Остаточные деформации импульсно нагруженных балок, допускающих большие прогибы в пределах упругости Текст научной статьи по специальности «Физика»

_________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том XVIII 1987

№ 5

УДК 624.072.2

534.1 : 624.072.2

ОСТАТОЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИМПУЛЬСНО НАГРУЖЕННЫХ БАЛОК, ДОПУСКАЮЩИХ БОЛЬШИЕ ПРОГИБЫ В ПРЕДЕЛАХ УПРУГОСТИ

А. А. Найда

Получено приближенное решение задачи о больших переходных и остаточных прогибах импульсно нагруженных балок с осевыми связями с учетом чувствительности материала к скорости деформации в пластической области. Оценка упругого восстановления представляет амплитуду возникающих вследствие разгрузки нелинейных колебаний балки, которая вычисляется через упругую энергию растяжения, накопленную при упруго-пластическом деформировании. Решение согласуется с результатами аналогичных теоретических и экспериментальных исследований.

В работах [1—3], посвященных исследованию остаточных деформаций импульсно нагруженных конструкций, упругие деформации и прогибы считались пренебрежимо малыми в сравнении с соответствующими значениями для чисто пластического поведения материала. Очевидно, для конструкций, допускающих упругие прогибы, соизмеримые с дополнительными пластическими прогибами, при оценке остаточных деформаций необходимо учитывать как упругую, так и пластическую стадии работы материала. В статье проведено исследование этого вопроса на примере импульсно нагруженных балок с осевыми связями. Для учета влияния скорости деформации на свойства материала в пластической области используется способ, предложенный в работе [3].

1. Основные предпосылки и соотношения. Рассмотрим задачу об остаточных деформациях балки с жестко заделанными концами, вызванных действием равномерно распределенной по пролету идеальной импульсной нагрузки интенсивностью 10- Длина балки Ь=21, толщина к и предел упругих деформаций материала е8 в комбинации

образуют комплекс

т)!

У

0І

£-11

'X

V

Рис. 1

при котором допустимые прогибы в упругой стадии равны либо больше И. Очевидно, в этом случае надо учитывать большие прогибы и энергию упругих деформаций как до возникновения пластического течения, так и в процессе последующего упругопластического деформирования балки.

Для решения задачи модифицируем изложенный в работе [3] приближенный энергетический метод оценки больших остаточных деформаций импульсно нагруженных балок. Отнесем балку к декартовой системе координат Оху (рис. 1). Следуя ра-

боте [6], функцию прогибов возьмем в виде

V?(X. і) = 8 «)*<*), *=>*//;

<Р (х) = Зле2 — 2л:3, 0 < х < 1

: 1

(ко

Пусть б» — значение прогиба в дентре балки, при котором в ней впервые появляются пластические деформации. Тогда энергию упругих деформаций А,, отвечаю-

щую прогибу 68, найдем как сумму энергий изгиба А 8 изг и растяжения А& р« А$ изг и А3 т) имеем:

—

ЕП*

4/з

О

Для

(1.2)

Ьк з

где ¿' — модуль упругости материала; Ь — ширина балки; /Г=6Л: У = —— Выполнив интегрирование в (1.2) с учетом (1.1), получим

А =

/3

.(«+0,514$, Ф,— -5г_.

(1.3)

Обозначим далее через 1рп а = ^«+^р » прогиб в центре балки, при котором величина средней осевой деформации по длине балки достигает значения еа, и предположим, что в области дополнительных прогибов 0<г|зр<1))р« поведение балки определяется взаимодействием осевых сил и изгибающих моментов, а величину накопленной энергии деформации можно оценить выражением (1.3), заменив в нем ■ф» на г|Зв+1|Эр. При г|зр<'фр а полностью пренебрегаем изгибными эффектами, считая, что в этой области прогибов механизм деформирования балки сводится к мембранному пластическому растяжению ее оси силами N¡> — 0вЬк. Интегрируя выражение для осевой 1 ( дШ \2

деформации ~а~ ■—гг по длине балки, найдем зависимость, связывающую фпз с

\ дх } параметрами I, к и

(1.4)

Работа сил Ып на удлинении оси балки, которое она получает при увеличении прогиба в центре от бп , до бп = бз + 6р (см. рис. 1), как нетрудно показать, будет равна

і

Ан„~

N0

I

№

\2'

ІІХ

йх.

(1.5)

С учетом (1.1), (1.5) и равенства 6п = 68+6р выражение для Лд, становится таким:

где

Фр > Фрі = Фп Ї — Фі-

Приравнивая начальную кинетическую энергию балки

¡1Ы 2рЛ

(1.6)

(1.7)

р—плотность

материала, соответственно работе Аа при 0 фр фр 5 и сумме работ Д* + АК при фр^Фр*, после несложных преобразований найдем:

' ЙЬ + Фр)2 + °-514 (’Ь + ’Ь)4]. О < фр < фр 5.;

А = 1,2 -Ир)2 - &] +

Г

•(<Й,+0,514 ф«,, ), фр>фрі.

(1.8).

Здесь обозначено:

Х =

(1.9)

4рз? к1

Выражение (1.8) справедливо как для упругой (г|зр = 0), так и для пластической стадии работы балки и позволяет находить пластический фр и полный фп = ф8 + фр прогибы, отвечающие заданному значению параметра X. Подчеркнем, что величина 1|)р не является остаточным прогибом балки.

2. Анализ деформированного состояния балки. Деформация растяжения оси балки 8х определяется выражением

18фп

вх = —1^х*(1-х)1. (2.1)

Для деформации изгиба имеем

£изг =-^Н-у(1 — 2х), у-у/к.

(2.2)

Полная деформация в любой точке с координатами (х, у) находится суммированием (2.1) и (2.2)

%.= ^г-{ЩпхЦ\-х)* + у(\-2х)]. (2.3)

тг

Рассматривая фп как параметр и учитывая симметрию в распределении деформаций, найдем точки экстремума выражения (2.3) для четверти балки (0<л:<0,5)

при у=0,5 (верхние волокна). Условие ■—— = 0 дает

ах

2л:3 — Зх + 1

(2.4)

Можно показать, что при фп<1,5 парабола и гипербола в (2.4) не пересекаются. Это означает, что максимум имеет место на границе, при х=0, т. е. при 'фп<1,5 превалируют изгибные деформации. При 1|зп>1,5 указанные парабола и гипербола имеют общие точки на интервале 0<*<0,5, причем максимуму еп соответствуют значения х, лежащие вблизи конца х=0,5, тем ближе, чем больше фи. При фп>1,5 превалируют, таким образом, деформации растяжения.

Из (2.3) и (2.4) для заданных у и 8з можно найти и соответствующие значения ■фя. Для балок, использовавшихся в испытаниях, они представлены в табл. 1. Видно, что при у2е8«1 значения ф8<0,34 и, следовательно, пренебрежение упругими дефор-

Таблица 1

Источник Материал Т «, ю» ^ Ф,

[4] Сталь 1020 15 1,31 0,294 0,098

[6] Мягкая сталь 0,23% С 27,13 1,00 0,736 0,245

[4] Алюминий 6061-Тб 15 4,54 1,02 0,340

[6] Алюминий 7075-Т6 20,4 8,08 3,36 1.12

[6] Алюминий 6061-Т651 39,26 4,30 6,62 1.97

[6] Титан А1-4У 34 8,07 9,33 2,77

мациями вполне допустимо. Этот факт подтверждается также сравнением расчетных и экспериментальных данных [3]. В то же время для балок с параметром у2ге>3,4: величины ,фз> 1, что, естественно, приводит к необходимости их учета в соответствии с выражением (1.8).

На рис. 2 для значений ,фп = 4 и 8 представлена картина деформированного состояния балки из титана А1-4У (табл. 1), построенная на основании (2.3), при этом в силу симметрии она показана только при ОсхсОД Заштрихованные области соответствуют чисто упругому состоянию материала, незаштрихованные — чисто пластическому. Как видно, с ростом т|)р упругая зона уменьшается. Для этой балки величина т|)!,«2Д но уже при г|)п = 4 значительная часть балки находится в пластическом состоянии, причем максимальные изгибные деформации локализуются в точке х=0 (пластический шарнир), в то время как основная часть балки испытывает пластическое растяжение. Это в известной мере может служить обоснованием принятого в п. 1 механизма деформирования балки в пластической области, особенно при больших значениях г|зп.

3. Оценка остаточных прогибов. Упругое восстановление балки после достижения ею прогиба г|эп зависит от упругой энергии, накопленной при упругопластическом деформировании. Обозначим величину этой энергии через Аупр и допустим, что в процессе восстановления балки из положения ярп до нового положения равновесия, определяемого координатой т|Зо, она полностью переходит в кинетическую энергию поперечных колебаний балки. Из этого условия вытекает равенство

і

Г0 = тіь\ц | <р2 (х) йх = Лупр, (3.1)

о

где т=рЫг — масса балки на единицу длины; бю — скорость центра балки в новом положении равновесия. Вычислив интеграл в (3.1), найдем

13

35

■ffi/Sjg — Аупр- (3-2)

Теперь необходимо соотношение, связывающее скорость 6ю с частотой со и амплитудой а колебаний балки. Предположим, что главную роль в возникновении связанных с разгрузкой поперечных колебаний балки играет упругая энергия, определяе-

мая выражением Л 8 р по (1.2), которое для целей данного пункта представим в виде

Лр = 0,514 -МЕ— , (3.3)

Р

где координата 61 отсчитывается от нового положения равновесия.

Составив уравнение Лагранжа для обобщенной координаты 61

л / лт \ , ¿Л р Л

тгЬс) + Т5—°’ (М)

получим из него

ь\.

- аВ? =0, а = 2,76 EF . (3-5)

1 ml*

Решение уравнения (3.5), точное до членов первого порядка малости, имеет вид [5]

а<23

О! = a cos a>t + —-------(cos 3— cos wt), (3.6)

32ot>2

a частота колебаний со связана с амплитудой а соотношением

со = 0,847 а Уа. (3.7)

.. aaz 1

Множитель ■ 32'oja ПРИ значении w по (3.7) составляет примерно а,

поэтому можно считать, что колебательный процесс (3.6) определяется в основ-

ном первым слагаемым. Отсюда следует, что

В?0 = «2. (3.8)

После подстановки (3.8) в (3.2) с учетом (3.7) получаем соотношение, позволяющее находить амплитуду упругих колебаний балки, возникающих вследствие разгрузки из состояния, определяемого прогибом г('п:

а4 ■

1,37. Лупрг3

ЕР

Величина остаточного прогиба составит

Фо = Фп — Фа! Фа

а

т

(3.9>

(3.10).

Значение Лупр для заданного г|)„ можно получить, интегрируя по области, показанной, на рис. 2, выражения:

Лупр = ЕШ I/ Еп (*> У) йхйУ> £" < е*;

- Е*1 ЬЫ | { ЛхЛу, еп > е4.

УПР"

(3.11)«

Функция еп(х, у) в (3.11) определяется в соответствии с (2.3), а пределы интегрирования по х, у непосредственно берутся из рис. 2 путем разбиения всей области на подобласти в зависимости от величины еи и кривых (х) и /2 (*), отделяющих упругую и пластическую зоны. Таким образом были вычислены значения Лупр для балок из титана А1-4У при двух значениях ■фп=4 и 8. В связи с тем, что процесс этих вычислений оказался очень трудоемким, возникла необходимость отыскания приемлемой упрощенной процедуры. Учитывая, что с ростом “фп преобладает мембранное поведение балки, было предложено находить Лупр, основываясь на формуле

Л1

■Аупо = 2Ее^ ЬМ (0,5 — х0 + 2ЕЬЫ^ е^. йх,

(3.12>

в которой ех берется в соответствии с (2.1), а х1 отделяет чисто упругую зону от чисто пластической, обусловленных только деформацией растяжения ех. Значение х1 находится из уравнения (2.1) при заданных 1|зп и е8. Вычисленные по (3.12) величины ЛУпр для тех же балок из титана при 1|)п = 4 и 8 оказались в обоих случаях ниже, чем по формулам (3.11), на 12—15%. Ввиду этого расчеты остаточных прогибов балок проводились с использованием соотношения (3.12).

4. Сравнение теории и эксперимента. Применим полученные формулы для расчета остаточных деформаций балок из титана и алюминия, которые в испытаниях подвергались импульсному нагружению [6]. Размеры балок и характеристики материала, взятые из работы (6], представлены в табл. 2. Для целей сравнения преобразуем выражение (1.9) к виду

2дз ______ _ 1

/о = Р—г-]ЛорК*;

(4Л >

35 рЕ№ о .

"2 = 1з /^(^ + 0>3^)-

Множитель р учитывает влияние скорости деформации. Исходным для его определения являлось уравнение

г = °о£

1 +

«•ср

о

]■

(4.2)

где а о — статический предел текучести; еср — средняя за цикл пластического деформирования балки скорость деформации; О и р—постоянные материала, указанные в табл. 2. Для оценки еср использовалась зависимость, полученная в работе [3],

‘ср ■

(4.3)

Таблица 2

Материал Титан А1-4У Алюминий 7075-Т6 Алюминий 6061-Т651

МН м* 896 568 296

£ ГН ’ М2 111 70,3 70,3

КГ Р’ "м3- 4400 2800 2800

£>, — с 3.4-Шв —

р 7,65 —

мм • 130 130 203

Ь, мм 19,1 19,1 38

Л, мм 1,91 3,18 2,59

Здесь Ур о — начальная для стадии пластического деформирования скорость центра

балки. Она связана с начальными скоростями точек балки К0 = —— соотношением,

Рй

установленным в работе [61 для упругой стадии работы материала:

0 = [ (<£ + 0.3 4ф ]1/2. (4.4)

С учетом (4.2), (4.3) и (4.4) получена система соотношений (4.1), на основании которой проводились вычисления /о. Отметим, что если выбрать в качестве первого приближения значение /о при р=1, т. е. при а« = а0, то двух-трех последующих приближений достаточно для нахождения /о, отвечающего заданным ■ф, и фр. Для балок из алюминия Р=1, так как материал этих балок считается нечувствительным к скорости деформации.

На рис. 3 представлены экспериментальные переходные (кружки) и остаточные (треугольники) прогибы для титановых балок [6]. Сплошными линиями 1 и 2 пока-

заны соответствующие расчетные кривые, полученные по приближенному многостадийному методу модальных аппроксимаций [6]. Штриховые линии 3 и 4 рассчитаны по зависимостям (4.1), (3.9) и (3.10). Можно отметить удовлетворительное согласие результатов двух различных расчетных методов между собой и с экспериментом в области значений /п и 11)0, показанной на рис. 3. С ростом ч|5п намечается тенденция к расхождению кривых 1 и 3, 2 и 4, однако трудно отдать предпочтение какому-либо одному из двух методов из-за отсутствия экспериментальных данных для больших значений г|)п-

Аналогичная картина имеет место при сравнении расчетных и экспериментальных данных для балок из алюминия 7075-Т6 (рис. 4). Принятые здесь обозначения точно такие же, как и для рис. 3.

Рис. 5

На рис. 5 кружками представлены только остаточные экспериментальные прогибы для балок из алюминия 6061-Т651. Расчетные кривые здесь имеют те же обозначения, что и на рис. 3 и 4. В отличие от балок из титана и алюминия 7075-'Гб, которые нагружались равномерно по всему пролету, эти балки нагружались на части пролета симметрично относительно центра на длине ¿с=46 мм. При расчете этих балок по соотношениям (4.1) в выражении для /„ величина заменялась на Расхождение расчетных кривых здесь отмечается с самого начала, однако остаточные прогибы, найденные по предлагаемой методике (кривая 4), лучше согласуются с экспериментальными данными, чем аналогичная кривая 2, полученная в работе [6].

ЛИТЕРАТУРА

1. Н а й д а А. А. Оценка параметров разрушающих импульсных нагрузок для прямоугольных и круглых пластин. — Прикладная механика,

1982, т. 18, № 1.

2. Н а й д а А. А. Несущая способность цилиндрических оболочек, нагруженных импульсным внутренним давлением. — Прикладная механика, 1984, т. 20, № 1.

3. Н а й д а А. А. Оценка больших остаточных деформаций импульс-но нагруженных балок. — Прикладная механика, 1986, т. 22, № 3.

4. Н о н а к а Т. Некоторые эффекты взаимодействия в динамической задаче о пластичесой балке. — Ч. III. Экспериментальное исследование.—

Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков, Сер. Е. — 1967, т. 34, № 3.

5. П а н о в к о Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара.—

Л.: Машиностроение, 1976.

6. Саймондс П. Динамика неупругих конструкций. — В кн.: Механика. Новое в зарубежной науке, № 29. — М.: Мир, 1982.

Рукопись поступила 8/УШ /986 г.