Отображение аффинного пространства в многообразие гиперконусов другого пространства Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика и механика. Физика

УДК 514.76

ОТОБРАЖЕНИЕ АФФИННОГО ПРОСТРАНСТВА В МНОГООБРАЗИЕ ГИПЕРКОНУСОВ ДРУГОГО ПРОСТРАНСТВА

Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассматриваются отображения аффинного пространства ~p в многообразие гиперконусов аффинного пространства AАналитически и геометрически изучается структура фундаментальных геометрических объектов этих отображений в смысле Г Ф. Лаптева.

Ключевые слова:

Дифференцируемые отображения, многомерные аффинные пространства.

Key words:

Differentiable mapping, multidimensional affine spaces.

Введение

В современной научной литературе, посвященной многомерной дифференциальной геометрии [1-7], сравнительно немного статей, относящихся к дифференцируемым отображениям. Особое место занимает статья Г.Ф. Лаптева [1], в которой с помощью фундаментального геометрического объекта строится инвариантная теория дифференцируемых отображений.

В работе изучаются фундаментальные геометрические объекты первого и второго порядков диффе-ренцируемого^отображения ¥^:Ар^Мм аффинного пространства Ар в многообразие Мм невырожденных гиперконусов аффинного пространства А„. Аналитически и геометрически строятся инвариантные геометрические образы, ассоциированАные с геометрическими объектами отображения А/. Все рассмотрения в данной статье носят локальный характер, все функции, встречающиеся в статье, предполагаются функциями класса С”. Обозначения и терминология соответствуют принятым в [1-7].

1. Аналитический аппарат

1.1. РасАматривается р-мерное аффинное про-Агранство Ар, отнесённое к подвижному реперу А=|В,еа}, (а,Ь,с=1,р) с деривационными формулами и структурными уравнениями

йБ = 0аё'а, йеа = 0ьаеь;

Б0а = 0ь л ®аь, тьа = 0Са л 0ьс. (1)

Репер R выбираем так, чтобы точка B была текущей точкой пространства Ap, тогда 1-формы 0“ являются главными и за криволинейные координаты точки B можно принять первые интегралы линейно независимых 1-форм 0“.

1.2. Рассматривается «-мерное аффинное пространство A«, отнесенное к подвижному аффинному реперу R={A,-;|, (ij,k,l=1,n) с деривационными формулами и структурными уравнениям

dA = (о‘ё, det =юкёк;

Dm1 = а ла‘],Dak = mj лаг . (2)

Обозначим через MN - множество всех невырожденных гиперконусов q «-1 второго порядка пространства A« с соответствующими точечными вершинами Q.

Репер R выбираем так, чтобы

Q = A, (3)

тогда в его локальных точечных координатах ги-

перконус q2n_1eMN определяется уравнением

gi]x‘xJ = 0. (4)

Следовательно, 1-формы а и Vgj=gkjaIk-gikmjc являются базисными на многообразии MN, (N=(«(«+3)/2)) и удовлетворяют структурным уравнениям:

Da = а л а]; DVgj = ~Vgj Аак ~Vgk лак] . (5)

1.3. Зададим отображение

VpN : Âp ^ MN, (6)

которое каждой точке Be.Ap ставит в соответствие вполне определённый гиперконус q2n_1&MN с точечной вершиной ЛеЛ„. Тогда дифференциальные уравнения этого отображения запишутся в виде:

а1 = Al,©а ,Vgÿ = gÿa©а. (7)

Двукратное продолжение этих дифференциальных уравнений приводит к дифференциальным уравнениям

va: = Alb ©b ; VAL, = Aabc © ; = e ©b; Ve = e ©c

ija Sijab ’ Sijab oijabc 5 A[ab] = 0; A_abc ] = 0; gij [ab ] = 0; gj [abc ] = 0 (8)

Здесь и в дальнейшем оператор V является оператором дифференцирования, действующим по закону

vt,=dTa-1^4 - та &+тс &c+t а.

Дифференциальным уравнениям (7)-(8) удовлетворяют компоненты фундаментальных геометрических объектов ri={Aai,gi],gjjk} и r^iAJggAgJ соответственно первого и второго порядков отображения (6) в смысле Г.Ф. Лаптева [1]:

2. Двумерные площадки аффинного пространства

2.1. В пространстве Ap рассматривается кривая k(t), описываемая точкой BeAp и определяемая дифференциальным уравнением

©а = ta©,D© = © л ©j. (9)

Здесь величины ta при фиксированных первичных параметрах, т. е. при ©a=0, удовлетворяют дифференциальным уравнениям

ôta + tb © b = ta ©1,

где ô - символ дифференцирования по вторичным параметрам:

© b =©b (ô) = ©b |©а = 0, (©1 = © l(ô).

Из (1) и (9) следует, что прямая

t = {B,sa )ta (10)

является касательной к кривой k(t) в точке ВеД,. Поэтому в дальнейшем будем считать, что смещение в направлении (9) (или в направлении t) будет означать смещение по кривой k(t).

2.2. Как известно [1], поле точек (X) и гиперконусов q2n-1 в пространстве An будет инваринтным, если

dx‘ + xJ oj + О = ©X ; d (gij X x1 ) = © 1gj X x1,

где ©и ©1 - некоторые произвольные 1-формы.

Пользуясь этими условиями инвариантности и учитывая (2)-(5), (9) и (10), получаем уравнения многообразия q(t) в A„, как пересечение гиперконуса q2-1 с бесконечно близким (q^i)' вдоль кривой (10):

gjX xl = 0,(gijax‘xJ - 2gjX^ Y = 0.

Отсюда следует, что уравнение

i^gij + Sijat“)x‘xí - = 0 (11)

определяет множество гиперквадрик Q2n_1(X,t)^An с параметром Я, отвечающих направлению (10) и проходящих через q(t). Из (11) следует, что уравнение

(Яё í + g íJ“ )x¡xi = 0 (12)

определяет в An асимптотический гиперконус (~;2-1(A,t) с вершиной в точке A и с параметром Я, соответствующим направлению (10). Поляра rn-1(t) точки AeA„ относительно Q~2_1(A,t), в силу (11), определяемая в An уравнением

giiA“,tax‘ = °>

соответствует направлению (10) и не зависит от параметра Я.

2.3. Поскольку гиперконус q 2„_1cA„ с вершиной в точке A является невырожденным, т. е. detg^O, то можно ввести в рассмотрение в каждой точке BeAp симметрические величины g®:

gkgik = 8"• (13)

Эти величины gk в силу (7) удовлетворяют дифференциальным уравнениям

VgkJ = gkí®a; g“ = - guJkgli•

Из (4) в силу (12) и (13) следует_что множество всех точек TeAp с радиус-векторами T=B +t“sa таких, что Q2n_^,t), (t=TB) и qП_1 аполярны, образует в Ap совокупность параллельных гиперплоскостей бр_1(Я):

Яп + Vg,jag‘Jta = 0> V* 0 (14)

Из этой совокупности гиперплоскостей выделим гиперплоскость Gp_1=Gp_1(0)cAP, проходящую через точку BeAp и определяемую в силу (14) уравнением

lata = 0, (15)

где величины la определяются следующим образом:

la = gjag‘J ; Vla = lab ^ , lab = g íjab g" + gija g! • (16)

2.4. Рассмотрим систему величин

Bab = gjAiA! ,det[Ba! ] * 0, (17)

которая в силу (7) и (8) удовлетворяет дифференциальным уравнениям

VBab = Babc ®, Babc = gJc A Ab + giJ A“c A! + giJ A“ A!c ■

Из (2)-(4), (9) и (17) следует, что уравнение

„ Bab^ = ^ (18)

определяет в Ap гиперконус Rp_1 с вершиной BeAÍp, который представляет собой совокупность всех прямых (10), образы которых при отображении (6) принадлежат гиперконусу q ¡-1cA„.

2.5. Рассмотрим прямую

L = (B,£a )la С Ap •

Здесь величины la=Baclc удовлетворяют в силу (16), (17) дифференциальным уравнениям

Vla = la ©c; i“ = в“ь! + В“ь!с ;

В“ь = -BsIcBsaBlb, (a,b,c,l,s = IP). (19)

ГеометричесАи прямая Ь является полюсомгипер-плоскости Ор_1сАр относительно гиперконуса АА1<сАр.

Из множества гиперплоскостей Ор_1(Х)сАр выделим ту гиАперплоскость, которая соответствует прямой ЬсАр. Из (14). (16) и (19) получаем

- = --11а1а =т. (20)

и п

Из совокупности гиперконусов ()2п_1(Х,1)сАп, отвечающих прямой ЬсАР и параметру Х=г, выделяется в Ап гиперконус К2п_1 второго порядка с вершиной в точке А, заданный уравнением

С.х'х1 = 0. (21)

Здесь с учетом (5), (6), (12), (16), (19) и (20) величины С! определяются по формулам и удовлетворяют дифференциальным уравнениям

С = ге - + ? .. 1а; УС. = С 0а;

у <Ь] &1]а 9 I] уа 9

Cija = ragij + rgja + g^a + gjabl” ';

r =-1(Lia + Ub ).

(22)

2.6. Заметим с учетом (8), (19) и (22), что симметрическая система величин

БаЪ = с. 44 (23)

удовлетворяет дифференциальным уравнениям

V Bab = Babc © ; Babc ~

= CjcAAJ + CjAbcAb + CjAbA

(24)

Вас: ВасВсЬ>=5ьа, которые удовлетворяют в силу (24) дифференциальным уравнениям

У Бас = Б? 0ь; Ба = - БщЬБа№с ,(а ,Ь ,с ,5- ,д = 1Р).

АИз (26) замечаем, что каждому направлению ыеАР отвечает гиперконус ^(и), который выделяется из пучка (26) тем, что он аполярен с гиперконусом (25). Этот гиперконус определяется уравнением

БаьЛи = 0. ^

Отсюда следует, что каждой точке ВеАр отвечает гиперконус Кр-1сАр третьего порядка с вершиной в точке В как совокупность всех направлений и=(В,-а)иа, принадлежащих ~р-1(и). Гиперконус К— определяется уравнением

(27)

Eabctatbtc = 0,

где

Eabc = B(abc ) ; VEabc = Eabcs © ;

(abc )

Eabcs = B(abc > ,(b,b,c,S = 1,p).

Таким образом, с помощью компонент геометрических объектов Г1 и Г2 отображение (6) в первой и второй дифференциальных окрестностях определяет в аффинном пространстве AAp распределение геометрических образов (15), (18), (21) и (27).

3. Поля гиперконусов Ф,^«^,

3.1. Из (6) замечаем, что с отображением Vf ассоциируется дифференцируемое отображение

Геометрически с системой величин (23) ассоциируется гиперконус; R1_1œA1 второго порядка с вершиной в точке BeAp, определяемый уравнением

Bjatb = 0, (25)

который представляет собой совокупность всех прямых (10), образы которых при отображении (6) принадлежат гиперконусу KJ-1cA„ (см. (21) и (22)).

Как и в пункте 2.3 в случае гиперконуса q,-1cA„, получаем с учетом (24) уравнения алгебраической поверхности q(u) - пересечение гиперконуса (25)_со своим бесконечно близким вдоль направления u^B^WeAp.

Bjatb = 0;Babctatbuc - 2Bûctauc = 0.

Отсюда получаем уравнения гиперквадрик qp-1(u,X), отвечающих направлению u&AP и проходящих через q(u):

B,tatbuc - 2B tauc + XB.fi = 0.

abc ac ab

Пучок асимптотических гиперконусов qp_1(u,X) этого пучка гиперквадрик, отвечающих направлению u&Ap, будет определяться уравнением

BabctatbuC +XBabtbtb = 0. (26)

Можно с учетом (22) и (23) показать, что гиперконус Rp-1 в общем случае не вырождается в гиперконус по крайней мере с прямолинейной вершиной, проходящей через точку BeAp, т. е. det[BJ^0. Поэтому можно ввести в рассмотрение величины

„ (28)

Это отображение каждой точке ВеА.р ставит в соответствие вполне определенную точку АеА„, которая является вершиной гиперконуса q2n_l еА„.

Отображение (28) определяется дифференциальными уравнениями, входящими в (7) и (8):

= Ab©а;VAb = Abb©b;VA[b = ЛаЪс©c;

A[ab] _ 0; A[abc] _ 0; (a, b, c = 1, p).

3.2. Поле гиперконусов yV!n_1cAn.

(29)

Из (1), (2), (10) и (29) следует, что каждой гиперплоскости Гп-1(х) в А„, проходящей через точку А=¥р"В и определяемой уравнением

Х-Х = 0 (30)

в пространстве Ар, отвечает алгебраическое многообразие А(х), задаваемое уравнениями

хДГ = 0; х,иа? = 0. (31)

Это алгебраическое многообразие представляет собой множество всех направлений (10), вдоль каждого из которых образы самого направления и его дифференциальной окрестности первого порядка при отображении (28) принадлежат гиперплоскости (30). А

Рассмотрим пучок гиперквадрик Ар2-1(х,у)сАр, отвечающих гиперплоскости (30), которые проходят через точку ВеАр и через А(х). Из (31) следует, что эти гиперквадрики определяются уравнением:

+уХА/ = °.

Отсюда заключаем, что каждой точке ВеАр и гиперплоскости (30) отвечает в Ар асимптотический гиперконус Ар;-1(х) гиперквадрик А2р_1(у), не зависящий от параметра у. Этот гиперконус определяется уравнением

Отсюда следует, что в каждой точке ВеАр в пространстве Ап существует гиперконус Т„р-1 класса р с вершиной в точке АеА„, представляющий собой совокупность всех гиперплоскостей (30) в А„, которым отвечают в ААр вырожденные гиперконусы (32)

по крайней мере, с прямолинейными вершинами, проходящими через точку АеА„. Этот гиперконус ^¡р_1сАп определяется в тангенциальных координатах уравнением

&*[ хАь ]=0 ^ ф'а'"'рх-1 х 2 ...Х.р =0;

ф^Л = л(‘1 Л‘2 Ар) .

Ф “ р | А2|2|...Ар|р|];

уф ¥2-. + 2фílí2■■■í р (01 +0 ^ + ... + 0 Р ) =

= Ф‘аа2'"‘г0а, 0!,¿2,...,¥р =1,п;а = 1,р). (33)

Здесь явный вид величин Фа'1-^ для нас не существенен.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лаптев Г.Ф. Дифференциальная геометрия погруженных многообразий // Труды Московского математического общества. -М.: ГИТТЛ, 1953. - Т. 2. - С. 275-382.

2. Лаптев ГФ. К инвариантной теории дифференцируемых отображений // Труды геометрического семинара. - Т. 6. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1974. - С. 37-42.

3. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий // Итоги науки. Вып. Геометрия. 1963. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1965. - С. 65-107.

4. Павлюченко Ю.П., Рыжков В.В. Об изгибании точечных соответствий между проективными пространствами // Труды геометрического семинара. - Т. 2. - М.: ВИНИТИ аН СССР, 1971. - С. 235-241.

5. Павлюченко Ю.В. О характеристической системе точечных соответствий // Труды геометрического семинара. - Т. 2. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - С. 221-233.

6. Рыжков В.В. Характеристические направления точечного отображения Рт в Рп // Труды геометрического семинара. - Т. 2. -М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. - С. 235-241.

7. Рыжков В.В. Дифференциальная геометрия точечных соответствий между пространствами // Итоги науки. Вып. Алгебра. Топология. Геометрия, 1970. - М.: ВИНИТИ АН СССР, 1971. -С. 153-174.

Поступила 19.03.2010 г.

УДК 514.76

ОТОБРАЖЕНИЯ АФФИННЫХ И ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВ

Е.Т. Ивлев, А.А. Лучинин

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Рассматриваются отображения аффинного пространства Ap в аффинное пространство An (при p>n и p<n) и в евклидово пространство E. Аналитически и геометрически изучается структура фундаментальных геометрических объектов этих отображений в смысле Г.Ф. Лаптева.

Ключевые слова:

Дифференцируемые отображения, многомерные аффинные и евклидовы пространства. Key words:

Differentiable mappings, multidimensional affine and Euclidian spaces.

Введение

Рассматривается отображение ¥рп:Ар^-Ап и доказывается существование (при р>п и р<п) в аффинном пространстве Ап, отвечающем пространству ААр, инвариантного гиперконуса q¡2_1, который в [1] считался заданным. Изучаются фундаментальные геометрические объекты первого и второго порядков дифференцируемого отображения ¥рп аффинного пространства Ар в аффинное пространство Ап. Аналитически и геометрически строятся инвариантные

геометрические образы, ассоциированные с геометрическими объектами отображения.

1. Инъективное дифференцируемое отображение

1.1. В этом случае точка АеАп как образ точки В&АР при инъективном отображении ¥рп является текущей точкой р-мерной поверхности (р-поверх-ности) 8рсАп с кас-тельной р-плоскостью Ьр. Аффинный репер А={А,-;} в Ап (см. [1. Ур. (2)]) выбирается так, чтобы