Оценка эффективности применения быстрого дискретного сплайнового вейвлет-преобразования для ослабления коррелированности дискретно заданных данных Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 004.942

ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ БЫСТРОГО ДИСКРЕТНОГО СПЛАЙНОВОГО ВЕЙВЛЕТ-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ДЛЯ ОСЛАБЛЕНИЯ КОРРЕЛИРОВАННОСТИ ДИСКРЕТНО ЗАДАННЫХ ДАННЫХ

И.А. Блатов, Ю.А. Герасимова

Рассмотрен метод быстрого дискретного вейвлет-преобразования в пространстве сплайновых вейвлетов на конечном отрезке. Описан алгоритм применения сплайновых вейвлетов и ослабления коррелированности последовательности сильнокоррелированных случайных величин. Исследован метод оценки декоррелирующих свойств ортогональных преобразований. Проведена сравнительная оценка эффективности быстрого дискретного вейвлет-преобразования на базе сплайновых вейвлетов и преобразования Добеши в рамках задачи теории массового обслуживания

Ключевые слова: вейвлет-анализ, сплайновые вейвлеты, декорреляция, вейвлет-преобразование

Введение

Пусть имеется некоторый вектор X = (х0, ...,хп)т с известной корреляционной матрицей

А.

В случае если сильная коррелированность создает значительные трудности при решении конкретных задач, используется прием, заключающийся в предварительном выполнении некоторого ортогонального преобразования, определяемого матрицей Т = (Су), целью которого является устранение или снижение корреляции исходных данных.

Использование современных методов анализа из теории массового обслуживания относительно вектора X = ТХ, а не вектора X, оказывается гораздо более эффективным.

Устранить коррелированность и получить наилучший результат можно путем использования преобразования Карунена-Лоэва. В этом случае матрица Т состоит из собственных векторов матрицы А, и полученная корреляционная матрица будет иметь диагональный вид. Однако у этого метода есть ряд недостатков: отсутствие быстрых алгоритмов вычисления; зависимость от структуры матрицы А; высокая ресурсоемкость задачи построения такого базиса.

Поэтому актуальна задача построения более доступных базисов, в которых коррелированность можно если не устранить, то существенно ослабить. В настоящем докладе для этой цели исследуются сплайновые вейвлеты.

Построение систем полуортогональных сплайновых вейвлетов

Пусть [а,Ь] - произвольный отрезок, т> 1 - натуральное число, п0 - такое целое число, что 2П° < 2т + 1 < 2"0+1 и к - такое целое число, что 2к >2т-1.

Блатов Игорь Анатольевич - ПГУТИ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: [email protected]

Герасимова Юлия Андреевна - ПГУТИ, аспирант, e-mail: [email protected]

Рассмотрим семейство Д= (Д„,п = п0,п0 + 1,...} разбиений отрезка [а,Ь] с шагом к = кп = (Ь-а)/2п. Обозначим через Б(Ап,т,к) совокупность сплайнов степени т дефекта к, определенных на сетке Дп.

На каждом разбиении рассмотрим пространство сплайнов Ьп = Б(Ап,т — 1,1). Тогда для каждого к>п0 пространство 5(Дп,т—1,1) можно представить в виде прямой суммы Ьк = ЬПо®МПо+1®ШПо+2®...®Шк, где через Шк обозначено ортогональное дополнение пространства до пространства Ьк. Вейвлет-базис получается как объединение базиса в ЪПо и всех базисов в пространствах Щг,п0 <п<к.

Для I > 0, такого, что отрезок [х[п"1,х1п+-21т_1] целиком содержится в[а,Ъ], функцию (х) £ Щг будем искать по формуле

21+Зт-2

(1)

j=2i

где Фк,п-1 - нормированный B-сплайн, вычисляющийся по формуле

(у — уП-1 v р Гу.П — 1 уП-1л Л- Л j , Л- С ^ j , j | ^ )

Ф],п-1 = ^ Xj+2

п-1 _ v v р [у-п-1 у.п-11 л,, л с: + 1 , 7 + 2 J

п-1 „п-1п ,xj+2 J

(2)

о, х е [х1

Коэффициенты а^ находятся из условия

(Ф1,п(х),Фк,п-1) = 0 к = 1 — т+1,1 — т + 2, ...,1 + 2т — 2 Подставляя (1) в (2) получим

21+Зт-2 ] = 21

к = 1 — т+1,1 — т + 2, ...,1 + 2т — 2 Полученная система всегда имеет нетривиальное решение.

Совокупность построенных вейвлет-функций получается сдвигом одной единственной функции п по формуле

^,п(х) = ф0п(2п~п°х — 1(Ъ — а)/2По_1) Таким образом будет построена совокупность полуортогональных линейно независимых вейвлет-функций ^ п (х), I =

0,1,..., 2П_1 - 2т + 1. Однако размерность Щг равна 2П_1, т.е. до базиса в Щг не хватает 2(т — 1) функций. Первая группа недостающих вейвлетов ищется по следующим формулам

Хр1,п(Х) = ^¿,п(х) — ^¿=-2т+2 (х)у

—т + 1 < I < —1 Исходя из условия

(4>1,п(х),фКп-1) = 0 ,к = —т+1,.,—1

Вторая группа ищется исходя из следующего

Тр1,п(х) = ^¿,п(х) — 1^=2п-1_т+1 aj'Фj,n(x),

2П_1 —т+1<1< 2П_1 — т Исходя из условия

(гр1п(х),фкп_1) = 0, к = 2П_1 — т + 1,..., 2П_1 — 1

К полученной последовательности было применено прямое быстрое дискретное вейвлет-преобразование на базе линейного сплайна. Полученная в результате этого последовательность X отображена на рис.2

3.00000 2.00000

1

1

(1.

Г ' ^ V \ г г

п

Рис. 2. Последовательность X Для обеих последовательностей были вычислены коэффициенты корреляции (см. [3]) по формулам:

Быстрое дискретное вейвлет-

преобразование в пространстве онлайновых вейвлетов на конечном отрезке

Задача прямого преобразования заключается в поиске набора коэффициентов

к-п0

[й0], — т + 1 < ] < 2"о — 1} у у {С..,

¿=1

—т+1<]< 2По+'_1 — т} по заданной функции / = {/у}, 0 < I < 2к — 1,1 <

) <5.

Задача обратного вейвлет-преобразования заключается в восстановлении всех значений Гц, 0 < I < 2к — 1,1 < ] < 5 функции {/у} е §(Ак,т — 1,1) по заданному набору коэффициентов, если

2по-1 к-п0 2по+'-1-т

/ = ^ ¿цФш + ^ ^ сЦ^],п0+1 (3)

]=-т+1 ¿ = 1 ] = -т+1

Подробнее, построение систем

полуортогональных сплайновых вейвлетов и алгоритм прямого и обратного быстрого дискретного вейвлет-преобразования описаны в [1].

Численный эксперимент

Был проведен эксперимент по ослаблению коррелированности данных1, представляющих собой последовательность X из п = 9999 случайных величин, каждая из которых - время обработки пакета трафика в системе.

1Д 13 16 19 22 25 23 31 34 37 41 43 43 52 55 50 61 64 67 70 73 76 73 32 Я5 ЗВ 91 94 97 109

Рис. 1. Последовательность X

1 Постановка задачи о декорреляции и данные для эксперимента были предоставлены к.т.н., доцентом кафедры Теории передачи сигналов ПГУТИ Карташевским И.В.

Ук

к В

(4)

где

п—к

п — к

^У* — Ю(У1+к — х)

1=1 1

о = ~У(¥1—ху

¿=1

п

х = -ТУ1

1

V лцл- V V у

— ........

Рис. 3. Коэффициенты корреляции для X, X Для оценки эффективности применения прямого быстрого дискретного вейвлет-преобразования были вычислены суммы модулей коэффициентов корреляции для обеих последовательностей

к-1

18.963

1=0 к-1

= 5.344

Как видно из результата, корреляция данных снизилась более чем в 3,5 раза.

Способ оценки декоррелирующих свойств ортогональных преобразований

В [4] рассматривается возможность применения понятия энтропии в качестве характеристики декоррелирующих свойств ортогональных преобразований. Она вычисляется по следующей формуле:

/N-1 _

\ 1=0 /

X

N-l

In 18.963 5.344 7.941

¡=0

AH(T,A) - 0,082 0,139

где N — количество элементов вектора X, af — диагональные элементы матрицы Ä = ТАТ~г, где Г"1 - прямое преобразования, Т - обратное преобразование.

Значение АН называется средней избыточной энтропией. Чем больше её значение, тем меньше эффективность декоррелирующего преобразования с матрицей Т, соответственно, чем меньше её значение, тем ближе свойства используемого преобразования к оптимальным, т.е. к свойствам преобразования Карунена-Лоэва.

Обратим внимание на то, что автор данного подхода ставит строгое условие относительно ортогональности исследуемого преобразования. В нашем случае, преобразование является полуортогональным, следовательно, вычислить среднюю неопределенность напрямую нельзя. Обойти эту проблему можно путем использования свойств базиса Рисса.

Сравнение декоррелирующих свойств быстрого дискретного вейвлет преобразования на базе онлайновых вейвлетов и преобразования Добеши

На основе экспериментальных данных построим выборки

Х^ = TSX = TdX

где Ts — матрица прямого преобразования на базе сплайновых вейвлетов, Td — матрица прямого преобразования Добеши.

Вычислим сумму модулей коэффициентов корреляции для каждой выборки и среднюю избыточную энтропию:

Заключение

Таким образом, среди исследованных преобразований, потенциально наиболее эффективным для декорреляции является вейвлет-преобразование на базе сплайновых вейвлетов.

Литература

1. Блатов И.А. Полуортогональные сплайновые вейвлеты и метод Галеркина численного моделирования тонкопроволочных антенн / И.А. Блатов, Н.В. Рогова // Журнал вычислительной математики и математической физики. - Самара, том 53, №5 : 2013. -727-736 с.

2. Блатов И.А. Применение быстрого дискретного вейвлет-преобразования на базе сплайновых вейвлетов для ослабления коррелированности последовательностей данных / И.А. Блатов, Ю.А.Герасимова // Материалы международной конференции «Информационные технологии и нанотехнологии». - Самара : 2015. - 22-25 с.

3. Карташевский И.В. Расчет коэффициентов корреляции временных интервалов в последовательности событий // Журнал «Электросвязь». -№10 : 2012. - 37-39 с.

4. Умняшкин С.В. Анализ эффективности использования ортогональных преобразований для цифрового кодирования коррелированных данных/ С.В. Умняшкин, М.Е. Кочетков // Известия вузов. Электроника. - №6 : 1998. -79-84 с.

Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики, г. Самара

EFFICIENCY EVALUATION OF APPLICATION OF FAST DISCRETE SPLINE WAWELET TRANSFORMATION FOR LOOSENING CORRELATION OF DISCRETELY SET DATA

I.A. Blatov, Yu.A. Gerasimova

The task of loosening of correlation of sequence of strongly correlated random variables within the mass service theory is set. The algorithm of application of spline wavelet for loosening of correlation of sequence of strongly correlated random variables is described. Properties of the matrixes received as a result of application of transformation algorithm are studied. Results of numerical experiment studies are given

Key words: wavelet-analysis, spline wavelets, decorrelation, wavelet transformation