Отображение ортоганальным проецированием поверхности, заданной уравнением в неявной форме Текст научной статьи по специальности «Математика»

2. Динамика управления роботами. Под ред. Е.И. Юревича. - М.: Наука, 1984 - 334 с.

3. Пановко Я.Г. Введение в теорию механических колебаний. - М.: Наука 1980 - 270 с.

4. Лурье А.Б. Динамика регулирования навесных сельскохозяйственных агрегатов. Л.: Машиностроение, 1969 - 288 с.

MATHEMATICAL DESCRIPTION PROFILER

M. A. Golchansky, M. Yu. Archipenko,

V. V. Khokhlov

A mathematical model of the profiler with parallelogram suspension system working body is represented by sixteen differential equations of second order with variable co-ordinates, both being functions of design parameters and large values of the generalized coordinates.

Гольчанский Михаил Алексеевич - канд. техн. наук, доцент, доцент кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильнодорожной академии. Основное направление научных работ - исследование механизмов подвеса рабочих органов землеройно-транспортных машин. Опубликовано более 35 научных работ.

Архипенко Маргарита Юрьевна - канд. техн. наук, доцент кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основные направления научной деятельности: автоматизация проектирования технических объектов и систем. Общее количество опубликованных работ: свыше 30

Хохлов Василий Вадимович - аспирант кафедры «Прикладная механика» Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных работ - исследование механизмов подвеса рабочих органов землеройнотранспортных машин. Опубликовано 3 научные работы.

УДК 004.9:621.9.07:621.833

ОТОБРАЖЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНЫМ ПРОЕЦИРОВАНИЕМ ПОВЕРХНОСТИ, ЗАДАННОЙ УРАВНЕНИЕМ В НЕЯВНОЙ ФОРМЕ

А. А. Ляшков, В. Я. Волков

Аннотация. В работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием поверхности, заданной в неявной форме, на координатную плоскость. Определяется кривизна поверхности в точках ее контурной линии. Устанавливается, что кривые, получаемые в пересечении поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащим ось, вдоль которой выполняется отображение, имеют экстремальные точки, принадлежащие контурной линии поверхности. Такое свойство используется для расчета точек контура и очерка поверхности численными методами, не требующими использования дифференциальных характеристик поверхности.

Ключевые слова: контурная линия поверхности, очерк поверхности, линия складки, точка сборки.

Введение методы нелинейного программирования. Что

Вопросам исследования отображения орто- является не простой задачей. Анализа контур-

гональным проецированием поверхности на ной линии и ее проекции не приводится.

плоскость посвящено значительное количество Исследованию особенностей отображения

работ [1, 2, 3, 4, 5, 6] и другие. Так в работе [3] алгебраических поверхностей, в том числе и

предлагается определять точки контурной ли- ортогональным проецированием, посвящены

нии по уравнениям поверхности, заданным в работы [1, 5, 6] и другие.

неявной форме, и уравнениям, содержащим В работе [2] приведены некоторые диффе-

дифференциальные характеристики этой по- ренциальные характеристики контурной линии и

верхности. Для расчета предлагается исполь- очерка алгебраической поверхности, заданной

зовать методы вычислительной математики и уравнением в неявном виде.

В настоящей работе приводится исследование отображения ортогональным проецированием поверхности, заданной в неявной форме, на координатную плоскость, определяется кривизна поверхности в точках ее контура.

Дифференциальные параметры контурной линии поверхности

Пусть исследуемая поверхность задана уравнением в неявной форме

F (х, у, г) = 0, (1)

Рассмотрим отображение этой поверхности ортогональным проецированием на координатную плоскость ху. Особенность этого отображение в начертательной геометрии принято называть очерком или дискриминантным множеством функции (1) [2], а соответствующую ей

линию на поверхности - контурной линией по-

верхности относительно рассматриваемой плоскости. В точках контурной линии касательные плоскости к поверхности параллельны координатной оси z, что записывается в виде

Fz (х, у, г) = 0. (2)

Будем рассматривать уравнение (2) как уравнение еще одной поверхности (дополнительной), которая совместно с уравнением (1) задает контурную линию на поверхности относительно координатной плоскости ху.

Для определенности, по аналогии с работой [7], будем рассматривать дискриминантное множество состоящим не только из точек, удовлетворяющих условию (2), но и особых точек на поверхности, проецирующихся в это множество. Это значит, дискриминантное множество включает не только очерк поверхности, но и некоторые особые точки.

Исследованию подлежат контурная линия поверхности, ее очерк, а также сечения этой поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям xz и yz. Эти исследования сформулируем в виде теоремы.

Теорема

Если у поверхности, заданной неявным уравнением F(х, у, г) = 0, есть очерк при ее

ортогональном проецировании вдоль оси z, то точки этого очерка могут входить в состав множеств:

1) совокупность точек, для которых

К = 0, К! +К, * 0, К, * 0,

* 0,

2) совокупность точек, для которых

F = 0, К + ^у| = 0,

3) совокупность точек, для которых

К

Кх К

К = 0, К + К * 0, Fm = 0,

* 0,

4) совокупность экстремальных точек на кривых, получаемых в пересечении поверхности плоскостями, параллельными координатным плоскостям, содержащим ось, задающую направление проецирования.

Доказательство

Касательной к линии пересечения поверхностей (1) и (2) в точке К будет прямая пересечения касательных плоскостей к данным поверхностям в этой точке. Уравнения касательных плоскостей к поверхностям имеют вид Fx • (X - х) + Fy • (У - у) +

+ К ^ -1) = 0 Fzx • (X - х) + • (У - у) +

^ - г) = 0, где (х,у^) - координаты точки К линии пересечения поверхностей, (Х^Д - текущие координаты касательных плоскостей к поверхностям.

Так как линия пересечения плоскостей (3) и (4) перпендикулярна векторам

N (г„ Fy, К) и N2

то за направляющий вектор £ касательной к линии пересечения поверхностей можно принять векторное произведение векторов

N х N-2. Тогда

(3)

(4)

К. К

£ = N х N 2 = 7 2 Кг

К К Кх К.

+ ] хх + к х К у у

+

(5)

Из анализа координат вектора £ (5) можно сделать следующие выводы:

1) касательная к контурной линии поверхности занимает общее положение и проецируется в касательную к очерку, если

К = 0,К + К * 0,К, * 0,

К...

К

* 0.

(6)

Такие точки называются точками линии складки. Ими и исчерпывается очерк поверхности.

2) касательная к контурной линии перпендикулярна координатной плоскости ху (“вертикальна”), если

_ 0, р77 _ 0, |рх| +р| * 0,

г 5 22 5 | х | .У

рх р (7)

х У * 0.

рх

В этом случае обыкновенной точке на контурной линии поверхности соответствует точка возврата на очерке. Такая точка называется точкой сборки.

В качестве примера на рисунке 1 приведена поверхность (1), заданная уравнением [2]

пипед с центром в этой точке, в пределах которого уравнение (1) эквивалентно выражению

10)

(

Как известно, формулы для полной (гауссовой) и средней кривизны поверхности (10) имеют вид [7]:

К _

н _

L ■ N - М1 Е ■ G - F2 ’

L ■ G - 2 F ■ М + Е ■ N 2( Е ■ G - F2) ’

11)

(

Рис. 1. Модели исходной - 1 и дополнительной - 2 поверхностей.

2 ■ 2 + 2 ■ (1 - 2 ■ у) - х _ 0.

(8)

а коэффициенты квадратичных форм, входящих в формулы (11), определяются из зависимостей

Е =1 + ух, К = ух ■ уI.G =1 + уг.

L _

Ух

л/ї

2 2 + Ух + У2

У.

х

л/1

22 + Ух + У2

N _

У

срср

лА+у2+у2

где ух =д/ (х, г )/дх, ухх = д2 f (х, у)/дх2 и

т. д.

Учитывая, что поверхность задана в неявном виде, а также то, что в точках контурной линии поверхности вдоль z-направления выполняется условие (2), получим

Тогда уравнение (2) дополнительной поверхности будет

6 ■ 22 - 2У +1 = 0.

(9)

Пересечение поверхностей (8) и (9) задает контурную линию поверхности (8), состоящую из складки и точки сборки.

Таким образом первые два пункта теоремы доказаны. Для доказательства третьего вычислим кривизну исследуемой поверхности.

Кривизна поверхности в точках контурной линии

Определим кривизну рассматриваемой поверхности в точках ее контурной линии. Предположим, что в окрестности точки

(х0, у0, ^0) функция (1) имеет непрерывные частные производные первого порядка по х, у, z, а в самой этой точке К, * 0.

L _

- р; ■р,х+2рх ■ Fy ■ - F; ■

-F ■ F + р 'Г

М _ . У х2 х 2

2'+ Г; ’

N _-

к.

+ р;’

р р - 2Р р р + р р

К ______ У хх х У хУ УУ х

-

(р; + р; у

(рх-р2У - )2

4( рх + р2)2

Тогда, как известно, существует параллеле-

2

1

н =

(2- F - F - F - F - Г -

(2 ГХ Гу Гху Гхх Гу

- Г -Г2) - Г -(Г2 + Г2)

уу х / Н \ х у '

2-гм г/ + Г2)

2\/2

Анализируя полученные выражения, можно установить следующее:

a) если ^ = 0 , а Ру-Рх - Гх-Ргу ф 0 ,

то гауссова кривизна в точках контурной линии поверхности отрицательна и точка на поверхности является гиперболической, причем средняя кривизна поверхности в ней прямо пропорциональна значению кривизны кривой, полученной в пересечении поверхности плоскостью, параллельной ху;

b) если на плоской кривой поверхности (в

сечении плоскостью, перпендикулярной оси z) имеется точка перегиба и

Г__ ф 0, Г + Г Ф 0,

, то соответствующая ей

точка контурной линии поверхности гиперболическая;

c) если = 0 и Гу - ¥7х - ¥х-= 0 , то

> 11 у 2Х X Ту ’

соответствующая точка поверхности параболическая;

d) если

Г2 -Г - 2^ -Г -Г + ^2 - Г = 0 и

у хх х у ху х уу

Гу'Гх - Гх'Гуу = 0 , то соответствующая точка поверхности параболическая;

e) если ¥х = ¥ у = 0, то точка особая как на

исходной кривой, так и на поверхности, а также на ее очерке;

^ если

2Г - Г - Г - Г - Г2 -Г - Г2 ф 0 Г Ф 0

х 1 у Гху хх у уу х 0 11

и Г у - Гх - Гх - Гуу Ф 0, то соответствующая

точка поверхности может быть как эллиптической так и гиперболической.

Условие (2) для случая, когда поверхность задана уравнением (10) имеет вид

ду

/ (х, у)

ду

= 0.

(12)

Геометрический смысл этого выражения заключается в следующем. Касательная t к линии, полученной в пересечении поверхности (1) с плоскостью х=а (а - некоторое вещественное число), параллельна координатной оси z. А это значит, что соответствующая точка на этой кри-

вой принадлежит контурной линии поверхности вдоль z-направления проецирования.

Аналогичный результат получим, если Гх Ф 0 и поверхность задать в виде х = / (у, у). Тогда прямая t будет параллельна оси z и касаться в точке контурной линии кривой, полученной в пересечении поверхности плоскостью, параллельной плоскости xz.

На рисунке 2 показаны соответствующие кривые и касательная к ним в точке контурной линии при отображении поверхности вдоль оси z.

Рис. 2. Модель наклонной винтовой поверхности и линий пересечения ее с плоскостями, параллельными координатным плоскостям XI (линия т) и уг (линия п); ^ - касательная к кривым т и п в точке контурной линии.

Кроме того, равенство (12) выражает необходимое условие существования условного экстремума функции

у = /(X у)| х=а • (13)

Для определения достаточных условий

существования условного экстремума функции (13) используем метод неопределенных коэффициентов Лагранжа. В этом случае функция Лагранжа будет иметь вид

4(х,у) = / (х, у) + Л- (х - а). (14)

Система уравнений, из решения которой следует искать точки условного экстремума, будет

4 = /х(ху) + л = °>

4 = ./у(х у) = 0 (15)

Ьл = (х - а) = 0.

Второе уравнение системы (15) определяет необходимое условие существования условного экстремума функции (13), которое совпадает с полученным ранее для условия касания “вертикальной плоскости” с заданной поверхностью. Для определения достаточных условий экстремума вычислим второй дифференциал функции Лагранжа. Он имеет вид:

d 2 4 = /хх'^2 + 2/ху'ах-^ + 2 Так

как бх=0, то последнее уравнение примет вид d2 4 = /у^у2 или с учетом (2)

2 F 2

а2 ь = —^2.

к.

(16)

Тогда из равенства (16) следует, что если

Г

—^ > 0, то точка исследуемого сечения поГ

верхности плоскостью является точкой услов-

Г

ного максимума, если —^ < 0, то соответ-

гу

ствующая точка - точка условного минимума.

Для fzz=0 требуются дополнительные исследования.

Для поверхности (8) Fzz=12z, а Fу= -2г. Следовательно, кривые, получаемые в пересечении поверхности (8) плоскостями х=а, имеют точки условного минимума и совпадают с точками контура этой поверхности. Так

как 2Гх -4! - Гхх- Г -Гуу= 0 а

Гу = 2 , то точки контурной ли-

нии поверхности - гиперболические.

Таким образом, кривые, получаемые в пересечении рассматриваемой поверхности плоскостями, параллельными плоскостям xz или уz, являются гладкими, если выполнено

неравенство и + ф 0 . Такие кривые выпуклы (вогнуты) в случае выполнения равенства (2), но для Ф 0 . Точки таких кривых

называют точками складки при проецировании по направлению оси z. Точки поверхности, удовлетворяющие условию (7), но в которых Г Ф 0 , являются точками сборки проецирования по г - направлению. Точке складки соответствует регулярная точка на очерке поверхности, а точке сборки - особая точка. В то же время точка сборки на поверхности, является ее регулярной точкой.

Все это должно быть учтено при выборе численного метода расчета огибающей се-

меиства плоских кривых.

Полученные результаты исследования дифференциальных характеристик контурноИ линии и дискриминанты поверхности позволяют предложить методику расчета координат этих точек, основанную на использовании численных методов определения условного экстремума одноИ их координат, не требующей получения соответствующих дифференциальных уравнений. В этом случае выполняется расчет экстремума, например, координаты у при наложении связи на координату х, а независимой переменной является координата z. Тогда контурная линии L является объединением множества экстремальных точек, а именно:

П

Ь = I тіп л maxf (х, г )| х=аг і=1

Переменной является координата z в своей области определения.

Выводы

Выполненные исследования отображения ортогональным проецированием поверхности, заданной уравнением в неявном виде, на координатную плоскость, позволяют получить более полное представление о строении дискриминанты этой поверхности. На основе анализа полученных дифференциальных характеристик поверхности сформулирована теорема, определяющая множества, в которых могут находиться как точки очерка поверхности, так и дискриминанты.

Полученные результаты о расположении точек контурной линии относительно координатных плоскостей, содержащих ось, вдоль которой выполняется проецирование, позволяют предложить методику расчета, основанную на численных методах, не требующих вывода соответствующих дифференциальных зависимостей.

Библиографический список

1. Арнольд В. И. Особенности гладких отображений. / В. И. Арнольд. // Успехи мат. наук. -1968. - т.ХХШ, вып. 1(139) - С. 4-44.

2. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности. / Дж. Брус, П. Джиблин. - М.: Мир, 1988. - 262с.

3. Быков В.И. Определение контурной линии на поверхности, заданной уравнением в неявной форме. / В.И. Быков, В.В. Найханов // В сб.: Тезисы Всесоюзного научно-методического симпозиума “Применение систем автоматизированного проектирования конструкций в машиностроении”. - Ростов-на-Дону. - 1983 - С. 40-41.

4. Ляшков А. А. Особенности отображений проецирования некоторых поверхностей. / А. А. Ляшков. // Сборник трудов 7-й Международной

научно-практической конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. - Мелитополь: ТГАТА. - 2003. - с.61-65.

5. Платонова О. А. Проекции гладких поверхностей / О. А. Платонова // Тр. Семинара им. И.Г. Петровского. - 1984. - т. 10. - с. 135-149.

6. Платонова О. А. Особенности проекций гладких поверхностей / О. А. Платонова // Успехи мат. наук. - т.39, вып. 1. - с. 149-150.

7. Залгаллер В. А. Теория огибающих. - М.: Наука, 1975. - 104 с.

8. Погорелов А. В. Геометрия. / А. В. Погоре-лов. - М.: Наука, 1984. - 268 с.

DISPLAY THE ORTHOGONAL PROJECTION OF THE SURFACE, GIVEN IN IMPLICIT FORMS

A. A. Lyashkov, V. Y. Volkov

The work is a study of orthogonal projection of the surface of the display, given in implicit form, the coordinate plane. Define the curvature of the surface, in pixels, of the contour lines. Establishes that the curves are derived from the

intersection of the surface planes parallel to the coordinate planes containing the axis along which you display are extreme points from contour line surface. This property is used to calculate the points on the path and sketch surface numerical methods that do not require the use of differential characteristics of the surface.

Ляшков Алексей Ануфриевич - кандидат технических наук, доцент кафедры "Начертательная геометрия, инженерная и компьютерная графика" Омского государственного технического университета. Основное направление научных исследований - геометрическое и компьютерное моделирование сложных поверхностей деталей. Общее количество публикаций - 90.

Волков Владимир Яковлевич - Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия (СибАДИ), 644080, г. Омск, пр. Мира, 5, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Начертательная геометрия, инженерная и машинная графика». E-mail: volkov_vy39@mail. ru

УДК 629.3.018.2:62-567.5:629.3.027.3

ИССЛЕДОВАНИЕ АКТИВНОЙ ПНЕВМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ДЕМПФИРОВАНИЯ ПРОДОЛЬНО-УГЛОВЫХ КОЛЕБАНИЙ АВТОТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ

В. Н. Сорокин, Н. В. Захаренков

Аннотация. В работе проводится исследование активной пневматической системы демпфирования продольно-угловых колебаний автотранспортных средств на экспериментальном комплексе. Силовые элементы активной подвески выполнены в виде резинокордных оболочек, с релейной системой управления их наполнением и опорожнением. Приведены результаты, которые показывают эффективность разработанной системы демпфирования, а также адекватность математической и физической моделей реальному автомобилю.

Ключевые слова: активная подвеска, испытательный стенд, экспериментальный комплекс, система автоматического управления, резинокордная оболочка.

Введение очередь, приводит к снижению производитель-

Движение транспортных и технологических ности транспорта. машин по пересеченной местности сопровож- Амплитуды этих колебаний, зависят не

дается непрерывными колебаниями, которые только от характера неровностей дорожного

оказывают значительные нагрузки на подвеску, полотна, но и от эффективности работы си-

водителя, пассажиров, перевозимые грузы и стемы амортизации. Настоящее исследование

оборудование. Для снижения амплитуды про- посвящено анализу работы активной пневма-

дольно-угловых колебаний и повышения, таким тической системы демпфирования продольно-

образом, плавности хода, водители вынужде- угловых колебаний транспортных и технологины снижать скорость движения, что, в свою ческих машин в низкочастотной области, где

стандартные и модифицированные упругие и