Оценка быстродействия динамического процесса на классе дифференцируемых функций с ограничениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Н.П.Дмитриев

Нижневартовск, Россия

N.P.Dmitriev

Nizhnevartovsk, Russia

ОЦЕНКА БЫСТРОДЕЙСТВИЯ ESTIMATION OF SPEED

ДИНАМИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА IN DYNAMIC PROCESS

НА КЛАССЕ ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ WITH DIFFERENTIABLE FUNCTIONS

ФУНКЦИЙ С ОГРАНИЧЕНИЯМИ WITH CONSTRAINS

Аннотация. Для произвольной тройки чисел, выража- Abstract. For a random number triplet expressing con-ющей ограничения на нормы функции и ее производ- strains to norms of function and its derivatives, through ных, с помощью неравенства Адамара, теоремы сравне- the use of adamar inequality, Kolmogorov’s comparison ния Колмогорова и специально построенных сплайнов theorem and specially constructed splines lower estimate вычисляется нижняя оценка быстродействия на классе of speed-in-action is calculated on class of functions with функций с абсолютно непрерывной производной и су- absolutely continuous derivatives and with considerably щественно ограниченной производной второго порядка. constrained derivative of the second order.

Ключевые слова: быстродействие; неравенство Ада- Key words: speed-in-action; Hadamar inequality; Kol-мара; теорема сравнения Колмогорова; сплайны Эй- mogorov’s comparison theorem; Euler’s splines; Favar’s

лера; константы Фавара; оценки норм производных. constants; estimate of derivative’s norms._

Сведения об авторе: Дмитриев Николай Пименович, About the author: Dmitriev Nikolai Pimenovich, candi-кандидат физико-математических наук, доцент кафед- date of Physics and Mathematics, assistant professor of ры физико-математического образования. the department of Physical and Mathematical education.

Место работы: Нижневартовский государственный Place of employment: Nizhnevartovsk State University

гуманитарный университет____________________of Humanities.__________________________________

Контактная информация: 628600, г. Нижневартовск, ул. Чапаева, д. 7, кв. 183; тел. 922 4085117.

E-mail: [email protected]

Пусть Ж2 означает класс заданных на всей числовой прямой Я действительных дифференцируемых функций /(ї) с абсолютно непрерывной производной / (ї) на любом отрезке из Я и нормой Чебышева функции и ее производных:

= su

р|f(t)|, llf II = suplf(t)|, II/

= ess sup

f(t) (-«< t <да).

L =

f

K =

f

Введем следующие обозначения: М =

Задача быстродействия динамических процессов и систем давно изучается в различных математических разделах, в том числе в теории управления, в теории динамических систем (см., например, [4]). Рассмотрим следующий вариант этой задачи: найти наименьший промежуток т изменения аргумента ї, на котором процесс /(ї) переходит с уровня -М на уровень М при ограничениях

< M

f

< K

В теории аппроксимации функций хорошо известно неравенство Адамара [6], связывающее числа М, Ь, К:

Ь <л/ 2МК . (1)

Отметим, что А.Н.Колмогоров [2, 3, 5] получил точные оценки норм промежуточных производных действительных дифференцируемых функций с ограничениями на норму

самой функции и ее старшей производной в более общем случае. А именно, пусть / е.Жг

(r=2, 3, ...) и при некотором l>0 выполнены ограничения Pri(t), (r = 2,3,...) — сплайны Эйлера.

<

Ри

Р

(r)

< 1

,ч 1 х/г ч / ^ і -ч у/ч 4 ^ sin((2k + 1)t + nr /2)

Рп(t) = -fr (lt) (r = 0,1,2) fr (t) =-£- '

l ft k=0

(2k +1)

r+1

где

(2)

Тогда имеет место точное неравенство:

f

(к)

<

Рг

г—к, l

(к = 1,2,..., г — 1).

Нетрудно заметить, что

а также

fr'(t) = fr—1(t) (г = 1,2,...),

Pl(t) =Рг—1,l (t) (г = 1,2,...).

Рассмотрим функцию

Р21 (t) = К f 2 (lt)

(4)

Параметр I в формуле (4) всегда можно подобрать так, чтобы выполнялось равенство

1Ы1=уЙлИ=М. (5)

Действительно, нормы сплайнов Эйлера или, по-другому, констант Фавара, известны и равны

К„ =

= 4 ^ (—1)j(r+1)

л 3=0 (2j + 1)

Г + 1

(г = 0,1,2,...).

В частности,

К |

Таким образом, ||р2/1| = —^\/2|| = утК2 = 012 = М . Из этого равенства получаем

l =

812 Жу[К

242m '

Подставляя это выражение в (3), находим

8M л4~К

Ри (t) = —Г f2 L птттtX

л

2у[2Ы

(6)

2^2MK л4К л4К

Ри(t) =-------f1(^rrtX Р01(t) = Kf0(2^2M t).

ж '242М

Нормы полученных функций таковы:

риЦ = М ||р„|| = ^2МК ||р,|| = К.

Это означает, что на сплайне (р21 ^) реализуется равенство в неравенстве (1), следовательно, и максимальное значение нормы производной функции /(^) е Ж2 . С учетом (3) имеем

эир

f(t) = P/Up=42MK.

t<=R

Назовем тройку чисел (М, Ь, К) допустимой относительно функции /(^) еЖ2, если эти числа связаны неравенством (1), а именно, Ь <42МК, где

= M,

f = L, ||f || = K . Например, тройка (2, 2, 1) допустима, а тройка (1, 2, 1)

недопустима.

Рассмотрим три случая: 1) Ь = V2МК , 2) Ь > V2МК , 3) Ь < V2МК .

Пусть Ь = V2МК . Тогда наименьший период т быстродействия процесса легко определяется, например, из (6) с помощью теоремы сравнения [1]. В самом деле, наименьшее значение функции /2(Х) достигается в точке t=0, а наибольшее в точке t = ж. Таким образом, с учетом коэффициента сжатия I получаем следующую нижнюю оценку периода быстродействия:

т = 2,

2М

К

(7)

Пусть Ь >42МК . В этом случае граница Ь изменения производной / () недостижима, а значит, в соответствии с неравенством Адамара оценка периода быстродействия остается прежней, т.е. определяется по формуле (7).

Наконец, пусть Ь <42МК . Ясно, что такое ограничение изменения производной приведет к увеличению периода быстродействия процесса. Для нахождения длины этого периода рассмотрим следующую функцию сравнения:

К

Уг1 0) = —^ (и) (г = 0,1,2),

где сплайн sr (И) (г = 0,1,2) и его производные определяются так:

Г

К-----М,

2

М - К

0 < t <в

в<t<т-в

т-в <t<т

(8)

(9)

К, Ь,

0 < t <в в< t < Т - в 80(t) =

К(V -т), т-в< t <т

К, 0 < t<в

0, в < t <т - в

К, т-в <t<т

(10)

Параметры в и т находятся из условий гладкости сплайна дефекта 1, т.е. непрерывности 52^) и его производной ) :

в2 т

Кв = Ь, К-------М = Ьв-Ь-

2 2

Отсюда получаем следующую оценку быстродействия процесса /^) еЖ :

т = ■

Ь2 + 2МК

ЬК

(11)

Отметим, что если Ь > V2МК (а это случаи 1 и 2), то оценка быстродействия (11) переходит в ранее найденную оценку (7).

Нетрудно установить, что оценка (11) не меньше оценки (7):

Ь2 + 2МК

ЬК

> 2.

2М

К

(12)

Это означает, что существенное ограничение изменения производной Ь <42МК приводит к увеличению периода быстродействия процесса.

Действительно, если это не так, то

Ь + 2МК < 2./2М Ь2 + 2МК < 2Ь42МК (Ь -42МК)2 < 0.

ЬК V К

Полученное противоречие доказывает справедливость неравенства (12).

ЛИТЕРАТУРА

1. Габушин В.Н., Дмитриев Н.П. О теоремах сравнения // Методы сплайн-функций. Вычислительные системы. Новосибирск, 1979. Вып. 81.

2. Дубовик В.К., Коренблюм Б.И. Неравенство типа Адамара—Колмогорова при наличии связей // Математические заметки. 1969. Т. 5.

3. Колмогоров А.Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных произвольной функции на бесконечном интервале // Уч. зап. Моск. ун-та. 1938. Вып. 30. Математика. Кн. 3.

4. Кочубиевский И. Д. О выборе системы, обладающей предельным быстродействием // Доклады АН СССР. 1980. Т. 250. № 6.

5. Cavaretta A.S. An elementary proof of Kolmogorov’s theorem // Amer. Math. Mon. 1974. — 81. № 5.

6. Hadamard J. Sur le module maximum d’une function et de ses derives // Soc. Math. France. Comptes rendus des Seanses. 1914. 41.