CC BY-NC-ND
19
Оценка чистой нетто-премии с использованием дополнительной информации о квантиле функции распределения
Ж.Н. Зенкова
кандидат физико-математических наук
доцент института прикладной математики и компьютерных наук Национальный исследовательский Томский государственный университет; СРО «Ассоциация профессиональных актуариев» Адрес: 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 36 E-mail: [email protected]
Е.А. Крайнова
аспирант института прикладной математики и компьютерных наук Национальный исследовательский Томский государственный университет Адрес: 634050, г. Томск, пр. Ленина, д. 36 E-mail: [email protected]
Аннотация
В работе рассмотрена задача повышения точности оценивания чистой нетто-премии за счет использования дополнительной информации о квантиле заданного уровня функции распределения понесенных убытков в страховании ином, чем страхование жизни. Дополнительная информация привлекается путем проектирования эмпирической функции распределения в класс функций с заданным квантилем определенного уровня. Далее методом подстановки модифицированной эмпирической функции распределения в интеграл, определяющий математическое ожидание, получается модифицированная оценка математического ожидания с учетом дополнительной информации об известном квантиле, которая является несмещенной, при этом ее асимптотическая, нормированная на объем наблюдений дисперсия, и, следовательно, среднеквадратическая ошибка не превышает дисперсии классического выборочного среднего, т.е. модифицированная оценка является более точной по сравнению с традиционной для больших объемов наблюдений.
Также исследовано влияние квантиля на значение дисперсии для случаев равномерного, треугольного и нормального распределений. Сделано предположение, что для симметричных распределений минимальное значение дисперсии достигается тогда, когда квантиль совпадает с медианой (центром симметрии). На примере треугольного распределения показано, что априорная информация является наиболее ценной именно при отсутствии симметрии, т.к. позволяет более существенно повлиять на дисперсию.
Модифицированная оценка применялась для расчета чистой нетто-премии на примере реальных данных об убытках по добровольному медицинскому страхованию, понесенных страховой компанией. Показано, что классический расчет привел к ее недооценке, что априори увеличивало риск банкротства компании. В результате перерасчета чистой нетто-премии с учетом знания квантиля риск банкротства снизился.
Работа носит практически значимый характер, по ее результатам страховой компании даны рекомендации.
Ключевые слова: нетто-премия, выборочное среднее, дополнительная информация, квантиль функции распределения, модифицированная оценка среднего, точность оценивания, среднеквадратическая ошибка, страхование иное, чем страхование жизни.
Цитирование: Зенкова Ж.Н., Крайнова Е.А. Оценка чистой нетто-премии с использованием дополнительной информации о квантиле функции распределения // Бизнес-информатика. 2017. № 4 (42). С. 55-63. DOI: 10.17323/1998-0663.2017.4.55.63.
Введение
Страхование — это наукоемкая сфера деятельности, активно использующая современные статистические методы и модели. В данной работе рассматривалось страхование иное, чем страхование жизни [1], при котором выплаты осуществляются только по факту наступления страхового случая и практически не являются детерминированными. В результате их случайного характера страховые компании в основе расчета цены страхового полиса используют так называемую чистую нетто-премию [2], зависящую от размера среднего убытка и вероятности наступления страхового случая. Далее чистая нетто-премия корректируется на повышающий коэффициент, который вычисляется с учетом заданной актуарием вероятности разорения компании, затем добавляются надбавки, позволяющие получить прибыль и осуществить агентские выплаты.
В целях оптимизации своей деятельности страховые компании всегда стремятся найти такую цену полиса, которая, с одной стороны, привлекала бы клиентов, а с другой — максимально точно учитывала случайный характер рассматриваемого явления. При этом используются разнообразные статистические методы и модели, в том числе методы, привлекающие дополнительную информацию различного характера [3—14].
В статье рассмотрена задача улучшения качества оценивания чистой нетто-премии путем привлечения дополнительной информации о квантиле функции распределения понесенных убытков за счет использования более точной модифицированной оценки математического ожидания выплат страховщика по одному страховому случаю. Новая методика расчета апробировалась на реальных данных об убытках в добровольном медицинском страховании и позволила переоценить стоимость полиса, снизив при этом риск разорения страховой компании.
Работа является весьма актуальной и практически значимой, поскольку данный подход ранее не применялся при расчетах чистой нетто-премии.
1. Оценка средней выплаты с учетом
дополнительной информации о квантиле функции распределения
Чистая нетто-премия р играет ключевую роль при расчете тарифов в страховании ином, чем страхование жизни [1], и определяется следующим образом [2]:
Р = г • ЕХ,
(1)
где X — размер выплаты, случайная величина с функцией распределения Щх) = Р(Х< х);
ЕХ — математическое ожидание случайной величины;
Z — вероятность наступления страхового случая.
В практике страхования ни z, ни ЕХ точно не известны, и их нужно оценить по имеющимся данным о выплатах. При этом нередко исследователь знает некоторые дополнительные сведения об изучаемой случайной величине и ее распределении. Источником таких сведений могут быть условия эксперимента, накопленный опыт эксперта и т.д. Известно, что привлечение дополнительной информации положительно сказывается на свойствах модифицированных статистик, повышая точность оценивания [3—13].
В данной работе рассмотрена дополнительная информация об известном квантиле функции распределения х<1 заданного уровня т.е. изучалась ситуация, когда
Р(х)=д.
(2)
Модифицированную оценку математического ожидания с учетом свойства (2) получим с помощью метода подстановки [15] модифицированной эмпирической функции распределения в функционал ЕХ:
-ют
Х" = \хйЕ«(х).
При этом модифицированная эмпирическая функция распределения ^(х) строится путем проектирования обычной эмпирической функции распределения в априорный класс [9] по формуле:
ЕвЛх) =
9-
-7-\
ЛМ .
+
+ (1-?)
(г
\
v0
/ J
л1
если
Ек (х), если (х,) = 0 или Е„ (х,) = 1
(3)
где
IV 1=1
(4)
классическая эмпирическая функция распределения, символы ли V обозначают максимум (ми-
нимум) из двух величин, С(з>) = {0 :у < 0;1 \у > 0} — С-функция, Х(1) < Х(2) <... < Х(Щ — вариационный ряд, построенный по независимой выборке ,Х2,..., Хм} объема N. Тогда
Xе =
"р-яЫ)
¡=1 ^ N
(1-е)
+
9-* у х , ^М) ^ у .
М-г % 9
1 п Я
г & 0) (0
Здесь случайная величина г определяется как
при этом она имеет биномиальное распределение ВКЪй [15].
В итоге модифицированная с учетом знания квантиля оценка математического ожидания определяется формулой
Xя =
где
ЧгЪХ' '1{Х,<Х°] + И-г'Ъ*' '1{Х,>-Х°У
X,
если г = 1,АГ-1; если г = 0 или Ы,
- 1 я N ^ '
(5)
(6)
классическое выборочное среднее. Также для случая, когда г = 1,^-1 формула (5) может быть определена через порядковые статистики:
N
1-9
трена как обобщение асимптотически нормальной оценки, предложенной в работе [8], где исследовался более широкий случай оценивания функционала с привлечением знания нескольких точно известных значений математических ожиданий, однако не учитывались ситуации, когда модификация не может быть определена. Любопытно, что упомянутая оценка была получена не с помощью метода подстановки, а путем проектирования в априорный класс с помощью расстояния Кульба-ка-Лейблера.
Найдем математическое ожидание оценки (5):
ЕХя=Е{Е(хя\г)} = Е^.±Хг1{Х1<Хг) + 1-? ^
N
|г = 1,ЛГ-1 +
1-9
9
= \,ЫЕХ^ +{\-q)N) = ЕХ,
т.к. выборочное среднее (6) является несмещенной оценкой математического ожидания.
Таким образом, модифицированная оценка (5) является несмещенной. Найдем дисперсию оценки (5), используя формулу
при этом
ВХ" =В(Е(Х" |г)) + £'(1>(х,|Г)),
Б[Е(Хч |Г)} = 2>{£Х} = 0.
Поскольку выборочные элементы Хп 1 = \,Ы независимы,
Воспользуемся тем, что, согласно свойствам математического ожидания,
Е
г
в силу выпуклости функции /(г) = —,
Ег
при этом сходимость
'1 \
Е г >0
рассмо- У
Е[г\г >0)
была подтверждена численно для N=10,100.
На рисунке 1 приведены графики относительного отклонения
100%
в зависимости от объема выборки N для q = 0,2, 0,5 и 0,8.
41 и \ г> 0 У 1
Е(г\г >0)
Е '1 \ г> 0 /
%
20 -
15
10
—♦— йеИа д = 0,5%
- йеИад= 0,2%
йеНа д = 0,8%
10 30 50 70
Рис. 1. Отклонение А для д = 0,2, 0,5, 0,8
90 N
Так как д е (0,1), то Р(г=1,Ж-1)= 1-9^(1-9)^1, Р(г = 0) = д1Гц—^0, Р(г=Щ = (1-д)^0. Для получения асимптотического значения дисперсии достаточно рассмотреть случай г = 1,.ЛГ-1. В итоге получим:
+а-?)
н-в,
_ч
I 1-9 у
Ж
Е(х)-д
У
Л2
\ Л 1
= Г х^Е(х)--Ь2 + Г х2с!Е(х)——В2 = ^ а { 1-е
= БХ +
+00 у
| х(1Р(х) -
-I.ii-L.ie.
д 1-д
~д -ЮТ
Здесь Ь = | хс1Е(х), Я = | хс1Е(х).
-0° х,
Таким образом, асимптотическая, нормированная на объем выборки дисперсия модифицированной оценки математического ожидания определяется формулой:
а]=ВХ+(ЕХ)г--9
\2
—L. | хс!Р(х)
1-д
(7)
Так как (ЕХ)2 =И +2ЬЯ + К\
У ' д 1-д
2 1 г2 1
+ 2
1-д
9 =
1-д
1-д
1-д
\2 <0,
из чего следует, что формула (7) может быть представлена в виде:
или, что то же самое [8],
-
ад - а -
1
9(1-9)
I х(1Р(х)-д-ЕХ
(8)
где а2 = БХ = ШХ.
Для случая, когда известный квантиль есть медиана, будем иметь:
-
0,5 ~
| хйР(х) -
ЕХ
Из формулы (8) очевидно, что а2 < <г2, т.е. для достаточно больших объемов наблюдений привлечение дополнительной информации о квантиле может привести к снижению среднеквадратической ошибки, а значит, и к улучшению точности оценивания математического ожидания.
Для равномерного в интервале [0,1] распределения формула (8) принимает вид:
2 1 9(1-9) 12--
(9)
Очевидно, что минимум дисперсии достигается при q = 0,5. График зависимости (9) от д приведен на рисунке 2.
NDX 1
0,8-1 0,60,40,20-1-1-1-1-1
0 0,25 50 0,75 1 9
Рис. 2. Зависимость а2 от д для Е(х) = ./^(х), а2 = ^
5
0
NDX 4
3,5 3 2,5 2 1,5 1
— NDXq — NDX
1 1 1 1
0,25
50
0,75
1 9
Рис. 3. Зависимость ач от q для нормальной функции распределения N(10,4), о2 = 4
На рисунке 3 представлена зависимость а2 от д для нормальной функции распределения Ж(10,4).
Для треугольного в [0,1] распределения Симп-сона с параметром с е (0,1) на рисунке 4 приведены графики зависимостей
Г X. \2
d = —
1
¡xdF(x)-qEX
(10)
и .
второго слагаемого в формуле (8), для разных значений параметра с. Именно й отражает, насколько меньше стала итоговая дисперсия а2 по сравнению с дисперсией обычной оценки среднего а2 = ЫБХ. Заметим, что в сравнении с другими возможными значениями параметра с случай наличия симметрии с = 0,5 не дал максимального улучшения. Учет квантиля оказался наиболее значимым для случаев с большей асимметрией (с = 0,9 и с = 0,1). При этом для случая положительной асимметрии с < 0,5 точность повышается, если привлекать информацию о д > 0,5, и наоборот (рисунок 5и таблица 1).
0
-0,005 -0,010 -0,015 -0,020 -0,025 -0,030 -0,035 -0,004
\ 0,1 0,25 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 á
d с = 0,1 с = 0,3 —d с = 0,5 d с = 0,7 -*-d с = 0,9
Рис. 4. Зависимость d от q для треугольного в [0,1] распределения c параметром с е (0,1)
На рисунке 5 показано такое сочетание параметра с и квантиля q, которое позволяет получить максимальное улучшение качества оценивания модифицированного среднего в смысле минимума d. В таблице 1 приведены численные значения асимптотических нормированных дисперсий а2 и минимальных значений d для этих сочетаний с и q.
Рис. 5. Сочетание параметра с и квантиля , максимально улучшающие качество оценивания модифицированного среднего, для треугольного в [0,1] распределения с параметром с е (0,1)
Таблица 1.
Значения асимптотических нормированных дисперсий
: lim NDX", дисперсий а2 = NDX и d = a2-a2
JV—>оо 4
для оптимальных в смысле минимума d сочетаний с и q
С 9 < d
0,01 0,6355 0,055006 0,015375 -0,03963
0,1 0,616 0,050555 0,014224 -0,03633
0,2 0,609 0,046667 0,013541 -0,0331
0,3 0,5935 0,043889 0,013383 -0,03051
0,4 0,564 0,042222 0,013619 -0,0286
0,5 0,500 0,041667 0,013889 -0,02778
0,6 0,436 0,042222 0,013619 -0,0286
0,7 0,4065 0,043889 0,013383 -0,03051
0,8 0,3910 0,046667 0,013541 -0,03313
0,9 0,384 0,050555 0,014224 -0,03633
0,99 0,3645 0,055006 0,015375 -0,03963
Таким образом, для всех рассматриваемых распределений учет дополнительной информации позволил существенно снизить дисперсии оценок. При этом для симметричных распределений минимальное значение дисперсии получается, если квантиль совпадает с медианой — центром симме-
0
трии. Несимметричные распределения требуют дополнительных исследований, однако на примере треугольного распределения можно предположить, что при положительной асимметрии привлечение информации о квантиле, превышающем медиану, позволяет получить более точную оценку математического ожидания, и наоборот.
Следует отметить, что в работе [7] на примере равномерного распределения показано, что оценка функции распределения с учетом симметрии имеет меньшую дисперсию, чем для случая учета медианы.
В итоге модифицированная оценка чистой нетто-премии (2) с привлечением информации о квантиле может быть рассчитана по формуле
р"=1-Х\ (11)
при этом она даст более точный результат по сравнению с классическим способом оценивания с использованием выборочного среднего, поскольку среднеквадратическая ошибка Xе меньше.
2. Оценка нетто-премии с учетом знания квантиля для добровольного медицинского страхования
Рассматриваемый способ оценивания нетто-пре-мии (11) применялся к реальным данным о выплатах страховой компании по договорам добровольного медицинского страхования. Для сохранения коммерческой тайны исходные значения были масштабированы, название страховой компании не упоминается. Всего за период произошло N = 239 страхо-
вых случаев. В таблице 2 приведена выборка X = {Хр Х1, ..., Х^, при этом показаны неповторяющиеся выплаты У. и п. — количество их повторений в выборке, к
N = к — количество неповторяющихся значе-
/=1
ний выплат.
При расчете чистой нетто-премии традиционным способом выборочное среднее Х = 504,73 у.е./ед., вероятность наступления страхового случая оценивалась как отношение количества страховых случаев к общему числу страховых договоров, при этом оказалось, что z = 0,035. Следовательно, нетто-премия р = 17,67 у.е.
Далее выяснилось, что актуарию компании из предыдущего многолетнего опыта работы в области добровольного медицинского страхования известно, что в 90% случаев ущерб при наступлении страхового случая не превышает 750 у.е., т.е. фактически известен квантиль хд = х09 уровня д =
0,9 исследуемой случайной величины. Воспользо-
—ч
вавшись формулой (5), получим X =516,23 у.е. В итоге модифицированная с учетом знания квантиля нетто-премия р"= 18,07 у.е., что на 2,26% превосходит р.
Таким образом, знание квантиля привело к переоценке чистой нетто-премии. Рассчитанное ранее значение было заниженным, что увеличивало риск банкротства компании. Поскольку модифицированная оценка более точная, если объем выборки большой N = 239), актуарию компании было рекомендовано произвести перерасчет тарифа на добровольное медицинское страхование.
Таблица 2.
Масштабированные данные о выплатах по страховым случаям добровольного медицинского страхования, у.е./ед.
г У 1 у.е./ед. п г ед. г У 1 у.е./ед. п г ед. г У 1 у.е./ед. п г ед. г У 1 у.е./ед. п г ед. г У 1 у.е./ед. п г ед. г У 1 у.е./ед. п г ед.
1 16,9 2 11 87,5 1 21 187,5 18 31 437,5 1 41 781,25 1 51 2020,0 1
2 20,6 1 12 93,8 20 22 200 4 32 468,8 5 42 937,5 2 52 2500,0 1
3 25,0 1 13 100,0 5 23 210,0 1 33 487,5 1 43 1000,0 1 53 3125,0 2
4 28,1 1 14 112,5 2 24 218,8 2 34 500,0 3 44 1125,0 2 54 3750,0 3
5 31,3 8 15 125,0 11 25 243,8 2 35 531,3 1 45 1250,0 2 55 4687,5 1
6 37,5 9 16 131,3 2 26 250,0 5 36 562,5 2 46 1343,8 1 56 5000,0 1
7 46,9 1 17 137,5 1 27 281,3 4 37 600,0 1 47 1500,0 1 57 5625,0 1
8 50,0 1 18 156,3 24 28 312,5 19 38 625,0 8 48 1562,5 2 58 8312,5 1
9 56,3 11 19 162,5 1 29 375,0 10 39 739,8 1 49 1662,5 1 59 8437,5 1
10 62,5 19 20 175,0 1 30 406,25 1 40 750,0 2 50 1687,5 1 60 9375,0 1
Заключение
В данной работе реализован новый подход к расчету чистой нетто-премии в страховании ином, чем страхование жизни, за счет привлечения дополнительной информации о квантиле функции распределения при оценивании математического ожидания ущерба. Модифицированная оценка среднего является несмещенной и точнее обычного выборочного среднего, поскольку имеет меньшую асимптотическую средне-квадратическую ошибку, поэтому новая оценка чистой нетто-премии обладает большей точностью для достаточно больших объемов наблюдений.
Также в работе исследовано влияние квантиля на значение асимптотической нормированной дис-
персии модифицированного среднего для случаев равномерного, треугольного и нормального распределений. Показано, что в симметричном случае максимальную точность дает учет медианы; на примере треугольного распределения показано, что для положительной асимметрии лучше привлекать большие значения квантиля, и наоборот.
Предложенный метод апробирован на реальных данных о выплатах страховой компании по добровольному медицинскому страхованию. Привлечение дополнительной информации позволило получить более точное значение чистой нетто-премии. Актуарию компании рекомендовано осуществить перерасчет тарифной ставки с целью снижения возможного риска банкротства компании. ■
Литература
1. Миронкина Ю.Н., Сорокин А.С. Основы актуарных расчетов. М.: Центр ЕАОИ, 2011.
2. Фалин Г.И., Фалин А.И. Теория риска для актуариев в задачах. М.: Мир, Научный мир, 2004.
3. Abu-Dayyeh W.A., Ahmed M.S., Ahmed R.A., Muttlak H.A. Some estimators of a finite population mean using auxiliary information // Applied Mathematics and Computation. 2003. No. 139. P. 287-298.
4. Haq A., Shabbir J. An improved estimator of finite population mean when using two auxiliary attributes // Applied Mathematics and Computation. 2014. No. 241. P. 14-24.
5. Singh H.P., Tailor R. Estimation of finite population mean with known coefficient of variation of an auxiliary character // Statistica. 2005. Vol. LXV. No. 3. P. 301-313.
6. Tarima S., Pavlov D. Using auxiliary information in statistical function estimation // ESAIM: Probability and Statistics. 2006. No. 10. P. 11-23.
7. Дмитриев Ю.Г. О свойствах оценок функции распределения и функционалов при дополнительной априорной информации // Математическая статистика и ее приложения. 1976. № 4. С. 63-76.
8. Дмитриев Ю.Г., Тарасенко П.Ф. Использование априорной информации в статистической обработке экспериментальных данных // Известия вузов. Физика. 1992. № 9. С. 136-142.
9. Дмитриев Ю.Г., Устинов Ю.К. Статистическое оценивание распределений вероятностей с использованием дополнительной информации. Томск: ТГУ, 1988.
10. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Влияние априорной информации на результаты метода ценообразования на товар-новинку PSM // Материалы III Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития государственной статистики в современных условиях», г. Саратов, 5-7 декабря 2016 г. Саратов: Саратовстат, 2017. Т. 2.
С. 66-68.
11. Журко Е.С., Зенкова Ж.Н. Модификация метода ценообразования PSM с учетом квантиля заданного уровня // Материалы Международной научно-практической конференции «Информационные технологии Сибири», г. Кемерово, 10 ноября 2016 г. Кемерово: КузГТУ, 2016. С. 134-136.
12. Зенкова Ж.Н., Макеева О.Б. Использование информации о квантиле при анализе оборачиваемости оборотных средств // Материалы III Всероссийской молодежной конференции «Математическое и программное обеспечение информационных, технических и экономических систем», Томск, 22-23 мая 2015 г. Томск: ТГУ, 2015. С. 82-87.
13. Зенкова Ж.Н., Муравлева М.А. Асимптотическая несмещенность оценки функции распределения по однократно интервалом цензурированным данным с привлечением информации о симметрии // Материалы X Всероссийской конференции «Новые информационные технологии в исследовании сложных структур», пос. Катунь, 9-11 июня 2014 г. Томск: ТГУ, 2014. С. 114-115.
14. Зенкова Ж.Н., Краковецкая И.В. Непараметрическая оценка Тёрнбулла для интервально-цензурированных данных
в маркетинговом исследовании спроса на биоэнергетические напитки // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 3(24). С. 64-69.
15. Боровков А.А. Математическая статистика. Новосибирск: Наука; Институт математики, 1997.
Estimating the net premium using additional information about a quantile of the cumulative distribution function
Zhanna N. Zenkova
Associate Professor, Institute of Applied Mathematics and Computer Science
National Research Tomsk State University;
SRO "Association of professional actuaries"
Address: 36, Lenin Avenue, Tomsk, 634050, Russian Federation
E-mail: [email protected]
Elizaveta A. Krainova
Doctoral Student, Institute of Applied Mathematics and Computer Science National Research Tomsk State University; Address: 36, Lenin Avenue, Tomsk, 634050, Russian Federation E-mail: [email protected]
Abstract
In this paper, the task of increasing the accuracy of net premium estimations in non-life insurance is considered. Improvements are achieved by involving additional information about a known quantile of loss cumulative distribution function. The additional information is used by projection the empirical cumulative distribution function onto the class of cumulative distribution functions with a certain quantile, and then the modified empirical cumulative distribution function is substituted into the integral that yields the mean value. This allows us to obtain a modified estimation of mean value using additional information about the quantile which is unbiased and its variance is asymptotically less than the variance of the classical sample mean, so that the mean-square error of the modification is also smaller. Therefore, the modified estimation is more accurate than the classical one for a large sample size.
The influence of a quantile value on the variance of the new estimation is studied for uniform, triangular and normal distributions. It is suggested that the minimum of the variance is reached when a known quantile is equal to the median (symmetry center) for symmetrical distribution. Based on Simpson triangular distribution, it was shown that for cases of skewed distributions involving the quantile allows one to decrease the variance more significantly than for symmetrical ones.
The modified estimation of mean value is applied to a real data set for calculation of a net premium. The data contain information about payments for voluntary health insurance of some insurance company. It is demonstrated that the classical method underestimates the net premium, and so it could lead to the company's bankruptcy. After applying the new modified technique, the net premium becomes higher and the bankruptcy risk is reduced as well.
This paper contains practically significant results which make it possible to give important recommendations to an insurance company.
Key words: net premium, sample mean, additional information, cumulative distribution function quantile, modified estimation of mean value, accuracy of estimation, mean-square error, non-life insurance.
Citation: Zenkova Z.N., Krainova E.A. (2017) Estimating the net premium using additional information about a quantile of the cumulative distribution function. Business Informatics, no. 4 (42), pp. 55—63. DOI: 10.17323/1998-0663.2017.4.55.63.
References
1. Mironkina Y.N., Sorokin A.S. (2011) Osnovy aktuarnykh raschetov [Fundamentals of actuarial calculations]. Moscow: Center EAOI (in Russian).
2. Falin G.I., Falin A.I. (2004) Teoriya riska dlya aktuariev vzadachakh [Theory of risk for actuaries in tasks]. Moscow: Mir, Nauchny Mir (in Russian).
3. Abu-Dayyeh W.A., Ahmed M.S., Ahmed R.A., Muttlak H.A. (2003) Some estimators of a finite population mean using auxiliary information. Applied Mathematics and Computation, no. 139, pp. 287—298.
BUSINESS INFORMATICS No. 4(42) - 2017
4. Haq A., Shabbir J. (2014) An improved estimator of finite population mean when using two auxiliary attributes. Applied Mathematics and Computation, no. 241, pp. 14—24.
5. Singh H.P., Tailor R. (2005) Estimation of finite population mean with known coefficient of variation of an auxiliary character. Statistica, vol. LXV, no. 3, pp. 301-313.
6. Tarima S., Pavlov D. (2006) Using auxiliary information in statistical function estimation. ESAIM: Probability and Statistics, no. 10, pp. 11-23.
7. Dmitriev Y.G. (1976) O svoystvakh otsenok funktsii raspredeleniya i funktsionalov pri dopolnitel'noy apriornoy informatsii [On the features of distribution function and functionals estimations in case of additional a priori information]. Mathematical Statistics and Its Applications, no. 4, pp. 63-76 (in Russian).
8. Dmitriev Y.G., Tarasenko P.F. (1992) Ispol'zovanie apriornoy informatsii v statisticheskoy obrabotke eksperimental'nykh dannykh [Using a priori information in statistical processing of experimental data]. Izvestiya vuzov. Physics, no. 9, pp. 136-142 (in Russian).
9. Dmitriev Y.G., Ustinov Y.K. (1988) Statisticheskoe otsenivanie raspredeleniy veroyatnostey s ispol'zovaniem dopolnitel'noy informatsii [Statistical estimation of probability distributions using additional information]. Tomsk: TSU (in Russian).
10. Zhurko E.S., Zenkova Z.N. (2017) Vliyanie apriornoy informatsii na rezul'taty metoda tsenoobrazovaniya na tovar-novinku PSM
[The influence of a priori information on the results of the PSM new product pricing method]. Proceedings of the IIIInternational Scientific and Practical Conference "Actual Problems and Perspectives of State Statistics Development in Modern Conditions". Saratov, 5—7 December 2016. Saratov: Saratovstat, vol. 2, pp. 66-68 (in Russian).
11. Zhurko E.S., Zenkova Z.N. (2016) Modifikatsiya metoda tsenoobrazovaniya PSM s uchetom kvantilya zadannogo urovnya [Modification of the PSM pricing method considering quantile of the specified level]. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference "Information Technologies of Siberia". Kemerovo, 10 November 2016. Kemerovo: KuzSTU, pp. 134-136 (in Russian).
12. Zenkova Z.N., Makeeva O.B. (2015) Ispol'zovanie informatsii o kvantile pri analize oborachivaemosti oborotnykh sredstv [Using quantile information in current assets turnover analysis]. Proceedings of the III All-Russian Youth Conference "Mathematical Support and Software for Informational, Technical and Economical Systems". Tomsk, 22—23 May 2015. Tomsk: TSU, pp. 82-87 (in Russian).
13. Zenkova Z.N., Muravleva M.A. (2014) Asimptoticheskaya nesmeshchennost' otsenki funktsii raspredeleniya po odnokratno intervalom tsenzurirovannym dannym s privlecheniem informatsii o simmetrii [Asymptotic unbiasedness of distribution function estimation based on single interval-censored data using information about symmetry]. Proceedings of the X All-Russian Conference "NewInformation Technologies in Complex Structures Research". Katun', 9—11 June 2014. Tomsk: TSU, pp. 114-115 (in Russian).
14. Zenkova Z.N., Krakovetskaya I.V. (2013) Neparametricheskaya otsenka Ternbulla dlya interval'no-tsenzurirovannykh dannykh
v marketingovom issledovanii sprosa na bioenergeticheskie napitki [Nonparametric Turnbull estimator for interval-censored data in the marketing research of the demand of bio-energy driks]. Tomsk State University Journal of Control and Computer Science, no. 3(24), pp. 64-69 (in Russian).
15. Borovkov A.A. (1997) Matematicheskaya statistika [Mathematical Statistics]. Novosibirsk: Nauka; Institute of Mathematics (in Russian).
