CC BY
29
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2015. Вып. 4. С. 178-183
ФизикА ^
УДК 539.2
Особенности рассеяния частиц точечным
1 и и
дефектом с внутренней структурой
В. В. Красильников, С. Е. Савотченко
Аннотация. Предложена модель точечного дефекта, обладающего внутренней структурой. Рассчитаны коэффициенты прохождения и отражения частицы в рамках модели на основе уравнения Шредингера с модифицированным короткодействующим потенциалом. Получен спектр квазилокальных состояний и соответствующая добавка к плотности состояний. Показано, что внутренняя структура дефекта приводит к возможности полного прохождения частицы. Установлено, что существуют два уровня энергии, отвечающие локализованным близи дефекта состояниям.
Ключевые слова: уравнение Шредингера, точечный дефект, короткодействующий потенциал, квазилокальные состояния, плотность состояний.
Известно, что при рассеянии частицы точечным дефектом, моделируемым в одномерном случае короткодействующим потенциалом и(х) = = 2ио6(х), где ¿-функция Дирака, ио — интенсивность взаимодействия дефекта с возбуждением, не возникают резонансные особенности, описывающие полное прохождение или полное отражение, не возникают. Ситуация меняется, если рассматривать неквадратичный закон дисперсии (зависимость энергии от волнового вектора) возбуждения, или систему, в которой имеются несколько ветвей закона дисперсии. В системах, в которых имеется несколько групп возбуждений (волн, квазичастиц) с отличающимися законами дисперсии, даже для волн с однокомпонентным вектором смещения, возникают резонансные явления, связанные с наличием в системе так называемых квазилокальных состояний [1-3].
Подробный анализ взаимодействия с дефектами волн, имеющих несколько ветвей закона дисперсии [4-7], биквадратный закон дисперсии [8,9], показал, что при определенном соотношении параметров возможно полное отражение и полное прохождение волны через дефект. Целью данной работы является выявление резонансных особенностей рассеяния волн одной группы в средах без дисперсии. Для этого следует предположить, что точечный дефект обладает своей внутренней структурой, то есть существует определенная собственная частота колебаний дефекта.
Будем рассматривать квадратичный закон дисперсии вида Е = ак2/2, к — волновое число, а = 2/т, т - эффективная масса. Такому закону дисперсии соответствует стационарное уравнение Шредингера для волновой функции в одномерном случае:
а
Еф = - 2 Ф" + и (х)ф. (1)
Известен квантовомеханический результат исследования резонансного рассеяния частиц, имеющих параболический закон дисперсии, на двугорбом потенциале, который можно рассматривать как потенциальный кратер, обладающий квазистационарным уровнем энергии. В одномерном предельном случае при бесконечном увеличении глубины кратер может быть описан выражением, содержащим вторую производную дельта-функции Дирака. В данной работе для моделирования учета внутренней структуры расположенного в начале координат дефекта предлагается использовать выражение
и (х) = 2и05(х) + Уо5 '' (х). (2)
Тогда из (1) с учетом (2) следует система граничных условий вида
Г Ф(+0) = ■0(-о) = Ф(0),
\ а{ф'(+0) - ф'(-0)} = 4ис^(0) + Уо{ф''(+0) + ф''(-0)}. ( )
Решение задачи рассеяния волны для уравнения (1) при Е > 0 предста-вимо в виде Г
( егкх + Ке-гкх х < 0,
Ф = { (4)
[ Те1кх, х> 0.
Из граничных условий (3) получаются коэффициенты отражения г = \Е\2 и прохождения Ь = \Т\ :
= (2ио - к2Уо)2 (5)
Г а2к2 + (2ио - к2Уо)2 , (5)
а2к2 (6)
Ь = а2к2 + (2ио - к2Уо)2 ' (6)
При Уо = 0 из уравнений (5) и (6) получаются известные выражения для коэффициентов отражения и прохождения, которые не имеют резонансных особенностей в сплошном спектре. Если же считать, что дефект обладает внутренней структурой, то при Уо = 0 из (5) и (6) следует, что возможно полное прохождение волны через дефект (г = 0, Ь = 1), когда энергия падающей волны совпадает с резонансным значением (рис.1):
Ет = аио/Уо. (7)
Рис. 1. Характерные зависимости коэффициентов отражения (г), прохождения (£) и добавки к плотности состояний (Од/до) от энергии при и о =0, 8, Уо = 2, 2, а = 2,1 в относительных единицах
Резонансные особенности рассеяния связаны с наличием в системе квазилокальных состояний, которые описываются решением уравнения (1):
ф(х) = Acos(k \x\ + ф),
(8
где амплитуда А = ф0/cos ф, ф0 = ф(0), а фаза ф определяет непрерывный спектр квазилокальных состояний. Подстановка (8) в граничные условия (3) позволяет получить дисперсионное соотношение
tg ф = (k2Vo - 2Uo)/ak. (9)
Из дисперсионного соотношения (9) в явном виде получается спектр квазилокальных состояний
E = a{atg^ + (a2tg2 ф + 8U0V0 )1/2}2/8Vo2.
(10)
В частности, из (10) при ф = 0 получается значение энергии выделенного квазилокального состояния, совпадающее с резонансной энергией полного прохождения: Е(ф = 0) = Ет.
Используя дисперсионное соотношение (9), можно получить описанным в [2,3] способом добавку (относительную) к плотности квазилокальных состояний
од Е + Ет
до Vo aE + 2(E - Et)2V02/a2 '
(11)
где до - плотность состояний в системе без дефекта. Из (11) следует, что плотность состояний имеет максимум:
Em = Et{(4 - ET/ \EL\)1/2 - 1},
(12)
где введено обозначение \Е^\ = 2и^/а, которое соответствует локальному уровню энергии для случая простого короткодействующего потенциала Уо = = 0 (когда Е^ < 0). Отличная от нуля добавка к плотности состояний (11)
существует только при У0 = 0, то есть при наличии у дефекта внутренней структуры.
Видно (см. рис.1), что максимум плотности состояний смещен в сторону относительно резонансной энергии прохождения (7). Из (12) следует, что максимум на плотности квазилокальных состояний существует, если Уо > Ус = а2/био. Высота пика добавки к плотности состояний (11) увеличивается с ростом интенсивности значения внутренней структуры дефекта Уо (рис. 2).
• 12 3 4 5 6 7
Е
Рис. 2. Характерные зависимости добавки к плотности состояний от энергии при фиксированных значениях ио = 0, 8, а = 2,1 и различных значениях У0: 1 - У0 = 0, 9, 2 - У0 = 1,0, 3 - У0 = 1,1, 4 - У0 = 1, 2, 5 - У0 = 1, 3, 6 - У0 = 1,4, 7 - У0 = 1, 5 в относительных единицах
Зависимость максимума (12) от интенсивности внутренней структуры дефекта У0 является немонотонной, и она представлена на рис 3. В зависимости от параметра Уо функция Ет(Уо) имеет максимум при Ут = Ус(11 + 131/2)/8 и 1, 83Ус, а значение его высоты при этом Ет(Ут) = = 144и02(131/2 - 1)/а(131/2 + 11)2 и 1.7би02/а.
Если теперь считать, что Е < 0, то из уравнения (1) и граничных условий (3) следует, что в системе существуют два локализованных вблизи дефекта состояния, описываемые волновыми функциями
Ф1,2(х) = фоехр(-^1,2 \х\), (13)
где д1,2 = (2\Е1,2\ /а)1/2, соответствующие двум локальным уровням энергии,
Е1,2 = -а{а ± (а - 8иоУо)1/2 }2/8Уо2. (14)
Следует отметить, что локальные уровни (14) могут быть найдены как полюсы коэффициентов рассеяния (5) или (6) при к2 = -о2. К этому же результату приводит вычисление полюсов добавки к плотности квазилокальных состояний (11) при Е = -Е1,2.
К
Рис. 3. Характерные зависимости максимума добавки к плотности состояний от энергии Е при фиксированных значениях а=2,1 и различных значениях У0: 1 - У0 = 0, 8, 2 - У0 = 0, 9, 3 - У0 = 1,0, 4 - У0 = 1,1, 5 — У) = 1, 2 в относительных единицах
Таким образом, внутренняя структура точечного дефекта, моделируемая модифицированным короткодействующим потенциалом, приводит к возможности полного прохождения. Здесь прослеживается аналогия с уравнением Шредингера при У0 = 0 с четвертой пространственной производной, описывающей дисперсию волны, рассмотренным в [9]. За счет того, что дефект обладает собственным значением энергии, возможно существование двух локализованных вблизи него состояний.
Список литературы
1. Косевич А.М. Особенности двуканального резонансного рассеяния волны или частицы на плоском дефекте // ЖЭТФ. 1999. Т. 115. № 1. С. 306-317.
2. Савотченко С.Е. Квазилокальные состояния и особенности резонансного рассеяния частиц дефектами в полупроводниковых кристаллах, обладающих зонной структурой энергетического спектра // Физика и техника полупроводников. 2000. Т. 34. № 11. C. 1333-1338.
3. Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. Особенности плотности квазилокальных состояний вдоль резонансных кривых в сплошном спектре // Письма в ЖЭТФ. 2001. Т. 73. № 11-12. С. 680-683.
4. Косевич А.М., Мацокин Д.В . Волноводные свойства двух параллельных дефектов в условиях двухканального рассеяния // ФНТ. 2000. Т. 26. № 6. С. 615-619.
5. Косевич А.М., Савотченко С.Е. Резонансное многоканальное рассеяние волн или частиц и отклик системы на когерентный ток // Научные ведомости. Сер. Физика. БелГУ. 2000. № 1(10). С. 3-9.
6. Савотченко С.Е. Особенности рассеяния частиц и возбуждение квазилокальных состояний стационарным потоком в двухуровневой системе // Известия высших учебных заведений. Физика. 2001. Т. 44. № 4. C. 67-73.
7. Косевич А.М., Мацокин Д.В., Савотченко С.Е. Резонансные особенности в спектре квазилокальных состояний в системах с несколькими ветвями закона // Научные ведомости. Сер. Физика. БелГУ. 2001. № 1(14). C. 21-26.
8. Савотченко С.Е. Влияние диссипации энергии сдвиговой волны на резонансные
свойства плоских дефектов в диспергирующих средах // Вестник ХНУ. Сер.
Физика. 2000. № 476. Вып. 4. С. 31-33.
9. Савотченко С.Е. Особенности плотности квазилокальных состояний при наличии дефектов в средах с пространственной дисперсией // Известия высших
учебных заведений. Физика. 2002. Т. 45. № 12. С. 1148-1158.
Красильников Владимир Владимирович ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра материаловедения и нанотехнологий, Белгородский национальный исследовательский университет.
Савотченко Сергей Евгеньевич ([email protected]), д.ф.-м.н., профессор, кафедра информационно-компьютерных технологий в деятельности ОВД, Белгородский юридический институт МВД России.
Features of the particle scattering on a point defect with
internal structure
V. V. Krasil'nikov, S.E. Savotchenko
Abstract. A point defect model possessing internal structure is offered. Transmission and reflection particle coefficients were calculated in the framework of the model on the basis of Schrodinger equation with modified short range potential. The spectrum of quasilocal states and the corresponding adding to the density of states were obtained. It is shown that internal structure of the defect leads to the total passing of the particle. It is found that there are two energy levels responding to the localized near defect states.
Keywords: Schrodinger equation, point defect, short range potential, quasilocal states, density of states.
Krasil'nikov Vladimir ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of material science and nanotechnology, Belgorod National Research University.
Savotchenko Sergey ([email protected]), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of computer science and technologies for the work of internal affairs, Belgorod Law Institute of the Ministry of Internal Affairs of the Russian Federation.
Поступила 03.09.2015
