Особенности ЭГД-течений при униполярной инжекции в системе электродов провод-плоскость Текст научной статьи по специальности «Физика»

Сер. 4. 2009. Вып. 2

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

УДК 532.5+537.571

И. А. Елагин, Ю. К. Стишков

ОСОБЕННОСТИ ЭГД-ТЕЧЕНИЙ ПРИ УНИПОЛЯРНОЙ ИНЖЕКЦИИ В СИСТЕМЕ ЭЛЕКТРОДОВ ПРОВОД-ПЛОСКОСТЬ

Введение. В последнее время большое внимание уделяется электрическим и магнитным свойствам жидкостей. В частности, большой интерес представляют электро-гидродинамические явления, при которых электрическая энергия превращается в механическую энергию жидкости. Часто рассматриваются так называемые ЭГД-насосы, в которых рабочая жидкость перекачивается с помощью подачи на электроды разных потенциалов. Наряду с экспериментальными исследованиями важно проводить численное моделирование ЭГД-процессов для того, чтобы заранее иметь представление о том, к чему приведут те или иные конфигурация электродов, свойства жидкости и т. д., не затрачивая при этом больших усилий для создания возможно бесполезного экспериментального устройства. Ввиду того, что в уравнениях ЭГД все переменные (электрическое поле, заряд, ток, скорость, давление и т. д.) зависят друг от друга, их решение довольно затруднительно, а возникающие эффекты, наблюдаемые экспериментально, очень интересны и нуждаются в теоретическом описании. С возникновением достаточно мощной компьютерной техники появилась возможность моделирования реальных геометрических объектов и с довольно сложными постановками задач (уравнения, граничные условия). Для возникновения ЭГД-течения необходима большая разность потенциалов (десятки кВ) и высокая локальная неоднородность электрического поля в области электрода. Поэтому часто используются электроды в виде тонкого провода, острия или иглы, они создают высоконеоднородные поля, вызывающие инжекцию заряженных частиц с электрода. После образования заряда в жидкости на него начинают действовать кулоновские силы, а так как среда обладает свойством текучести, то она приходит в движение из-за образования сольватной оболочки из рабочей жидкости вокруг заряженных частиц. За дальнейшее распространение заряда в большей степени отвечает уже гидродинамическая составляющая процесса, так как скорость жидкости (по результатам экспериментов) значительно превосходит электрические скорости заряженных частиц [1].

Теория и упрощённые методы расчётов. Ниже приводится полная система уравнений, описывающих ЭГД-течения. Уравнение (1) - закон сохранения заряда с учётом миграционной, диффузионной и конвективной составляющих для тока, (2) - уравнение Остроградского-Гаусса, (3) - уравнение связи потенциала и напряжённости электрического поля, (4) - уравнение Навье-Стокса, (5) - уравнение неразрывности (в случае несжимаемой жидкости):

(1)

££о &у(-Уф) = р;

(2)

© И. А. Елагин, Ю. К. Стишков, 2009

Е = -Уф;

(3)

УР + пЛи + рЕ;

(4)

ё1уи = 0.

(5)

Здесь р - плотность объёмного заряда, ] - функция источника, Ь - подвижность, Б - коэффициент электрической диффузии, е - диэлектрическая проницаемость жидкости, £о - диэлектрическая проницаемость вакуума, Е - напряжённость электрического поля, ф - электрический потенциал, Р - давление, и - скорость, у - плотность, П - вязкость.

В первом уравнении на распространение заряда, кроме самой искомой функции этого уравнения (плотность заряда), влияют также искомые функции других уравнений. Миграционная составляющая (рЬЕ) включает в себя напряжённость электрического поля, которая определяется из уравнения Остроградского-Гаусса, а напряжённость, в свою очередь, зависит от объёмного заряда. Конвективная составляющая тока зависит от скорости движения жидкости, которая рассчитывается по уравнению На-вье-Стокса с учётом распределения и заряда, и напряжённости поля. Налицо высокая нелинейность системы, которая до настоящего времени не позволяла честно её посчитать.

Расчёт ЭГД-течений не реализован ни в одной доступной программе, поэтому был написан ряд упрощённых алгоритмов, использующих некоторые приближения. В различных конечно-элементных программах встроенными функциями можно довольно просто рассчитать задачи электростатики с чётко определённой правой частью (когда явно задана заряженная область) и гидродинамики с явно определённой силой. Т. е. по отдельности можно решать уравнения (2) и (4). Основным вопросом является рациональный выбор области локализации движущих кулоновских сил, носящих объёмный характер. Если знать это распределение (например, для статического случая для определённой системы электродов), то можно не рассчитывать уравнение (1), которое является самым сложным. При этом остаются два связанных уравнения, и эту связь можно учесть вручную. По известным распределению заряда и граничным условиям рассчитывается распределение напряжённости электрического поля, после этого в гидродинамическое уравнение подставляется произведение известного заряда на рассчитанную напряжённость поля. В системе электродов провод-плоскость можно с достаточной степенью уверенности сделать предположение о локализации объёмного заряда: вокруг цилиндрического электрода формируется заряженная область, причем инжекция в начальный момент времени происходит более интенсивно в нижней части электрода, так как напряжённость поля там выше. Это кольцо должно начать расширяться за счёт миграционного и диффузионного членов в уравнении Нернста-Планка. При этом на жидкость начинает действовать кулоновская сила, суммарное действие которой будет направлено к плоскому электроду, так как большая часть силы будет сконцентрирована в нижней части цилиндрического электрода и направлена по силовым линиям поля к плоскому электроду. За счёт неразрывности жидкости она начнет обтекать цилиндрический электрод, образуя поток, направленный к плоскому электроду. Через какой-то промежуток времени (достаточно малый) скорость жидкости увеличится настолько (по результатам экспериментов), что превзойдёт миграционную составляющую

в уравнении для тока и станет определяющей при распространении заряда, после этого дальнейшего расширения приэлектродного слоя уже не происходит. На этом этапе делается основное предположение, используемое при большинстве численных расчётов ЭГД-течений: так как электрическое число Рейнольдса (отношение конвективной скорости к миграционной) намного больше 1, заряд считается вмороженным в жидкость, т. е. перемещается вместе с ней не растекаясь в стороны (все остальные составляющие тока малы). Это условие неприменимо лишь в узких приэлектродных областях, где число Рейнольдса меньше 1, поэтому данные области детально не рассматриваются.

Используя сделанные выше предположения, были реализованы несколько алгоритмов расчёта ЭГД-течений для систем электродов провод-плоскость и провод-провод. В самом простом случае, используя приведённые выше предположения, для системы электродов провод-плоскость задавалась заряженная полоска от цилиндрического к плоскому и рассчитывалась электростатика, а далее, гидродинамика под действием силы, действующей в этой полоске [2]. Параметры заряженной области, ширина, длина, функция распределения заряда вдоль и поперёк полоски, варьировались. Получающиеся гидродинамические течения сравнивались с результатами эксперимента, и при некоторых параметрах было обнаружено определённое сходство, что говорит о правдоподобности сделанных предположений.

Для приближения этого алгоритма к реальности вдобавок к описанным действиям был добавлен алгоритм изменения заряженной области под действием гидродинамического течения (т. е. некая обратная связь) [3]. Данная задача рассматривалась на примере конфигурации электродов провод-провод. Из области возникновения заряда у положительного и отрицательного электродов строились линии тока жидкости, исходящие из краёв заряженных колец у электродов (задавалось вручную) и ограничивающие заряженную струю. Границы заданной изначально вручную заряженной области смещались к этим крайним линиям, далее снова рассчитывалась электростатика (так как она меняется с изменением распределения заряда), затем гидродинамика с изменённой областью действия сил. И за несколько итераций задача сходилась к какому-то определённому виду заряженных струй. Однако здесь, как и в первом алгоритме, всё ещё не учитывалось уравнение Нернста-Планка.

Также был разработан нестационарный алгоритм развития ЭГД-течений (в системе электродов провод-провод) [4]. На первом шаге делалось предположение о начальном распределении заряда в виде колец вокруг электродов, смещённых к противоположному электроду. После расчёта электростатической задачи с таким распределением заряда по старой схеме сила переносилась в гидродинамическую задачу, где рассчитывалось поле скоростей для такого распределения заряда за малый промежуток времени. Затем по линиям тока (используя опять предположение о вмороженности заряда) рассчитывалось смещение заряда вдоль этих линий за малое время (чем меньше время, тем точнее расчёт). Далее с новой областью рассчитывалась электростатика, организовывался итеративный процесс по расчёту удлинения заряженной области с соответствующим изменением гидродинамического поля. Здесь учёт уравнения (1) происходил вручную и только для конвективной составляющей тока. Однако оставался вопрос с возникновением заряда у электродов, так как оно учитывалось только при определении начального распределения заряда, а дальше считалось, что сколько заряда добавляется на каждой итерации, столько и поступает в жидкость через границы электродов. Такое предположение имеет право на существование, так как при оттоке заряда от электрода уменьшается его концентрация, а, следовательно, происходит повышение напряжённости электрического поля, что приводит к увеличению инжекции заряда (т. е. заряд

интенсивнее восполняется). Таким образом, происходит саморегуляция инжекции заряда.

Наконец, недавно нами был реализован алгоритм честного расчёта полной системы уравнений (1)-(5) в программном комплексе COMSOL. В нём есть возможность рассчитывать сразу несколько уравнений при решении задачи. В нашем случае использовались в явном виде три уравнения (1), (2) и (4). Чтобы связать их между собой, в правой части уравнения Остроградского-Гаусса использовалась встроенная переменная, отвечающая за плотность заряда в уравнении Нернста-Планка. В этом уравнении, в свою очередь, подставлялись встроенные функции, отвечающие за градиент потенциала (миграционный член) и за скорость жидкости (конвективный член). В уравнении На-вье-Стокса в правой части в качестве действующей силы использовалось произведение плотности заряда и градиента потенциала из первых двух уравнений, при этом уравнение неразрывности (с учётом несжимаемости) учитывалось автоматически. При этом оказывается, что все уравнения связаны между собой и полностью описывают ЭГД-процесс в кювете. Остаётся вопрос с граничными условиями, которые несложно подобрать для уравнений электростатики (например, потенциалы на электродах и условие непроникновения поля на остальных границах кюветы) и гидродинамики (например, прилипание на всех границах). Для уравнения Нернста-Планка с граничными условиями на электродах возникает проблема. Основным условием является возникновение заряда на границе цилиндрического электрода (для геометрии провод-плоскость, которая будет рассматриваться ниже). В COMSOL в качестве источника заряда на границе можно задавать ток через поверхность, а он, в реальности, сильно зависит от напряжённости электрического поля. В нашем случае по цилиндру напряжённость поля распределена неравномерно по электроду, поэтому и ток нужно задавать неравномерным, при этом, при возникновении заряда поле будет меняться, что опять же необходимо учитывать при задании тока. Для этого в качестве граничного тока можно использовать зависимость его от напряжённости поля, вот здесь и возникает вопрос, какую зависимость использовать, так как экспериментальных данных мало, и для разных материалов электродов и свойств рабочей жидкости зависимости будут разные. Здесь можно пойти тем же путём сравнения получающихся гидродинамических течений с экспериментальными течениями, да и моделирование как раз и проводится для того, чтобы определить недостающие параметры, которые не удаётся получить из эксперимента. В данной статье не исследуются особенности входящего тока, для простоты задаётся постоянная инжекция с нижней половины цилиндрического электрода, что незначительно влияет на характер получающихся течений (в сравнении с заданием тока на всей поверхности электрода и использованием разумных зависимостей). При этом остаётся вопрос о выборе величины тока. Как показали компьютерные эксперименты, диапазон значений тока должен лежать в довольно узком диапазоне для получения правдоподобной устойчивой картины, схожей с реально наблюдаемым явлением.

Результаты решения полной системы ЭГД-уравнений в системе электродов провод-плоскость. Постановка задачи. Рассматривается кювета размерами 30 х 20 мм (задача рассчитывается в двумерной постановке, размер кюветы по третьему направлению вдоль провода считается много большим по сравнению с поперечным сечением), заполненная трансформаторным маслом со следующими свойствами: относительная диэлектрическая проницаемость 2,2, электрическая подвижность 10~8 м2/В-с, коэффициент диффузии 25 • 10~8 м2/с, плотность 800 кг/м3, динамическая вязкость 0,02 Па-с. Здесь необходимо отметить, что подвижность задаётся для случая, когда в трансформаторное масло включено небольшое количество примесей (например,

Рис. 1. Геометрия модели, сетка и линии начальной напряжённости электрического поля слева направо, соответственно

бутанол), увеличивающих его электрические свойства. Коэффициент диффузии задаётся несколько завышенным (что не влияет на характерный вид решения) ввиду возникновения больших градиентов плотности заряда при реальной диффузии, скорость которой очень мала по сравнению со скоростью миграции.

На рис. 1 приводится геометрия рассматриваемой модели (её правая половина, модель симметрична). В центре кюветы расположен цилиндрический электрод 1 радиуса

0,5 мм, плоский электрод 2 находится снизу. На электроды задаются потенциалы 10 кВ и 0 В, соответственно, на линях 4 условия Неймана (граничные условия для уравнения Остроградского-Гаусса). На центральную ось накладываются условия симметрии для всех уравнений. Для уравнения Нернста-Планка используется условие постоянного входящего потока заряженных положительных частиц с нижней половины цилиндрического электрода (ток инжекции 0,3 мА/м2). У плоского электрода задаётся уходящий поток заряженных частиц, который уменьшает концентрацию заряженных частиц практически до нуля в узкой приэлектродной области. На внешних стенках 4 используется условие изоляции (т. е. поток частиц через них проходить не может). Для уравнения Навье-Стокса кроме центральной оси все линии являются непроницаемыми стенками с условием прилипания. Также на рис. 2 приводится пример конечноэлементного разбиения модели у цилиндрического электрода. Видно, что она построена структурированной с маленьким размером элемента в областях максимальных предполагаемых градиентов плотности заряда.

Обзор результатов. В результате совместного решения описанных выше уравнений получаются следующие картины распределения плотности заряда для разных моментов времени (рис. 1, снизу картинки ограничены плоскостью электрода). Из графиков видно, что за короткое время у электрода образуется некая заряженная область, конфигурация которой зависит от начального распределения напряжённости электрического поля. Заряженные частицы возникают на нижней половине электрода (по граничным условиям), затем под действием электрического поля (миграционный член в уравнении Нернста-Планка), линии которого представлены на рис. 1, они смещаются перпендикулярно поверхности электрода; диффузия также оказывает влияние на распространение заряда, однако скорость её мала. Как только заряд возник в жидкости, появляется кулоновская сила, направленная также по силовым

Рис. 2. Контурные графики распределения плотности заряда в моменты времени 0,02, 0,07, 0,15, 1 с слева направо, соответственно

Рис. 3. Контурные графики распределения скоростей в моменты времени 0,02, 0,07,

0,15, 1 с слева направо, соответственно

линиям электрического поля, а так как поле максимально в нижней точке цилиндрического электрода (около 5 МВ/м), то основной компонентой силы будет вертикальная

Рис. 4. Линии тока заряженных частиц (слева) и линии тока жидкости (справа)

составляющая, направленная к плоскому электроду. На рис. 3 видно, что в начальный момент времени образуются пристеночные слои у электрода, затем скорость жидкости увеличивается настолько, что её величина в этих боковых слоях превосходит миграционную составляющую, и заряд начинает двигаться в основном за счёт конвективного члена (заряженное кольцо перестает расширяться). В результате образуется узкая заряженная струя, которая распространяется к плоскому электроду, процесс в итоге выходит в установившийся режим за несколько десятых долей секунды. У плоского электрода заряд полностью гибнет, в месте встречи струи с электродом образуется область повышенного давления, за счёт этого струя расходится в стороны от центральной оси, унося при этом и заряд, который не успел исчезнуть, находясь не очень близко у плоского электрода. Однако при этом продолжает действовать и миграционная часть тока, которая смещает заряд к плоскому электроду, несмотря на то, что движения гидродинамической струи ему параллельно (можно наблюдать по линиям тока жидкости и заряженных ионов на рис. 4). Максимальная плотность заряда в данном случае достигает 7 • 10-3 Кл/м3 у цилиндрического электрода, максимум скорости около 0,12 м/с в центре межэлектродного промежутка.

Видно, что максимум заряда находится у цилиндрического электрода, а далее происходит слабое уменьшение заряда в основном за счёт диффузии, которая отвечает за распространение заряда поперёк центральной струи. При этом у цилиндрического электрода одноимённый заряд снижает электрическое поле, а у плоского электрода - повышает. Однако изменение поля не очень значительное (около 10 % у поверхности цилиндрического поля). Влияние заряда на электрическое поле будет усиливаться при увеличении тока на электроде, однако при этом начнётся изменение и гидродинамических характеристик течения, а также при этом будет уже необходимо учитывать зависимость инжекции от электрического поля.

На графиках распределения скоростей видны характерные области, которые наблюдаются и в эксперименте: зона ускорения у цилиндрического электрода, зона параллельноструйного движения жидкости с равномерной скоростью и зона торможения у плоского электрода. При этом поперёк струи происходит затухание скорости за счёт действия вязких сил. По величине скорости близки к наблюдаемым в эксперименте.

Рассмотрим распределения характерных величин для установившегося процесса (в момент времени 1 с). На рис. 4 приведены линии полного тока, т. е. пути заряженных частиц от цилиндрического электрода к плоскому. Видно, что они выходят из цилиндрического электрода перпендикулярно его поверхности (за счёт миграционного члена, у самой поверхности работает условие прилипания жидкости, поэтому скорость там мала). По мере радиального распространения увеличивается гидродинамическая скорость, которая направлена преимущественно вниз, поэтому линии тока загибаются, формируя узкую центральную струю (что видно и на рисунках, приведённых выше). Ширина этой струи зависит (при постоянных гидродинамических свойствах) от величины тока с поверхности электрода (описано ниже). Также здесь будут влиять электрические свойства жидкости, при увеличении подвижности ионов будет увеличиваться их миграционная скорость, а, следовательно, увеличится ширина заряженного полукольца у поверхности электрода и ширина самой струи, так как увеличится нормальная компонента скорости у поверхности цилиндрического электрода. У плоского электрода опять получается расхождение направлений миграционного и конвективного токов. Конвекция стремится нести заряд вдоль электрода, а миграция одновременно с этим устремляет заряд к электроду, хоть и с меньшей скоростью, поэтому большая часть заряда не уносится обратным потоком жидкости в середину кюветы, а гибнет всё-таки на плоском электроде.

Далее приводятся графики различных составляющих полного тока. Как видно, максимальный миграционный ток (0,3 мА/м2, что соответствует току с границы цилиндрического электрода) наблюдается у поверхности цилиндрического электрода, что объясняется большой величиной электрического поля. Диффузионный ток преобладает на границе струи, что и понятно, так как там находится область максимальных градиентов плотности заряда. Его величина не превосходит 0,02 мА/м2, т. е. как и говорилось выше, он мал. Максимальный же конвективный ток сосредоточен в центре межэлек-тродного промежутка, так как там скорость достигает своего наивысшего значения. При этом его величина достигает значений 0,7 мА/м2 в центре струи, где миграционный члена равен примерно 0,05 мА/м2.

Электрическое число Рейнольдса на большей части межэлектродного промежутка больше 1 (в центральной струе достигает значения 16). При этом в центральной струе направления обеих составляющих совпадают, а сбоку цилиндрического электрода и у плоского электрода отличаются. Таким образом в центральной струе хорошо выполняется предположение о вмороженности заряда, которое использовалось в упрощённых методах расчёта ЭГД-течений.

В эксперименте проще всего наблюдать и обрабатывать гидродинамические величины, например, скорость. По этим параметрам можно попытаться определить распределение заряженных ионов (которое очень сложно получить из эксперимента), сравнивая гидродинамические параметры в эксперименте и при моделировании. Также при моделировании довольно прозрачно прослеживается связь между всеми параметрами, можно исследовать их влияние друг на друга. На рис. 5 приводится поперечный градиент продольной составляющей скорости и поперечное распределение плотности заряда в середине межэлектродного промежутка. Видно, что максимум градиента скорости

Рис. 5. Контурные графики токов в районе цилиндрического электрода (слева

направо):

миграционный, диффузионный, конвективный

совпадает с границей заряженной струи. Это можно объяснить следующим образом: сила действует на жидкость только в объёме струи, где есть заряд, здесь жидкость ускоряется, далее в поперечном направлении действуют только вязкие силы, и скорость затухает, что и наблюдается на графике градиента. Отсюда видно, что по распределению скорости можно определить ширину заряженной струи.

Также на рис. 6 приводятся результаты компьютерных экспериментов для различной величины тока на цилиндрическом электроде. Видно, что наряду с возрастанием плотности заряда происходит сужение струи (что ещё больше увеличивает эту плотность). При этом скорость течения растёт из-за увеличения значения плотности действия объёмных сил (хотя область действия сил уменьшается из-за утончения заряженной области).

Выводы. Таким образом, был реализован алгоритм расчёта полной системы ЭГД-уравнений для двухмерного случая в системе электродов провод-плоскость. Получены данные о распределении заряда и скоростей в переходном процессе. Решение показывает, что ранее сделанные предположения и упрощённые алгоритмы вполне имеют право на существование, их результаты при определённых параметрах неплохо согласуются с результатами решения полной системы и с экспериментами. Если раньше при использовании упрощённых методов приходилось делать полуинтуитивные предположения о локализации заряда в объёме жидкости (исходя из экспериментальных данных о течении), то теперь распределение заряда в различные моменты времени можно получать автоматически, зная лишь функцию источника на электроде. В нашем случае вокруг цилиндрического электрода формируется заряженная область (при заданных граничных условиях - полукольцо), ширина которой зависит от электрических параметров жидкости, например, от подвижности ионов. Далее формируется узкая

в г

Рис. 6. Поперечное распределение заряда (а) и поперечный градиент продольной составляющей скорости (б) в середине центральной струи в той же области, а также распределение заряда поперёк струи (в) и скорости вдоль струи (г) для различных величин инжекции на цилиндрическом электроде:

сплошная линия соответствует 10 мА/м2, прерывистая — 0,3 мА/м2, прерывистая с точками — 0,1 мА/м2; величины на осях приведены с точностью до множителя 10_3

заряженная центральная струя, ширина которой может варьироваться в зависимости от свойств рабочей жидкости и интенсивности инжекции с электрода. У плоского электрода заряд быстро исчезает за счёт граничных условий. При этом хорошо прослеживаются области, где преобладает тот или иной способ переноса заряда: миграционный в приэлектродных областях и конвективный в межэлектродном промежутке. Характер течений оказывается схожим с наблюдаемым в экспериментах. У цилиндрического электрода находится зона ускорения жидкости, далее следует область равномерного течения, а у плоского электрода происходит торможение жидкости и образование зоны повышенного давления, расталкивающей струю в стороны.

Литература

1. Стишков Ю. К., Остапенко А. А. Электрогидродинамические течения в жидких диэлектриках. Л., 1989.

2. Stishkov Yu. K., Buyanov A. V., Lazarev A. S. Simulation of the electrohydrodynamic flow pattern in an asymmetric system of electrodes // Technical Physics. 2005. Vol. 50. N 5. P. 576-581.

3. Glushchenko P. V., Stishkov Y. K. Modeling of the through EHD-flow structure in a wire-wire system // Surface Engineering and Applied Electrochemistry, Allerton Press, 2007. Vol. 43. N 4. P. 257-264.

4. Stishkov Yu. K., Elagin I. A. Simulation of nonstationary electrohydrodynamic flows in a symmetric system of electrodes of the wire-wire type // Technical Physics. 2005. Vol. 50. N 9. P. 1119-1123.

npHHSTO k ny6aHKa^H 8 geKa6pa 2008 r.