CC BY
14
ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2008. № 2
ЛОГИКА
Л.Ю. Девяткин
ОТНОШЕНИЕ ЛОГИЧЕСКОГО СЛЕДОВАНИЯ
И ПРОБЛЕМА МНОГОЗНАЧНОСТИ
Цель настоящей работы — показать, что классы законов классической пропозициональной логики и формул, находящихся в отношении логического следования могут быть описаны средствами многозначной логики с определением логического следования, не сводимого к классическому.
В 1920-х гг. Я. Лукасевичем и Э. Постом независимо друг от друга были построены первые многозначные логики. Предложенная Лукасевичем и Постом методология нашла применение во многих областях логических исследований. Были построены пара-непротиворечивые (логики Розоноэра, Сетте, Д'Оттавиано), интуиционистские (логика Гейтинга) и многие другие многозначные логики.
В рамках настоящей работы особый интерес для нас представляет тот факт, что, несмотря на значительное внешнее отличие, существуют многозначные логики, по сути, являющиеся классическими.
Г. Малиновский1 описывает ряд многозначных логик, в которых верифицируются все классические тавтологии. На основании этих примеров Малиновский делает вывод, что выбор трехэлементной матрицы не делает логику трехзначной. Особое внимание он уделяет примеру матрицы с неклассическим отношением логического следования. Автор указывает на то, что даже отсутствие классического отношения логического следования не делает подобную логику многозначной. Если класс тождественно-истинных формул совпадает с классом тавтологий, указывает он, отношение логического следования может быть задано в стандартной двухэлементной матрице для классической пропозициональной логики.
Источником подлинной многозначности, по Малиновскому, является отношение логического следования, трехзначное по своей природе. Для построения такого отношения автор вводит понятие ^-матрицы и ^-следования. Приведем определение ^-матрицы, адаптированное к терминологии настоящей работы:
q-матрица есть упорядоченная четверка М* = <U, F, D*. /)>,
где D* и D есть непересекающиеся подмножества множества U. Будем интерпретировать D* и Д соответственно, как классы отвергаемых и выделенных значений. Для каждой такой матрицы будем определять отношение ^-следования следующим образом: Пусть Г — множество формул языка L и В — формула языка L, тогда
между множеством посылок Г и заключением В имеет место отношение q-следования (символически — Г 1=^ В), тогда и только тогда, когда при каждом отображении множества пропозициональных переменных языка L на множество U, если ни одна формула из Г не принимает отвергаемого значения, то В принимает выделенное значение.
Малиновский показывает, что ^-следование является, по сути, трехзначным и не может быть описано классическим образом. В ^-матрице можно определить еще три отношения, среди которых и классическое отношение логического следования:
Классическое отношение логического следования |=с:
Г |=с В, тогда и только тогда, когда при каждом отображении множества пропозициональных переменных языка L на множество U, если каждая формула из Г принимает выделенное значение, то В принимает выделенное значение.
Отношение логического следования |=ф
Г |=0 В, тогда и только тогда, когда при каждом отображении множества пропозициональных переменных языка L на множество U, если ни одна формула из Г не принимает отвергаемого значения, то В не принимает отвергаемого значения.
Отношение логического следования |=© .
Г ^©В, тогда и только тогда, когда при каждом отображении множества пропозициональных переменных языка L на множество U, если каждая формула из Г принимает выделенное значение, то В не принимает отвергаемого значения.
Как и ^-следование Малиновского, |=ф и |=@ невозможно описать средствами стандартной матрицы для классической логики. В связи с этим большой интерес представляет следующий момент. Рассмотрим трехзначную логику, предложенную A.C. Карпенко2. Матрица для этой логики выглядит следующим образом:
м0 = <{0, 1/2. 1}. {0}, {1}> (0 и 1 — отвергаемое и
выделенное значения соответственно).
Функции соответствующей алгебры определяются так:
х ^у = min{ 1, 1 + min{\, 2у) — min{\, 2x)),
—c = l-min(l,2x).
Логика, базирующаяся на таких связках, равна классической по классу тавтологий3. Легко проверить, что при таком определении связок формула q не следует логически из формул р и р ^ q. Для этого достаточно рассмотреть такое приписывание значений пропозициональным переменным, что р = 1 и q = 1/2- Обе посылки примут выделенное значение, а заключение — нет. Следовательно, неверно, что если Г \=с В в двухэлементной матрице для классической пропозициональной логики (М2), то Г \=с В в М^. В то же время, если мы определим в М^ логическое следование как 1=^, можно будет доказать следующее утверждение:
Г \=,. В в М2, тогда и только тогда, когда Г В в М**.
Этот пример показывает, что можно построить многозначную логику и дать не сводимое к классическому отношение логического следования, получив в результате класс тавтологий и класс формул, находящихся в отношении логического следования, полностью совпадающие с подобными классами классической пропозициональной логики. Причем, приведенный выше пример не является единственным.
ПРИМЕЧАНИЯ
1 Matinowski G. On Many-Valuedness, Sentential Identity; Interference and Lukasiewicz Modalities//Logica Trianguli. 1997. Vol. 1. P. 59—71.
2 См.: Карпенко А. С. Многозначные логики. М., 1997.
3 Девяткин Л.Ю., Карпенко А. С., Попов В.М. Трехзначные характеристические матрицы классической пропозициональной логики // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра ИФ РАН. 2006. М., 2006.
