Остаточные напряжения в многослойных кольцевых деталях Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.778

А.В. Королев, А.Н. Аничкин

ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В МНОГОСЛОЙНЫХ КОЛЬЦЕВЫХ ДЕТАЛЯХ

В работе [1] приведен расчет толстостенных составных труб. Расчеты показали, что составные трубы имеют более высокую проч-

ность, чем сплошные. Однако в машиностроении детали редко изготавливаются составными из-за их высокой стоимости. Более высокие технологические показатели имеют детали, состоящие из многих слоев материала. Однако использование таких многослойных изделий в технике ограничивается отсутствием методов их расчета на прочность. Ниже приведен расчет остаточных напряжений в многослойных кольцевых деталях, изготовленных навивкой из металлической ленты.

Кольцевые детали, остаточные напряжения.

RESIDUAL STRESSES IN MULTILAYER RING DETAIL

In [1] the calculation of thick-walled composite pipes is shown. Calculations prove that the composite pipes have higher strength than solid. However, in Machine Engineering Research Institute of the constituent parts is rarely made because of their high cost. Higher technological characteristics are the details, consisting of many layers of material. However, the use of multiproducts in the technique is limited to the lack of methods of calculation for strength. The authors present the calculation of residual stresses in the multiring detail, made through winding of metal strip.

Ring detail, residual stress.

Плоская металлическая лента толщиной 5 и шириной h с натягом P навивается в несколько слоев на оправку радиусом rv (рис. 1). Между витками ленты образуется контактное напряжение Gni-. Определим это напряжение.

Рассмотрим произвольный i-й виток. Так как толщина каждого витка мала по сравнению с его радиусом, то примем форму витка в виде тонкого кольца, а расчет напряжений в этом витке будем производить на основе безмоментной теории оболочек.

Выделим на данном витке элемент, представленный на рис. 2. Растягивающие напряжения ot направлены вдоль окружности детали, напряжения om направлены вдоль ее оси.

A.V. Korolyov, A.N. Anichkin

P

От

Рис. 1. Схема формирования многослойного кольца

Рис. 2. Элемент поверхности произвольного витка кольца

В соответствии с уравнением Лапласа

О t + °m _ О ni (1)

Pi Pm 5 ’ где pm - радиус поперечного сечения ленты.

Но для плоской ленты pm = го. Поэтому из равенства (1) получим:

о„ _ — -5. (2)

Pi

Из равенства (2) видно, что контактные напряжения между витками различны и уменьшаются по мере возрастания радиуса витков.

Напряжения вдоль окружности витка Gt постоянны и зависят от силы натяга P:

о, _ —, (3)

t 5-h

а радиус витка зависит от его номера:

Pi _Pv +5-i. (4)

Подставляя (3) и (4) в выражение (2), получим:

P

°ni _ Т~,----. (5)

h - (Pv +5-1)

На рис. 3 показана зависимость величины контактных напряжений между витками, построенная из выражения (5), от порядкового номера витка. Как видно, напряжения между витками в верхних слоях детали получаются существенно выше, чем во внутренних слоях, особенно при малых соотношениях радиуса детали и толщины ленты.

Большой практический интерес представляет состояние детали после ее снятия с оправки. Каждый виток после снятия детали с оправки будет уменьшаться в диаметре и тем самым освобождаться от растягивающих напряжений о,.

В соответствии с законом Гука упругая деформация витка определяется зависимостью:

2 - п - Aati - рг-

Ali _------ п , (6)

E

где E - модуль упругости материала ленты; Асй- - величина изменений упругой деформации i-го витка.

Так как

Ali _ 2-п-Арг.,

где Ар/ - изменение радиуса i-го витка, то равенство (6) примет вид:

Api =A°EPl . (7)

E

Если, например, в результате деформации витков напряжения растяжения в каком-то из них полностью устраняются, то Aato = о,. При этом величина радиальной деформации верхних витков с большим радиусом р; осуществляется на большую величину, чем нижних, имеющих меньший радиус рг. Таким образом, витки при снятии детали с оправки остаются в контакте, причем верхние витки давят на внутренние, и следовательно, верхние витки находятся в состоянии растяжения, а внутренние - в состоянии сжатия.

При условии неразрывности контакта витков их радиальная деформация должна осуществляться на одинаковую величину (Ap; = Ap = const). Тогда из выражения (7) следует, что остаточные растягивающие otoi и контактные onoi напряжения во всех витках неодинаковые и определяются из выражений:

аы аг

Ар- Е Pi

а . = 0.-5_АР2Е-6. Р, Р2

(8)

Для окончательного определения остаточных напряжений в детали необходимо найти радиальную деформацию Ар всех витков. Величину этой деформации найдем из условия, что существует такой виток радиусом рО, в котором остаточные напряжения равны нулю. Из равенства (8) для этого витка:

а.

АР = тт-Ро.

Е

(9)

Другим условием равновесия геометрических параметров витков является равенство нулю суммарной потенциальной энергии деформации всех витков. Элементарная энергия деформации ,-го витка без учета сил трения между витками определяется на основе теоремы Клапейрона:

йы.

а

2 - Е

- - й.У:

(10)

где йу - объем элемента витка, равный

йУ: = 6 - к - й1,

й1 - элементарная длина витка.

Раскрывая в (10) значение элементарного объема, найдем:

_ 2

йы, = —^-6-к - й1.

! 2 - Е !

(11)

На самом деле между витками существует сила трения, которая поглощает часть потенциальной энергии деформации. Потенциальная энергия трения на элементарном участке витка с верхним и нижним витками равна:

йЫf ,!+1 = 2 - П - 1 - а ПО, - к - Р,+1 - й^!+1 ’

йЫГ ,1 -1 2 - П - 1 - аПО,-1 - к - Рг-1 - й\-1

12)

где I - коэффициент трения между витками; йХ !+1, йХ м - элементарный сдвиг поверхностей соседних верхнего и нижнего витков на элементарном участке й1, ,-го витка.

Сдвиг поверхностей соседних витков осуществляется за счет разности их удлинения при деформации. Если деформация ,-го витка осуществляется на величину й1:, то деформация выше и ниже расположенных витков осуществляется на величину:

4+1 = й-

й1,-1 = й11

Р!+1

Р,

Р,-1

13)

Тогда на основе (13) определим

йХ ,+1 = 4+1 - Ш-

г Р ^ р,+1 1

- — I

V

р,

й1 , = й1 - й1 , = й1

I—1 I I—1 I

Р,-

1 -

V Р, у

Р

Подставляя равенства (14) в выражения (12), найдем:

(

йи

ї ,і+1

= 2'п'ї'Оо ' к Р

і+1

і+1

йиї,1 -1 — 2 ' П ' ї ' °поі-1 ' к ' Рі-1

V Рі (

1 -

йіі;

Рі-і

Р

■йі.

15)

і у

Принимая во внимание, что радиус соседних витков отличается на толщину ленты, и выражая контактное напряжение между поверхностями данного витка с нижним витком через контактное напряжение данного витка с верхним и нижним витками, получим:

2

йи ї і+1 — 2' п' ї' о{-к-------

5

Л ґ

йи ї і-1 — 2' п' ї' о. • к' —

Рі

1 + —

V Рі у

52 (

1 -Р-Рі

л

' йІі;

Рі -5

йі.

16)

Силы трения поверхности данного витка с поверхностями соседних витков действуют в противоположные стороны. Поэтому из (16) результирующая элементарная сила трения, действующая на элементарный участок ,-го витка, равна:

5 2

йиї і+1 — 2' п' ї '°,'к—

7 Рі

У

1+А Р

і У

1 -р-Р

Л

(

1

і у

Ро

Л"

Рі -5

йі

Тогда суммарная энергия деформации на элементарном участке ,-го витка

2' Е

5 к

2

Р

1 -Ро

Р

й1

і у

О / и52 2' п' 7' о. • к-------------

Рі

У

5

Л

1+—

V Рі у

1 -Ро Р

іу

1-

Ро

Рі -5

(17)

Из равенства (18) найдем полную потенциальную энергию деформации ,-го витка:

о(2 ™ (

П' —- '5' к'

Е

1 -Ро Рі

V

- 4' п2' ї ' о(' к' 52'

1+— Р

іу

1 -Р Р

іу

1-

Рі -5

. (19)

В качестве примера на рис. 3 показана зависимость энергия деформации в зависимости от порядкового номера витка и коэффициента трения.

Как видно из рис. 3, энергия свободной деформации витков различна. Наиболее высокую энергию деформации имеют крайние витки. Наименьшая энергия деформации возникает у витков, расположенных в средней части сечения детали.

Полная потенциальная энергия деформации детали определится суммой энергий всех ее витков. Используя выражения (19), после преобразования определим:

^2 Рп ( р V

1 -^

р.325,

и(і,0)

10(1,0.1)

и(і,0.2)

0

10

7.5 5

2.5 0

\ /

ч \ ■к

\ \ \ __

\ /

0

.0.

10

20

і

30

40

33

Рис. 3. Зависимость энергии деформации витка и(/, /) от его порядкового номера / и коэффициента трения f

и — Л'°^ '5' к' У Р

Е

-4'п2' ї 'а(-к'52 'У

р»

(

1 + —

V рі у

5

V

Л (

1 -Ро

Рі у

Л (

Р

іу

1-

V

Рі -5

(20)

1

Р

о

2

Р

и

Р

о

Р

Р

о

Р

Воспользовавшись равенством (4), найдем: р; = Ру +8-г

и =п-^-8-Н - У (Р + 8- * -Р)2 Е V Ру +8-1

- 4 - п2 - / -а, - Н - 82 - У

0

где к - общее число витков, равное

1 + -

8

Ру +8-г

Ро

Ру +8-г

Ро

Ру + 8 - г - 8

21)

к=

Рп -Ру 8

334.517

400

тт,- т 300

и(ро,0) и( ро ,0.1) 2Ш Щро,0.2)

100

.35.32.

' .

ч шГг-г*

V

70

Ж

72.5

75

ро

77.5

80 .7 99

Рис. 4. Влияние радиуса витков р0, находящихся в ненапряженном состоянии, и коэффициента трения между витками f на энергию деформации и(Р0, /) многослойной детали

На рис. 4 представлена зависимость полной энергии свободной деформации многослойной детали для условий предыдущего примера.

Зависимость, приведенная на рис. 4, показывает, что витки, в которых отсутствуют остаточные напряжения, находятся в центре симметрии сечения детали. Кроме того, графики 3 и 4 показывают, что значительное влияние на энергию деформации витков детали оказывает сила трения между витками. С возрастанием силы трения энергия деформации возрастает.

Так как все процессы в природе стремятся к минимуму затрат энергии, то, следовательно, Ро соответствует среднему положению витков:

Ро

Ру + Рп

2

(22)

Подставляя это значение в (9) и (8), определим остаточное напряжение в витках и между витками детали:

( ~ , - Л

а„

а пог

а.

аг

1 —

Ру +Рп

2- (Ру +8-г)

-8-

(Ру +Рп )

2- (Ру +8-г)

23)

Таким образом, мы получили искомые зависимости для расчета остаточных напряжений в детали, изготовленной из многослойного материала. Как показывают равенства (23), во внутренних слоях детали напряжения, направленные вдоль окружности, являются напряжения сжатия, а в наружных слоях образуются напряжения растяжения. Остаточные контактные напряжения получаются существенно меньше, чем контактные напряжения, возникающие в процессе изготовления детали. В наружных слоях детали контактные напряжения выше, чем во внутренних.

Выполненные исследования позволяют целенаправленно осуществлять проектные работы по изготовлению многослойных кольцевых деталей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 593 с.

к

1

2. Биргер И.Ф. Прочность, устойчивость, колебание: в 2 т. / И.Ф. Биргер. М.: Машиностроение, 1988. Т. 1. 831 с.

3. Биргер И.Ф. Прочность, устойчивость, колебание: в 2 т. / И.Ф. Биргер. М.: Машиностроение, 1988. Т. 2. 456 с.

Королев Альберт Викторович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Технология машиностроения» Саратовского государственного технического университета

Korolyov Albert Viktorovich -

Doctor of Technical Sciences,

Professor, Head of the Department of «Technology of Mechanical Engineering» of Saratov State Technical University

Аничкин Александр Николаевич -

аспирант кафедры «Технология машиностроения» Саратовского государственного технического университета

Статья поступила в

Anichkin Aleksandr Nikolayevich -

Post-graduate Student of the Department of «Technology of Mechanical Engineering» of Saratov State Technical University

щию 15.11.09, принята к опубликованию 27.01.10