CC BY
63
ПРИБОРЫ И СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
УДК 681.511.4
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-10-792-797
ОЦЕНИВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ
А. А. Ардашов, В. Н. Арсеньев, С. Б. Силантьев
Военно-космическая академия им. А. Ф. Можайского, 197198, Санкт-Петербург, Россия
E-mail: [email protected]
Рассматривается задача оценивания эффективности применения перспективных летательных аппаратов по ограниченному числу натурных испытаний. Для повышения качества оценивания предлагается использовать метод приоритета опытной информации, позволяющий объединить все имеющиеся априорные и опытные данные о характеристиках исследуемых образцов. Получены аналитические выражения для апостериорных оценок и приведен пример, подтверждающий эффективность предложенного в статье подхода к оцениванию характеристик летательных аппаратов при невозможности проведения испытаний в полном объеме.
Ключевые слова: летательный аппарат, эффективность применения, оценивание, ограниченные натурные испытания.
Введение. В настоящее время широко используются управляемые объекты для решения различных задач без непосредственного участия человека. Среди таких объектов особое место занимают летательные аппараты (беспилотные летательные аппараты, ракеты-носители, космические аппараты, разгонные блоки и др.). Требования к летательным аппаратам (ЛА) по ряду показателей более жесткие, чем к другим объектам. Аппараты усложняются, повышается их стоимость, а также стоимость организации и проведения натурных испытаний. Поэтому число опытных образцов для натурных испытаний ограничено, это не позволяет объективно оценивать эффективность применения ЛА по назначению. Повысить точность оценок можно, используя дополнительную (априорную) информацию, полученную на этапах, предшествующих натурным испытаниям.
Для решения этой задачи могут быть использованы различные методы [1—13]. В первую очередь, следует выделить методы, основанные на применении формулы Байеса (теоремы гипотез) [3—7, 9], они позволяют по заданным априорным распределениям найти апостериорные оценки неизвестных характеристик. Однако при решении практических задач их применение в ряде случаев приводит к противоречивым результатам вследствие неоднозначности, которую они допускают при выборе априорных распределений. Другая группа включает методы, основанные на выборе в качестве апостериорных оценок характеристик ЛА некоторых (в основном линейных) комбинаций априорных и опытных опенок [1, 2, 8, 10—13]. К сожалению, задача выбора коэффициентов, определяющих значимость соответствующей информации в результирующих оценках, до настоящего времени не решена [1]. Указанных ограничений, на наш взгляд, лишен метод приоритета опытной информации (ПОИ) [14].
Оценивание эффективности применения перспективных летательных аппаратов
793
Постановка задачи. В качестве показателя эффективности применения ЛА рассматривается вероятность выполнения им целевой задачи. Полагается, что по результатам априорных исследований получена некоторая расчетная оценка рр вероятности. Проведено Ыс серий независимых испытаний в одних и тех же условиях, причем в каждой серии испытывалось п опытных образцов. В 1-й серии испытаний целевую задачу выполнили х1 образцов, во 2-й — х2 и т.д., в последней серии испытаний целевая задача была решена образцами. Полагается также, что результаты априорных исследований и натурных испытаний однородны, т. е. принадлежат к одной генеральной совокупности.
Требуется по имеющейся априорной и опытной информации оценить вероятность выполнения ЛА целевой задачи.
Решение задачи. Известно [6], что дискретная случайная величина XX > 0, характеризующая число появлений некоторого события в последовательности из п независимых испытаний, имеет биномиальный закон распределения, в соответствии с которым вероятность того, что данное событие появится ровно х раз, определяется по формуле
Р (XX = х; р) = СХрх (1 - рГ
х = 0,1,2,..., п,
(1)
где р — параметр распределения — вероятность появления заданного события в одном испы-
Г^х « г^х п!
тании; Сп — число сочетаний из п по х, Сп = —-т-.
х !(п - х)!
Математическое ожидание М£ и дисперсия Д^ случайной величины XX связаны с вероятностью р известными соотношениями
М£ = пр ; = пр (1 - р) .
(2)
Согласно методу ПОИ составляется функция правдоподобия для выборки х1, I = 1, Nс :
^ Nc
пР(х = х;р) = Пс*рх (1 -р)
(=1 (=1
(3)
Определяется оценка максимального правдоподобия ро вероятности р, удовлетворяю-
щая уравнению максимального правдоподобия
N0
д 1п П Р (XX = х; р)
г=1
др
= 0:
р=Рo
N0
рс =
пК
-Е х.
с г=1
Функция правдоподобия (3) представляется в виде
Ь(рс, р) = Сор^ (1 - р^ро
(4)
(5)
N0
где Со =П Сх .
(=1
Отношение правдоподобия [11] для проверки гипотезы Н: р=рр об однородности априорных и опытных данных о характеристиках ЛА определяет вес априорной информации в апостериорной оценке и вычисляется по формуле
1
V =
Ь ( Р) = П
Ь ( Ро, Р )
П р (XX = х; Рр)
(1 - Рр)
М ои(1-Ро
& \ РМс"Ро (1 - V )
П р (XX = X; Ро ) Ро (1 Ро0 1=1
Ро) '
(6)
Для получения апостериорной оценки Ра параметраР могут использоваться оба способа, предложенные в работе [14]. В этом случае они дают один и тот же результат.
В соответствии с первым способом вводятся функция правдоподобия для гипотетической выборки хп, I = 1, Мр , соответствующей априорной оценке рр, и общая функция правдоподобия:
М / ч
ь (Рр, Р)=П р (XX=*п; Р)=СР РМрщ (1 - Р )М1-Р),
I=1
Ь = £ (Ро, Р ) (Рр, Р ) = Со Ср рп( М Ро + МР р )(1 - Р )) М(1-Ро)+Мр (1-V )] , *
где Ср=соп81;; Мр=у Мс — число гипотетических испытаний.
Необходимое условие максимума Ь по параметру р:
д 1п Ь
др
= 0 дает уравнение
Р=Ра
п (( Ро + Nр Рр ) п [Мс (1 - Ро) + Мр (1 - Рр )
Ра 1 - Ра
решением которого является апостериорная оценка вероятности
Мс Ро + Мр Рр = Ро Рр
= 0.
Ра =
Мс + Мр
1 + V
(7)
Если в процессе опытной отработки в каждой серии испытывался только один опытный
т
образец (п=1), а т — число образцов, достигших поставленной цели, то ро = —, а отноше
Мс
ние правдоподобия определяется по формуле
( Р Л Мс Ро ( 1 - Р Л Мс (1-Р° )
V =
^ о
1 - Р
о У
Для определения выигрыша в точности, получаемого за счет учета априорной информации, необходимо сравнить дисперсии опытной ро и апостериорной ра оценок.
Дисперсия оценки максимального правдоподобия (4) с учетом соотношений (2) приближенно может быть оценена по формуле
1
Мс
1
Мс
О [Ро ] = -2-2;ЕО [х ] = Е О = М
п Мс 1=1 п Мс 1=1 пМс
Р (1 - Р ) Ро (1 - Ро )
пМс
'с '"'с
Для приближенного вычисления дисперсии апостериорной оценки (7) проводятся следующие преобразования:
О [Ра ] =
Мс2 О [Ро ] + Мр2 О
((с + Мр )2
Мс2 Ро (1 - Ро ) + Мр2 рр (1 - рр ) с р пМр
пМс
((с + Мр )2
Оценивание эффективности применения перспективных летательных аппаратов 795 = ^ ро (1 - ро ) + Nр рр (1 - рр) = РО (1 - РО ) + У*рр (1 - рр)
п ((с + Np )2 nNc (1 + У* )2
Выигрыш в точности оценивания:
Укр = 2. (9)
5 Д [ра ] ро (1 - ро ) +у*)2 (1 +у*)2 . (8) Д [ро ] ро (1 - РО ) + У^,рр (1 - рр ) 1 + * рр (1 - рр )
РО (1 - РО )
Отсюда видно, что условие 8> 1, т.е. Д[р0 ]> Д[ра], будет выполняться, если
* Рр (1 - РР ) 2 П
у >—---- 2. Правая часть этого неравенства определяет критическое значение отно-
РО (1 - РО )
шения правдоподобия:
I1 - РР )
РО (1 - РО )
Если величина отношения правдоподобия, вычисленная по формуле (6), удовлетворяет неравенству
У >Укр, (10)
то апостериорная оценка точнее опытной оценки вероятности, причем выигрыш в точности
* *
тем больше, чем больше V . Максимальный выигрыш в точности 5=2 достигается при V =1, что соответствует полному совпадению априорных и опытных данных. Следует также отметить, что при выполнении условия (10) выигрыш в точности может оказаться весьма незначи-
*
тельным, если значение V мало. В таких случаях априорная информация является достаточно грубой и апостериорная оценка ра практически совпадает с опытной р0.
Пример. Рассматривается ЛА, предназначенный для наблюдения за некоторым космическим объектом (КО). Задача наблюдения считается решенной, если ЛА заходит в окрестность КО, ограниченную сферой радиусом ^=10 км. В центре сферы находится исследуемый объект.
По результатам моделирования относительного движения ЛА и КО получена априорная оценка вероятности выведения аппарата в заданную область: рр=0,970.
Проведены натурные испытания шести КА (N^6, п=1), результаты которых представлены значениями модуля XX вектора отклонений координат КО в конечной точке траектории движения от соответствующих координат объекта [15]: х1=6,40, х2=0,63, х3=8,31, х4=8,38, х5=5,74, х6=10,50 км. Отсюда видно, что задача наблюдения была решена в первых пяти испытаниях (да=5). Поэтому в соответствии с (4) опытная оценка вероятности решения задачи р0 = 5/6 « 0,833.
Отношение правдоподобия, характеризующее близость априорной информации к опытным данным, у = 0,384. Тогда апостериорная оценка вероятности решения задачи наблюдения, полученная по формуле (7), ра = 0,871. Видно, что априорная оценка вероятности является существенно завышенной. Это может быть связано с грубостью модели относительного движения ЛА и КО, неточностями в описаниях возмущающих факторов и рядом других причин.
Из формулы (8) следует, что дисперсия апостериорной оценки примерно в 1,7 раза меньше дисперсии оценки ро , полученной по результатам натурных испытаний без учета априорной информации.
Заключение. Использование дополнительной информации в процедуре оценивания эффективности применения ЛА по назначению позволяет повысить точность оценок. Выигрыш в точности тем больше, чем ближе априорная информация к опытным данным. Мерой, определяющей вес априорной информации в апостериорной оценке, является отношение правдоподобия для проверки гипотезы об однородности априорных и опытных данных. Максимальный выигрыш в точности оценивания достигается при v* = 1. Малые значения отношения правдоподобия говорят о грубости моделей, используемых на предварительных этапах исследования эффективности применения ЛА. В этих случаях апостериорные оценки практически совпадают с опытными.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Элементы теории испытаний и контроля технических систем / Под ред. Р. М. Юсупова. Л.: Энергия, 1978. 192 с.
2. Миронов В. И. Эффективность, надежность и испытания систем управления. М.: МО СССР, 1981. 200 с.
3. Кринецкий Е. И., Александровская Л. Н., Шаронов А. В., Голубков А. С. Летные испытания ракет и космических аппаратов. М.: Машиностроение, 1979. 464 с.
4. Кринецкий Е. И., Александровская Л. Н. Летные испытания систем управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1975. 193 с.
5. Шаракшанэ А. С., Железнов И. Г. Испытания сложных систем. М.: Высш. школа, 1974. 184 с.
6. Рао С.Р. Линейные статистические методы и их применения. М.: Наука, 1968. 548 с.
7. ГОСТ 27.201-81. Оценка показателей надежности при малом числе наблюдений с использованием дополнительной информации. Общие положения.
8. Щербаков П. С. Использование априорной информации для уточнения оценок параметров // Изв. АН СССР. Автоматика и телемеханика. 1988. № 5. С. 80—89.
9. Моррис У. Наука об управлении. Байесовский подход. М.: Мир, 1971. 304 с.
10. Арсеньев В. Н. Метод апостериорного оценивания показателей качества системы при ограниченном объеме информации // Изв. вузов СССР. Приборостроение. 1991. № 11. С. 16—22.
11. Арсеньев В. Н. Новые методы принятия решений при ограниченных экспериментальных данных. СПб: ВКА им. А. Ф. Можайского, 1999. 90 с.
12. Пугачев В. Н. Комбинированные методы определения вероятностных характеристик. М.: Сов. радио, 1973. 256 с.
13. Арсеньев В. Н. Метод оценивания характеристик рассеивания параметров состояния динамических систем // Изв. вузов. Приборостроение. 1989. № 5. С. 24—29.
14. Арсеньев В. Н. Оценивание характеристик систем управления по ограниченному числу натурных испытаний. М.: Рестарт, 2013. 126 с.
15. Арсеньев В. Н., Лабецкий П. В. Оценивание области рассеивания координат специального космического аппарата по результатам испытаний // Изв. вузов. Приборостроение. 2014. Т. 57, № 12. С. 9—15.
Сведения об авторах
Август Анатольевич Ардашов — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского Владимир Николаевич Арсеньев — д-р техн. наук, профессор; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра бортовых информационных и измерительных комплексов; E-mail: [email protected]
Сергей Борисович Силантьев — канд. техн. наук, доцент; ВКА им. А. Ф. Можайского, кафедра автономных систем управления
Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию
бортовых информационных 01.06.15 г.
и измерительных комплексов
797
Оценивание эффективности применения перспективных летательных аппаратов
Ссылка для цитирования: Ардашов А. А., Арсеньев В. Н., Силантьев С. Б. Оценивание эффективности применения перспективных летательных аппаратов // Изв. вузов. Приборостроение. 2015. Т. 58, № 10. С. 792—797.
ESTIMATION OF EFFICIENCY OF PERSPECTIVE AIRCRAFT EXPLOITATION
A. A. Ardashov, V. N. Arseniev, S. B. Silantev
A. F. Mozhaysky Military Space Academy, 197198, St. Petersburg, Russia E-mail: [email protected]
The problem of estimation of efficiency of exploitation of perspective aircraft by a limited number of field tests is considered. Application of the method of experimental information priority is proposed to improve the quality of the estimates; the method allows to combine all available a priori and empirical data on characteristics of the studied samples. Analytical expressions for a posteriori estimates are derived. An example confirming efficiency of the developed approach to estimation of aircraft characteristics when it is impossible to carry out a complete test is presented.
Keywords: aircraft, efficiency of application, estimation, limited field tests.
Data on authors
Avgust A. Ardashov — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaysky Military Space Academy Vladimir N. Arseniev — Dr. Sci., Professor; A. F. Mozhaysky Military Space Academy, Department of Onboard Information and Measuring Complexes; E-mail: [email protected]
Sergey B. Silantev — PhD, Associate Professor; A. F. Mozhaysky Military Space Academy,
Department of Independent Control Systems
For citation: Ardashov A. A., Arseniev V. N., Silantev S. B. Estimation of efficiency of perspective aircraft exploitation // Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Priborostroenie. 2015. Vol. 58, N 10. P. 792—797 (in Russian).
DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-10-792-797
