Оценивание скорости транспортных средств с использованием магнитометра Текст научной статьи по специальности «Математика»

I системный анализ у---------------------------------

УДК 303.732:[338+658.01](075.8)

метод многокритериального предпочтения сложных систем

Ю. В. Ведерников,

канд. техн. наук, доцент

Михайловская военная артиллерийская академия

Рассматривается задача определения отношений предпочтения на множестве сложных технических систем для случая, когда критерии оптимальности разнородны и могут быть заданы в частично формализованном, интервальном виде. Задача сводится к построению упорядоченного множества эффективных вариантов (кортежа предпочтений Парето) сложных систем. Предлагается метод решения, основанный на комплексном применении аксиоматических методов теории принятия решений, нечетких множеств и интервального анализа. Приведен численный пример.

Ключевые слова — техническая система, отношение предпочтения, интервальный анализ, векторная оптимизация.

Введение

В настоящий момент осложненные условия эксплуатации современных технических систем (СТС) различного назначения приводят в процессе оценки качества их функционирования к необходимости учета различных видов неопределенности. При этом достаточно часто большинство показателей рассматриваемых СТС оказываются заданными в виде диапазона их изменения. Для нахождения решений в задачах подобного класса используют интервальные [1-7] и нечеткие [2, 8-10] методы.

Приоритет в исследованиях, посвященных интервальному анализу, принадлежит академику Л. В. Канторовичу [11], идеи которого применительно к задачам оптимизации развил А. А. Ватолин. Он сформулировал для них определение множества решений. Математическим и вычислительным аспектам анализа статических систем в условиях интервальной неопределенности посвящена работа С. П. Шарыя [5]. Разработка методов оптимизации СТС для случая, когда критерии оптимальности заданы в интервальном виде, оказалась возможной благодаря результатам, полученным в теории интервального анализа такими учеными как Е. Каухер, Ю. Херцберг, Ю. И. Шокин и многими другими [1, 4, 6, 12, 17]. Вместе с тем эта проблема полностью еще не решена. Известные методы [4, 6] предполагают, что для двух интервалов А и В, определенных в соответствующих границах А = [а; а] и В = [Ь; Ь], счи-

тается, что А > В (или А < В), если а > Ь, а > Ь (или а < Ь, а < Ь). При условии а < Ь, а > Ь (или а > Ь, а < Ь) два интервала А и В будут считаться несравнимыми. В частности, это относится и к важному для практики случаю, когда СТС характеризуется векторным разнородным критерием оптимальности. Кроме того, для нестандартных операций вычитания «-» и деления «:», определенных для элементов А, В, существует правило [4], что из равенства А - С = В - С не следует, что А = В, например: [9; 13] - [1; 4] = [10; 12] - [1; 4], или из равенства А : С = В : С не следует, что А = В, например: [2; 6]:[1; 2] = [3; 4]:[1; 2]. Однако именно вышеперечисленные случаи достаточно часто встречаются при решении практических задач.

В статье предлагается метод, позволяющий определять предпочтения между вариантами систем, характеризующихся множеством интервальных характеристик. Он основан на сочетании отличительных свойств аксиоматических методов теории принятия решений, нечетких множеств и интервального анализа.

Постановка задачи

В основу предлагаемого метода положена идея сравнения неоднородных интервальных критериальных значений на основе построения интервального отношения предпочтения (ИОП). Рассмотрим его сущность и для этого введем необходимые в дальнейшем обозначения [13-15]:

в = {Sa, а = 1, п} — множество возможных альтернативных вариантов структурного построения СТС; Кг(ва) = [Кг(ва); Кг(ва)] — частные критерии оптимальности, заданные в интервальном виде, характеризующие каждый отдельный вариант системы Sa, где Кг(ва) — нижняя граница интервала критери-

альной оценки, a Ki(Sa) — верхняя граница интервала, i = 1,r; а = 1,n;

K(Sa) = {Kx(Sa), K2(Sa),..., Kr(Sa)} = {[KS); ],[K2(Sa); K(SJ],...,[Kr(Sa); KTcSO)]} — век-

торный критерий, характеризующий каждый вариант системы;

SPc S — множество эффективных (парето-оптимальных) вариантов системы Sa с числом элементов nP; P = (S0, S0,..., S0 р ) - упорядоченное множество эффективных вариантов (кортеж Парето), для элементов S0 е SP которого справедливо

7 S0h у S02 у... у S0 р , (1)

где «>» — знак отношения доминирования, е {1, п }. Длина кортежа равна пр.

Р}. Длт™° Т5Т1С пр

С учетом введенных обозначений сформулируем задачу.

Требуется найти упорядоченное множество эффективных вариантов структурного построения сложной системы (кортеж Парето) (1), для элементов вк. которого в зависимости от смысла задачи выполняются условия 1

К(30.) = тт_[К(Яа)], в°к. е , (2)

1 1=1,г; а=1,п 1

или

К,(в» ) = тах_[К&а)], в» е (3)

'' ,=1,г; а=1,п

для случая, когда скалярные критерии оптимальности К1 (ва) = [К1 (ва); К1 (ва)] представлены в интервальном виде. Обычный (не интервальный) скалярный критерий К^а) целесообразно рассматривать как частный случай интервального критерия, который представлен в виде вырожденного интервала [2], т. е. интервала с совпадающими концами К1 (ва) = К1 (ва) = К1 (ва).

Метод построения интервальных отношений предпочтения на множестве сложных систем, характеризующихся скалярными разнородными критериями оптимальности

При построении реальных СТС различного назначения встречаются ситуации (являющиеся, скорее, правилом, чем исключением), когда у лица, принимающего решение, нет четкого представления о предпочтениях между всеми или некоторыми из альтернативных вариантов [10]. Кроме того, только при наличии условия, обеспечивающего сравнимость частных критериев, возможно в дальнейшем построение принципа оптимальности и вытекающих из него алгоритмов решения многокритериальных задач. Несравнимость частных критериев является основной особенностью и главным препятствием к решению задач многокритериальной оптимизации [8]. Представленные обстоятельства существенно усиливаются в условиях, когда частные критерии не только неаддитивные, но еще и представлены в интервальном виде, с различными диапазонами отклонения качества от лучшего до худшего значения.

Исходя из перечисленного выше предлагается на основе анализа множества упорядоченных пар Sk и Sl (е в и в/ е в, где Ь = 1,п; I = 1,п; Ь ^ /) вариантов сложной системы в = {ва, а = 1,п} по аналогии с нечетким отношением предпочтения [10, п. 1.2.1] ввести интервальное отношение предпочтения RиKi(Sk, Sl) по г-му частному интервальному критерию оптимальности К1 (ва) = [К,(ва); К-(ва)],

г = 1,г; а = 1,п и для пары систем ^к, Sl) определить интервальной функцией принадлежности циКь$к, Sl). Результаты анализа предлагается заносить в специальную оценочную матрицу ||диК^й, Sl)||. При сравнении систем Sk и Sl ^-системы располагать в строках, а 1-системы — в столбцах.

Элементы циК^к, Sl) оценочной матрицы, исходя из подходов, изложенных в работах [4, 8, 10, 14], определяются по выражению

VLuKi (Sk, St) =

K(Sk)-Ki(Sf) = [ Ki(Sk); Ki(Sk) ]-[ KiiSj);Ki(St)]

mi mi

[тт {К,(вк) - Кгф); Кг(вк) - Кг(^)}; тах{К,^) - Кг(^); Кг(вк) - Кгф)}] _

=----- —---------------------- —-----------------, (4)

тг

где К^к) и К— значения г-го скалярного критерия для систем Sk и Sl; тг — ширина интервала оценок по г-му частному критерию оптимальности [2]. Средством числового представления критериев высту-

пают интервальные значения, которые показывают допустимое отклонение качества варианта системы от худшего до лучшего (т. е. от минимального до максимального) в определенном диапазоне.

Важным моментом в данном случае является назначение величины тг. При необходимости можно использовать в качестве тг. предельно допустимые значения критериев оптимальности эталонной системы; предельно допустимые значения критериев оптимальности, которые хотелось бы достигнуть в ходе решения задачи оптимизации; в задачах контроля — предельно допустимые значения контролируемых параметров и т. д.

В результате функция принадлежности циКг$к,

Sl) для пары систем ^к, Sl), характеризующая степень согласия с тем, что система Sk доминирует над системой Sl по г-му частному интервальному критерию, будет также представлена в интервальном виде:

, в/) = [диВД, в/); (вк, в/)].

Отличительной особенностью рассматриваемого подхода от методов теории нечетких множеств [8-10] является определение интервальной функции принадлежности в интервале [-1; 1].

Определение. Интервальным отношением предпочтения Rи на множестве Sa называется множество декартова произведения (Sk х Sl, где к = 1,п; I = 1,п; к ^ Г), характеризующееся интервальной функцией принадлежности риКг$к, в) : Sk х Sl ^ [-1; 1]. Значение этой функции

диКг (, в/) = [диК1 (Як, в/); \1и К (Як, в/)] понимается как объективная мера степени выполнения отношения SkRиSl по скалярному критерию оптимальности Кг(Яа) = [Кг(Яа); Кг(ва)], (г = 1,г;

а = 1, п), заданному в интервальном виде, характеризующему каждый отдельный вариант системы Sa, где:

диКг (Як, в/) е [ — 1; 0] — значение, характеризующее максимальную степень потерь при признании системы Sk, доминирующей систему Sl по скалярному интервальному критерию оптимальности Кг;

№-иКг (Як, ) е [0; 1] — значение, характеризую-

щее максимальную степень выигрыша при признании системы Sk, доминирующей систему Sl по рассматриваемому Кг;

|Л,иКг(Як, в/) е [-1;0] — означает абсолютное отсутствие доминирования системы Sk над системой Sl по скалярному интервальному критерию Кг;

циКг(Як, ) е [0; 1] — означает абсолютное до-

минирование системы Sk над системой Sl по скалярному интервальному критерию Кг;

[Д , в/); ^иК &Ь, в/)] е [-1; 1] — интер-

вальное значение (комплексная характеристика), характеризующее степень выигрыша и степень потерь при признании системы Sk, доминирующей систему Sl по рассматриваемому Кг.

Введем отношение строгого интервального предпочтения системы Sk над системой Sl и определим его функцией принадлежности цДК^д., Sl), характеризующей интенсивность доминирования системы Sk над системой Sl по г-му частному интервальному критерию оптимальности, в виде

ц(Як, в/) = циК (Як, в/) - циК (в/, Яь )=

= [ЦК (Яь , Я/); циК (Як, Я/)] -

- [циКг (Яг, Яь); ] =

= ( Яь , ) - ц иК (, Яь );

ц иК (Яь , ) - ц иК1 (Яг, Яь )};

тах{диК(5к,Я2 - Ц иК1 (Яг, Яь );

ЦК^Ж) - ЦиК (Яг, Яь )}]. (5)

Результаты сравнения цuKг(Sk, Sl) и диКг^, Sk), (VSk и Sl) будем заносить в специальную оценочную матрицу ||диКг^, Sl)||.

Введем отношение интервального недомини-рования системы Sk над системой Sl и определим его функцией принадлежности ц^[ДК1№к, Sl) как дополнение к цДК^д., Sl) в виде

М- тКг (Яь ,) =

1, если \1ивКг(Яь , яг) < 0 (6)

1 - \хивК1 (Яь, Я/), если д (Яь , Я/) > 0 ■

Результаты выполнения условия (6) будем заносить в оценочную матрицу Цр^дК^^., Sl)||.

Степень «недоминируемости» системы Sk ни одной другой системой по г-му скалярному интервальному критерию оптимальности характеризуется [10] функцией принадлежности множеству недоминируемых систем цДК^д.) в виде

= тПЦмПК№к, Sl)• (7)

Значение функции принадлежности цДК^д.) показывает степень близости варианта системы Sk к эффективному (парето-оптимальному) варианту по рассматриваемому скалярному интервальному г-му критерию оптимальности.

Если в процессе решения, в зависимости от смысла задачи, необходимо выполнить условие (2), то выбор значения цДК^д.) необходимо осу-

■ Таблица 1. Таблица исходных данных

Критерии Кг(Ба) Системы (Ба)

Б1 Б2 Б3 тг

1. К1(Ба) — ориентировочная стоимость образца (тыс. у. е.) [40; 90] [50; 70] [60; 65] 100

2. К2(Ба) — ожидаемый эффект от эксплуатации образца (баллы) [5; 6] [3; 9] [4; 7] 10

3. К3(Ба) — ожидаемая скорость выполнения операций (опер./с) [80; 100] [100; 120] [110; 115] 150

ществлять из Д-й строки оценочной матрицы ||дяпКг^, Sl)||. Если в процессе решения необходимо выполнить условие (3), то выбор значения ц*пКг(Бк) необходимо осуществлять из 1-го столбца оценочной матрицы ||д№0Кг(БД, Sl)||.

Величину ц*пК1(Бк) будем рассматривать как меру предпочтения, обеспечивающую объективный и адекватный реальности способ сравнения сложных систем, характеризующихся разнородными интервальными критериальными значениями, и устанавливающую значение приоритета системы при выборе.

Рассмотрим иллюстративный пример.

Пример. Необходимо отдать предпочтение одной из трех систем {Бр S2, S3}, характеризующихся тремя критериями К1(Ба), К2(Ба) и K3(Sа), значения которых заданы в интервальном виде, остальные системы расположить в порядке убывания предпочтения.

Варианты систем, значения критериев оптимальности и ширина интервала оценок по г-му частному критерию представлены в табл. 1. При этом должны выполняться условия

тт[ К1(Яа)]; а=1,3 (8)

тах[ К2(Яа)]; а=1,3 (9)

тах[ К3(Яа)]. а=1,3 (10)

Как видно из табл. 1, критерии К^Б а), К2(Ба) и K3(Sa) являются разнородными, измеряемыми в различных шкалах, с различными диапазонами отклонения качества. Кроме того, условия (8) и (9), (10) являются диаметрально противоположными.

Решение задачи:

1. С использованием выражения (4) определяем ц^К^Бр S2):

\1иК1(Я1, Я2) =

[40; 90] -[50; 70] 100

[min{40 - 50; 90 - 70}; тах {40 - 50; 90 - 70}]

100

[-10; 20] 100

= [-0,1; 0,2].

Аналогично представленным вычислениям рассчитываем циК1(БД, б,), циК2(БД, б,) и циК3 х х (Бд, б,) (VSk и б,). Полученные данные сводим в табл. 2.

2. С использованием выражения (5) определяем циДК1(Б1,Б2):

цЦК^, Я2) = [-0,1; 0,2] - [-0,2; 0,1] =

= [тт{-0,1 - (-0,2); 0,2 - 0,1};

тах {-0,1 - (-0,2); 0,2 - 0,1}] = 0,1.

Аналогично представленным вычислениям рассчитываем цидК1(БД, б,), ц11ДК2(Бк, Б) и циД К3(БД, Б) (УБД и б,). Полученные данные сводим в табл. 3.

3. С использованием выражения (6) находим

значения ЦNDK1(Sk, Sl), Ц'NDK2(Sk, Б1) и

б,). Полученные данные представим в табл. 4 и 5.

4. Значения цДК^Бд) для всех критериев сведем в табл. 6.

Согласно работе [16], значения цДК^Бд) определяются в диапазоне ^ [0; 1], где цДКг(Фд) = 1 оз-

■ Таблица 2. Оценочная матрица \\ц.иК,(Бг,, б,)

Системы (Бд) Системы (Б;)

Б1 Б2 Б3

||ц“К1(БЛ, Бг)||

Б1 - [-0,1; 0,2] [-0,2; 0,25]

Б2 [-0,2; 0,1] - [-0,1; 0,05]

Б3 [-0,25; 0,2] [-0,05; 0,1] -

||ц“К2(БЛ, Бг)||

Б1 - [-0,3; 0,2] [-0,1; 0,1]

Б2 [-0,2; 0,3] - [-0,1; 0,2]

Б3 [-0,1; 0,1] [-0,2; 0,1] -

|р“К3(БЛ, Бг)||

Б1 - [-0,13] [-0,2; -0,1]

Б2 [0,13] - [-0,06; 0,03]

Б3 [0,1; 0,2] [-0,03; 0,06] -

■ Таблица 3. Оценочная матрица циДКг(Бк, Бг)

Системы (Бк) Системы (Б;)

«2 Б3

цДК^Бд, Бг)

Б1 - 0,1 0,05

Б2 -0,1 - -0,05

Б3 -0,05 0,05 -

цКБ*, Бг)

Б1 - 0,1 0

Б2 -0,1 - 0,1

Б3 0 -0,1 -

ЦДК3(Бд, Бг)

Б1 - -0,26 -0,3

Б2 0,26 - -0,03

Б3 0,3 0, 03 -

■ Таблица 4• Оценочная матрица ц.NDK1(Бh, Бг)

Системы (Бк) Системы (Б;)

«1 «2 «3 цДК1(Бк)

Б1 - 0,9 0,95 0,9

Б2 1 - 1 1

Б3 1 0,95 - 0,95

■ Таблица 5. Значения ^гК^Бь, Бг)

Системы (Бк) Системы (Б;)

«1 «2 Б3

^ДК2(Бк, Б1)

Б1 - 0,9 1

Б2 1 -1 0,9

Б3 1 1 -

цКБ) 1 0,9 0,9

^пК-Э^к, Б1)

Б1 - 1 1

Б2 0,74 - 1

Б3 0,7 0,97 -

цДК3(Бк) 0,7 0,97 1

■ Таблица 6. Значения цДКг(БД)

Системы (Бк) ц1>Кг(Бк)

цдК1(Бк) цПК2(Бк) цПК3(Бк)

Б1 0,9 1 0,7

Б2 1 0,9 0,97

Б3 0,95 0,9 1

начает, что система Бк является лучшей по г-му скалярному критерию в рассматриваемом множестве систем, 0 — худшей, а значение из диапазона [0; 1] показывает величину приоритета системы при выборе. Чем она выше, тем предпочтительней является рассматриваемая система Бк по г-му скалярному критерию оптимальности.

В результате решения задачи все интервальные критериальные оценки приведены к общему виду, удобному для сравнения при решении задач многокритериальной оптимизации.

Предложенный метод позволил сформулировать задачу построения отношения предпочтения на множестве СТС, характеризующихся векторным неоднородным критерием оптимальности, в следующем виде.

Требуется найти множество эффективных упорядоченных систем (кортеж предпочтений Парето) Рц

^ ^ ^ ^... ^ ^ , (11)

12 пр

— для элементов которого справедливо

ь1

|^К (Я|) = :тах_ _{|ЬК(Яа)}, ^еЯР. (12)

1 г=1,г; а=1,п 1

Рассмотрим метод решения задачи (11) при условии (12).

Метод построения отношения предпочтения на множестве сложных систем, характеризующихся векторным неоднородным критерием оптимальности

При несомненных достоинствах методов решения задач многокритериальной (векторной) оптимизации [3, 15, 17] их общим недостатком, как, впрочем, и всех аксиоматических методов теории принятия решений, является то, что идет определение предпочтительности одного скалярного критерия над другим (т. е. определение того, что одна система лучше (хуже) другой по рассматриваемому критерию), далее каким бы то ни было субъективным, как правило, эвристическим или экспертным методом вводятся коэффициенты важности скалярных критериев оптимальности и уже с ними в дальнейшем производятся различные вычисления. Однако в реальных ситуациях достаточно часто оказывается, что относительную важность критериев (или признаков, по которым оцениваются альтернативы) невозможно достоверно описать соответствующими коэффициентами, кроме того, субъективизм назначения коэффициентов важности понижает достоверность принимаемого решения.

Предлагаемый метод построения отношения предпочтения на множестве СТС, характеризую-

щихся векторным неоднородным критерием оптимальности (метод многокритериального предпочтения), в отличие от известных (семейства методов ЭЛЕКТРА Б. Руа, метода «жесткого» ранжирования [13], методов, изложенных в работах [3, 5], и т. д.) позволяет вместо коэффициентов важности критериев использовать функции принадлежности цДКг(Ба), определяемые по описанной выше процедуре и показывающие степень близости систем Ба к эффективной (парето-опти-мальной) системе по Кг(Ба) — частному критерию оптимальности. Сущность рассматриваемого метода многокритериального предпочтения [16] при решении задачи (11) и выполнении условия (12) заключается в следующем.

1. На основе анализа ц*ДКг(Бк) и ц*пКг(Б1), г = 1, г проведем попарное сравнение систем Бк и Б, и определим элементы Срк1 оценочной матрицы ЦС^Ц, к = 1,п; / = 1,п; к * /, в следующей последовательности.

Обозначим 1+, I-, 1= соответственно подмножества лучших, худших и равных значений |аДКг(Бк) и ц*ДКг(Б]) для каждой пары систем Бк

и Б,, к = 1,п; / = 1,п; к * /. Осуществим попарное сравнение систем Бк и Б, на основе анализа ц*ДКг(Бк) и ц*пКг(Б1), 1 = 1,г. Для возможных значений подмножеств 1+, I-, 1= введем следующие значения элементов оценочной матрицы ЦС^Ц:

если 1+/ = 0, 1- = 0, 1=1 = {1,г},

то С^= 1, С1 = 1; если 1+/ = {1 , г} , 1- = 0 , 1=/ = 0 , то С»ы = N2,Ск = 0, N2 >> 1;

если 1+1

10> 1ы = {!> г}> 1ы :

= 0,

то С^ = 0, С^к = N2;

[ 1+/ * 0, 1ы '■

0,

если 1ы то Скк/ = N3, Ск = 0; 1 <<

= 0, Чь *0, 1=ь * 0

0 4/ *

N3 < N.

2

если 1+ то Ск если 1+/

ТЫ ' ' КЬ

' С& = 0, СЬ = N,1

0,14=1

1+/ * 0, 4/

> 0,

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

то Ск,, в отличие от [15], определим в виде

=

Сы =

) £|4,Кг (Я/)

г=1 /\ г=1

С1 = с |-1

Сы = С/к .

-1

(19)

В случае, когда при формировании исходных данных для решения задачи заданы коэффициенты важности рассматриваемых скалярных

критериев оптимальности, то Срк1 для условия (18) определим в виде

сх = Сы =

^вК^к)аг £хВВД)а г=1 Д г=1

-1

С х = С Iх СЫ = С/к

-1

(20)

где аг — коэффициент важности г-го критерия,

г

причем £ аг = 1.

г=1

Согласно теореме 1 [16], если в 1-м (/ е {1,гг}) столбце оценочной матрицы одно из чисел Срк1 равно значению N2 или N3, то 1-й вариант системы не принадлежит множеству эффективных вариантов.

2. Для формулировки решающих правил, по аналогии с методом «жесткого» ранжирования [15], введем систему показателей: Н — количество элементов в 1-м столбце оценочной матрицы ||С1к1||, значения которых больше единицы; Мр — количество элементов в 1-м столбце той же матрицы, значения которых меньше единицы, но больше нуля; Срк1 тах — максимальное значение элемента в 1-м столбце матрицы. Физический смысл показателей: Нр показывает, сколько вариантов из рассматриваемого множества превышает 1-й; Мр — в скольких вариантах доминирует 1-я система; Срк1 тах определяет максимальную степеньдо-минирования к-й системы над 1-й, & = 1,п; 1 = 1,гг; к * I.

3. Для определения порядка предпочтений на множестве систем перейдем от одношагового процесса поиска приоритетного расположения альтернатив к многошаговому процессу [3, 15]. На каждом шаге г, г = 1, 2, •••, пР - 1, где пР — число эффективных вариантов, выбираем у-ю альтернативу, лучшую с точки зрения предлагаемых ниже решающих правил ^Р). Затем ее номер включаем в кортеж Парето Р и в последующем рассмотрении у-я альтернатива больше не участвует (в матрице ||Ск1|| вычеркиваем у-ю строку и у-й столбец). Это позволяет исключить влияние варианта Бу на выбор лучшей альтернативы, проводимой на следующем шаге. Далее вновь используем, но теперь на каждом шаге г + 1, показатели НЦ4), Mf^), С^ах . которые имеют оговоренный выше физический смысл.

Решающие правила многокритериального предпочтения ЩР МП).

1. Поиск приоритетного расположения СТС необходимо проводить только среди эффективных вариантов по шагам г, г = 1, 2, •••, пР - 1.

2. Положить г = 1

3. Найти показатели НЦ4), МЦ4), С^^ и определить лучшую альтернативу Б■ с минимальным

значением

4. Номер j занести в множество P.

5. Исключить из оценочной матрицы j-ю строку и j-й столбец.

6. Если альтернативы с номерами lj<ELk^ = {l1, l2, ..., lj, ..., lk(t)} имеют одинаковые минимальные

значения H,^(t), то лучшей является альтернату

тива S, с максимальным значением M^(t) = lj lj

= max M^(t).

ljeLu t) 1

7. Если варианты с номерами jeLk(t) = {l1, l2, ..., lj, ..., lk(t)} имеют соответственно одинаковые значения H^(t), M,^(t), то лучшей является альтерна-

lj lj

тива S, с минимальным значением С^^,* .

f'l kl max j

8. Если лучшие системы имеют соответственно равные значения H^(t), M^(t), C^,(t) , то такие

lj 9 lj 9 kl max i

системы считают эквивалентными.

9. Положить t = t + 1.

10. Если t < (пР — 1), перейти к шагу 3, иначе — к шагу 11.

11. Конец решения.

Пример (продолжение). Для определения отношения предпочтения на рассматриваемом множестве СТС {Sp S2, S3}, характеризующихся векторным неоднородным критерием оптимальности K(Sa) = {K^), K2(Sa), ^(SJ, a = {1, 2, 3}, будем использовать |a^K;(Sk), определенные на предыдущем этапе решения (табл. 8), и RP МП.

1. Построим матрицу предпочтений ||C,kl|| (табл. 7).

Порядок расчета чисел С]^{-

С1 = ^Ki(Si) + [LDK2 (Si ) + црКз (Si) =

12 |l DKi(S2) + l^^) + l*^^)

= 0,9 +1 + 0,7 = _2,6_ = 09 1 + 0,9 + 0,97 2,87 , .

2. Анализ оценочной матрицы ||C1kl|| позво-

ляет получить на 1-м шаге (t = 1) решения показатели ^ Mj\ с#» , которые приведены

в табл. 8.

3. Анализ табл. 8 показывает, что в соответствии с принятыми RP МП предпочтение на 1-м шаге решения (t = 1) необходимо отдать системе S2. Включаем ее в кортеж Парето P. В табл. 7 удаляем вторую (S2) строку и второй (S2) столбец.

4. На 2-м шаге (t = t + 1 = 2) получаем вторую матрицу предпочтений (табл. 9) и матрицу показателей (табл. 10).

5. Предпочтение на 2-м шаге в соответствии

с RP МП отдаем системе S3. Так как t = 2 = пР - 1,

■ Таблица 7. Матрица предпочтений

Системы (Sk) Системы (Sj)

S1 S2 S3

S1 - 0,9 0,91

S2 1,1 - 1,01

S3 1,09 0,99 -

■ Таблица 8. Матрица показателей

Показатели Системы (Sj)

s1 S2 S3

rn(1) li 2 0 1

M?m li 0 2 1

C^i) klj max 1,1 0,99 1,01

■ Таблица 9. Матрица предпочтений (шаг 2)

Системы (Sk) Системы (Sj)

S1 S3

S1 - 0,91

S3 1,09 -

■ Таблица 10. Матрица показателей (шаг 2)

Показатели Системы (Sj)

S1 S3

lj 1 0

MfV l1 0 1

ax s-1 tf 1,09 0,91

где пР = 3, решение заканчиваем и строим кортеж предпочтений Парето: Р = {52, 53, 51}.

В результате решения задачи получили, что предпочтение по векторному неоднородному критерию оптимальности К^^ = {К^а), К^а), К^а)} следует отдать второй системе (S2), третья (S3) и первая (S1) системы занимают соответственно второе и третье места в кортеже.

Заключение

Таким образом, поставлена и решена важная в прикладном плане задача определения отношений предпочтения на множестве СТС для случая, когда критерии оптимальности разнородны и могут быть заданы в частично формализованном,

интервальном виде. Задача сводится к построению упорядоченного множества эффективных вариантов (кортежа предпочтений Парето) СТС по векторному разнородному критерию оптимальности.

На наш взгляд, метод может найти широкое применение при решении прикладных задач принятия решений в экономике, социальной сфере, оценке вариантов СТС различного назначения и т. д.

Литература

1. Аленфельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. М.: Мир, 1987. 360 с.

2. Алтунин А. Е., Семухин М. В. Модели и алгоритмы принятия решений в нечетких условиях: Монография. Тюмень: Изд-во Тюменского гос. ун-та, 2000. 352 с.

3. Белкин А. Р., Левин М. Ш. Принятие решений: комбинаторные модели аппроксимации. М.: Наука, 1990. 160 с.

4. Калмыков С. А., Шокин Ю. И., Юлдашев З. Х. Методы интервального анализа. Новосибирск: Наука, 1986. 222 с.

5. Шарый С. П. Новый подход к анализу статических систем с интервальной неопределенностью в данных // Вычислительные технологии. 1997. № 1. С. 84-101.

6. Шокин И. Ю. Интервальный анализ. Новосибирск: Наука, 1981. 112 с.

7. Левин В. И. Задачи непрерывной оптимизации в условиях интервальной неопределенности // Информационные технологии. 1999. № 7. С. 31- 37.

8. жуковин В. Е. Нечеткие многокритериальные модели принятия решений. Тбилиси: Мецниереба, 1988. 71 с.

9. Заде Л. А. Понятие лингвистической переменной и его применение к принятию приближенных решений. М.: Мир, 1976. 165 с.

10. Орловский С. А. Проблемы принятия решений при нечеткой исходной информации: Монография. М.: Наука, 1981. 203 с.

11. Канторович Л. В. Математические методы организации и планирования производства. Л.: Изд-во ЛГУ, 1939.

12. Kaucher E. Algebraische Erweiterungen der Intervall-rechnung unter Erhaltung Ordnungs und Verbands-strukturen // Computing Suppl. 1977. № 1. P. 65-79.

13. Сафронов В. В., Ведерников Ю. В. и др. Методика оптимизации структуры сложных технических систем в условиях риска // Информационно-управ-ляющие системы. 2007. № 1. С. 40-46.

14. Сафронов В. В., Ведерников Ю. В. Метод многокритериального ранжирования сложных систем при различных видах неопределенности исходных данных // Информационно-управляющие системы. 2008. № 3. С. 32-39.

15. Сафронов В. В., Ведерников Ю. В. Научно-методический аппарат векторной оптимизации систем контроля и управления сложными динамическими объектами при разнородных исходных данных // Информационные технологии. (Приложение). 2007. № 11. 32 с.

16. Ведерников Ю. В. Теоретико-множественное обоснование выбора сложных систем при разнородной исходной информации: Монография. СПб.: МО РФ, 2008.

17. Дубов Ю. А., Травкин С. И., Якимец В. Н. Многокритериальные модели формирования и выбора вариантов систем. М.: Наука, 1986. 296 с.

йи^ 59