CC BY
36
ОЦЕНКА ДЕФОРМАЦИЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО РЕФЛЕКТОРА МЕТОДОМ НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ Калабегашвили Г.И.1, Коловский И.К.2 Email: [email protected]
1Калабегашвили Георгий Ильич - аспирант, кафедра системного анализа; 2Коловский Игорь Константинович - магистр, кафедра прикладной математики, Сибирский государственный университет науки и технологии, г. Красноярск
Аннотация: в рамках работ по созданию крупногабаритных трансформируемых антенн для космических аппаратов связного назначения решается задача по оценке деформаций составной части антенны - офсетного параболического рефлектора. В данной статье рассматриваются вопросы оценки поверхности деформированного рефлектора, заданного облаком измеренных точек. Оценка проводится посредством вычислительных методов. В работе была применена аппроксимация облака измеренных точек семейством эллиптических параболоидов при помощи метода наименьших квадратов.
Ключевые слова: крупногабаритная трансформируемая антенна, офсетный параболический рефлектор, эллиптический параболоид, деформации рефлектора, аппроксимация, метод наименьших квадратов.
EVALUATION OF DEFORMATIONS OF A PARABOLIC
REFLECTOR BY THE METHOD OF LEAST SQUARES
12 Kalabegashvili G.I.1, Kolovskiy I.K.2
1Kalabegashvili Georgi Ilyich - Post-Graduate Student, DEPARTMENT OF SYSTEM ANALYSIS; 2Kolovskiy Igor Konstantinovich - Master, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS, SIBERIAN STATE UNIVERSITY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY, KRASNOYARSK
Abstract: within the framework of the work on the creation of large-scale transformable antennas for spacecrafts for communication purposes, the problem of estimating the deformations of the antenna component - the offset parabolic reflector - is being solved. In this paper, we consider the evaluation of the surface of a deformed reflector defined by a cloud of measured points. Evaluation is done through computational methods. The approximation of the cloud of measured points by a family of elliptic paraboloids using the least squares method was applied in the paper.
Keywords: large-scale transformable antenna, offset parabolic reflector, elliptical paraboloid, reflector deformations, approximation, least squares method.
УДК 514.8
Введение
На сегодняшний день в космической отрасли одним из важных направлений является создание крупногабаритных трансформируемых антенн (КТА) [1]. Их создание обусловлено выгодами улучшения приемо-передающих характеристик космического аппарата.
В рамках создания КТА на основе трансформируемого рефлектора необходимо решить задачу по юстировке рефлектора. Концепция юстировки основана на
представлении отражающей поверхности рефлектора антенны, как облака измеренных точек [2] .
Как известно, оптимальной формой рефлектора является параболоид вращения (или вырезка из него). Погрешности при производстве, внешние факторы при выводе и эксплуатации на орбите влияют на форму поверхности рефлектора. Для того что бы оценить деформации поверхности рефлектора применяют различные методики основанные на аппроксимации облака точек [3]. В данной работе проведем оценку деформаций при помощи аппроксимации эллиптическим параболоидом методом наименьших квадратов.
Объект исследования
В качестве объекта исследования примем какая-либо вырезка из параболоида вращения имитирующая параболический рефлектор. Исходные данные для расчетов представлены в виде набора из точек вырезки (далее по тексту опорные точки), имитирующих точки, измеренные на поверхности рефлектора, в системе координат канонического параболоида (СККП).
На точки наложены деформации различного рода. Первая деформация характеризует изменения положения точек по трем осям на величину меньшую единицы. Вторая деформация характеризует изменения положения точек по трем осям на величину большую единицы, но меньшую двух. Третья деформация характеризует изменения положения точек по трем осям на величину большую двух, но меньшую трех.
Количество точек в наборах: 169, 650, 2600.
Система отсчета
СК КП представляет собой систему координат, в которой исходный параболоид принимает канонический вид (1).
2PX = Y2 + Z2 (1)
где X, У, Z координаты опорных точек,
P - фокальный параметр.
Ось ОХ СК КП является фокальной осью этого параболоида.
Постановка задачи
В рамках данной работы требуется оценить:
- точность аппроксимации, как она изменяется для разного количества точек и увеличении деформации;
- сравнить среднеквадратичное отклонения (СКО) исходного облака и аппроксимирующего параболоида от канонического параболоида;
- сделать вывод об условиях применения данного метода для такого класса задач.
Решение
В СК КП возьмём семейство эллиптических параболоидов (2).
f (x, y) = a * X2+ b * y2 + С (2)
Аппроксимируем облако точек при помощи этого семейства. Аппроксимацию будем производить при помощи метода наименьших квадратов.
Рассмотрим сумму (3).
n
Ё (f(x, ,У») - z )2, (3)
i=i
где f (x.,y.) - полученное значение в точках xi и у .
Требуется найти частные производные от a, b и c. Далее, требуется составить систему уравнений из полученных результатов и решить её относительно a, b и c. В результате мы получим уравнение эллиптического параболоида.
Сравнение полученных результатов
Проведем сравнения результатов аппроксимации для трех облаков точек, где на каждую наложены три вида деформаций. Результаты приведены в виде:
- среднеквадратичного отклонения исходного облака от канонического параболоида в мм. (СКО1);
- среднеквадратичного отклонения точек аппроксимирующего параболоида от канонического параболоида в мм. (СКО2);
- среднеквадратичного отклонения аппроксимирующего параболоида от исходных точек в мм. (точность аппроксимации).
Таблица 1. Сравнение аппроксимации
Кол-во точек 169 650 2600
Тип деформации 1 2 3 1 2 3 1 2 3
СКО1 1.0095 2.0494 2.9176 1.0036 1.9948 3.0343 1.0036 1.9810 2.9992
СКО2 0.9708 1.9712 2.8211 0.9718 1.9265 2.9316 0.9718 1.9106 2.8987
Точность 0.3422 0.6313 0.9294 0.3153 0.6330 0.9304 0.3153 0.6441 0.9397
На основе полученных данных можно сделать следующие выводы:
1. Увеличение деформации влечет ухудшение точности аппроксимации;
2. Увеличение исходных точек на порядок, кардинальным образом не влияет на точность аппроксимации;
3. Применение такой методики для оценки деформации рефлектора допустимо только при невысоких требованиях к точности измерений.
Список литературы /References
1 Tibert G. Deployable tensegrity structures for space applications. Doctoral thesis. [Электронный ресурс]. Stockholm: Royal Institute of Technology, 2002.Режим доступа: http://www.mech.kth.se/thesis/2002/phd/phd_2002_gunnar_tibert.pdf/ (дата обращения: 28.02.2018).
2 Матыленко М.Г., Бикеев Е.В., Алексеенко А.А., Дорофеев М.О. под общ. ред. Ю.Ю. Логинова. Система контроля геометрии крупногабаритной трансформируемой антенны и ее наведение. // Решетневские чтения: материалы XVII Международной научной конференции, посвященной памяти генерального конструктора ракетно-космических систем академика М.Ф. Решетнева (12-14 ноября 2013. г. Красноярск): в 2 ч. / Сиб. гос. аэрокосмич. ун-т. Красноярск, 2013.
4. 1. 194-196 с.
3 Калабегашвили Г.И., Бикеев Е.В. Применение методики аппроксимации сплайном типа «тонких пластин» для определения деформаций крупногабаритного рефлектора. // Наука и образование сегодня. № 2, 2017. С. 6-9.
