CC BY
27
Оригинальная статья / Original article
УДК 621.534, 62.752 , 629.4, 015:22
DOI: http://dx.doi.org/10.21285/1814-3520-2018-5-46-64
ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ В ЗАДАЧАХ НАДЕЖНОСТИ ТОКОСЪЕМА В КОЛЛЕКТОРНО-ЩЕТОЧНЫХ УЗЛАХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ТЯГОВЫХ ДВИГАТЕЛЕЙ
© А.И. Орленко1, А.В. Елисеев2, С.В. Елисеев3
Красноярский институт железнодорожного транспорта - филиал ИрГУПС, 660028, Российская Федерация, г. Красноярск, ул. Ладо Кецховели, 89. 2,3Иркутский государственный университет путей сообщения, 664074, Российская Федерация, г. Иркутск, ул. Чернышевского, 15.
РЕЗЮМЕ. Рассматривается возможность оценки динамических состояний во взаимодействии элементов тяговых двигателей электровозов и устройств для обеспечения коммутационных процессов. ЦЕЛЬ исследования заключается в разработке метода математического моделирования для оценки особенностей динамических состояний, возникающих в условиях повышенного уровня вибрационных воздействий. МЕТОДЫ. Предлагается математическая модель работы коллекторно-щеточного узла тягового двигателя как составного твердого тела, в котором при действии периодических сил могут быть реализованы условия ненарушения контакта при совместных колебаниях элементов составного твердого тела. Разработана методологическая основа оценки динамических состояний взаимодействия элементов коллекторно-щеточного узла при вибрациях корпуса тягового двигателя, возникающих при взаимодействиях с рельсовым путем. Для построения математических моделей используются методы структурного математического моделирования, в рамках которого механической колебательной системе сопоставляется структурная модель, эквивалентная в динамическом отношении системе автоматического управления. РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ. Показаны возможности оценки влияния внешних вибраций корпуса тягового двигателя на работу коллекторно-щеточного узла с учетом возможностей колебаний якоря тягового электрического двигателя. Описана последовательность действий по приведению задачи комплексного нагруже-ния при одновременном действии нескольких сил к упрощенной постановке задачи оценки условий нагружения контакта элементов при коммутационном процессе. ВЫВОДЫ. Предложен метод построения математической модели контактирования элементов коллекторно-щеточного узла в условиях вибрации корпуса тягового электродвигателя. Представлена математическая модель работы коллекторно-щеточного узла в условиях вибрации корпуса тягового электродвигателя, отображаемого расчетной схемой в виде механической колебательной системы с тремя степенями свободы.
Ключевые слова: математическое моделирование, коллекторно-щеточный узел, динамика корпуса тягового двигателя, ненарушение щеточного контакта.
Информация о статье. Дата поступления 23 марта 2018 г.; дата принятия к печати 23 апреля 2018 г.; дата он-лайн-размещения 31 мая 2018 г.
Формат цитирования. Орленко А.И., Елисеев А.В., Елисеев С.В. Особенности математического моделирования в задачах надежности токосъема в коллекторно-щеточных узлах электрических тяговых двигателей // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2018. Т. 22. № 5. С. 46-64. DOI: 10.21285/1814-35202018-5-46-64
0
1
Орленко Алексей Иванович, кандидат технических наук, доцент, директор, e-mail: [email protected] Aleksei I. Orlenko, Candidate of technical sciences, Associate Professor, CEO, e-mail: [email protected]
2Елисеев Андрей Владимирович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник Научно-образовательного центра современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: [email protected]
Andrey V. Eliseev, Candidate of technical sciences, Senior Researcher of Scientific and Education Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: [email protected]
3Елисеев Сергей Викторович, доктор технических наук, главный научный сотрудник-директор НОЦ современных технологий, системного анализа и моделирования, e-mail: [email protected]
Sergey V. Eliseev, Doctor of technical sciences, Professor, Chief Researcher of the Scientific and Educational Center of Modern Technologies, System Analysis and Modeling, e-mail: [email protected]
FEATURES OF MATHEMATICAL MODELING IN THE PROBLEMS OF CURRENT COLLECTION RELIABILITY IN COMMUTATOR-BRUSH ASSEMBLIES OF ELECTRIC TRACTION MOTORS
A.I. Orlenko, A.V. Eliseev, S.V. Eliseev
Krasnoyarsk Institute of Railway Transport - branch of Irkutsk State Transport University,
89, Lado Ketskhoveli St., Krasnoyarsk, 660028, Russian Federation
Irkutsk State Transport University,
15, Chernyshevsky St., Irkutsk, 664074, Russian Federation
ABSTRACT. The article deals with the possibility of evaluating dynamic states in the interaction between the elements of electric locomotive traction motors and devices providing switching processes. The PURPOSE of the study is to develop a mathematical modeling method for assessing the features of dynamic states arising under the increased level of vibration. METHODS. The paper proposes a mathematical model of commutator-brush assembly operation of the traction motor as a composite solid, in which the conditions of contact non-breaking can be implemented under the joint vibrations of the composite solid elements and influence of harmonic forces. A methodological basis is developed for the assessment of dynamic states of the interaction of commutator-brush assembly elements under the traction motor body vibrations arising under the interaction with the rail. The methods of structural mathematical modeling, in which the mechanical oscillatory system is correlated to a structural model that is dynamically equivalent of the automatic control system, are used to build the mathematical models. RESULTS AND THEIR DISCUSSION. The possibilities to estimate the effect of external vibrations of the traction motor body on the operation of the commutator-brush assembly are shown taking into account the possibilities of oscillations of the traction electric motor armature. Description is given to the sequence of actions on reduction of the problem of complex loading at the simultaneous action of several forces to the si m-plified setting of the problem of estimation of element contact loading conditions at switching. CONCLUSIONS. The method is proposed to construct a mathematical model of commutator-brush assembly elements contact under traction motor body vibration. The article provides a mathematical model of commutator-brush assembly operation under traction motor body vibration which is represented by the design scheme in the form of a mechanical oscillating system with three degrees of freedom.
Keywords: mathematical modeling, commutator-brush assembly (CBA), dynamics of the traction motor body, nonbreaking of brush contact
Information about the article. Received March 23, 2018; accepted for publication April 23, 2018; available online May 31, 2018.
For citation. Orlenko A.I., Eliseev A.V., Eliseev S.V. Features of mathematical modeling in the problems of current collection reliability in commutator-brush assemblies of electric traction motors. Vestnik Irkutskogo gosudarstvennogo tehnicheskogo universiteta = Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2018, vol. 22, no. 5, pp. 46-64. DOI: 10.21285/1814-3520-2018-5-46-64. (In Russian).
Введение
Обеспечение надежности и безопасности эксплуатации сложных технических систем, в частности, железнодорожного транспорта, обеспечивающего процессы перевозок в условиях интенсивных динамических нагружений, возникающих при движении с повышенными скоростями и увеличенными весами составов, может быть отнесено к важнейшим научно -техническим проблемам.
Вопросам динамики транспортных средств и обеспечения соответствующих условий работы оборудования, агрегатов и узлов уделяется большое внимание, что нашло отражение, например, в работах [1-3]. Вибрационное взаимодействие разнообразно по своим формам и находит широкое применение в динамике технологических машин [4-8]. Теория вибрационных процессов получает свое развитие, в частности, в процессе моделирования взаимодействия твердых тел с вибрирующими поверхностями или рабочих сред с исполнительными органами транспортных и производственных машинных агрегатов, о чем свидетельствуют, например, публикации [9, 10].
Движение транспортных средств сопровождается взаимодействием элементов подвижного состава с рельсовым путем, параметры состояния которого отличаются возможностями изменения динамических свойств в достаточно широких пределах, что проявляется в
0
1
формировании сложных динамических состояний, характеризующихся интенсивными вибрационными режимами, ударными процессами, перегрузками, которые оказывают влияние не только на состояние механического, но и электрического оборудования.
Тяговые двигатели электровозов в задачах обеспечения надежности работы транспортных средств играют большую роль, так как выход их из строя может привести к ощутимым последствиям. Особенности функционирования тяговых электрических двигателей (ТЭД) определяются сложным составом внешних возмущающих факторов различной физической природы [1]. В первую очередь, ТЭД электровоза подвержен повышенному уровню динамических нагрузок, создаваемых при контактных взаимодействиях «колесная пара - рельс». С другой стороны, ТЭД является элементом более сложной механической системы или сложного механического объекта, каковым является электровоз в целом. Динамическое состояние его основных узлов во многом определяет спектр динамических нагружений тягового двигателя. Вместе с тем ТЭД является сложным электромагнитным устройством для преобразования электрической энергии в механическую. Высокий уровень динамических взаимодействий оказывает существенное влияние на работу одного из основных узлов тягового двигателя, а именно, коллекторно-щеточного, где реализуется коммутационный процесс, особенность которого заключается в передаче энергии к элементам якоря электродвигателя постоянного тока через скользящий контакт. Динамика скользящего контакта, создаваемая в коллекторно -щеточном узле (КЩУ), обеспечивается взаимодействием щеток и коллектора ТЭД. Процесс токосъема происходит в достаточно сложных условиях, определяемых действием факторов механической и электромагнитной природы. Особенностям токосъема в тяговых двигателях посвящено достаточно большое количество обстоятельных научных исследований, что в значительной мере предопределяет развитие актуальных направлений в обеспечении надежности и безопасности эксплуатации ТЭД [2, 11, 12].
В меньшей степени разработаны вопросы функционирования КЩУ в условиях вибраций, возникающих в их элементах, и в самом щеточном контакте, хотя отдельные аспекты этой проблемы рассмотрены в работах [13, 14].
В последние годы интерес к динамике механических систем с неудерживающими связями, в том числе КЩУ, в отдельных аспектах их функционирования возрос [2, 14-16]. Однако в указанных работах не получили развития вопросы учета влияния внешних вибраций тягового двигателя, которые в определенных условиях могут достигать очень больших (пиковых) значений.
В настоящей статье развивается метод математического моделирования с использованием особенностей нагружения КЩУ при вибрации тягового двигателя, вызванной динамическим взаимодействием ТЭД при контактах с внешней средой.
1. Некоторые общие положения
В простейших расчетных схемах динамика КЩУ тягового двигателя, динамические взаимодействия щетки и коллектора рассматриваются как задачи динамического состояния материального тела (материальной точки) на вибрирующей поверхности при учете возможностей поджатия материального тела (щетки) с помощью упругого элемента. Предполагается, что вращающаяся контактирующая поверхность движется по известному закону (чаще всего гармоническому). При определенных сочетаниях амплитуд и частот колебаний поверхности (поверхность коллектора) исследовалась возможность «обнуления» реакций связей между щеткой и коллектором. Сочетание параметров движения поверхности коллектора, обеспечивающих обнуление реакции связи, рассматривается в сочетании с параметрами предварительного поджатия со стороны упругого элемента.
В работе [14] рассмотрены возможности построения математических моделей, отображающих детерминированные представления об изменении контактных взаимодействий, усло-
1
виях отрыва щеток и вариантах подлета с последующими соударениями. Такие подходы, при очевидной упрощенности, имеют определенное практическое значение, в частности, в отношении определения параметров критического состояния взаимодействия щетки и поверхности коллектора.
При оценке влияния условий поджатия на щетке, формы износа поверхности коллектора на процесс токосъема для реального КЩУ необходимо учитывать, что этот узел представляет собой пространственную систему щеток, расположенных по периметру коллектора, что вносит свои особенности в построение расчетных схем. Важным обстоятельством такого подхода является вовлечение в рассмотрение неудерживающего характера связей, возможностей изменения контактных давлений, а в целом и свойств рабочего пространства, формирующегося в зоне взаимодействия щетки и коллектора.
В более развитой форме динамические свойства контактных взаимодействий могут быть получены на основе разработки более сложной технологии оценки особенностей взаимодействия с помощью обобщенной функции зазора, отражающей детализированные представления о формировании условий нарушения контакта [2, 14].
КЩУ представляет собой достаточно сложное устройство, которое состоит из щетки, контактирующей с поверхностью коллектора, щеткодержателя и прижимающего щетку упругого элемента (рис. 1). В качестве расчетной схемы КЩУ может рассматриваться механическая колебательная система с тремя степенями свободы в упрощенном варианте.
Рис. 1. Расчетная схема коллекторно-щеточного узла Fig. 1. Design scheme of the commutator and brush assembly
При детализированных представлениях щетка может рассматриваться как упругое тело с вязким слоем в ее контакте с поверхностью щеткодержателя [17].
Дифференциальное уравнение движения с учетом сил, действующих на щетку, имеет следующий вид:
тщ ^ + Р (г) + ЕуПрконт + / ■ Р (г) • ^) + / ^ = 0. (1)
Л2 Л Л
На расчетной схеме (см. рис. 1) и в дифференциальном уравнении (1) приняты следующие обозначения: 2(г) - обобщенная координата; в - коэффициент вязкого сопротивления в
контакте щетки и окна щеткодержателя [18]; / () - радиальная сила вязкого сопротивле-
ёг
ния в контакте щетки и окна щеткодержателя; РТР (г) = / ■ Р (г) ■ эг^^^) - сила трения меж-
Л
Ш
ду щеткой и коллекторной пластиной; f - коэффициент сухого трения скольжения между поверхностью контакта щетки и коллекторной пластиной; F(t) - сила действия рычага на щетку;
FynpКОНТ = 1(1 -sign(z(t)-^(t)))ЖКОНТ(z(t)-^(t)) - упругая сила в контакте щетки и коллекторной пластины; ЖКОНТ - жесткость нажимной пружины и контактного слоя соответственно; тщ - масса щетки; rj(t) - функция неровностей коллектора [2].
В общем случае к элементам КЩУ могут быть отнесены щетка массой m1 и прижимной механизм массой т2 , взаимодействующие с коллектором.
Расчетная схема взаимодействующих элементов КЩУ представлена на рис. 2. Предполагается, что связь щетки и поверхности коллектора имеет упругий характер и представлена коэффициентом жесткости k1. В рассматриваемой модельной задаче с одной степенью
свободы связь определена как удерживающая, чтобы оценить только один неудерживающий контакт между прижимным механизмом и щеткой в вертикальном направлении.
Рис. 2. Взаимодействие элементов коллекторно-щеточного узла: Zi - поверхность коллектора; pt - силы вязкого трения элементов КЩУ; qi - силы тяжести элементов; fi - дополнительные постоянные силы; N\2, N21 - полные реакции в контакте; »2, h - поверхности контакта Fig. 2. Interaction of commutator and brush assembly (CBA) elements : Zi - commutator surface; pi - viscous friction forces of CBA elements; qi - gravity forces of elements; fi - additional constant forces; N\2, N2i - full reactions in the contact; »2, h - contact surface
ш
Условия неудерживающего контакта между щеткой и прижимным устройством имеют
вид:
X + d < X2,
(2)
где d1 - условный «габарит» щетки.
Аналитическая запись контакта может быть представлена выражением
X + 4 = X9.
2.
(3)
Фаза контакта между щеткой и прижимным элементом характеризуется контактной реакцией. Равенство полной контактной реакции нулю может служить критерием для определения возможности возникновения зазора между щеткой и прижимным механизмом.
На основе этого критерия разработан метод построения математической модели с учетом неудерживающих связей, характеризующей условия ненарушения контакта между элементами КЩУ.
Полное смещение щетки Х^1, полное смещение прижимного устройства X21 и полная контактная реакция N21 в контакте могут быть представлены в виде суммы соответствующих статических и динамических компонент:
xn = xf + xa,
X2 = X2 + Xa > =Nfj+nai,
(4)
В выражении (4) для обозначения соответствующей компоненты используется три верхних индекса: 2 - статическая компонента, П - полная и Д - динамическая. Динамическая составляющая реакции представляется как разница между полной реакцией и статической.
Система дифференциальных уравнений для определения ХА, Х2 на промежутке контакта с начальными нулевыми условиями в зависимости от динамической компоненты контактной реакции =-N/2 = N^1 принимает вид:
m^+p^+k.X^f^-N^ m2XA+p2XA=NA,
хА(0) = 0,хА(0) = 0,
X1A(0) = 0, X2a(0) = 0.
(5)
С помощью преобразования Лапласа полученная система (5) дифференциальных
уравнений приводится к системе:
ms2X + pisX i + klX = Д - NA, [M2S2 X2 + P2SX2 = N A,
(6)
где s = ja - комплексная переменная.
Ш
Изображения Х1, Х2, /г , ЫА, рассматриваемые как функции комплексной переменной
^, ставятся в соответствие оригиналам Х1 , Х2 , / , N , которые являются функциями времени, на основе преобразования Лапласа:
<»
0
х (s) = j X (t )e~stdt. (7)
В дальнейшем предлагается выполнение всех необходимых условий для существования соответствующих интегралов [19].
Изображение динамической компоненты контактной реакции выражается из системы (6) в виде
¿1(5) + ¿2(5) Ш ' ( ^
2 2 где Ц( 5) = + р^ + к1; Ь^) = т^ + р^.
С учетом представления Д = к121 (Z1 обозначает изображение 21) передаточная функция, для которой входным сигналом является кинематическое возмущение Z1, а выходным - динамическая компонента контактной реакции NA, имеет вид:
ш + ¿2(5)
Полученная передаточная функция (9) используется для оценки динамической компоненты реакции связи в сравнении со статической компонентой в контакте между щеткой и прижимным механизмом. Достаточные условия ненарушения контакта могут быть записаны в виде:
А1 ■ Л(о1) < Nу, (10)
где А: ■ ,щ - соответственно амплитуда и частота колебаний неровностей поверхности коллектора; Л(ф1) - амплитудно-частотной характеристики передаточной функции ^ут (я);
Т
у
N - статическая компонента реакции.
2. Оценка параметров беззазорного движения для предельного варианта жесткости
Аналитическая форма достаточных условий ненарушения контакта (10) может быть использована для рассмотрения предельных случаев. Так, математическая модель с расчетной схемой, представленной на рис. 1, при к1 ^^ приводит к модели, в которой прижимное
устройство непосредственно имеет неудерживающий контакт с неровностями поверхности коллектора. Особенность такого взаимодействия состоит в уменьшении критической амплитуды, вызывающей отрыв.
В случае конечной жесткости к1 множество параметров, обеспечивающих движение в контакте, определяется из неравенства
52
ВЕСТНИК ИрГТУ Том 22, № 5 2018 / РРОСЕЕОИЧЮЭ оГ Уо1. 22, N0. 5 2018
ISSN 1814-3520
Ш
A
i
(m2kt"t2)2 + (P2kiWi)2 _ , f
oo л ^ m2g + J c'
(ki - (m + т2)щ ) + ((Pi + P2)®1i
(11)
где /с - величина дополнительной постоянной силы.
Условие (11) реализации контактного взаимодействия прижимного устройства и щетки имеет вид
ЩА1т22®\2 + Р22 < т2§ + /с - (12)
где А12 - амплитуда, зависящая от величины колебания неровностей поверхности коллектора
А:
Ак1
А 2 -
4(ki- (mi+mW)2+((Pi+P2)aif
(13)
В случае конечной жесткости к1 условие (11) ненарушения контакта определяется массой прижимного устройства и массой щетки.
Если к ^да, то А12 ^А1. В этом случае рассматриваемая задача сводится к определению условий ненарушения контакта между прижимным устройством и непосредственно поверхностью колебания при наличии вязкого трения и дополнительной постоянной силы. Контактирование интерпретируется как реализация режима, когда предельная форма движения щетки повторяет форму неровностей поверхности коллектора, интерполируемой гармоническим колебанием с амплитудой А1 и частотой щ.
При рассмотрении предельного случая, условно понимаемого как случай «большой» жесткости к1, предельное условие контакта (13) выполняется, когда к1 ^да, и принимает вид, где значимой является только масса прижимного устройства:
W Ai 4m2W2 + P22 < m2g + fc -
(14)
где д - ускорение свободного падения.
Возведение в квадрат обеих сторон неравенства (14) приводит к выражению
((Awi fW - g2 ) m^- - 2gfcm2 + (AW fp22 - fC < 0 .
(15)
Неравенство (15) определяет массы т2 прижимных устройств, обеспечивающих беззазорное движение.
Для определения таких масс рассмотрим коэффициенты:
f 2 r2
f aw
y )
,r-
fc
P2
D4 -(Aw )2 P22
f + g2-(Aw 2 )2 P2
(16)
Машиностроение и машиноведение
Mechanical Engineering and Machine Science
1_
Величины (16) соответствуют корням уравнения
((Ap )2 p2 - £2 ) ш22 - 2gfcm2 + (Ap )2 p22 - fcC
= 0.
(17)
Анализ зависимости характеристик ¡л, Л, в4 от параметров ц, Л1, /с,р2 позволяет определить значения масс, при которых реализуются условия контакта. Коэффициенты ¡л, Л, ВА могут рассматриваться как обобщенные характеристики контакта. Для каждой области диапазон масс отрыва имеет свои особенности.
На рис. 3 в плоскости частоты ц и амплитуды Л1 колебаний поверхности изображены кривые 1, 2, 3.
yi=0.029S75
0.0005
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
V2 / \
(6) Щ
1Д (1)
f,
O)
- lD с
2) ^ l5
0 100 200 300 400 50
со. rad./s
Рис. 3. Области характерных режимов взаимодействия прижимного устройства со щеткой, ограниченные кривыми 1, 2,3 Fig. 3. Areas of characteristic modes of interaction between the clamping device and the brush bounded by curves 1, 2, 3
При фиксированном параметре у кривые 1, 2, 3 (см. рис. 3) относительно амплитуд и частот представляют собой множество нулей уравнений:
d4 = 0; л = 0; ¡ = 0.
(18)
Кривая 1 на рис. 3 отображает на плоскости множество амплитуд и частот, для которых справедливо равенство
d4 =( 4a)2 P22
( „2 г 2 f + *2
V P2
(4a2 )2
= 0.
(19)
1
«Переход» параметров через рассматриваемую кривую означает появление или исчезновение некоторого интервала значений масс, при которых выполнено условие ненарушения контакта.
Кривая 2 определяет частоты и амплитуды, которые удовлетворяют уравнению Я = 0. При «переходе» через данную кривую может возникнуть некоторый интервал масс прижимных устройств, для которых реализуется контакт или отсутствует зазор.
Кривая 3 (см. рис. 3) представляет собой совокупность пар амплитуд и частот, которые удовлетворяют уравнению; /л = 0. Для процесса взаимодействия прижимного устройства со щеткой «переход» через кривую представляет собой реализацию «инверсии» контакта.
Для детализации особенностей контактирования прижимного устройства для каждой области или ее границ в табл. 1 представлены диапазоны значений масс прижимного устройства для областей (в), (б) и границ г0, г1 , Г2, Г3, изображенных на рис. 3.
Таблица 1
Интервалы значений масс прижимного устройства, для которых выполнены условия ненарушения контакта
Table 1
Intervals of clamping device weight values which meet the conditions _of non-breaking the contact_
D4 1 Область / Area f > 0 1 = 0 fc < 0
1 2 3 4 5 6 7
>0 >0 <0 (в) « Ю Контакта нет No contact Контакта нет No contact
>0 =0 =0 Го (0, ю) Контакта нет No contact Контакта нет No contact
=0 >0 <0 Г1 (т'о, т'о) Контакта нет No contact Контакта нет No contact
>0 =0 <0 Г2 (m"v да) Контакта нет No contact (0, m"2)
>0 =0 =0 Гз (0, Ю) Контакта нет No contact Контакта нет No contact
>0 <0 >0 (д) (0, ю) да) (0, m) u m, да)
Табл. 1 содержит сводную информацию о 6 множествах из 11 областей, границах и точке Г0, представленных на рис. 3. Интервалы значений масс, обеспечивающих контакт для
различных вариантов направления дополнительной постоянной силы, представлены в столбцах 5-7. Столбец 5 отражает случай, когда постоянная сила направлена в сторону силы тяжести -/с > 0. В столбце 6 представлен случай отсутствия дополнительной силы - /с = 0. В столбце 7 представлен случай, когда постоянная сила направлена против силы тяжести -
/с < 0 и |/с| < m2g.
В соответствии с табл. 1 в строке для параметров области (в) условие контакта выполнено, когда постоянная дополнительная сила сонаправлена силе тяжести /с > 0, на интервале значений масс (т{,т'2):
1
Для определения интервала масс фиксируется некоторый параметр, к примеру, у- 0,03 м/с, который характеризует связь между постоянной силой и силой вязкого трения. Полагается, что постоянная дополнительная сила направлена в сторону силы тяжести, /с = 0,2 Н. Амплитуда колебания поверхности А1 составляет 0,0002 м. Диапазон значений масс, обеспечивающих контакт, реализуется только для множества (в) в соответствии с рис. 3. Частота колебания фиксируется так, чтобы точка А1) находилась внутри области (в).
Предполагается, что это будет частота с\ = 240 рад/с. Для определения интервала значений
масс прижимного устройства, обеспечивающих контакт, строится график характеристики контакта:
((Ахах)22 -%2) Ш22 -22 + (Ахсох)2Р22 -^ <0 . (21)
На рис. 4 представлен график характеристики контакта (21).
0.1-
Рис. 4. Характеристика контакта. mi, - критические массы прижимного устройства Fig. 4. Contact characteristics. mi, m2 - critical masses of the clamping device
Критические значения масс прижимного устройства, при которых характеристика равна нулю, принимают значения mi« 0,02 кг, m2«0,09 кг. Соответственно, для прижимных устройства, значения масс которых находятся в диапазоне (mi, m'2), будут выполняться условия ненарушения контакта. Более подробная информация приведена в [14].
3. Математические модели взаимодействия элементов коллекторно-щеточного узла с учетом возникающих двухсторонних и неудерживающих связей
Детализация представлений об особенностях взаимодействия щеток и коллектора может приниматься в форме учета совместного движения объекта, состоящего из двух твердых тел, показанных на рис. 2.
На приведенной схеме (см. рис. 2) элемент массой mx рассматривается как якорь тяго-
вого двигателя. Упругий элемент с жесткостью кх отражает динамические свойства опоры
якоря в подшипниковом узле, что позволяет учитывать особенности движения якоря при вибрациях двигателя с учетом того, что якорь может совершать автономное движение, возможное вследствие упругости подшипникового узла. Возникновение подобного рода движений якоря наблюдаются при анализе причин отказов ТЭД. Повышенный уровень отказов из -за разрушения подшипниковых узлов якоря появляется при эксплуатации ТЭД на рельсовых путях с бетонными шпалами. В работе [20] приводится также детализированное описание задач динамики ТЭД как системы с двумя степенями свободы при совместном действии нескольких внешних возмущающих факторов.
Тяговый двигатель в задачах динамических взаимодействий с рельсовым путем может рассматриваться на основе расчетных схем в виде механических колебательных систем с двумя и более степенями свободы. Ряд вопросов оценки динамических свойств ТЭД нашел отражение в работах [11, 20], где, в частности, приведены оценки динамических свойств механических колебательных систем при одновременном действии нескольких периодических (гармонических) внешних возмущений.
Технический объект (ТЭД) может быть представлен в упрощенном виде как твердое тело, обладающее массой м и моментом инерции J относительно центра тяжести. Предполагается, что объект в точках A и В имеет упругие опоры (рис. 5). В точке A ТЭД контактирует с рельсовым путем, где формируются внешние воздействия ^. Движение объекта может
быть описано системой дифференциальных уравнений в координатах у и у2, а также У0 и р.
Рис. 5. Принципиальная схема с двумя степенями свободы Fig. 5. Schematic diagram with two degrees of freedom
В рамках расчетной схемы (см. рис. 5) ТЭД совершает малые колебания относительно положения статического равновесия. В точке А внешние возмущающие воздействия интерпретируются как кинематические возмущения со стороны рельсового пути. В точке В условно показано действие на колебательную структуру ТЭД со стороны механической системы электровоза (со стороны тележки). Полагается, что г2 отражает влияние динамических воздействий по отдельному каналу независимо от ^. На схеме показана точка й, которая отражает
возможные параметры динамического состояния ТЭД в месте расположения подшипникового узла якоря тягового двигателя. Выделение точки й с параметрами ее движения позволяет определиться с оценкой тех движений, которые в схеме, представленной на рис. 2, рассматриваются как вибрация опорной поверхности. На предварительном этапе исследования предполагается, что колебания якоря в подшипниковых узлах развиваются автономно.
На основе расчетной схемы, приведенной на рис. 5, может быть составлена структурная математическая модель ТЭД в виде структурной схемы эквивалентной в динамическом
Ш
отношении системы автоматического управления, полученной на основе технологии структурного математического моделирования [21, 22] (рис. 6).
Рис. 6. Структурная математическая модель механической системы Fig. 6. Structural mathematical model of a mechanical system
На рис. 6 использованы следующие обозначения: p = ja , j = - комплексная переменная (значок <-> над переменной означает ее изображение по Лапласу); a, b, c - геомет-
1
/ l? j l
рические соотношения (a = —2—; b = —1
■; c = ■
^ + l1 + к +12 Для получения параметров движения точки й примем, что Ой = /0 (точка О - центр тяжести твердого тела), соотношение между координатами у1 , у2 и у0 , р определяется выражениями:
у0 = ау1+Ьу2 ; р=c(У2 - л); У = у0 - 11Р; у2=у0 - к(. (22)
Координата yD может быть определена как
yD = y0 "l0^.
(23)
Для определения передаточной функции системы используем предположения о возможностях учета связности внешних возмущений в форме
(24)
где а - коэффициент связности внешних возмущений [20].
Передаточные функции системы в координатах у1 и у2 можно записать в виде:
_ ? ? ? ?
) = у_ = к[ЫЬ1 + /с1] + аk2(./С -ЫаЬ)р , 1 ^ А(р) ;
(25)
ЦТ ^ _ y2 _ ak2[(Ma2 + Jc2) p2 + kj + kI(Jc2 - Mab) p2 2 Z A(P)
(26)
Ш
где равенство
A(p) = [(Ma2 + Je2) p2 + kl][(Mb2 + Je2) p2 + k2] - [(Je2 - Mab) p2]2 (27)
является частотным характеристическим уравнением системы.
Изображение по Лапласу переменных в т. й принимает вид
Ув = Уо - 1вФ= Щ (Р)Ща + Щ2 (Р^Ь - 1В{Ж2 (р)аг1Ь - Щ (р)Ща} =
и// чп Щ2(р)Ьа 1вЩ2(р)аЬ , , Щ1( р)а Щ1( р)а
Передаточная функция системы может быть представлена как
Ув =Уо - У Щ А(р) '
(28)
(29)
что предопределяет возможность выявления режимов динамического гашения колебаний и резонансов, а также построения амплитудно-частотных характеристик.
Используя формулу (29), можно найти необходимые параметры для уточнения задач оценки параметров беззазорного движения, при этом возмущающим фактором в составном твердом теле (составная модель) являются неровности коллектора, создающие при вращении якоря периодические возмущения. Использование расчетной схемы, показанной на рис. 5, дает возможность учитывать вибрации корпуса тягового двигателя. Расчетная схема для такой постановки задачи представлена на рис. 7.
Рис. 7. Расчетная схема динамики КЩУ при учете вибрации тягового двигателя Fig. 7. Calculation scheme of the CBA dynamics considering traction motor vibration
Расчетная схема, представленная на рис. 7, отражает возможности динамических взаимодействий якоря ТЭД в упругих подшипниковых узлах с корпусом двигателя. Положение якоря в такой схеме описывается координатой y3. Массы m2 и mx соответствуют массе m2 щетки и массе mx якоря соответственно (масса щетки мала по сравнению с массой якоря). Упругие элементы k3 и k4 отражают условия взаимодействия якоря ТЭД с корпусом и возможности прижатия щетки mx со стороны щеткодержателя. На рис. 7 показан стержень, на котором закрепляется щеткодержатель. Между элементами mx и m2 имеется, как и на рис. 2,
Ш
зона контакта между щеткой и коллектором. Зона контакта, которая формируется между поверхностью коллектора и щеткой, включает не только частицы износа щетки, но и влажные компоненты воздуха, ионизированные структуры, создаваемые протеканием тока, а также действие электромагнитных полей, что создает определенные условия для реализации специфических эффектов (например, искрение). Эти эффекты были отмечены, в частности, в работах [1-3, 11, 12].
В задачах оценки контактного взаимодействия узла «щетка-коллектор» (см. часть 2 настоящей статьи) учитывалось лишь воздействие от неровностей поверхности коллектора. В подходах, предлагаемых в настоящей части, полагается, что колебания якоря в упругих подшипниковых узлах могут накладываться на колебания якоря, возбуждаемые колебаниями корпуса ТЭД, что может существенно изменить условия коммутации. Силовые факторы 03, прикладываемые к приведенной массе якоря т\ с учетом силовых воздействий, формируемых при деформации пружины к4, которые зависят от координаты у3, могут представить достаточно полную картину динамических процессов, определяющих условия безотрывности работы щеток. Вместе с тем, как показывают исследования динамики ТЭД, в процессе их эксплуатации достаточно частыми являются ситуации, когда проявляются динамические перегрузки, при которых уровень ускорения движения точек корпуса может достигать 15-20-кратных значений ускорения g, что не может не отражаться на параметрах динамического состояния КЩУ.
Для составления математической модели динамики ТЭД на расчетной схеме, представленной на рис. 7, получим выражения для кинетической потенциальной энергии:
Т = ^Му02 +1V + у32; (30)
1 О \ О \
П = - к\(У\ - 2\) +- к2(У2 - г2) +- кэ(Уэ - Ув) +- к4Ув , (31)
где у = Уо-У2 = Уо + 1тР, Ув = Уо - 1вР, (Уз-Уо + 1вР-Уо + Уз + 1вР).
Для получения структурной математической модели динамики КЩУ в составе механической системы ТЭД и его подвески при возмущениях со стороны рельсового пути использованы технологии построения, изложенные в [21, 22].
В табл. 2 приведены коэффициенты системы уравнений в операторной форме в координатах Уо, р и У3.
Для получения аналитических соотношений между действующими силами и координатами, характеризующими состояние системы, воспользуемся формулами Крамера [23]:
у = 0\(а22а33 - а23а32) + 02(а\3а32 - а33ап) + Ша\2С<23 - а22а13) . (32)
Л
ф= 0\ (а23а31 - а21а33) + 02(а\\а33 - а13а31) + 03(а11а22 -а12а21) . (33)
Л '
У = 6\(а2\а32 -а22а31) + 02(а\2а3\ -а11а32) + 03(а11а22 -а12а21) (34)
Л
где Ло = а^а22а33 -апа23а32 -а33а^2\ -а22а^3\ + 0^2^32 + а^23а3\-а^22а33 - частотное характеристическое уравнение.
Таблица 2
Коэффициенты уравнений движения системы в координатах y0, р и y3
Table 2
Coefficients of the system motion equations in coordinates y0, р and y3
ai2 ai3
2 ? Mo p + К + k2 - kill + k2l2 - kJD - k3
a21 a22 a23
- kù + k2l2 - k3lD Jc2 p2 + kxlx2 + k2l2 2 k3lD
a31 a32 a33
- k3 k3lD mp2 + к + k3
Обобщенные силы / Generalized forces
Qi Q2 Q3
k1zi + k2 z2 k1l1Z1 — k2l2 Z2 Q
Примечание. Обобщенная сила Q = Q формируется неровностями поверхности коллектора ТЭД / Note. Generalized force Q = Q is formed by the traction electric motor commutator surface roughnesses.
В силу симметричности системы - a12 = a21; a13 = a31; a23 = a32, значения йу (i = \,.,3;j = \,..,3) могут быть взяты из табл. 2. Отметим, что Ql и Q2 связаны с кинематическими действиями внешних возмущений z и z2, отображающих колебательные движения опорных поверхностей (или рельсового пути). В свою очередь Q представляет собой периодическое воздействие, формируемое в щеточном контакте неровностями поверхности коллектора. Вибрация корпуса ТЭД создает дополнительные нагрузки инерционного типа, которые делают динамические взаимодействия в контактной зоне достаточно сложными. Если в качестве исходной позиции принять, что работа КЩУ должна обеспечивать безотрывное движение щетки, (в крайнем случае - равенство контактного давления нулю), то задача оценки динамических свойств в целом может быть сведена к постановке задачи, описанной в части 2. При этом для решения вопроса об определении передаточных функций системы может быть предложено использование понятия о коэффициенте связности а между параметрами кинематических внешних воздействий z2 = azx, а также введение коэффициента связанности р
между Q и z (Q = pzx). Использование коэффициентов связанности а и р предоставляет
возможность построения частотной диаграммы, дающей представление о распределении частот собственных колебаний, парциальных частот и частот динамического гашения. Математическое моделирование предполагает возможности аналитической оценки таких проявлений динамических эффектов, как сближение частот собственных колебаний и частот динамического гашения колебаний, а также изменение структуры системы при совпадении частот собственных частот и частот динамического гашения колебаний. В [20] предлагается детализированная технология получения оценки динамических свойств механических колебательных систем при одновременном действии нескольких внешних возмущений.
Заключение
Динамические свойства коллекторно-щеточного узла определяются не только параметрами поверхности коллектора, но и характеристиками щеточного узла, которые оказывают существенное влияние на коммутационные процессы. Большое значение в формировании
1
взаимодействия элементов КЩУ имеет уровень и особенности колебаний (или вибрация) корпуса тягового электродвигателя, вызываемые внешними факторами. Повышение уровня внешних воздействий со стороны рельсового пути при определенных условиях может приводить к вибрациям якоря ТЭД, что создает дополнительные нагрузки, которые изменяют динамические параметры взаимодействия элементов КЩУ. Вибрации корпуса ТЭД также передаются и на крепления щеткодержателя, что оказывает дополнительное влияние механических факторов на работу КЩУ.
Таким образом, в работе:
- предложен метод математического моделирования динамических процессов, возникающих при контактных взаимодействиях щетки и поверхности коллектора якоря ТЭД, который предполагает использование понятий о ненарушении контакта в движении элементов составного твердого тела;
- разработана методика оценки динамических состояний и параметров системы, обеспечивающих условия совместности движения элементов составного твердого тела при сохранении контакта;
- предложен метод построения математической модели контактирования элементов КЩУ в условиях вибрации корпуса ТЭД. Разработана математическая модель работы КЩУ в условиях вибрации ТЭД, отображаемая расчетной схемой в виде механической колебательной системы с тремя степенями свободы;
- с помощью структурного математического моделирования динамики КЩУ в условиях вибрации ТЭД при расчете ненарушения контактов составного твердого тела получено детализированное представление о взаимосвязях, формируемых совместными действиями нескольких механических факторов, и определены условия ненарушения контактов для конкретных примеров работы КЩУ. Вместе с тем предлагаемый подход может быть использован и для прогнозирования ситуаций, при которых динамические взаимодействия элементов ТЭД и КЩУ могут приводить к резкому возрастанию параметров динамических нагрузок.
Библиографический список
1. Орленко А.И., Петров M.H., Терегулов О.А. Комплексная диагностика тягового электродвигателя электровоза: монография. Красноярск: Изд-во КрИЖТ ИрГУП^ 2016. 218 с.
2. Харламов В.В. Mетоды и средства диагностирования технического состояния коллекторно-щеточного узла тяговых электродвигателей и других коллекторных машин постоянного тока: монография. Омск: Изд-во ОмГУП^ 2002. 232 с.
3. Авилов В.Д. Оптимизация коммутационного процесса в коллекторных электрических машинах постоянного тока: монография. Омск: Изд-во ОмГУП^ 2013. 356 с.
4. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing. Switzerland, 2016. 708 p.
5. Rocard Y. General Dynamics of Vibrations. Paris: Masson, 1949. 458 p.
6. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000. 957 p.
7. Harris C.M., Crеdе C.E. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw - Hill Book ta, 2002. 1457 p.
8. Rashid M.H. Power Electronics Handbook. New York: Butterworth-Heinemann, 2018. 1510 p.
9. Блехман И.И. Теория вибрационных процессов и устройств. Вибрационная механика и вибрационная техника. ОТб.: ИД «Руда и металлы», 2013. 640 с.
10. Пановко Г.Я. Динамика вибрационных технологических процессов. Ижевск: НИЦ «Регуларная и хаотическая динамика», 2006. 176 с.
11. Исмаилов Ш.К. Повышение ресурса изоляции электрических машин подвижного состава. Омск: Изд -во ОмГУПЗ, 2007. 390 с.
12. Карасев M^., Беляев В.П., Козлов В.Н., Трушков A.M., Авилов В.Д., Елисеев CE. Оптимальная коммутация машин переменного тока: монография. M.: Транспорт, 1967. 180 с.
13. Елисеев C^., Mарков К.К. Безотрывное перемещение частицы по вибрирующему решету при действии сил сухого и вязкого трения II Исследования по механике деформируемых сред: межвуз. сб. ст. Иркутск: Изд -во ИПИ, 1976. C. 189-195.
14. Елисеев А.В., Cельвинский В.В., Елисеев CE. Динамика вибрационных взаимодействий элементов технологических систем с учетом неудерживающих связей. Новосибирск: Наука, 2015. 332 с.
15. Орленко А.И., Елисеев А.В. Особенности динамики коллекторно-щеточного узла тягового электродвигателя электровоза с учетом неудерживающих связей // Кулагинские чтения: техника и технологии производственных процессов: сб. ст. XVII Междунар. науч.-практ. конф.; в 3 ч. (Чита, 27-30 ноября 2017 г.). Чита: Изд-во ЗабГУ, 2017. Ч. 3. С. 148-154.
16. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Eliseev S.V. Generalized gap function in the dynamic interaction problems of elements of vibrational technological machines with "not holding" ties // Vibroengineering Procedia. Vol. 8: proc. of 22nd International Conference on Vibroengineering (Moscow, Russia, October 4-7th 2016) / Publisher JVE International Ltd. Kaunas (Lithuania), 2016. Р. 495-500.
17. Харламов В.В., Попов Д.И., Литвинов А.В. Совершенствование технологии испытаний асинхронных тяговых двигателей локомотивов. Омск: Изд-во Омского гос. ун-та путей сообщ., 2016. 159 c.
18. Харламов В.В., Шкодун П.К., Долгова А.В., Ахунов Д.А. Совершенствование технологии диагностирования технического состояния коллекторно-щеточного узла тяговых электродвигателей электровозов: монография. Омск: Изд-во Омского гос. ун-та путей сообщения, 2015. 198 с.
19. Елисеев А.В., Артюнин А.И., Ситов И.С. Метод определения условий ненарушения контакта при вибрационных нагружениях с учетом неудерживающих связей // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. 2017. № 1 (53). С. 26-34.
20. Eliseev A.V., Eliseev S.V., Orlenko A.I. Localization of vibration effects: the possibilities of dynamic damping of vibrations // Vibroengineering Procedia. Vol. 13: proc. of 27nd International Conference on Vibroengineering (Katowice, Poland, September 26-28th 2017) / Publisher JVE International Ltd. Kaunas (Lithuania), 2017. Р. 132-135.
21. Елисеев С.В., Резник Ю.Н., Хоменко А.П., Засядко А.А. Динамический синтез в обобщенных задачах виброзащиты и виброизоляции технических объектов. Иркутск: Изд-во ИГУ, 2008. 523 c.
22. Елисеев С.В., Артюнин А.И. Прикладная теория колебаний в задачах динамики линейных механических систем. Новосибирск: Наука, 2016. 459 с.
23. Дружинский И.А. Механические цепи. Л.: Машиностроение, 1977. 240 с.
References
1. Orlenko A.I., Petrov M.N., Teregulov O.A. Kompleksnaya diagnostika tyagovogo elektrodvigatelya elektrovoza [Complex diagnostics of electric locomotive traction motor]. Krasnoyarsk: Krasnoyarsk Institute of Railway Transport - branch of Irkutsk State Transport University Publ., 2016, 218 p. (In Russian).
2. Harlamov V.V. Metody i sredstva diagnostirovaniya tekhnicheskogo sostoyaniya kollektornoshchetochnogo uzla tya-govykh elektrodvigatelei i drugikh kollektornykh mashin postoyannogo toka [Methods and tools for diagnosing the technical condition of the commutator and brush assembly of traction electric motors and other DC commutators]. Omsk: Omsk State Transport University Publ., 2002, 232 p. (In Russian).
3. Avilov V.D. Optimizatsiya kommutatsionnogo processa v kollektornykh elektricheskikh mashinakh postoyannogo toka [Optimization of the switching process in DC commutators]. Omsk: Omsk State Transport University Publ., 2013, 356 p. (In Russian).
4. Karnovsky I.A., Lebed E. Theory of Vibration Protection. Springer International Publishing. Switzerland, 2016, 708 p.
5. Rocard Y. General Dynamics of Vibrations. Paris: Masson, 1949, 458 p.
6. Clarence W. de Silva. Vibration. Fundamentals and Practice. Boca Raton, London, New York, Washington, D.C.: CRC Press, 2000, 957 p.
7. Harris С.М., Сrеdе C.E. Shock and Vibration Handbook. New York: McGraw - Hill Book Со, 2002, 1457 p.
8. Rashid M.H. Power Electronics Handbook. New York: Butterworth-Heinemann, 2018, 1510 p.
9. Blekhman I.I. Teoriya vibratsionnykh protsessov i ustroistv. Vibratsionnaya mekhanika i vibratsionnaya tekhnika [Theory of vibration processes and devices. Vibration mechanics and vibration machinery]. Saint-Petersburg: "Ore and metals" Publ., 2013, 640 p. (In Russian).
10. Panovko G.Ya. Dinamika vibratsionnykh tekhnologicheskikh processov [Dynamics of vibrational technological processes]. Izhevsk: NIC "Regular and chaotic dinamics" Publ., 2006, 176 p. (In Russian).
11. Ismailov Sh.K. Povyshenie resursa izolyatsii elektricheskikh mashin podvizhnogo sostava [Improving the insulation resource of rolling stock electrical machines]. Omsk: Omsk State Transport University Publ., 2007, 390 p. (In Russian).
12. Karasev M.F., Belyaev V.P., Kozlov V.N., Trushkov A.M., Avilov V.D., Eliseev S.V. Optimal'naya kommutatsiya mashin peremennogo toka [Optimal switching of alternating current machines]. Moscow: Transport Publ., 1967, 180 p. (In Russian).
13. Eliseev S.V., Markov K.K. Bezotryvnoe peremeshchenie chastitsy po vibriruyushchemu reshetu pri deistvii sil su-khogo i vyazkogo treniya [Continuous movement of a particle along a vibrating sieve under the action of forces of dry and viscous friction]. Mezhvuzovskii sbornik statei "Issledovaniya po mekhanike deformiruemykh sred" [Interuniversity collection of articles "Studies in deformable media mechanics"]. Irkutsk: Irkutsk politechnical institute Publ., 1976, pp. 189-195. (In Russian).
14. Eliseev A.V., Sel'vinskij V.V., Eliseev S.V. Dinamika vibratsionnykh vzaimodeistvii elementov tekhnologicheskikh sistem s uchetom neuderzhivayushchikh svyazei [Vibrational interaction dynamics of technological system elements with
regard to unilateral constraints]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2015, 332 p. (In Russian).
15. Orlenko A.I., Eliseev A.V. Osobennosti dinamiki kollektorno-shchetochnogo uzla tyagovogo elektrodvigatelya elektrovoza s uchetom neuderzhivayushchikh svyazei [Features of commutator and brush assembly dynamics of the locomotive traction motor taking into account unilateral constraints]. Sbornik statei XVII Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii "Kulaginskie chteniya: tekhnika i tekhnologiiproizvodstvennykh processov [Proceedings of XVII International Scientific and Practical Conference "Kulagin's readings: equipment and technologies of produ ction processes"]. Chita: Transbaikal state university Publ., 2017, part 3, pp. 148-154. (In Russian).
16. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Eliseev S.V. Generalized gap function in the dynamic interaction problems of elements of vibrational technological machines with "not holding" ties. Vibroengineering Procedia. Vol. 8: proc. of 22nd International Conference on Vibroengineering (Moscow, Russia, October 4—7th 2016) / Publisher JVE International Ltd. Kaunas (Lithuania), 2016, pp. 495—500.
17. Harlamov V.V., Popov D.I., Litvinov A.V. Sovershenstvovanie tekhnologii ispytanii asinkhronnykh tyagovykh dvigate-lei lokomotivov [Improvement of testing technology for locomotive induction traction engines]. Omsk: Omsk State Transport University Publ., 2016, 159 p. (In Russian).
18. Harlamov V.V., Shkodun P.K., Dolgova A.V., Ahunov D.A. Sovershenstvovanie tekhnologii diagnostirovaniya tekhnicheskogo sostoyaniya kollektorno-shchetochnogo uzla tyagovykh elektrodvigatelei elektrovozov [Improving diagnosing technology for the technical condition of the commutator and brush assembly of electric locomotive traction motors]. Omsk: Omsk State Transport University Publ., 2015, 198 p. (In Russian).
19. Eliseev A.V., Artyunin A.I., Sitov I.S. Method of determining the contact keeping requirements under vibration loadings with unilateral constraints. Sovremennye tekhnologii. Sistemnyi analiz. Modelirovanie [Modern technologies. System analysis. Modeling]. 2017, no. 1 (53), pp. 26—34. (In Russian).
20. Eliseev A.V., Eliseev S.V., Orlenko A.I. Localization of vibration effects: the possibilities of dynamic damping of vibrations. Vibroengineering Procedia. Vol. 13: proc. of 27nd International Conference on Vibroengineering (Katowice, Poland, September 26—28th 2017) / Publisher JVE International Ltd. Kaunas (Lithuania), 2017, pp. 132—135.
21. Eliseev S.V., Reznik Yu.N., Homenko A.P., Zasyadko A.A. Dinamicheskii sintez v obobshchennykh zadachakh vibro-zashchity i vibroizolyatsii tekhnicheskikh ob"ektov [Dynamic synthesis in generalized problems of vibration protection and vibration insulation of technical objects]. Irkutsk: Irkutsk state university Publ., 2008, 523 p. (In Russian).
22. Eliseev S.V., Artyunin A.I. Prikladnaya teoriya kolebanii v zadachah dinamiki lineinykh mekhanicheskih sistem [Applied theory of oscillations in the problems of linear mechanical system dynamics]. Novosibirsk: Nauka Publ., 2016, 459 p. (In Russian).
23. Druzhinskij I.A. Mekhanicheskie tsepi [Mechanical chains]. Leningrad: Machine-Building Publ., 1977, 240 p. (In Russian).
Критерии авторства
Авторы заявляют о равном участии в получении и оформлении научных результатов и в равной мере несут ответственность за плагиат.
Authorship criteria
The authors declare equal participation in obtaining and formalization of scientific results and bear equal responsibility for plagiarism.
Конфликт интересов
Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Conflict of interests
The authors declare that there is no conflict of interests regarding the publication of this article.
