CC BY
24
что противоречит выбору группы G. Следовательно, R = F(N) = Op(N). Поскольку F(N) char N < G
мы имеем F(G) < G и поэтому F(N) с F(G). Теперь, по лемме 11, F(N) = Ri х R2 х ... х Rn для некоторых минимальных нормальных подгрупп R1, R2, ..., Rn группы G. Из леммы 12 мы имеем |Rj| = p, для всех n = 1, 2, ..., n. Следовательно, для каждого i е{1, 2, ..., n} подгруппа Mi = R1 х ...х х Ri-1 х Ri+1 х ... х Rn является максимальной в R и Mi < G. По условию для каждого i в группе G найдется подгруппа Ti такая, что TiMi = G, и Ti/Ti П Mi ^ Ti Mi/Mi = G/Mi является
n
p-нильпотентной группой. Но D = I M = 1, и поэтому группа G p-нильпотентна. Если же n = 1,
i=1
то R = R1 - группа порядка p с единичной максимальной подгруппой. Следовательно, G - p-нильпотентная группа согласно условию теоремы. Это противоречие заканчивает доказательство теоремы.
Литература
1. Srinivasan, S. Two sufficient conditions for supersolubility of finite groups / S. Srinivasan // Israel J. Math. - 1990. - V. 35. - P. 210-214.
2. Wang, Y. c-Normality of groups and its properties / Y. Wang // J. Algebra. - 1996. - № 180. - P. 954-965.
3. Wang, Y. Finite groups with some subgroups of Sylow subgroups c-supplemented / Y. Wang // J. Algebra. - 2000. - № 224. - P. 467-478.
4. Веньбинь, Го. G-накрывающие системы подгрупп для классов p-сверхразрешимых и p-нильпотентных конечных групп / Го Веньбинь, К. П. Шам, А. Н. Скиба // Сиб. мат. журнал. - 2004. - № 3. - С. 53-57.
5. Шеметков, Л. А. Формации конечных групп / Л. А. Шеметков. - М. : Наука, 1978. - 272 с.
6. Robinson, D. A course in the theory of groups / D. Robinson. - Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin. - 1982.
7. Huppert, B. Endliche Gruppen I / B. Huppert. - Berlin-Heidelberg-New York : Springer, 1967. - 793 p.
8. Шеметков, Л. А. Формации алгебраических систем / Л. А. Шеметков, А. Н. Скиба. - М. : Наука, 1989. - 253 с.
9. Guralnick, R. M. Subgroups of prime power index in a simple group / R. M. Guralnick. - J. Algebra, 1983. - V. 81. - P. 304-311.
10. Косенок, Н. С. Конечные группы с заданными s-добавлениями к максимальным подгруппам силовских подгрупп из подгруппы Фиттинга / Н. С. Косенок // Сборник научных и научно-методических работ преподавателей физико-математического факультета. - 2004. - № 3. - С. 108-112.
Summary
Let F be a class of groups. A subgroup H of a group G is called F-s-supplemented in G if there exists a subgroup K of G such that G = HK and K/K П HG belongs to F. We obtain some results about the F-s-supplemented subgroups, in particular, a new criteria for p-nilpotency is obtained.
Поступила в редакцию 06.04.07
УДК 534.8:535.5
Г. В. Кулак, Т. В. Николаенко, Е. С. Борсук
ОТРАЖЕНИЕ СВЕТА ОТ МОДУЛИРОВАННОГО УЛЬТРАЗВУКОМ ПЛОСКОПАРАЛЛЕЛЬНОГО СЛОЯ С УСИЛИВАЮЩЕЙ ПОДЛОЖКОЙ
Введение
Акустооптическое взаимодействие в усиливающем свет слое исследовалось в работах [1], [2]. В работе [1] показано, что при совпадении распределений дифрагированных полей с собственными модами резонатора Фабри-Перо, усиливающего свет, происходит резкое нарастание эффективности брэгговской акустооптической (АО) дифракции. Учет френелевского отражения света существенно изменяет зависимости от индекса синусоидальной модуляции в различных средах, включая сложно-анизотропные гиротропные структуры [3-5]. В работе [4] показана возможность экспериментальной селекции парциальных волн при изменении дифракционной эффективности синусоидальных фазовых решеток. В [5] показано, что для асимметричной дифракционной структуры возможно эффективное акустооптическое преобразование в режиме отражения, а слабое влияние гиротропии обусловлено ее подавлением френелевским отражением на границах слоя.
Результаты исследования и их обсуждение
В настоящей работе исследована брэгговская АО дифракция Б-поляризованной световой волны в условиях френелевского отражения от границ модулированного слоя с усиливающей подложкой. Предположим, что плоскопараллельный слой толщиной к и диэлектрической проницаемостью е2 расположен между однородными средами с диэлектрической проницаемостью е1 (покрытие)
I
и е3 = е2 +1% (% < 0). Схема АО взаимодействия показана на рисунке 1.
Рисунок 1 - Схема акустооптического взаимодействия в прозрачном слое (е2), расположенном между прозрачной (е1) и усиливающей (е3, %) средами
Начало системы координат ХУ2 расположено на верхней границе слоя, а ось ОУ перпендикулярна плоскости падения. При этом модулированный слой занимает пространство между плоскостями х = 0 и х = к. Параллельно поверхностям слоя распространяется
ультразвуковая волна с частотой О и волновым вектором К 1102 , создающая периодическую
в пространстве и времени решетку диэлектрической проницаемости
е2(х, /) = е2 + Д£1со$>(Кх-00, (1)
где К = 2р / Л, Л - длина ультразвуковой волны;
Дё, = -е2[рФ - глубина модуляции, определяемая акустической мощностью и эффективной фотоупругой постоянной (р - тензор фотоупругих постоянных, Ф - тензор деформаций).
Предположим, что плоская световая волна с частотой т >>0 и волновым вектором (к1 = ехк1х + еук1 (ех || 0Х,еу || 0У - единичные векторы вдоль соответствующих осей
к1х = к^£ё"соБф1, к1х = к^/ё!бшф1, к = т/с) падает на грань х = 0 под углом ф1 к нормали.
Угол преломления на верхней границе ф2 = агсзт[у е1 / е2 б1иф1] близок к углу Брэгга
Ф2 » фб = К / 2куё2. С другой стороны, угол Брэгга близок к предельному углу полного
внутреннего отражения на нижней границе слоя х = к: ф2 > фПр = агсБШ^е3 /е2.
Решение волнового уравнения для светового поля в слое ищем в соответствии с теоремой Флоке-Блоха [3]:
т = +¥
Е(х, г, /) = 2 Ат (х) ехр[/(кг + тК)х - г(т + тП)Г]. (2)
т = -¥
Если кх » К /2, то из совокупности (2) дифрагированных волн выделяются две наиболее существенные с дифракционными порядками т = 0 и т = -1. Система уравнений связанных волн для комплексных амплитуд А0 и А-1 соответственно нулевого и (минус) первого порядка имеет вид:
- к0хА0 = 'к2лА-1,
ах
^ 7 2 Л -7 2 Л
2 - к-1хА-1 = -гк2ЛА),
(3)
ах где
к0 х = ^07, к-1х = , к0 г » к2 БШфд , к_и = ^ 5Ш ф£ ,
к2 = k^/e7, Л = е2РэфС /2,
причем рэф - эффективная фотоупругая постоянная; С/ - амплитуда тензора деформаций.
Вследствие многократных отражений светового поля на границах слоя оно представляет собой суперпозицию четырех волн [6]. Преломленная на верхней границе волна Е-(а) дифрагирует в волну Е+1(ю ±О). В свою очередь, отраженные от нижней границы волны Е-(а) дифрагируют в волны Е- (а ± О). Постоянные распространения дифрагированных волн в слое находим из решения характеристического уравнения системы (3) в виде:
\2 =± 'к1х, ¿3,4 = ± кх , (4)
где
1
к* 4 т - ^-ад ^2
4
V
причем
т>,1 = (к22 - к02-1х) , 50,1 = / 2т>,1.
Сшивая напряженности электрического и магнитного полей в слое, а также в областях х < 0 и х > к, находим коэффициенты отражения в нулевом Е0) и в первом Я1 порядках
>0 = Т-Ху (*а + ), (5)
> = 2к1хХ [ [1 - 4 ехр^к)] - [1 - ^ехр^к)] |
1 1 - Х0Х1 { ка [1 - >2ъ1>2ъ3 ехр(2/кЪхк)] кь [1 - г^ъ ехр^к)] \'
>21 - ехр(2/'к2хк)
где > =-■—:-:- - коэффициент отражения у-той волны от слоя (у = а, Ъ),
1 - >2У1>2У3 ехр(2'к2хк)
причем г2;1 = (к^х - к-1х )(к^х - к-1х )-1 и г2;3 = (к^х - к3х )(к^х - к3х )-1 - френелевские коэффициенты отражения на границах слой-окружающая среда; Х01 = 501 [5051 - (т - т0 )2 /4 - (т - Мо)/ 2]-1,
ка,Ъ = (кааЪ - к-1г).
На границе слой-инверсная среда происходит многократное отражение преломленной Е+
и дифрагированной Е+ волн. При углах падения ф1 > агс81п^еъ / е1 коэффициент отражения г23
на границе слой-инверсная среда становится больше единицы. Резонансное усиление света, как следует из (4) и (5), происходит при равенстве их знаменателей нулю, то есть
1 + г1;2г2;3 ехр(2/к3;гк) = 0. (6)
Равенство (6) выполняется при наличии энергетического
= 1 и фазового соб(2Ф + 82) = -1
условий (Ф = к^к - фазовый набег на толщине слоя, 82 - фаза коэффициента отражения г23).
Из энергетического и фазового условий генерации следуют следующие выражения для параметров модулированной структуры:
л/^1 - е3 = ^% ^ е1 - е3 + рр^ , (7)
1,2
2N-1
Ко
4
• 2 Р+
- е2 БШ ф1 +
к
(8)
где
Рт = (т - Мо)/2±
(т- то )2/4+5о51
1/2
N = 1,2,3,... - целое число;
С - безразмерный коэффициент усиления.
При точном выполнении условий (7) и (8) структура переходит в режим генерации на основной (ю) и суммарной (разностной) (ю ± частотах. Условия генерации означают, что внешняя падающая волна попадает в резонанс с собственной модой (волной) структуры, состоящей из покрытия, модулированного слоя и усиливающей подложки. Дисперсионные
соотношения, связывающие к^х и ю, даются выражением (6).
Численные расчеты проводились для трехслойной структуры теллур (Те) - германий (Ое) -антимонид индия (7п5Ь). Рассматривалась дифракция излучения СО - лазера (10 = 5,2 мкм) в слое из германия, который является хорошим акустооптическим материалом в инфракрасной области спектра. В качестве покрытия использовался одноосный кристалл теллура, оптическая ось которого перпендикулярна плоскости падения. Усиливающей средой является полупроводниковый кристалл антимонида индия с максимумом усиления, приходящимся на К0 = 5,2 мкм. Показатели преломления покрытия, слоя и подложки равны: п1 = 4,8; п2 = 4; п3 = 3,95. Рассчитывались коэффициенты отражения дифрагированных волн первого порядка I I2 4
Я01 = г0 ^ для 50 @ 51 = 10 . При этом рассматривались углы падения, которым соответствовал предельный угол упр = атсБШ ^ е1 / е2 = 55,38°.
На рисунке 2а представлены зависимости коэффициента отражения | Я1 |2 в первом дифракционном порядке от угла падения ф1 при различных коэффициентах усиления света % . С увеличением коэффициента усиления % от 0 до 0,1 амплитуда коэффициента отражения | Я1 |2 растет для резонансных углов фт. Однако максимальное отражение достигается для оптимального значения %т = 0,165, ^>т = 55,3150, кт = 0,18 мм . Данные значения параметров
структуры соответствуют резонансным условиям усиления (генерации) (7), (8). Зависимость коэффициента отражения | Я1 |2 в первом дифракционном порядке от толщины слоя к, вблизи резонансной толщины кт для различных коэффициентов усиления %т представлена на рисунке 2б. Из рисунка следует та же динамика изменения коэффициента отражения с увеличением коэффициента усиления, что и на рисунке 2а.
а б
■а? -0.25 О 0.2^ а?Д[£Мря.ч -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
2
Рисунок 2 - Зависимость энергетического коэффициента отражения | Я1 | от угла Дф = ф - фт (а) и отстройки толщины слоя ДА от резонансной кт (б)
при различных значениях коэффициента усиления света %: 0 (1), 10-3(2), 10-2(3), 10-1(4), 1,65-10"2(5) ( рт = 55,34900(1), <рт = 55,34940(2), <рт = 55,3460(3), срт = 55,3370(4), <рт = 55,3450(5), кт = 80,4 мкм)(а); (рт = 55,3460(1), срт = 55,340(2), срт = 55,3370(3), <рт = 55,330(4), срт = 55,3260(5), кт = 84,4 мкм (б))
На рисунке 3 представлена зависимость коэффициента отражения дифрагированной волны первого порядка | Я1 |2 от коэффициента усиления % вблизи резонансного значения %т. Из рисунка следует, что форма кривой отражения значительно изменяется для разных резонансных углов фт . Наименее выраженный резонанс соответствует углу фт = 55,330. При этом в широком диапазоне % достигается значительное усиление света (| Я1 |2 —10,5 -11). Наименьшему коэффициенту усиления соответствует слабо несимметричная зависимость (см. кривую 1).
Рисунок 3 - Зависимость энергетического коэффициента отражения |,Ri|2 от отстройки коэффициента усиления подложки D% от резонансного значения %m
при различных значениях угла максимального усиления jm: 55,340 (1), 55,330 (2), 55,337° (3), 55,347° (4) (jm = 0,5-10"3, hm = 84,4 мкм (1), = 0Д17-10"1, hm = 80,0 мкм (2), cm = 0,405 10-1, hm = 81,0 мкм (3), cm = 1,6510-2, hm = 80,4 мкм (4)).
Зависимости энергетических коэффициентов отражения нулевой моды имеют аналогичный вид. При этом максимумы усиления соответствуют тем же значениям параметров, однако величины коэффициентов отражения примерно в два раза меньше, чем для первой моды.
Выводы
Из представленных зависимостей следует, что структуры, содержащие покрытие, акустооптический кристалл и усиливающую подложку, могут быть использованы для создания усилителей и генераторов оптического излучения в режиме отражения наряду с традиционными конструкциями [8]. При этом длина волны излучения может варьироваться с изменением частоты ультразвука. Разделение областей модуляции и усиления света позволяет расширить перечень материалов, сочетающих хорошие акустооптические и усиливающие свойства.
Литература
1. Yariv, A. Bragg amplification on oscillation in periodic optical media / A. Yariv, H. W. Yen // Opt. Commun. - 1974. - Vol. 10, № 1. - P. 120-122.
2. Гуляев, Ю. В. К теории акустооптического взаимодействия в активных резонаторах / Ю. В. Гуляев, Г. Н. Шкердин // Радиотехника и электроника. - 1983. - Т. 28, № 7. - С. 1299-1305.
3. Kong, J. A. Second-order coupled-mode equations for spatially periodic media / J. A. Kong // JOSA. -1977. - Vol. 67, № 6. - Р. 825-829.
4. Удоев, Ю. П. Граничные эффекты при дифракции света на объемных решетках. II. Фазовые пропускающие решетки / Ю. П. Удоев // Опт. и спектр. - 2001. - Т. 90, № 6. - С. 950-959.
5. Кулак, Г. В. Дифракция света на ультразвуке в кристаллах парателлурита в условиях френелевского отражения / Г. В. Кулак, Т. В. Николаенко // Журн. прикл. спектр. - 2006. - Т. 73, № 6. - С. 811-815.
6. Белый, В.Н. Акустооптическое взаимодействие в условиях полного отражения от усиливающих сред / В. Н. Белый, Г. В. Кулак // Доклады НАНБ. - 1988. - Т. 32, № 9. - С. 794-797.
7. Бойко, Б. Б. Отражение электромагнитных волн от границы раздела с усиливающей средой / Б. Б. Бойко, Н. С. Петров, И. З. Джилавдари // Журн. прикл. спектр. -1973. - Т. 18, № 4. - С. 727-729.
8. Kogelnic, H. Coupled-wave theory of distributed feedback optical media / H. Kogelnic, C. V. Shank // J. Appl. Phys. - 1972. - Vol. 10, № 1. - P. 120-122.
Summary
An optimal condition of the acoustooptical interaction in the plan-parallel modulated slab with amplified substrate is investigated. It is shown, that the significant amplification state is taken plaice in the regime of the full internal reflection from the substrate of the diffracted waves of zero and first orders. It is stated that the most value of the amplification state is reached in the regime of the structures generation under optimal choose of the incidence angle on the slab, slab thickness and amplification coefficients of a substrate of speckle-images dynamics) to highly dispersing materials, in particular to protective Al2O3 and ZrO2 ceramics.
Поступила в редакцию 04.07.07.
