 3. На данном и на всех последующих рисунках элементы fc-CNOT обозначаются следующим образом: контролирующие входы обозначаются символом •, контролируемый выход символом ©. Инвертируемый выход элемента NOT обозначается символом 0. Входы схемы/элементов, если не оговорено иначе, находятся слева, выходы справа. Входы и выходы пронумерованы сверху вниз начиная с 1. Элементы в схеме соединяются без ветвлений входов и выходов, г-й выход j-vo элемента соединяется с г-м входом (j + 1)-го элемента. На входы обратимой схемы подаются значения 0 и 1, затем последовательно, слева направо, каждый из элементов инвертирует либо не инвертирует значение на одном (и только одном) из своих выходов в зависимости от значений на своих входах (см. формулы (1) и (2)). 3. Глубина обратимой схемы. Введем следующие отображения:

1) расширяющее отображение фп,п+к '■ Щ ~~^ Щ+к вида

Фп,п+к{{х1, • • •, хп)) = (жь ..., хп, 0,..., 0) ;

2) редуцирующее отображение п '■ Щ+к —> Щ вида

Фп+к;п({х 1) • • • j^ra+fc)) = (Ж7г(1)) • • • )Ж7г(»г)) j

где -/г некоторая подстановка на множестве 'Ln+k-

Известно, что обратимая схема с п ^ 4 входами задает некоторую четную подстановку на множестве 'Щ [7, 8]. В то же время данная схема может реализовывать не более А™ (количество размещений из п но т без повторений) различных булевых отображений Ъ^ —> Щг, 1де т ^ п, с использованием или без использования дополнительных входов. Введем формальное определение обратимой схемы, реализующей некоторое отображение f'■ Щ —> Щг с использованием дополнительных входов.

Рис. 1. Обратимая схема & = С\-д * СзЛ*^Г2*ЛГ4*С,1Л;2*ЛГ3 СО сложностью L(&) = 6 и глубиной D(&) = 3

Определение. Обратимая схема &д с (п + q) входами, задающая преобразование g: Z2+q —>■ Z2+q, реализует отображение /: ZÎ? —>■ Z™ с использованием q ^ 0 дополнительных входов (дополнительной памяти), если существует такая подстановка 7Г € ¿>(Zra+g), что

C+g.mtoí&Wx))) = Дх), где х € Z?, /(х) € Z^ .

Выражения "реализует отображение" и "задает отображение" имеют различное значение: если обратимая схема 6д задает отображение /, то <?(х) = /(х). Будем говорить, что схема 6д реализует отображение / без использования дополнительной памяти, если она имеет ровно п входов. Очевидно, что при m > п не существует обратимой схемы, реализующей отображение / без использования дополнительной памяти.

Обозначим через Р2(п,п) множество всех булевых отображений Z2 Щ- Обозначим через F(n,q) С Р2(п,п) множество всех отображений Z2 —> Z2, которые могут быть реализованы обратимой схемой с (п + q) входами. Множество подстановок из S(Z2), задаваемых всеми элементами множества генерирует знакопеременную А(Ъ2) и симметрическую S( 1¡2) группы подстановок при п > 3 и п ^ 3 соответственно [7, 8]. Отсюда следует, что F(n, 0) совпадает с множеством преобразований, задаваемых всеми подстановками из A(Z2) и S(Z2) при п > 3 и п ^ 3 соответственно. С другой стороны, несложно показать, что при q^n верно равенство F(n,q) = Р2(п,п).

Обозначим через L(f, q) и D(f, q) минимальную сложность и глубину обратимой схемы, состоящей из функциональных элементов множества и реализующей некоторое отображение / € F(n, q) с использованием q дополнительных входов. Определим функции Шеннона L(n, q) и D(n,q) для сложности и глубины обратимой схемы:

L(n,q) = max L(f,q) , D(n,q) = max D(f,q) .

f£F(n,q) f£F(n,q)

Сформулируем основные результаты работы. Доказательство приведенных ниже теорем будет дано в следующих пунктах. Будем использовать следующие обозначения для асимптотического неравенства, эквивалентности и эквивалентности с точностью до порядка двух функций от п: f(n) > g (ri), f(n) ~ g (ri) и f(n) x g (ri).

Теорема 1 (нижняя оценка сложности обратимой схемы). Для любого п > 0 верно неравенство

2п(п — 2) — п \og2(n + q) LM> 3 \og2(n + q) •

Следствие 1. Для любого п > 0 верно неравенство

2 П(п — 2) — nlog2(n + q)

D(n,q) >

3(n + q) log2(n + q)

Доказательство следует из теоремы 1 и соотношения (4).

Следствие 2. Для обратимой схемы 6 без дополнительных входов верна следующая нижняя оценка глубины:

2 п

D(n, 0)>-- .

3log2 п

Теорема 2 (верхняя оценка глубины обратимой схемы). Верны следующие оценки:

D(n,qi) < 3п при qi ~ 2п, L(&) ~ 2n+l , D(n, q2) < 2п при q2 ~ ф(п)2п, L(6) ~ ф(п)2п+1 ,

где ф(п) < п — сколь угодно медленно растущая функция от п.

Утверждение. Использование дополнительной памяти в обратимых схемах, состоящих из функциональных элементов множества , почти всегда позволяет существенно снизить глубину обратимой схемы, в отличие от, схем,, состоящих из классических необратимых функциональных элементов [4].

Доказательство следует из теорем 1 и 2.

Мы не оцениваем глубину обратимых схем, реализующих отображения —>■ Z™ при т ф п. Тем не менее для таких схем могут быть получены аналогичные оценки глубины путем корректной подстановки параметра т в доказательство теорем 1, 2.

Полученные верхние и нижние оценки глубины обратимой схемы достаточно неточны: они фактически несопоставимы. Так, нижняя оценка глубины при количестве дополнительных входов <72 ~ ф(п)2п из теоремы 2 вырождается в тривиальную D(n,q2) ^ 0, в то время как верхняя оценка при данном значении количества дополнительных входов линейна.

К сожалению, вопрос получения эквивалентных с точностью до порядка верхних и нижних оценок для D(n, q) до сих пор остается открытым. Автор надеется, что результаты настоящей работы станут первым шагом в данном направлении.

4. Нижняя оценка сложности обратимых схем. Перейдем к доказательству первой теоремы.

Доказательство теоремы 1. Докажем при помощи мощностного метода Риордана-Шеннона, что для любого п > 0 верно неравенство

2п(п — 2)—п \og2(n + q) LM> 3 \og2{n + q) •

Пусть г = |Q2|. Обозначим через С*(п, s) = rs и С(п, s) количество всех обратимых схем, которые состоят из функциональных элементов множества Q2 и сложность которых равна s и не превышает s соответственно. Тогда

, „21 n/îî\ п3-п2 + 2п п2{п-1) п3

r = = =-2- ' -2-+ 1<r ^ Y ПРИ n ^ 2 >

к=0 ^ '

s rs+i_i fn3\s+1 2 fn3\s ( 1 \

Как было сказано ранее, каждой обратимой схеме с (n + q) входами соответствует не более A™+q различных булевых отображений Ж2 —> Щ- Пусть s = L(n,q), тогда верно следующее неравенство:

Q{n + q,s)-A1+q>\F{n,q)\.

Поскольку |F(n, q)\ ^ \А(1%)\ = (2п)\/ 2A™+q + q)n, то

(■n + q)3\ (1 +-1- \ (n + q)n > (2га)!/2 .

2 J \ n + q- 1/ Несложно убедиться, что при п > 0 верно неравенство (2га)! > (2п / е)2". Следовательно,

s(3 log2(n + q) - 1) + log2 + n + 1q_-^j + n log2(« + q)> 2u(n - log2 e) ,

^^ 2n(n - 2) - n log2(n + q) 31og 2{n + q)

Из последнего неравенства следует утверждение теоремы, поскольку в наших обозначениях s = L(n, q). □

В работе [11] была сделана попытка поднять нижнюю оценку сложности обратимых схем за счет свойства эквивалентности некоторых схем с точки зрения задаваемых ими преобразований. Для этой цели была выдвинута следующая гипотеза о структуре обратимых схем из функциональных элементов множества Q2.

Гипотеза. Почти каждая обратимая схема, состоящая из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT и имеющая п —> оо входов, может быть представлена в виде композиции подсхем, сложности к = о(п) (кроме последней, сложность которой L ^ к), т,аких, что в каждой подсхеме все элементы являются попарно коммутирующими. Количество обратимых схем, для которых это неверно, пренебрежимо мало.

К сожалению, в доказательстве этой гипотезы в работе [11] была допущена ошибка: несложно показать, что количество всех обратимых схем сложности выше п, не соответствующих утверждению гипотезы, не является пренебрежимо малым по отношению к общему количеству схем данной сложности.

5. Верхняя оценка глубины обратимых схем без дополнительных входов. В работе [11] предложен алгоритм синтеза обратимой схемы (5 без дополнительных входов, задающей подстановку h € A(7j2 ); доказано, что сложность синтезированной схемы удовлетворяет соотношению

L(6)<52n271og2n. (5)

Очевидно, что D(&) ^ L(&), поэтому D(n, 0) < 52?г2"/log2 п. Однако константу 52 в данной оценке можно уменьшить.

Алгоритм синтеза из работы [11] задает произведение L ~ log2 п независимых транспозиций одним элементом fc-CNOT и множеством элементов NOT и CNOT с помощью действия сопряжением. Для этого строится матрица из векторов, соответствующих этим транспозициям. В матрице обнуляются некоторые столбцы путем сложения по модулю 2 с совпадающими с ними столбцами (не более 2п элементов CNOT), а в конце работы алгоритма почти все столбцы матрицы делаются единичными (не более 2п элементов NOT)2. Очевидно, что обнулять столбцы матрицы можно с логарифмической глубиной (глубина не более 21og2??.), а элементы NOT можно применять с константной глубиной (глубина не превышает 2).

Если аккуратно заменить в доказательстве оценки (5) из работы [11] величину 4п, соответствующую сложности описанных выше шагов алгоритма синтеза обратимой схемы, на величину 2(log2??. + 1), то можно получить следующую верхнюю оценку для D(n, 0):

D{n, 0) < 36??2'V log2 n .

Однако остается открытым вопрос получения эквивалентных с точностью до порядка нижней и верхней оценок для функции D(n, 0).

6. Верхняя оценка глубины обратимых схем с дополнительными входами. О. Б. Лу-

пановым [4| был предложен асимптотически наилучший метод синтеза схем из функциональных элементов с задержками, реализующих булевы функции, в регулярном базисе. Было доказано, что для булевой функции от п переменных и в случае равных единичных задержек всех элементов базиса залеожка схемы эквивалентна п. Поименим аналогичный подход для получения верхней оценки

глубины обратимых схем, состоящих из функциональных элементов множества ^n+q 11 реализующих заданное отображение / € F(n,q).

Базис { —i, ф, А } является функционально полным, поэтому с его помощью можно реализовать любое отображение / € F(n,q). Выразим каждый элемент этого базиса через композицию функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT (рис. 2). Видно, что каждый элемент реализуется со сложностью и глубиной не выше 2, при этом требуется максимум один дополнительный вход.

Отметим также, что если значение с одного входа в дальнейшем должно участвовать в к операциях, то для уменьшения глубины схемы производится копирование этого значения на дополнительные входы, а затем эти дополнительные входы используются в к операциях независимо друг от друга. В итоге можно получить подсхему с глубиной не к, a (|~log2fc~| + 1) (рис. 3).

Докажем следующую лемму о глубине обратимой схемы, реализующей все конъюнкции п неременных вида ж"1 А ... А х"гп , a,¿ € Z2.

Лемма. Все конъюнкции п переменных вида ж"1 А ... А х"гп, o¿ € Z2. .можно реализовать обратимой схем,ой &п, состоящей из функциональных элементов .множества имеющей глубину D{&n) ~ п и использующей q(6n) ~ 3 • 2п дополнительных входов. При этом, сложность такой схемы L(&n) ~ 3 • 2".

Доказательство. Вначале реализуем все инверсии х%, 1 ^ i ^ п. Сделать это можно с глубиной D\ = 2 при использовании L\ = 2п элементов NOT и CNOT и q\ = п дополнительных входов.

Искомую обратимую схему &п будем строить следующим образом: при помощи схем бр(г/2] и &\п/2\ реализуем все конъюнкции \п/2\ первых и |_77./2J последних переменных. Затем реализуем конъюнкции выходов этих двух схем каждого с каждым. Любой выход будет участвовать не более чем в 2 • 2га/2 конъюнкциях, поэтому получение искомых конъюнкций можно реализовать с глубиной не более чем (2 + п/2), сложностью не более чем 3 • 2п и с использованием не более чем 3 • 2п дополнительных входов.

Рис. 2. Выражение функциональных элементов базиса { -i, Ф, А } через композицию элементов NOT. CNOT и

2-CNOT

"Коэффициент 2 возникает за счет действия сопряжением.

Таким образом, получаем следующие соотношения:

77

D{&n) ~ 2 + D(&n/2) ~ п ,

L{Gn) ~ 3 • 2" + 2L(en/2) ~ 3 • 2" , q{6n) ~ 3 • 2" + 2ç(6„/2) - 3 • 2" .

Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы 2. Основное отличие метода синтеза, описываемого в этом доказательстве, от стандартного метода О. Б. Лунанова заключается в следующем: в обратимых схемах запрещено ветвление входов и выходов, поэтому для получения требуемых оценок для функции D(n, q) активно используются подсхемы но копированию значений с промежуточных выходов на дополнительные входы с логарифмической глубиной (см. рис. 3). Также нодсчитывается количество используемых дополнительных входов и получаемая при этом сложность схемы.

Доказательство теоремы 2. Докажем, что для произвольного отображения / € F(n, q) верны следующие соотношения :

X X X X X X X X

Рис. 3. Копирование значения с одного входа на дополнительные входы с логарифмической глубиной (входы схемы сверху, выходы снизу)

D(f,qi) < 377, при q\ ~ 2", L(6)

ryn + l

,П+1

D{f,q-2) < 277 при q2 ~ ф{п)2п, L(6) - ф{п)'2

где ф{77) < 77 сколь угодно медленно растущая функция ОТ 77.

Булево отображение /: Щ —> Щ можно представить следующим образом:

/и = е ^

afc+i>--->«?i€Z<2

так+1 д

(6)

(7)

(8)

Каждое из 2п отображений /¿((жi

• • Л Л /((жь ..., хк, ак+ь ..., ап)) . , хк)) = /((жь ..., хк, ак+1, • • •, ап)), где

п—к

X! ак+з1 '

3=1

является отображением —> Щ- Его можно представить в виде системы 77 координатных булевых функций /г,^(х), X € 1 ^ ;) 77.

Воспользуемся следующим аналогом совершенной дизъюнктивной нормальной формы для булевой функции:

/м(х)= 0 х?л...лх?. (9)

и,М)=1

Разбив все 2к конъюнкций вида х^1 Л ... Л на фиксированные группы, в каждой из которых не более § конъюнкций, получим р = [2*/$] групп. Используя конъюнкции одной группы, по формуле (9) можно получить не более 2Л' булевых функций. Обозначим множество булевых функций, реализуемых при помощи конъюнкций ?'-й но счету группы, через О г, 1 ^ г ^ р, тогда | | ^ 2Л\ Теперь мы можем переписать равенство (9) в следующем виде:

/м(х) = 0 Ых)

(Ю)

t=l..:p 9jt€Gt IsSitsílGtl

Замечание. Все булевы функции множества Ог можно реализовать но тому же принципу, что и все конъюнкции в лемме (разбиение множества входов пополам): глубина полученной подсхемы И ~ в, сложность Ь ~ 3 • 2Л', количество дополнительных входов q ~ 2в+1.

Хк

Хк+ 1

41 А... Л х^

гее,-

61 ©4

...

62 ©5

...

©3

66

4 + 1

/(X)

Таким образом, искомая обратимая схема (5, реализующая отображение /, состоит из следующих обратимых подсхем (рис. 4). а 1) Подсхема ©1, реализующая

Л... Л хп все конъюнкции первых к неременных Хг согласно лемме с глубиной ~ к, сложностью Ь\ ~ 3-2^' и 51 ~ 3 • 2к дополнительными входами.

2) Подсхема ©2, реализующая все булевы функции д € для всех г Е Ър но формуле (9) с глубиной И-2 ~ 8, СЛОЖНОСТЬЮ Ь<2 ~ Зр2Л' и 52 ~ дополнительными входами (см. замечание, касающееся реализации всех булевых функций множества О^.

3) Подсхема ©з, реализующая все п2п~к координатных функций

Рис. 4. Структура обратимой схемы &, реализующей отображение (8) (входы схемы сверху, выходы снизу) /¿^(х), г & Ъ^п-к, ] € ЪП) но формуле (10). Особенностью данной подсхемы является то, что некоторая булева функция д € может использоваться больше одного раза. Максимальное количество использования функции д не превосходит п2п~к. Следовательно, сначала нам необходимо скопировать значения с выходов подсхемы ©2 для всех таких булевых функций. Это можно сделать с глубиной (п — к + к^2?г), используя не более рп2п~к функциональных элементов и рп2п~к дополнительных входов (см. рис. 3). Затем производится сложение но модулю 2 полученных выходов с глубиной 1сЩ2Р1 сложностью (р — 1)п2п~к и без дополнительных входов. Таким образом, подсхема ©з имеет глубину £>з ~ п — к + к^р, сложность ~ (2р — 1)п2п~к и 53 ~ рп2п~к дополнительных входов.

4) Подсхема ©4, реализующая все конъюнкции последних (п — к) неременных Хг согласно лемме с глубиной £>4 ~ (п — к), сложностью ¿4 ~ 3 • 2п~к и 54 ~ 3 • 2п~к дополнительными входами.

5) Подсхема ©5, необходимая для копирования (п — 1) раз значения каждого выхода подсхемы ©4. Это можно сделать с глубиной £>5 ~ п, сложностью Ьк, = (п — 1) • 2п~к и 55 = (п — 1)2п~к дополнительными входами.

6) Подсхема ©е, реализующая булево отображение / но формуле (8). Структура данной подсхемы следующая: все п2п~к координатных функций /¿^(х) группируются по 2п~к функций (всего п групп, соответствующих п выходам отображения /). Функции одной группы объединяются но две. В каждой парс функций производится конъюнкция соответствующих выходов подсхем ©3 и ©5 при помощи двух элементов 2-С1ЧОТ. При этом для каждой пары функций используется один дополнительный вход для хранения промежуточного результата. Таким образом, данный этап требует глубины 2, п2п~к элементов 2-С1ЧОТ и п2п~к~1 дополнительных входов. Затем в каждой из п групп полученных значений происходит суммирование но модулю 2 при помощи элементов С1ЧОТ с логарифмической глубиной. Следовательно, этот этап требует глубины (п — к — 1), элементов С1ЧОТ в количестве п(2п~к~1 — 1) и не использует дополнительные входы, так как можно обойтись уже существующими выходами для суммирования по модулю 2.

В итоге получаем подсхему ©е с глубиной £>6 ~ (п — к), сложностью Ьв ~ Зп2п~к~1 и ~ п2п~к~1 дополнительными входами.

Отметим, что подсхемы ©1 ©3 и ©4 ©5 могут работать параллельно, поскольку они работают с непересекающимися подмножествами множества входов х^,... ,хп обратимой схемы © (см. рис. 4).

Будем искать параметры к из, удовлетворяющие следующим условиям:

к + 8 = п, 1 ^ к < п, 1 ^ з < щ

2к / в ^ ф(п), еде ф(п) некоторая растущая функция. В этом случае р = \2к / «] ~ 2к / в.

Суммируя глубины, сложности и количество дополнительных входов всех подсхем ©1 ©е, получаем следующие оценки для характеристик обратимой схемы ©.

Глубина

£>(©) ~ тах(& + в + п — к + р ; п — к + + п — к , £>(©) ~ 2п + «

Сложность

L(&) ~ 3 • 2к + ?yp2s + (2р - 1)п2п~к + 3 • 2п~к + п2п~к + 3n2n~k~1 ,

2п 3•2п n2n+l n2n+l

L(6) ~ 3 • — +-+---.

v ' 2S s s s

Количество используемых дополнительных входов

q(&) ~ 3 • 2к + p2s+l + рп2п~к + 3 • 2п~к + n2ra"fc + п2п~к~1 ,

2п 2п+1 п2га п2га «6 ~ 3 • — +-+---.

2s s s s

Мы построили обратимую схему (5 для произвольного отображения / € F(n, q), откуда следует, что D(n,q) ^ D(&).

Оценка (6) достигается при к = \п/</>(n)~|, s = п — \п/</>(п)~|, где ф(п) ^ п/(log2п + log2ф(п)) и ф(п) — любые сколь угодно медленно растущие функции.

Оценка (7) достигается при к = п — \п / ф{п)~|, s = \п / </>(п)~|, где ф{п) < п — сколь угодно медленно растущая функция. □

Остается открытым вопрос получения эквивалентных с точностью до порядка нижней и верхней оценок для функции D(n,q) в случае q —> оо.

7. Заключение. В работе рассмотрен вопрос о глубине обратимых схем, состоящих из функциональных элементов NOT, CNOT и 2-CNOT. Изучена функция Шеннона D(n, q) глубины обратимой схемы, реализующей какое-либо отображение —> Щ из множества F(n,q), как функция от и и количества дополнительных входов схемы q. Доказаны некоторые нижние и верхние асимптотические оценки функции D(n, q) для обратимых схем с дополнительными входами и без. Показано, что использование дополнительной памяти в таких обратимых схемах почти всегда позволяет снизить глубину схемы, в отличие от схем, состоящих из классических необратимых функциональных элементов.

При решении задачи синтеза обратимой схемы, реализующей какое-либо отображение, приходится искать компромисс между сложностью синтезированной схемы, ее временем работы (глубина схемы) и количеством используемой дополнительной памяти (дополнительных входов в схеме). Направлением дальнейших исследований является более детальное изучение зависимости этих величин друг от друга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shannon С.Е. The synthesis of two-terminal switching circuits // Bell System Techn. J. 1949. 28, N 8. 59-98.

2. Лупанов О.Б. Об одном методе синтеза схем // Изв. вузов. Радиофизика. 1958. 1, № 1. 23-26.

3. Карпова Н.А. О вычислениях с ограниченной памятью // Математические вопросы кибернетики. Вып. 2. М.: Наука, 1989. 131-144.

4. Лупанов О.Б. О схемах из функциональных элементов с задержками // Проблемы кибернетики. Вып. 23. М.: Наука, 1970. 43-81.

5. Храпченко В.М. Новые соотношения между глубиной и задержкой // Дискрет, матем. 1995. 7, № 4. 77-85.

6. Закаблуков Д.В. Быстрый алгоритм синтеза обратимых схем на основе теории групп подстановок // Прикл. дискрет, матем. 2014. № 2. 101-109.

7. Shende V.V., Prasad А.К., Markov I.L., Hayes J.P. Synthesis of reversible logic circuits // IEEE Trans. Comput.-Aided Design Integr. Circuits Syst. 2006. 22, N 6. 710-722. DOI: 10.1109/TCAD.2003.811448.

8. Закаблуков Д.В., Жуков A.E. Исследование схем из обратимых логических элементов // Информатика и системы управления в XXI веке: Сб. тр. №9 молодых ученых, аспирантов и студентов. М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2012. 148-157.

9. Винокуров С.Ф., Францева А. С. Приближенный алгоритм вычисления сложности обратимой функции в базисе Тоффоли // Изв. Иркут. гос. ун-та. Сер. матем. 2011. 4, № 4. 12-26.

10. Maslov D.A., Dueck G. W., Miller D.M. Techniques for the synthesis of reversible Toffoli networks // ACM Trans. Design Automat. Electron. Syst. 2007. 12, N 4. DOI: 10.1145/1278349.1278355.

11. Закаблуков Д.В. Вентильная сложность обратимых схем как мера сложности четных подстановок // Вести. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. приборостр. 2015. № 1. 67-82.

12. Abdessaied N., Wille R., Soeken M., Drechsler R. Reducing the depth of quantum circuits using additional circuit lines // Proc. 5th Int. Conf. Reversible Computation. Victoria, ВС, Canada, 2013. 221-233. DOI: 10.1007/978-3-642-38986-3^18.

13. Toffoli Т. Reversible Computing // Automata, Languages and Programming. Ser. Lect. Notes Comput. Sci. Vol. 85. Berlin; Heidelberg: Springer, 1980. 632-644. DOI: 10.1007/3-540-10003-2^104.

14. Maslov D.A. Reversible Logic Synthesis: Ph.D. Thesis. 2003. URL: http://web.cecs.pdx.edu/~mperkows/ PerkowskiGoogle / thesis_ maslov.pdf.

Поступила в редакцию 02.09.2015

УДК 512.552.3+512.552.7

ПОЛУГРУППОВЫЕ И ГРУППОВЫЕ КОЛЬЦА С БОЛЬШИМ ЦЕНТРОМ

Д. В. Злыднев1

Кольцо R называется кольцом с большим центром или IIC-кольцом, если любой его ненулевой идеал имеет ненулевое пересечение с центром кольца R. Рассматриваются условия, при которых полугрупповое кольцо над IIC-кольцом является ПС-кольцом.

Ключевые слова: центр кольца, IIC-кольцо, групповое кольцо, полугрупповое кольцо, нильпотентная группа.

A ring R is called a ring with a large center or an IIC-ring if any nonzero ideal of R has nonzero intersection with the center of R. We consider conditions under which a semigroup ring over an IIC-ring is an IIC-ring.

Key words: center of ring, IIC-ring, group ring, semigroup ring, nilpotent group.

Все рассматриваемые кольца ассоциативны, но необязательно содержат единицу. Запись I <\ R означает, что I — идеал кольца R. Центр кольца R обозначаем через Cen(_R) или Rc, аннулятор кольца R — через Ann(_R) или R0, а правый (левый) аннулятор кольца R — через Rr (R1).*

Отметим, что R° = R1 П Rr и R0 С Rc. Если R — IIC-кольцо и = 0, то Rl = Rr = 0. Пусть S — полугруппа. Полугрупповым кольцом RS называется свободный //-модуль с базисом S и умножением r\S\-r2S2 = (rir2)(siS2), где fi, г2 € R, si, s2 € S*. В частности, если S = G — группа, то RG — групповое кольцо. Любой ненулевой элемент а € RS однозначно представляется в виде

п

а = r%Si, где 0 ф Vi £ R, Si £ S, Si ф Sj при i ф j. Обозначим через supp(a) := {si}i=l носитель

г=1

элемента а, а через cf(a, Si) := Vi коэффициент элемента а при Si. Если s supp(a), то cf(a, s) := 0.

Используем следующие обозначения для групп: Gc — центр группы G; С(д) = {hgh~l \ h € G} — класс сопряженности элемента д € G; GA = {д € G \ |C(5f)| < оо}; Cg(M) = {д Е G \ Ух € М дх = хд} — централизатор множества М С G. Группа G называется FC-группой, если (1 = Сл.

Если S — моноид с единицей е, то отождествим элементы г € R и re € RS. Таким образом, будем считать, что R С RS. Легко убедиться в справедливости следующей леммы. Лемма 1. Если S — моноид, то Cen(RS) С RCS. Теорема 1. Если S — моноид и RS — IIC-кольцо, то R — IIC-кольцо.

Доказательство. Пусть 0 ф I <\ R, тогда 0 ф IS < RS. Так как RS — IIC-кольцо, то найдется ненулевой элемент а = ^fiSi £ IS П Cen (RS), где 0 ф ri € I, Si € S. По лемме 1 имеем n € Rc.

г

Итак, I П Rc ф 0, а значит, R — IIC-кольцо. Теорема доказана.

Поставим вопрос о том, верно ли обратное: если R — IIC-кольцо, то RS — IIC-кольцо? Позже мы убедимся, что, вообще говоря, это не так. Положительный ответ был получен в случае, когда S — коммутативный моноид и = 0 [1, теорема 4.4]. Оказывается, это вытекает из следующего утверждения, причем условие R0 = 0 несущественно.

Теорема 2. Пусть R — IIC-кольцо, S — моноид и I — ненулевой идеал кольца RS. Тогда I П Rc S ф 0, причем для всякого ненулевого элемента а £ I найдется такой ненулевой элемент а' € I П R°S, что supp(a') С supp(a).

1 Злыднев Дмитрий Владимирович — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dvz29Qyandex.ru.