Особенности математического моделирования древесного полимер-песчаного композита Текст научной статьи по специальности «Строительство и архитектура»

Деревопереработка. Химические технологии

DOI: 10.12737/8462 УДК 539.376: 674.812

ОСОБЕННОСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ДРЕВЕСНОГО ПОЛИМЕР-ПЕСЧАНОГО КОМПОЗИТА

доктор технических наук, доцент Т. Н. Стородубцева1 А. А. Аксомитный1

1 - ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия»,

г. Воронеж, Российская Федерация

На первом этапе развития отечественной лесообрабатывающей промышленности не ставился вопрос об использовании отходов лесопиления. Скорее об их уничтожении, так как эти отходы загромождали территорию вокруг лесозаготовительных предприятий и увеличивали опасность пожара. Не лучше обстоят дела с отходами и на данный момент. Огромное число мелких и средних лесоперерабатывающих производств, которые создаются и ликвидируются на территории Российской Федерации в течение последних двадцати трех лет, окружены неиспользуемыми древесными отходами, объемы которых постоянно увеличиваются. Одним из возможных путей решения данной проблемы является создание новых древесных композитов. В настоящее время практически ни одна научная разработка не обходится без применения современных методов математического моделирования. Это позволяет снизить себестоимость исследования и ускорить получение желаемого результата. В данной статье описана методика моделирования древесного полимер-песчаного композита. Представлена интерфейсная форма ввода исходных данных для моделирования, дифференциальные уравнения, лежащие в основе математической модели. Для решения системы дифференциальных и алгебраических уравнений разработана компьютерная программа "Программа для моделирования структуры и механических свойств древесного полимер-песчаного композита". Программа, разработанная в среде Borland Delphi 7.0 на языке программирования Object Pascal, предназначена для моделирования механического поведения древесного полимерпесчаного композита заданного состава. На данный момент программа реализует испытание образца древесного композита на изгиб, непрерывно выводит на экран компьютера изображение образца и изгибающих пуансонов, а также диаграмму напряжение-деформация. На основании этих данных прогнозируются прочностные характеристики реального древесного композита, в зависимости от количественного состава компонентов.

Ключевые слова: математическое моделирование, древесина, структура, механические свойства.

130

Лесотехнический журнал 4/2014

Деревопереработка. Химические технологии

FEATURES OF MATHEMATICAL MODELING OF WOOD-POLYMER COMPOSITE

SANDY

DSc in Engineering, Associate Professor T. N. Storodubtseva1 A. A. Aksomitny1

1 - FSBEI HPE «Voronezh State Academy of Forestry and Technologies»,

Voronezh, Russian Federation

Abstract

In the first stage of development of domestic timber industry a question about the use of waste lumber was not raised, mostly about it destruction, as these wastes cluttered the area around the logging companies and increased risk of fire. Not better things are with waste materials at the moment. A huge number of small and medium-sized wood-processing industries, which are created and liquidated on the territory of the Russian Federation for the past twenty-three years are surrounded by unused wood waste that is steadily growing. One possible solution to this problem is to create new wood composites. At present, almost no scientific development is complete without the use of modern methods of mathematical modeling. This reduces the cost of research and accelerates getting the desired result. This article describes a technique for modeling of wood polymer-sandy composite. Interface input form of initial data for modeling; differential equations underlying the mathematical model are presented. To solve the system of differential and algebraic equations computer program "Program to simulate the structure and mechanical properties of wood polymer-sandy composite" is developed. The program, developed in the environment of Borland Delphi 7.0, programming language Object Pascal, is intended for modeling the mechanical behavior of wood polymer-sandy composite of given composition. At this moment the program implements a test of the wood composite sample for bending, continuously displays a computer generated image of the sample and the bending punches, and a stress-strain diagram. Based on these data, the strength characteristics of real wood composite are projected, depending on the quantity of components.

Keywords: mathematical modeling, wood, structure, mechanical properties.

Проблема рационального и полного использования отходов лесопиления и деревообработки в качестве вторичного технологического сырья давно приобрела важнейшее значение, и сохраняет свою актуальность до сих пор. Огромное число мелких и средних лесоперерабатывающих производств, которые создаются и ликвидируются на российской территории в течение последних двадцати лет, окружены неиспользуемыми древесными отходами,

объемы которых постоянно увеличиваются. Эти отходы загромождают территорию вокруг лесозаводов и увеличивают опасность пожара. Существует несколько способов утилизации древесных отходов. Наиболее перспективным является использование их в качестве наполнителя в композиционных материалах.

В настоящее время практически ни одна научная разработка не обходится без применения современных методов матема-

Лесотехнический журнал 4/2014

131

Деревопереработка. Химические технологии

тического моделирования. Это позволяет снизить себестоимость исследования и ускорить получение желаемого результата. Для разработки нового древесного композита с заданными свойствами экспериментальным путем необходимо изготовить огромное количество образцов, что является долгим и дорогостоящим процессом [1]. В данной статье описана методика моделирования древесного полимер-песчаного композита.

Структура и механические свойства композиционных материалов чрезвычайно сложны для моделирования из-за необходимости учитывать в модели несколько компонентов и все виды механической связи между ними, форму и взаимное расположение частиц компонентов в материале, распределенную в пространстве внешнюю нагрузку [2]. В настоящей работе поставлена задача: разработать математическую модель структуры и механических свойств древесного-полимер-песчаного композита (ДППК), позволяющую теоретически изучить зависимость прочностных и демпфирующих свойств от параметров исходных компонентов, технологии получения и внешних воздействий. При построении модели используются принципы дискретизация объекта, высокого пространственного разрешения. Кроме того, используются в полной мере вычислительные возможности современных компьютеров [3, 4, 5, 6].

В виду ограничения на объем статьи изложим только основные положения модели. Моделирование структуры и механического поведения ДППК производится методом динамики частиц, который в по-

132

следние десятилетия все чаще применяется в различных отраслях науки и техники [3, 4, 5, 6]. Для того чтобы модель обладала высоким пространственным разрешением моделируемый образец ДППК разбивается на множество (1000-20000) элементов (рис. 1, а). Моделирование производится в двумерном пространстве XZ, при этом элементы имеют одинаковую круговую форму с одинаковым диаметром da. Элементы по своим физическим свойствам делятся на три типа (древесина, полимер, песок). В процессе механических испытаний образца элементы имеют возможность двигаться по законам классической механики, что приводит к изменению формы и механического состояния всего образца. В частности, в модели можно воспроизвести различные виды разрушения материала, механические колебания и волны.

Состояние некоторого /'-го элемента-круга задается четырьмя переменными: декартовыми координатами его центра (xi, Zi) и двумя составляющими скорости (vxi, vzi). Механическое взаимодействие элементов между собой принято вязкоупругим, что позволяет заложить в модель основные механические свойства компонентов материала - модуль упругости, коэффициент внутреннего трения, силу адгезии. В модели учитывается, что между соседними элементами могут возникать силы отталкивания (при внедрении элементов друг в друга) или притяжения (при отдалении сцепленных элементов друг от друга).

Уравнения движения элементов составляются на основе второго закона Ньютона:

Лесотехнический журнал 4/2014

Деревопереработка. Химические технологии

m,

d2 xt ~dtr

Nэ

j=1 j *i

сп (dэ - Г )

(X - X, )

+ kj (rj - d3 )(Vxi - vxj X r < d3 + AdB ;

0, r > d3 +Mb ;

N,H

+ У fbh■

^ / ,rx.ik’

к=1

d2 z

N3

m

dt‘

-=-mg+Z

j=1

j **

C, (dэ - r )

(-- zi)

(1)

+ kj (rj - d3 )(vzi - vzj X < d3 +AdB;

0, Tj > d3 +AdB;

где i - номер элемента;

mi - масса i-го элемента;

xi, zi - декартовы координаты элемента;

t - время;

N - количество элементов; j - номер элемента, возможно контактирующего с i-м элементом;

Cj и kij - коэффициенты жесткости и вязкости взаимодействия элементов i и j;

Tij - расстояние между центрами элементов i и j;

vxi, vzi - декартовы составляющие скорости i-го элемента;

ёЭ + AdB - расстояние ограничения взаимодействия между элементами;

g - ускорение свободного падения; к - номер внешнего объекта, воздействующего на материал (в частности, пуансон при испытаниях);

Ывн - количество внешних воздействующих объектов;

FBazk - декартовы составляющие силы, действующей со стороны к-го внешнего объекта на i-й элемент, рассчитываемые по формулам, соответствующим форме внешнего объекта (прямоугольный и круглый пуансоны, колеса автомобиля и т.д.).

Расстояние Ту между центрами элементов рассчитывается через координаты их центров по теореме Пифагора:

т»=Лх,- х, )2 +(--, - )2 •

N„h

+ У Fm

^ / ,гзк’

к=1

В начальный момент времени элементы случайным образом распределяются в области прямоугольной формы (рис. 1). Для того чтобы первоначально нестабильная механическая система пришла в механическое равновесие, в течение 1 секунды модельного времени производится интегрирование уравнений механического движения элементов. В результате этого элементы формируют плотную упаковку. После этого производится разбиение модельного композита на компоненты в соответствии с заданными концентрациями компонентов Сдр, Спо, Спе. В первую очередь выделяется множество области пространства, представляющие собой древесину. В зависимости от заданного размера и формы древесных фрагментов (опилки, стружки) они представляются определенной комбинацией элементов, в частности, в форме прямоугольника. Затем, в соответствии с заданным составом, оставшиеся элементы разделяются случайным образом на "полимер" и "песок".

Уравнения (1) представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка и решаются в процессе моделирования численным методом - методом Рунге-Кутта второго порядка. Шаг интегрирования системы дифференциальных уравнений составлял At = 0,00025 с.

По общепринятой классификации моделей предлагаемая модель является

т

ij

т

ij

Лесотехнический журнал 4/2014

133

Деревопереработка. Химические технологии

а

б

Рис. 1. Программа для моделирования структуры и механических свойств ДППК: а - вывод на экран результатов компьютерного эксперимента; б - интерфейсная форма ввода исходных данных

алгоритмической, но не аналитической. Это означает, что выходные характеристики модели рассчитываются по входным (рис. 2) не путем аналитических преобразований (это в принципе не возможно из-за сложности моделируемого процесса), а с помощью пространственной и временной дискретизации, и соответствующего алгоритма расчета [7, 8]. Расчет по приведенным выше формулам реализован в двух циклах, вложенных один в другой: по номеру временного шага и по

134

номеру элемента.

В модели используется целый ряд коэффициентов, связанный с дискретизацией среды (разбиением на отдельные элементы шаровой формы): тЭ, da, c, k, AdB. Изложим методику их определения по справочным данным для исходных компонентов. Расчет массы одного элемента среды (древесины, полимера, или песка) тЭ производится с использованием табличного значения плотности материала (рдр, рпо, рпе для древесины,

Лесотехнический журнал 4/2014

Деревопереработка. Химические технологии

Параметры

компонентов

_Х

Едр, Епо, Епе

^др^ ^по, впе

Компонентный

состав

А

' С С С '

др по пе

//1\\

L В Rn Ln vH

V

Параметры испытания на изгиб

Диаграмма

деформация-

напряжение

а(е)

Рис. 2. Входные параметры и выходная характеристика модели (расшифровка переменных в

тексте статьи)

полимера и песка соответственно) и геометрических соображений:

тэ = PV = Р

4л ( d^

3

V 2 у

ф

л

6

^ рЛэкФ,

(2)

где р - объемная плотность материала, кг/м3; V-э - объем элемента, м3; кФ = 1,4 - коэффициент формы, необходимый для учета того, что шарообразные элементы не заполняют пространство полностью (между элементами остаются незаполненные поры), безразмерный.

Для расчета жесткости взаимодействия двух элементов используется табличное значение модуля упругости материала (Едр,

Епгъ Еп<

для древесины, полимера и песка

соответственно) и также геометрические соображения, касающиеся дискретизации: ndг-

' ' (3)

с = Е•

1Э

4

к

ф ,

где Е - модуль упругости материала, Па. Коэффициент вязкого трения к связан

3

c внутренним трением в рассматриваемой среде (вдр, впо, впе для древесины, полимера и песка соответственно), и определяется по справочным значениям расстояния затухания звуковых волн в данной среде. Расстояние обнуления взаимодействия между соседними элементами d-э + AdB рассчитывается по справочным значениям о предельной деформации при испытании образцов материала на растяжение (%,, епо, епе для древесины, полимера и песка соответственно).

Для решения системы дифференциальных и алгебраических уравнений, которая лежит в основе модели, разработана компьютерная программа "Программа для моделирования структуры и механических свойств древесного полимер-песчаного композита". Программа разработана в среде Borland Delphi 7.0 на языке программирования Object Pascal. Программа предназначена для моделирования механического поведения древесного полимер-песчаного композита заданного состава. В окнах главной интерфейсной формы и в тексте программы могут быть заданы концентра-

Лесотехнический журнал 4/2014

135

Деревопереработка. Химические технологии

ции компонентов, их механические свойства, геометрия модельного образца и технология его формирования (рис. 1, б).

В процессе работы программа реализует испытание образца на изгиб, непрерывно выводит на экран компьютера изображение образца и изгибающих пуансонов прямоугольной либо полукруглой формы, а также диаграмму напряжение-деформация (рис. 1, а). Программа позволяет использовать количество элементов композита от 5000 до 20000, при этом ориентировочное время проведения одного компьютерного эксперимента порядка 5 мин (при тактовой частоте процессора 3 ГГ ц).

В процессе компьютерного эксперимента верхний пуансон движется вниз с заданной скоростью (тн = 0,3 м/с), при этом модельный образец ДППК опирается на два нижних пуансона, расположенных на расстоянии Гп (рис. 3). Пуансоны имеют рабочие поверхности круговой формы (с радиусом R), что соответствует их цилиндрической форме при реальных испытаниях в трехмерном пространстве. Соотношение длины к ширине образца составляет L : B = 5 : 1.

Выходными характеристиками модели (рис. 2) являются диаграмма деформация-напряжение о(е) и определяемые по диаграмме предел прочности на изгиб оп и предельная деформация, после которой наступает разрушение образца материала 8п. Для определения функции о(8) в процессе компьютерного эксперимента регулярно определяются текущие значения относительной деформации 8 и напряжения а: z, - z„ - В - 2R

s = --

L.

(4)

136

к ^

О = f I <

Ln i=1

С ((R + d3 )-V(- zi )2 + X )-

-кг (\), <

< R + d3 ;

(5)

0 V(- Z )2 + X2 - R + d

п3

где и 2пн - вертикальные координаты центров верхнего и нижнего пуансонов;

ка - коэффициент пересчета от двух к трем измерениям и учета геометрических параметров испытания на изигб.

По функции а(8) определяются предельные характеристики материала ап и 8п следующим образом.

а„ = max a(s); sn =s

=max a(s)*

а

(6)

Так как ДППК со значительным содержанием древесины и песка не обладает выраженной пластичностью, на диаграмме деформация-напряжение отсутствует участки текучести, и параметры ап, 8п исчерпывающим образом задают особенности функции а(8).

В процессе механических испытаний по мере изгиба образец сначала деформируется без разрушения (рис. 3, а, б). При этом на диаграмме "деформация-напряжение" наблюдается практически линейный рост зависимости а(8) (рис. 4). Отклонение от линейного закона на зависимости а(8) в начальном участке (8 < 0,003) связано с тем, что пуансон в модели двигается с высокой скоростью и происходит динамичное касание образца. Высокая скорость движения пуансона в оценочных компьютерных экспериментах позволила сократить их длительность, однако для будущих расчетов будет использоваться существенно меньшая скорость с целью обеспечения режима ква-

Лесотехнический журнал 4/2014

Деревопереработка. Химические технологии

Рис. 3. Моделирование испытания ДППК на изгиб: а - исходный образец; б - начало изгиба образца; в - появление трещины; г - распространение трещины; д - разделение образца на две части

напряжение” при моделировании испытания образца ДППК на изгиб

зистатического нагружения.

При определенной деформации образца в его нижней части появляется тре-

щина (рис. 3, в), которая быстро распространяется по всей толщине образца (рис. 3, г, д). При этом напряжение на графике g(s) быстро спадает (рис. 4, 8 ~ 0,01). При дальнейшей деформации происходит постепенное разрушение оставшихся связей между частями образца, вследствие чего напряжение не спадает до нуля, а остается на уровне 3-7 МПа.

По максимуму графика а(8) может быть определен предел прочности образца в испытаниях на изгиб, на растяжение, на сжатие. В данном случае предел прочности составляет около 35 МПа. По характеру роста напряжения также можно судить о механических свойствах материала (линейная упругость, текучесть). Перечисленные механические свойства, по-видимому, существенно зависят от компонентного состава образца, и с помощью модели можно подобрать такие составы ДППК при которых материал будет иметь высокую прочность, либо линейную упругость, либо высокие демпфирующие свойства.

Разработанная модель позволяет изучить влияние большого количества параметров исходных компонентов, технологии получения композита, параметров внешних воздействий на прочностные и демпфирующие свойства. Такое теоретическое исследование целесообразно проводить на основе нескольких серий компьютерных экспериментов, в пределах которых изменяются поочередно каждый из входных параметров модели, и рассчитывается показатели прочности и демпфирования.

Таким образом, разработана математическая модель структуры древесного по-

Лесотехнический журнал 4/2014

137

Деревопереработка. Химические технологии

лимер-песчаного композита, позволяющая имитировать его механическое поведение, и на основе этого изучить зависимость прочностных и демпфирующих свойств от параметров исходных компонентов, техно-

логии получения и внешних воздействий. Изучены стадии разрушения образца ДППК при приложении изгибающих напряжений.

Библиографический список

1. Стордубцева, Т. Н. Процесс изменения механических характеристик элементов композита в зависимости от температуры [Текст] / Т. Н. Стородубцева, Э. А. Черников, А. И. Томилин, А.А. Аксомитный // Лесотехнический журнал. - 2013. - № 3 (11). - С. 103-108.

2. Стордубцева, Т. Н. Результаты исследования прочностных характеристик древесных композиционных материалов [Текст] : деп. рукопись / Т. Н. Стородубцева, А. А. Аксомитный. - Воронеж, 2014. - 33 с. Деп. в ВИНИТИ 22.10.2014, № 286-В2014.

3. Мышкис, А. Д. Элементы теории математических моделей [Текст] / А. Д. Мышкис. - Москва, 2007. - 192 с.

4. Allen, M. P. Computer Simulation of Liquids [Текст] / M. P. Allen, D. J. Tildesley. - Oxford: Clarendon Press, 1987. - 408 p.

5. Гулд, Х. Компьютерное моделирование в физике [Текст] / Х. Гулд, Я. Тобочник. -М. : Мир, 1990. - 400 с.

6. Линник, Ю. В. Метод наименьших квадратов и основы математико-статистической теории обработки наблюдений [Текст] / Ю. В. Линник. - М. : ГИФМЛ, 1958. - 333 с.

7. Адамов, В. Е. Статистика промышленности [Текст] : учеб. пособие / В. Е. Адамов,

Э. В. Вергилес. - М. : Финансы и статистика, 2005. - 326 с.

8. Афифи, А. Статистический анализ: Подход с использованием ЭВМ [Текст] / А. Афифи, С. Эйзен. - М. : Мир, 1982. - 488 с.

References

1. Starodubtseva T.N., Chernikov E.A., Tomilin A.I., Aksomity A.A. Process izmenenija me-hanicheskih harakteristik jelementov kompozita v zavisimosti ot temperatury [The process of changing the mechanical characteristics of the elements of the composite, depending on the temperature]. Lesotekhnicheskii zhurnal, 2013, no. 3 (11), pp. 103-108. (In Russian).

2. Starodubtseva T.N., Aksomity A.A. Rezul'taty issledovanijaprochnostnyh harakteristik dreves-nyh kompozicionnyh materialov [The results of the study the strength characteristics of the trees were of composite materials]. Voronezh, 2014, 33 p. Dept. in VINITI 22.10.2014, no. 286-W. (In Russian).

3. Myshkis A.D. Jelementy teorii matematicheskih modelej [Elements of the theory of mathematical models]. Moscow, 2007, 192 p. (In Russian).

4. Allen M.P., Tildesley, D.J. Computer Simulation of Liquids. Oxford: Clarendon Press, 1987, 408 p.

138

Лесотехнический журнал 4/2014

Деревопереработка. Химические технологии

5. Gould H., Tobochnik J. Komp'juternoe modelirovanie v fizike [Computer simulation in physics]. Moscow, 1990, 400 p. (In Russian).

6. Linnik Y.C. Metod naimen'shih kvadratov i osnovy matematiko-statisticheskoj teorii obra-botki nabljudenij [Method of least squares and the foundations of mathematics-statistics theory processing observations]. Moscow, 1958, 333 p. (In Russian).

7. Adams C.E., Vergeles E.C. Statistikapromyshlennosti [Industry Statistics]. Moscow, 2005, 326 p. (In Russian).

8. Afife A., Eisen S. Statisticheskij analiz : Podhod s ispol'zovaniem JeVM [Statistical analysis : an Approach using computer]. Moscow, 1982, 488 p. (In Russian).

Сведения об авторах

Стородубцева Тамара Никаноровна - профессор кафедры промышленного транспорта, строительства и геодезии, ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия», доктор технических наук, доцент, Воронеж, Российская Федерация; e-mail: tama-ra-tns@yandex.ru.

Аксомитный Алексей Андреевич - аспирант кафедры промышленного транспорта, строительства и геодезии, ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия», г. Воронеж, Российская Федерация; e-mail: tamara-tns@yandex.ru.

Information about authors

Storodubtseva Tamara Nikanorovna - Professor of Department of Industrial Transport, Civil Engineering and Geodesy of FSBEI HPE «Voronezh State Academy of Forestry and Technologies», DSc in Engineering, Associate Professor, Voronezh, Russian Federation; e-mail: tamara-tns@yandex.ru.

Aksomitny Aleksey Andreevich - Post-graduate student of Department of Industrial Transport, Civil Engineering and Geodesy of FSBEI HPE «Voronezh State Academy of Forestry and Technologies», Voronezh, Russian Federation; e-mail: tamara-tns@yandex.ru.

Лесотехнический журнал 4/2014

139