CC BY
22OSTROGRADSKIY-GAUSS TEOREMASIDAN FOYDALANIB ZARYADLI JISMLARNING ELEKTR MAYDONI HISOBLASH Xojiyev Baxodir Istamovich
Dotsent v.b. NavDPI https://doi.org/10.5281/zenodo.10991821 Annotatsiya. Ushbu ishda, akademik litsey va umumtalim maktam o'quvchilari uchun turli shakldagi jismlarning elektr maydonlarini hisoblash ko'zdga tutilgan.
Kalit so'zlar: kuchlanganlik oqimi, zaryad, zaryadning sirt zichligi
Xususiy holda q zaryadni o'rab olgan yopiq sirt orqali o'tuvchi maydon kuchlanganlik oqimini qarab chiqaylik. Buning uchun q nuqtaviy zaryadni vakuumda radiusi r bo'lgan sfera
markaziga o'rnatsak, sferaning hamma yerida maydon kuchlanganligi E =
bo'ladi va
4 n^so^r2
radial yo'nalishida bo'lib, nuqta q zaryaddan tarqalgan kuchlanganlik kuch chiziqlari uni o'rab olgan yuzadan o'tayotgan qiymati kuchlanganlik oqimini ifodalaydi. Yopiq kontur ichida olingan zaryadlarning elektr maydon kuchlanganlik oqimi, kontur shakliga bog'liq bo'lmay, zaryadlarning algebraik yig'indisiga teng, ya'ni:
NE = j En • dS = En j dS =
Q
■ 4n -r2 = —
EE0
q zaryadni o'rab olgan yopiq sirt istalgan shaklda bo'lsa ham, 1a- rasmdagi 5X, S2 sirtlardan o'tuvchi kuchlanganlik oqimi NE o'zgarmaydi va hamma vaqt — ga teng bo'ladi.
EEo
Agar olingan sirt ichida zaryad bo'lmasa u sirtni kesib o'tuvchi kuchlanganlik oqimi nolga teng bo'ladi.
Agar yopiq sirt ichida bir nechta q1, q2, q3, ...qn nuqtaviy zaryadlar bo'lsa (1b-rasm), u vaqtda har bir zaryad uchun kuchlanganlik oqimi
N1 =^ N7 = % N* =
2
3
£o
N = —
Eo
£o £o
bo'lib, to'la oqim esa: NE = X?=1Ni = X?=1^=f-
to ko
Bu natija Ostrogradskiy - Gauss teoremasini ^ ifodalaydi. Shu topilgan natija har qanday zaryad va zaryadlar sistemasi uchun to'g'ridir.
Ostrogradskiy - Gauss teoremasi: zaryadlarni o'z ichiga olgan har qanday berk sirtdan o'tuvchi kuchlanganlik oqimi shu sirt ichidagi zaryadlar algebraikyig'indisining elektr doimiysi e0 ga nisbatiga teng
Agar yopiq sirt ichidagi zaryadlarning algebraik yig'indisi musbat bo'lsa, u vaqtda kuchlanganlik oqimi tashqariga yo'nalgan bo'lib, musbat ishora, agar manfiy bo'lsa, kuchlanganlik oqimi ichkariga yo'nalgan bo'lib, manfiy ishora bilan olinadi.
Har qanday zaryadni cheksiz ko'p sonli nuqtaviy zaryadlar yig'indisi deb hisoblash mumkin bo'lganligi uchun Ostrogradskiy - Gauss teoremasi har qanday shakldagi va o'lchamdagi o'tkazgichlarda taqsimlangan zaryadlar hosil qilgan maydon kuchlanganligini hisoblashda keng qo'llaniladi.
Umumiy holda Kulon qonuni va superpozitsiya prinsipidan foydalanib, juda ko'p nuqtaviy zaryad hosil qilgan maydonning kuchlanganlik vektori £ ning yo'nalishi va son qiymatini murakkab matematik hisoblash yo'li bilan topish mumkin. Hisoblashni soddalashtirish uchun odatda, Ostrogradskiy-Gauss teoremasidan foydalaniladi. Bu teoremadan foydalanib,
elektrostatik maydon kuchlanganligi vektorining oqimini har qanday miqdordagi zaryadlar uchun hisoblab topish mumkin.
Ostrogradskiy-Gauss teoremasining har xil xususiy hollarga tatbiqini ko'rib chiqishdan oldin zaryad zichligi to'g'risidagi tushunchani kiritamiz.
Jismga elektr zaryad berilganda yuza birligiga to'g'ri kelgan elektr miqdori bilan o'ichanadigan kattalik zaryadlarning a sirt zichligi deyiladi.
S yuzada q zaryad tekis taqsimlangan bo'lsa,
a = l
s
bo'ladi. Sirtning shakliga qarab, sirt egriligi turlicha bo'lgan joylarda elektr zaryadning sirt zichligi ham turlicha bo'ladi.
Zaryad sirt bo'yicha tekis taqsimlanmagan holda sirtni juda mayda sirt elementlariga bo'lib chiqaylik. U vaqtda har bir yuza elementiga elektr zaryadni tekis taqsimlangan deb qarash mumkin. Bu yerda yuza elementi AS ga Aq elektr zaryadi to'g'ri kelsa, zaryadning o'rtacha sirt zichligi quyidagicha bo'ladi.
Aq
a = Âs
Jismning hajm birligiga to'g'ri kelgan elektr zaryad miqdori bilan o'lchnadigan kattalikka elektr zaryadning p hajmiy zichligi deyiladi.
P = AJL
^ AV
Jismning uzunlik birligiga to'g'ri kelgan elektr zaryad miqdori bilan o'lchnadigan kattalikka elektr zaryadning x chiziqli zichligi deyiladi. r = A^
AS
Ostrogradskiy -Gauss teoremasidan foydalanib, zaryad sirt zichligi a bilan zaryadlangan yassi tekislik atrofidagi elektr maydon kuchlanganligini hisoblaylik.
Bunday tekislikning hamma joyida zaryad sirt zichligi a bir xil qiymatga ega bo'lib, kuch chiziqlari shu tekislikka tik va ikki qarama-qarshi tomonga chiqqan bo'ladi. Masalan, 2-rasm musbat zaryadlangan tekislik maydoni kuch chizig'ining yo'nalishi ko'rsatilgan.
Elektr maydon kuchlanganligini hisoblash uchun tekislikdan bir xil uzoqlikdagi A va B nuqtalardan o'tgan kuch chiziqlariga tik olingan <
——-r
konturli AS yuza o'tkazamiz, bunda bu ikki aylana orasida AS asosli silindr hosil bo'ladi. 2- rasmda asosi AS bo'lgan silindrning yon devorlari orqali o'tgan kuchlanganlik oqim nol bo'lib (chunki kuch chiziqlari yon . sirtga parallel va sirtni kesmaydi), hamma oqim silindr asoslaridan o'tadi. 2-rasm
AS lar kuch chiziqlarga tik bo'lgani uchun musbat bo'lib umumiy oqim:
Ne=N1 + N2 = 2E • AS
Ostrogradskiy - Gauss teoremasidan maydon kuchlanganligi oqimi formulasidan NE = — = yoki muhit uchun NE = foydalanib, tekis zaryadlangan cheksiz tekislikning
£0 Eo ££0
maydon kuchlanganlik formulasini hosil qilamiz.
e=EjL =
° AS = — yoki muhit uchun
e0- 2AS 2s0 J
E =
2AS e0- 2AS 2E0 2EE0
Demak, zaryadlangan tekislik elektr maydon kuchlanganligi o'ng va chap tomonlarda bir xil bo'lib, A va B nuqtalarning uzoqligiga bog'liq bo'lmay,
faqat zaryadning sirt zichligiga bog'liq.
Turli ishorali zaryadlar bilan +a va -a sirt zichligigacha tekis zaryadlangan ikkita parallel cheksiz tekislikning maydoni.
O'zaro parallel va qarama-qarshi ishorali elektr zaryadi bilan zaryadlangan ikkita cheksiz tekislik berilgan bo'lsa, bunda ular orasida har ikkalasining elektr kuch chiziqlari bir tomonga yo'nalgan bo'lib (3-rasm) maydon kuchlanganligi ularning yig'indisiga teng:
E = — + — = — yoki muhit uchun E = —
2£O 2£O £0 ££0
Lekin tekisliklarda tashqaridagi o'ng va chap tomonlarda elektr maydon kuch chiziqlari qarama-qarshi yo'nalishda bo'lganligidan
E = —---— = 0
2EO 2E O
demak, qarama-qarshi ishorali zaryadlangan ikki tekislik atrofida elektr maydon bo'lmaydi.
Radiusi R bo'lgan sferik sirt musbat elektr bilan zaryadlangan va sirtning barcha nuqtalarida zaryadning sirt zichligi doimiy deb faraz qilaylik. Sferik sirtning umumiy zaryadini q bilan belgilaymiz
Zaryadlangan sferik sirt markazidan r > R masofada yotgan A nuqtani olamiz (4- a rasm). Bu nuqtadan fikran markazi zaryadlangan sfera markazida yotgan, radiusi r bo'lgan S sferik sirtni o'tkazamiz. Simmetriya qoidalariga asosan bu sirtning barcha nuqtalarida kuchlanganlik son jihatdan bir xil bo'ladi va kuchlanganlik vektori har bir nuqtada radiusning davomi bo'ylab yo'nalgan bo'ladi. Radiusi r bo'lgan S sferik sirt uchun
Ostrogradskiy-Gauss teoremasini tatbiq qilamiz. Bu sirt kuchlanganlik chiziqlariga tik bo'lganligi uchun sirtdan o'tuvchi to'la oqimni topish uchun E maydon kuchlanganligini sirt kattaligiga ko'paytirib topamiz. To'la oqim N = E4nr2 ga teng. Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga asosan:
q , ? q
s
+7 R \rr 1 -H [ ..•y
V "Vs^ ry
F
a) b) 4-rasm
N = E ■ 4nr
2
4n ■ £0 ■ r2
4nr2 = —
bo'ladi, bundan E = "
4n ■ E0 .r2
ifoda kelib chiqadi. Demak, tekis zayadlangan sferik sirt shu sferadan tashqarida vujudga keltirgan kuchlanganligi xuddi sferaning markazida joylashgan q nuqtaviy zaryad hosil qilgan kuchlanganlikdek bo'ladi.
Sferik sirt ichidagi nuqtalarni ko'rib chiqaylik. Sfera markazidan r' < R masofada joylashgan B nuqtani olamiz va bu nuqtadan markazi zaryadlangan sfera markazida yotgan S' sferik sirt o'tkazamiz (4-b rasm). S' sferik sirtga Ostrogradskiy-Gauss teoremasini tatbiq qilib, quyidagini olamiz: E ■ 4nr2 = 0, chunki S' sirt ichida zaryad nolga teng; bundan r' < R
a
bo'lganda bo'ladi. Demak, tekis zaryadlangan sfera sirt ichidagi barcha nuqtalarda elektrostatik maydon kuchlanganligi nolga teng.
Radiusi R ga teng bo'lgan sfera olaylik. q umumiy musbat zaryad sfera hajmida o'zgarmas
P = y = zichlikda tekis taqsimlangan bo'lsin.
Zaryadlangan shardan tashqarida uning markazidan r > R masofadagi ixtiyoriy A nuqtada maydon kuchlanganligi sferik sirt hosil qilgan kuchlanganlik kabi quyidagicha ifodalanadi.
q
E = k~
Bu kuchlanganlik ham radius-vektor davomi bo'ylab yo'nalgan bo'ladi. Shunday qilib, tekis zaryadlangan shardan tashqaridagi nuqtalarda hosil bo'ladigan kuchlanganlik xuddi barcha zaryadi markaziga mujassamlashganida vujudga keltiradigan kuchlanganlikdek bo'ladi.
Tekis zaryadlangan shar ichida uning markazidan r' < R masofada yotgan B nuqtadagi kuchlanganlikni aniqlaymiz.
3Qx 4n-r3 3q
desak, p =
3g 4n-r3 qr3
(px = p) u holda ikkala tenglamani tenglashtirsak,
Px =
3gx .
4nr3 ' 4nR3 ' "lx R3
bu formulani elektr maydon kuchlanganlik formulasiga qo'yamiz,
bundan qx = —3
E= — ^
E = k-H = k-^-a = k-fa yoki
r2 r2-R3 R3 o
Sfera ichida nuqtalar uchun natija boshqacha bo'ladi. Haqiqatan radiusi
qr
4nsn R3
r' < R ga teng bo'lgan sfera sirt ichida p =
3q
4n-r'
ga teng zaryad joylashadi. Demak,
bunday sirt uchun Ostrogradskiy - Gauss teoremasi quyidagicha yoziladi:
E • 4nr'2 =
E =
4nr'3-p
e0' 4nr'2-E0 4nr'2-3s0
r' < R ga teng bo'lgan sfera sirt ichida p =
_ r' p
= 3 e0
3q 4n-R3
ga teng zaryad joylashadi. Demak,
bunday sirt uchun Ostrogradskiy-Gauss teoremasi quyidagicha yoziladi: E4nR2 =
0
E =
R
4n^R3•p R • p
4n • R2 • a0 4n • R2 • 3a0 3E0
Shunday qilib, sfera ichida maydon kuchlanganligi sfera markazidan muayyan nuqtagacha bo'lgan r masofaning oshishi bilan chiziqli ortadi. Sferadan tashqarida kuchlanganlik nuqtaviy zaryad kuchlanganligi kabi kamayadi
Maydon kuchlanganligi E ning shar ichida va tashqarisida r ga bog'lanish grafigi (5-rasmda) tasvirlangan.
R radiusli silindrik sirt o'zgarmas musbat a sirt zichligiga ega bo'lgan zaryad bilan zaryadlangan bo'lsin. Silindr o'qidan r > R masofada yotgan A nuqtadagi kuchlanganlikni aniqlaymiz (6-rasm). Simmetriya shartlariga ko'ra A nuqtadagi kuchlanganlik r radius-vektor davomi bo'ylab yo'naladi. O'qi zaryadlangan silindr o'qi bilan ustma-
ust tushgan va A nuqtadan o'tkazilgan silindr sirtga Ostrogradskiy-Gauss teoremasini tatbiq qilamiz. Bu sirtning yuqori va pastki asoslari bir-biridan I masofada joylashgan va o'qqa perpendikulyardir. Silindrik sirtdan o'tgan to'la oqim faqat yon sirtlardan o'tgan oqimlar bilan
--(ET3H
R
ifodalanadi, chunki kuchlanganlik chiziqlari asoslariga parallel bo'lgani uchun asoslaridan o'tuvchi oqim nolga teng bo'ladi. Kuchlanganlik chiziqlari silindrning yon sirtlariga perpendikulyar bo'lgani uchun N to'la oqim quyidagiga teng bo'ladi.
N = 2n-r- I- E
N oqim son jihatdan oqim hisoblanayotgan sirt ichidagi zaryadning elektr doimiysi (£0) ga nisbatiga teng. Sirt ichidagi q zaryad silindrning I uzunligiga to'g'ri keladigan zaryadga tengdir:
q = 2a ■ nR ■ I
Demak, Ostrogradskiy-Gauss teoremasiga asosan:
N=± = 2?nm bo'ladi. Ikkita oqim
£o £o
formulasini tenglashtirib, maydon kuchlanganlik uchun quyidagi ifodani hosil qilamiz:
„ 2G ■ nR ■ I , , „ R ■ G
2nrlh =-, bundan h = —.
£o T ■ £o
x = j = 2a ^R 1 = 2a ■ nR kattalik silindr birligiga to'g'ri keladigan zaryadni ifodalaydi. Bundan maydon kuchlanganlik formulasini quyidagicha yozish mumkin.
„ R■ a R-T T , . „ „, t
h = — =-=- yoki h = 2k •-
r£0 2nR r■ £0 2nr■ £0 r
Shunday qilib, cheksiz uzunlikdagi tekis zaryadlangan silindr sirtidagi kuchlanganlik zaryadning x chiziqli zichligi va silindrdan r masofaga bog'liq holda aniqlanadi. Manfiy zaryadlangan silindrning maydoni musbat zaryadlangan silindr maydonidan faqat E yo'nalishi bilan farq qiladi. Formuladan ko'rinadiki, r radiusni va zaryadning I uzunlikdagi zichligini o'zgartirmasdan silindr sirt yaqinida juda katta zichlikdagi kuchlanganlikni hosil qilish mumkin. Olingan formulalar chekli uzunlikka ega bo'lgan koaksial silindrlar orasidagi masofa uning o'zining o'lchamidan ko'p marta kichik bo'lgan silindrik kondensatorlar uchun ham o'rinlidir. Cheksiz uzunlikdagi silindrlar uchun ham maydonning bir jinsligi uning chetlarida buziladi.
Yuqorida sfera va shar uchun qo'llanilgan yo'l bilan hajm bo'ylab tekis zaryadlangan silindr sirt ichida maydon kuchlanganligi nolga tengligini ko'rsatish mumkin.
Ko'rib chiqilgan misollar maydon simmetrik bo'lganda va kuchlanganlik chiziqlarining yo'nalishini avvaldan ko'rsatish mumkin bo'lgan hollarda Ostrogradskiy - Gauss teoremasidan foydalanib elektrostatik maydonni hisoblash mumkin ekanligini ko'rsatadi.
REFERENCES
1. Grabovskiy R. I. Fizika kursi. - T.: O'qrtuvchi, 1973. ., 1
2. Yosh flzik ensiklopedik lug'at. Nazirov E. N. tahriri ostida. - T., 1988.
3. Ahmadjonov O. I. Fizika. I, II, lll-qismlar. - T.: O'qituvchi, 1985.
