Оценка динамической погрешности численного моделирования и расчета резонансных частот методом конечных элементов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК 2/2011

ОЦЕНКА ДИНАМИЧЕСКОЙ ПОГРЕШНОСТИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И РАСЧЕТА РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

THE DYNAMIC ERROR ESTIMATION OF RESONANCE FREQUENCIES CALCULATION BY A FINITE ELEMENT

METHOD

В.Н.Савостьянов, В.В.Немчинов, М.С.Хлыстунов, Ж.Г.Могилюк

V.N.Savostjanov, V.V.Nemchinov, M.S.Hlystunov, J.G.Mogilyuk

МГСУ

В статье представлены результаты исследований источников динамических погрешностей при численном моделировании резонансных колебаний стержней методом конечных элементов. Приведены диаграммы зависимости погрешности от периода волны и шага сетки.

In article are presented a dynamic errors sources researches results at numerical modelling resonant oscillations rods by a finite elements method. The error dependence from a harmonic number and a grid step are presented.

Во второй половине XX века метод конечных элементов (МКЭ) занял ведущее положение и получил широкое применение. Он реализован в больших универсальных компьютерных пакетах программ, которые имеют широкое применение в практике строительного проектирования. В настоящее время МКЭ является наиболее совершенным инструментом решения сложнейших прикладных задач механики твердого тела при статических нагрузках. Этот метод возник из строительной механики и теории упругости, а уже затем было получено его математическое обоснование [1,2].

Учитывая, что МКЭ сформировался как продукт развития и на теоретической базе конечно-разностного метода Эйлера, при всех своих неоспоримых достоинствах, он обладает и определенными ограничениями, в том числе при решении динамических задач механики твердого тела, когда при оценке текущего напряженно-деформированного состояния необходимо учитывать как скорость волнового распространения механических напряжений в твердом теле, так и нелинейные эффекты отражения, преломления, дифракции, трансформации мод колебаний, а также законы сохранения импульса для продольных и момента импульса для тангенсальных динамических напряжений и деформаций.

Настоящая статья входит в серию публикаций материалов собственных исследований авторов в области динамической погрешности МКЭ и посвящена оценке погрешности определения значения резонансной частоты элементов строительной конструкции при решении ряда тонких динамических задач механики твердого тела.

Рассмотрим ограничения по применению МКЭ при вычислении значений резонансных частот колебаний тонкого и консольно-закрепленного слева стержня на рис.1.

ёх И-И

ац(х)

I-

ац(х+ёх)

Ь

Рис.1. Схема динамического нагружения конечного элемента стержня

Согласно выводам в работе [3] волновое движение конечного элемента стержня ёх описывается уравнением динамического равновесия, которое выводится Скучиком Е. следующим образом:

5[с11 (х)-с11 (х + ёх)]— = -5 ёх, (1)

ёх йх

<гп = -Ее = -Е—

дх

где ди его деформация в абсолютном измерении, а Е - модуль Юнга. Путем тривиальных преобразований, используя (1) и (2), получим

52 и 2" = -

= Е5 9'и

(2)

(3)

дх дх1 ' дг2

Откуда следует уравнение одномерного волнового движения в классическом виде

д2и 1 д2и

(4)

где

Эх2

2

С -

С Ср дг2

Е5 Е

С Р =

С:2 =

Ах(г )2

т р

Вместе с тем, учитывая, что модуль Юнга, определенный для статических нагрузок (1), в общем случае, должн отличаться от его динамического аналога, так как скорость движения фронта волны вдоль ёх конечна, то при применении приближенных численных методов для определения скорости, можно воспользоваться выражением \2

, (5)

Дх^-0

которое дает точное значение только при Лг^-0.

Рассмотрим эту задачу, используя формулы перемещений для бегущей одномерной продольной волны на конечном элементе ёх стержня по схеме на рис.2.

Тогда в некоторых точках стержня х и х+ёх амплитуда бегущей вдоль стержня волны будет достигать максимумов (которые перемещаются по стержню со скорость волны), когда выражения в скобках

дх(г )2

дг2

м2

(

и - A cos w

t —

(

, и2 = A cos®

' p

t + At -

x + dx

(6)

будут равны нулю.

и1 = uo cos(ft>t - x / cp) -О-O-

u2 = uo cos[®t(t + At)-(x + dx)/cpJ Рис.2. Схема волновых гармонических смещений вдоль оси х стержня

x

То есть для первой точки t--= 0 :

ср

x

•СР= 7,

. x + Ax а для второй t + At--= 0

c

x + Ax x Ax x Ax

с =-=-+-«- +—

p t + At t + At t + At t t

= cp

Ax

(7)

(8) (9)

откуда получаем приближенное значение скорости и значение ее абсолютной и относительной погрешности, так как Лх»ёх ,

Ах . _ Ах __ Ах с ж с Н--^ Ас = — ^ с>с =-

ср7

(10)

а также длину волны на резонансной частоте, принимая во внимание, что для консольного стержня первый резонанс или основная гармоника возбуждается, когда длина стержня равна четверти длины волны и на свободном конце формируется кучность амплитуд колебаний, а в заделке - узел, то есть амплитуда колебаний равна нулю

Л» = 4Ь = — ^ /го =— (11)

Г0 /го 4Ь

Сравним полученные выражения для резонансной частоты, исходя из точного значения скорости для первой точки и приближенного для второй точки, учитывая при этом, что максимальное время пробега волны при возбуждении резонанса равно периоду резонанса

Ах

Л» = 4 L = ^ ^ fro = 4т « ? « h = -

ср

f ro

4L

4 L

4 L

Cl+ ¿I 4 L 4 Lt

(12)

f _ cp Ax _ Ax

fo ~ 4L + 4l7 " íro + 4L7 '

При выполнении резонансного условия

т 4L L max t = Tro =—, Т" = N c Ax

~ _ Áxc _ c

íro ~ íro + 16LL ~ íro + 4N4L

= f +—,

Jro 4 N

2/2П11 ВЕСТНИК _2/201_]_МГСУ

откуда

/ = — (13)

4/тН 4 N

Тогда если шаг сетки разбиения стержня на конечные элементы будет равен Сх, то есть N=1, относительная погрешность вычисления резонансной частоты будет равна

8/го = 0,25.

Рассмотрим упрощенную конечно-элементную динамическую модель стержня в виде пружинного маятника, у которого масса равна

М = р$Ь , где р - плотность, 8 - площадь поперечного сечения, Ь - длина,

^ Р

а жесткость равна К =-=-, (14)

АЬ Ь

м-Р1

так как АЬ —-,

Ез

~ 1 К 1 щ 1

то тогда / =- —=- —=-с (15)

°° 2л \ М 2лЬЦ р 2лЬ р

Вместе с тем, согласно акустическому подходу

/°° =£• (16)

Таким образом погрешность самого грубого конечно-элементного способа расчета резонансной частоты будет равна

с с с (2 — л) Д/ = / - / = —Р---Р. = ->- (17)

J 2лЬ 4 Ь 4 Ьл

или в относительных единицах

А/ ср (2-п)4Ь 2-п 8/° = -— = ^-^- = -0,36

Г° /°о 4Ьпср К

В случае N разбиений стержня на конечные элементы о 2 — п

- , (18)

а для гармоник

= (2 ~*)к , (19)

Л° лN }

где к - номер гармоники.

Тогда в зависимости от частоты разбиений стержня на конечные элементы относительная погрешность в расчете его резонансной частоты будет меняться в зависимости от числа конечных элементов по гиперболическому закону и по линейному - от номера гармоники, как показано на диаграмме на рис.3.

Причем в консольно-закрепленном стержне будут возбуждаться только нечетные гармоники, в связи с тем, что один конец стержня свободный и в нем должна быть пучность колебаний (перемещений) и, соответственно, узел напряжений, то есть напряжения должны быть равны нулю (см. формы колебаний на рис.4).

200

15

30

45

60

Рис.3.Диаграмма зависимости относительной погрешности вычисления резонансной частоты стержня основной (сплошная кривая) третьей (пунктирная) и пятой (точечная) гармониках от частоты разбиений стержня на конечные элементы

h

1

.....•

Рис.4. Эпюры максимальных мгновенных деформаций при продольных резонансных колебаниях консольно-закрепленного стержня на первой (основной), третьей и пятой гармониках

Рассматривая в целом проблему динамической погрешности МКЭ можно сделать выводы, что при квазистатических нагрузках расчеты конструкций и схем строительной механики методом конечных элементов обеспечивают высокую достоверность, которая не подлежит сомнению.

Однако при расчетах мгновенного напряженно-деформированного состояния сложных механических колебательных систем или полей интенсивности динамических напряжений в неоднородных основаниях метод вносит существенную динамическую погрешность, что, например, неприемлемо в расчетах динамической устойчивости строительных конструкций и систем типа «объект-основание» при взрывах или сейсмических ударах, а также при возбуждении резонансных колебаний на основной резонансной частоте и ее высших гармониках.

Литература

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: МИР, 1975

2. Ильин В.П., Карпов В.В., Масленников А.М. Численные методы решения задач строительной механики. - Минск.: Вышэйшая школа, 1990

3. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. - М.: МИР, 1971, с.188

Literatura

1. Zenkevich O. Metod konechnyh elementov v tehnike. -M.: MIR, 1975

2. Il'in V.P., Karpov V.V., Maslennikov A.M. Chislennye metody resheniya zadach stroitel'noi mehaniki. - Minsk.: Vysheishaya shkola, 1990

3. Skuchik E. Prostye i slojnye kolebatel'nye sistemy. - M.: MIR, 1971, s.188

Ключевые слова: строительная механика, механика твердого тела, напряженно-деформированное состояние, динамические нагрузки, резонансные колебания, гармоники, численное моделирование, метод конечных элементов, динамическая погрешность, оценка

Keywords: building mechanics, a solid body mechanics, intense-deformed state, dynamic loadings, résonant oscillations, harmonic, numerical modelling, finite element method, grid step, dynamic error, estimation

129337, Москва, Ярославское ш.26, тел.769-73-87, тсхтг$и@,таП.°и

Рецензент: д.т.н., проф. Николаев В.П., зам. научного руководителя ОАО «НИИ Энергетических сооружений Росгидро», зам. директора НТЦ Сооружений, конструкций и материалов

0

3