CC BY
34
УДК 629.4
Ю. В. Чернышева
ОСОБЕННОСТИ ДВИЖЕНИЯ ГРУЗОВОГО ПОЕЗДА С ДВИГАТЕЛЯМИ ОГРАНИЧЕННОЙ МОЩНОСТИ ПРИ РЕЗОНАНСНЫХ КОЛЕБАНИЯХ ВАГОНОВ
Дата поступления: 08.11.2017 Решение о публикации: 15.11.2017
Аннотация
Цель: Исследование влияния колебаний вагонов в вертикальной плоскости при движении по неровностям пути на скорость и ускорение поезда с локомотивом, имеющим двигатели ограниченной мощности. Методы: Применены законы теоретической механики, правила тяговых расчетов. Результаты: Составлены уравнения динамики колебаний вагонов при взаимодействии их с локомотивом. Представлена расчетная схема состава, совершающего горизонтальные и вертикальные перемещения. Построены графические зависимости вертикальных перемещений центра масс вагона в вертикальной плоскости от времени движения, продольного ускорения поезда от времени движения, зависимость скорости поезда от времени движения при различных длинах неровностей пути. Практическая значимость: На основе полученных зависимостей возможно установить скорость движения вагона, при которой возникает резонанс, а следовательно, увеличение расхода энергии локомотива. Уменьшение влияния колебаний вагонов в вертикальной плоскости при движении по неровностям пути на скорость и ускорение поезда облегчит ведение длинносоставных поездов, а также проблему ведения поезда локомотивом с ограниченной мощностью. Результаты аналитических исследований могут быть применены при разработке рекомендаций по работе с дорезонансной или послерезонансной скоростью, а также при проектировании новых вагонов с высокими динамическими показателями.
Ключевые слова: Вертикальные колебания, динамика вагона, ограниченная мощность, резонансная скорость, скорость и ускорение поезда.
*Julia V. Chernysheva, senior lecturer, [email protected] (Emperor Alexander I St. Petersburg State Transport University) THE SPECIFICITIES OF FREIGHT TRAIN OPERATION WITH RESTRICTED POWER ENGINES IN CASE OF RESONANT OSCILLATIONS OF CARS
Summary
Objective: To study the influence of oscillations of cars in the vertical plane when moving along the track with a rough shape surface on the speed and acceleration of a train with a locomotive having restricted power engines. Methods: The laws of engineering mechanics and the rules of grade computations were applied. Results: The equations of dynamics of oscillations of cars were composed in the process of their interaction with a locomotive. A design model of a train, performing horizontal and vertical movement, was presented. Characteristic curves of center of mass of car vertical movements in a vertical plane were constructed, as well as forward acceleration of a train and train speed curves depending on travel time, in case of track irregularity of different length. Practical importance: On the basis of the obtained graphs, it was possible to determine the train speed at which the resonance occurs and, therefore, the increase in locomotive energy consumption. Minimization of car oscillations influence in the vertical
plane on the speed and train acceleration when moving along the track with a rough shape surface will simplify the process of driving long trains, as well as the problem of driving the train with a restricted power locomotive. The results of the analytical study may be applied in the development of instructions for use in the sphere of the speed before and after the resonance, as well as the design of new cars with high dynamic indices.
Keywords: Heaving oscillations, dynamics of a car, restricted power, resonant speed, train speed and the rate of acceleration.
Введение
Железнодорожный транспорт - один из крупнейших потребителей энергоресурсов, поэтому снижение количества используемого топлива и электроэнергии является важнейшей задачей для повышения его конкурентоспособности и дальнейшего развития. В последнее время в России ведутся работы, направленные на понижение энергозатрат, но они в основном касаются совершенствования конструкции локомотивов и рекуперации энергии. Вопросам уменьшения сопротивления движения грузовых вагонов после перехода на подшипники качения уделяется недостаточно внимания. В то же время в работах [1,2] показано, что рассеивание энергии при колебаниях вагонов вносит существенный вклад в сопротивление движению и энергозатраты на тягу поездов. В настоящее время разрабатываются так называемые энергооптимальные тяговые расчеты [3], которые должны минимизировать расходы энергии на тягу поездов за счет учета плана и профиля пути, длины состава, загруженности вагонов, ограничений скорости движения. Однако, на наш взгляд, в энергооптимальном расчете из условия минимума работы необходимо учитывать и энергию, расходуемую на колебания вагонов и зависящую от соотношения частот собственных и вынужденных колебаний. При резонансных колебаниях вагонов существенно увеличивается рассеивание энергии в гасителях колебаний вагонов. Кроме того, известны возможности проявления нелинейных эффектов взаимодействия колеблющихся вагонов с источником энергии [4]. В данной статье ставится задача оценить влияние резонансных колебаний на движение поезда.
Обзор выполненных работ
Модели динамики поезда обычно делят на три типа: продольной, поперечной и вертикальной динамики. Первые две модели наиболее часто используются для изучения вопросов формирования составов, пропуска поездов, разработки тормозов. Модели вертикальной динамики предназначены для исследования условий саморасцепа. Однако во всех этих моделях основное сопротивление движению определяется эмпирическими формулами и не учитывает возможность взаимодействия между колебаниями вагонов и источником энергии. С увеличением весов поездов вероятность такого взаимодействия возрастает.
В работах [1, 2, 5] исследовалось влияние характеристик тележек на сопротивление движению грузовых вагонов. Дана оценка влияния вертикальных и горизонтальных колебаний вагона на сопротивление движению поезда и расход энергии на тягу поездов. Однако в данных работах не учитывалось влияние колебаний вагонов на движение поезда и не рассматривалось их взаимодействие с тяговыми двигателями локомотивов.
В работе [6] изучались линейные и нелинейные колебательные системы, взаимодействующие с неидеальными источниками энергии - электродвигателями. В условиях, когда запас мощности источника энергии невелик, ход процесса очень сильно зависит от характеристики источника энергии. Изменения частоты колебаний связаны с изменением амплитуды колебаний. В зоне больших амплитуд скорость прохождения системы через резонанс резко замедляется; с уменьшением амплитуды она возрастает.
В работах [4, 7] получены уравнения, описывающие движение экипажа по пути с неровностями и с учетом взаимодействия между источником энергии и колебаниями этого экипажа. Приведена амплитудно-частотная характеристика такой нелинейной системы и показана возможность возникновения эффекта Зоммерфельда, т. е. при недостаточной мощности двигателя амплитудно-частотная характеристика имеет вид, типичный для «жесткой» нелинейной системы [8].
В настоящее время большое внимание уделяется экономии электроэнергии путем энергооптимизации режимов вождения поездов. С этой целью производится энергооптимальный тяговый расчет для определения режимов управления движением поезда, который обеспечит минимальный расход энергии на тягу с учетом плана, профиля пути, длины состава, типа и загруженности вагонов, тяговых и тормозных характеристик локомотива, ограничений скорости движения. Однако, чтобы гарантировать минимальный расход энергии на тягу поезда, на наш взгляд, необходимо ввести уточненный расход энергии на преодоление резонансных колебаний при движении состава по неровностям пути.
Математическая модель поезда
При исследовании было принято: локомотив тянет за собой состав из п вагонов, которые обладают только одной степенью свободы - подпрыгиванием. Все вагоны груженые, имеют одинаковые массу и жесткость. Соединение между вагонами осуществляется автосцепками с шарнирами по концам, так что влиянием продольных сил на вертикальные перемещения можно пренебречь, и колебания каждого вагона являются независимыми, а продольные перемещения всех вагонов равны. Поезд, состоящий из п вагонов, может быть описан с помощью модели, имеющей п + 1 степеней свободы (рис. 1).
На рис. 1 приведены следующие параметры: Н/2 - амплитуда неровности пути (м), Ь -
расстояние между центрами масс вагонов (м), Ь - длина неровности пути (м).
Для составления дифференциального уравнения движения состава с учетом неровности пути были использованы уравнения Лагранжа второго рода [9]
d_
dt
dqi J
дП дФ _
+—+— = Qi,
d>qi Щ
(1)
где кинетическая энергия
n
T = £
n f mff. + IM ^
i=1
v
J
=z
i=1
m (zj + xt) + jp
потенциальная энергия
П = £ С/(А)2 = £ с,(^ - ^ + /от)2 ;
/=1 2 /=1 2 энергия рассеивания
Ф = в(¿1 — ¿к ) ;
/=1 2
= Ц(х) - обобщенная внешняя сила; и ^ - перемещение и скорость перемещения центра масс 1-го вагона в вертикальном направлении; х/ и х/ - перемещение и скорость перемещения центра масс /-го вагона в продольном направлении; /т - статический прогиб рессорного подвешивания; т/ - масса /-го вагона; - суммарный момент инерции колесных пар вагонов; с, в - коэффициенты жесткости и вязкого сопротивления эквивалентной ступени подвешивания (на вагон) при ее деформации вдоль вертикальной оси; — функция, представляющая суммарное кинематическое возмущающее воздействие на вагон при движении его по рельсовым неровностям; / = 1, 2, ..., п - порядковый номер вагона; Ц(х) - равнодействующая силы тяги Р и силы сопротивления движению Я( х) вдоль пути Ц х) = Р - Я( х).
п ÔQ20H0Ô
Рис. 1. Расчетная схема состава, состоящего из n вагонов
При описании рельсовых неровностей И 2лх
функцией п = _ ^п- возмущение, вызы-
2 Тн
вающее колебания подпрыгивания 4-осного вагона, можно представить суммой четырех гармонических функций с одинаковой частотой, но с различными начальными фазами [10]. Тогда функция £кг- описывается уравнением
1 4г'
^кг = Т X =
4-=41-3
1 4г И
= -лЪ -а- ) = (2)
4 -=4г -3 2
= зт(юх -аг), I = 1, 2, ..., п,
И т
где —, тн - их амплитуда и длина; х - координата вдоль оси пути; ю - частота вертикальных колебаний колесных пар относитель-
г 2%УЛ но оси неровности (ю =-); V - скорость
тн
2п/..
движения; а - =--— начальная фаза дви-
- Тн
жения '-й колесной пары; /- - расстояние между 1-й и '-й колесными парами поезда вдоль оси х, в нашем случае расстояния между
колесными парами первой и второй /Т = /12, первой и третьей /В = /13, первой и четвертой /В + /Т = /14; /15 = / - расстояние между первой и пятой колесными парами (равное расстоянию между автосцепками вагонов); Б. = — х
i + En; а. = arctg——; En = X cos aj,
Eil j=4i -3
4i
En = X sin а j; j - порядковый номер ко-
j=4i-3
лесной пары в поезде.
На рис. 2 изображен четырехосный вагон, для которого произведен расчет функции zKi.
После подстановки в уравнение (1) выражения (2) и формул
d_
dt
\ôz j
= mZi,
d f дт Л " J... - =Z (mi +^r)x = Mx, dx J i=1 r2
dt
Mx = Z
i=1
J
Л
mvi +~t
r J
c(zi zкi) ,
dZi
дП = ( - f ) dy
dx dx
дФ
— = ß(Zi -к),
dz
. д Ь —— = — (—юхД cos(юx - а.)) = Эх дх 2
= ^ юД cos(юx - а.).
Система дифференциальных уравнений движения состава в окончательном виде примет вид
n h Mx - X [c(z — D sin(rox - at) +
i=1 2
h
+fj^ D ® cos(rox -a i) +
+ ß(¿i -^Dюхcos(rox-ai))hx
x» ю cos(rox -az-)] = L( x), h
m1Z1 + cz1 + ßz1 = c—»1 sin(rox - a1) + (3) h
+ ß—D1 irocos(wx - a1),
m t + czn +ßzn = c ^ -a n)+
h
+ ß—Dn±(ücos(wx - an).
Описание компьютерной динамической модели поезда, учитывающей влияние вертикальных колебаний вагонов при движении по неровностям пути на скорость и ускорение локомотива, имеющего двигатели ограниченной мощности
Математическая модель поезда реализована в среде Ма1;ЬаЬ - ЗтиНпк [11] на основе системы уравнений (3). Она включает модуль электровоза (1); блоки (2-4), задающие сопротивление движению состава, электровоза и дополнительное сопротивление движению от уклона; модуль (5), учитывающий влияние
вертикальных колебаний вагонов от неровностей пути на движение поезда (рис. 2). Параметры электровоза и вагонов приведены в таблице.
На рис. 3 изображен модуль 1, задающий силу тяги электровоза в зависимости от тока уставки и скорости движения поезда. Модуль 2ЭС5К реализован согласно расчетной схеме силовой цепи и функциональной схеме системы автоматического управления электровоза 2ЭС5К [11], при идеально сглаженном выпрямленном токе. До скорости ¥оп1 по обмотке возбуждения тягового электродвигателя (блок СБ) проходит 98 % тока якоря; от скорости Гоп1 до Гоп2 по обмотке возбуждения тягового электродвигателя (1-я ступень ослабления возбуждения) проходит 70 % тока якоря; от скорости Гоп2 до Гоп3 по обмотке возбуждения тягового электродвигателя (2-я ступень ослабления возбуждения) проходит 52 % тока якоря; от скорости ¥оп4 по обмотке возбуждения тягового электродвигателя (3-я ступень ослабления возбуждения) проходит 43 % тока якоря. Значения скоростей определяют границы диапазона стабилизации тока якорей на заданной уставке. Диапазон регулирования тока тяговых электродвигателей в зависимости от тока уставки определен по осциллограмме выпрямленного напряжения выпрямительно-инверторного преобразователя, полученной на компьютерной модели силовой цепи и микропроцессорной системы автоматического управления тяговыми электродвигателями электровоза переменного тока с зонно-фазовым регулированием напряжения в тяговом режиме [11].
Модуль 1 (рис. 3) задает силу тяги локомотива по выражению
P =п • 3, 6 СуФф0 /уст) /
УСТ псекц пвип пдв ■>
где Р - сила тяги электровоза, Н; Суф(Р0 /УСТ) -характеристика намагничивания тяговых электродвигателей электровоза 2ЭС5К [11], (В/ км/ч); в0 - коэффициент, учитывающий, что 98, 70, 52 и 43 % тока якоря проходит по обмотке возбуждения тягового электродвигате-
Рис. 2. Компьютерная динамическая модель поезда, учитывающая влияние вертикальных колебаний вагонов при движении по неровностям пути на скорость и ускорение локомотива,
имеющего двигатели ограниченной мощности
Параметры электровоза и вагонов [14, 15]
Параметры Условное обозначение Принятое значение Единица измерения
Масса обрессоренных частей с грузом г-го вагона т. г 85,7 т
Приведенная масса поезда м (94 + 1,3 / 0,4752) • 56 т
Жесткость рессорного комплекта с 16 000 кН/м
Параметр сопротивления в в —0,1вкр , вкр —^ (кН-с)/м
Амплитуда неровности пути Ы2 0,005 м
Статический прогиб рессорного комплекта / ^ ст 0,05 м
Длина неровности пути ь н 12,5; 6,25 м
Расстояние между центрами масс вагонов ь 13,920 м
База тележки вагона = расстояние между 1-й и 2-й колесными парами /Т — /12 1,850 м
База вагона /В — /23 8,650 м
Средняя нагрузка на ось % 23,5 т
Масса электровоза тэ 192 т
Количество вагонов в составе п 56 шт.
ля; п - коэффициент полезного действия тягового электродвигателя (п = 0,97); пСЕКц -количество секций электровоза; пВИП - количество выпрямительно-инверторных преобразователей 1-й секции электровоза; ПдВ - количество параллельно включенных тяговых двигателей 1-й секции электровоза.
Блоки 2-4 задают сопротивление движению состава W0 (Н), электровоза Woэ (Н) и дополнительное сопротивление движению от уклона Ж. (Н) [12, 13]:
Щ = 0,7 + 3 + 0,09" + 0,00>2 M.9,81,
Щ0э — (1,9 + 0,008у + 0,00025V2) mэ9,81, Щ —1000(т + mэ) • 9,8Ып а,
где V - скорость (км/ч); а - угол наклона профиля пути к горизонту [12, 16].
Модуль 5 состоит из 56 подмодулей, составленных на основании системы уравнений (3) для каждого вагона (рис. 4).
Аналогично сформированы и остальные блоки для всех 56 вагонов.
Результаты
На рис. 5-7 представлены результаты моделирования движения поезда с учетом и без влияния вертикальных колебаний на его скорость и ускорение. Какиз них следует, вертикальные колебания г влияют на продольное ускорение поезда а. Это оказывает негативное воздействие на увеличение скорости при достижении ее 49 км/ч (Ьн = 6,25 м) или 98 км/ч (Ь = = 12,5 м). Увеличить скорость в данном случае невозможно из-за ограниченной мощности электрических двигателей. Скоростям 49 и 98 км/ч соответствуют резонансные скорости, определенные по статье [4].
Результаты моделирования согласуются с известными случаями, когда машинисту локомотива не удавалось увеличить скорость движения поезда до желаемого значения, несмотря на соответствующее передвижение ручки контролера. Стоит отметить, что причину задержек в разгоне поезда линейные модели, используемые в тяговых расчетах, не описывают.
В результате изучения влияния колебаний вагонов в вертикальной плоскости при движении по неровностям пути на скорость и ускорение поезда с локомотивом, имею-
-0,03
t. с
5000
10000
15000
-0.005
-0.015
5000
10000
15000
Рис. 5. Зависимость перемещения центра масс первого вагона в вертикальной плоскости от времени движения при Ьн =12,5 м (а), Ьн = 6,25 м (б)
А
Б
Рис. 6. Зависимость продольного ускорения поезда от времени движения при Ьн = 12,5 м (А), Ьн = 6,25 м (Б)
щим двигатели ограниченной мощности, были установлены скорость движения, при которой возникает резонанс, и, следовательно, бросок/увеличение расхода энергии
локомотива, работающего в тяговом режиме, при совпадении собственных частот колебаний вагонов и частоты неровности пути.
120 100 80
60 40 20
м/с
\ С учетом влияния колебаний вагонов в вертикальной плоскости при движении по неровностям пути
Без уч era влияния колебаний в агонов в в ертикальной плоскости при движении по неровностям пути
О 5000 10000 15000 20000 25000 t. с
Рис. 7. Зависимость скорости поезда от времени движения
Заключение
Вертикальные резонансные колебания вагонов оказывают существенное влияние на движение поезда при скоростях 90-100 км/ч.
Уменьшение (или преодоление) влияния колебаний вагонов в вертикальной плоскости при движении по неровностям пути на скорость и ускорение поезда облегчит ведение длинносоставных поездов, а также ведение поезда локомотивом с ограниченной мощностью.
Для полной оценки влияния колебаний вагонов на динамику поезда планируется рассмотреть [14, 15]: 1) влияние боковых колебаний (в том числе автоколебаний); 2) различия в загрузке вагонов; 3) движение по случайным неровностям пути.
Библиографический список
1. Комарова А. Н. Влияние типа и параметров гасителей колебаний вагона на сопротивление движению / А. Н. Комарова, Ю. П. Бороненко // Изв. Пе-терб. гос. ун-та путей сообщения. - СПб. : ПГУПС, 2014. - Вып. 2 (39). - С. 35-41.
2. Комарова А. Н. Сравнительная оценка сопротивления движению грузовых вагонов на тележках различных типов / А. Н. Комарова, Ю. П. Боронен-
ко // Транспорт Российской Федерации. - 2014. -№ 2 (23). - С. 69-72.
3. Гапанович В. А. Энергосбережение на железнодорожном транспорте : учебник ; под ред. В. А. Гапановича, В. Д. Авилова, Б. И. Иванова. -М. : [б. и.], 2012. - 619 с.
4. Вольфсон С. А. Энергетический баланс при движении железнодорожного экипажа по пути с неровностями / С. А. Вольфсон, Ю. Г. Минкин // Материалы сетевой науч.-технич. конференции 1014 октября 1972 г. - Омск, 1972. - С. 139-145.
5. Komarova A. Calculating rolling resistance of freight wagons using multibody simulation / A. Komarova, Y. Boronenko, A. Orlova, Y. Romen // Program and abstracts of 23th Intern. Symposium on Dynamics of Vehicles on Roads and Tracks (19.0823.08.2013). - Qingdao, 2013. - Paper 15.3. (Расчет сопротивления движению вагонов с использованием многотельного моделирования // Программа и тезисы 23-го Междунар. симпозиума по динамике железнодорожного и автомобильного подвижного состава (19.08-23.08.2013). - Чиньдао, 2013. -Тезис 15.3.)
6. Кононенко В. О. Колебательные системы с ограниченным возбуждением / В. О. Кононенко. -М. : Наука, 1964. - 254 с.
7. Доев В. С. Теория колебаний в транспортной механике / В. С. Доев, Ф. А. Доронин, А. В. Индей-кин. - М. : Учеб.-метод. центр по образованию на ж.-д. транспорте, 2011. - 352 с.
8. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем : Современные концепции, парадоксы и ошибки. 4-е изд., перераб. / Я. Г. Пановко, И. И. Губанова. - М., 1987. - 352 с. - (Проблемы науки и технического прогресса.)
9. Кошелев В. А. Динамические свойства и колебания вагонов : учеб. пособие / В. А. Кошелев, Д. А. Василенко, А. В. Саидова. - СПб. : ПГУПС, 2013. - 134 с.
10. Кошелев В. А. Колебания вагонов в составе поезда : методические указания для самостоятельной работы / В. А. Кошелев, Л. И. Челнокова. - Л. : ЛИИЖТ, 1989. - 24 с.
11. Якушев А. Я. Исследование системы автоматического управления тяговыми электродвигателями электровоза переменного тока : учеб. пособие : в 2 ч. / А. Я. Якушев, И. П. Викулов. - СПб. : ПГУПС, 2010. - 41 с.
12. Правила тяговых расчетов для поездной работы. - М. : Транспорт, 1985. - 287 с.
13. Розенфельд В. Е. Теория электрической тяги /
B. Е. Розенфельд, И. П. Исаев, Н. Н. Сидоров. -М.: Транспорт, 1983. -328 с.
14. Мазнев А. С. Динамика электрического подвижного состава / А. С. Мазнев, И. М. Попов, А. М. Евстафьев. - СПб. : ПГУПС, 2007. - 213 с.
15. Вершинский С. В. Динамика вагона /
C. В. Вершинский, В. Н. Данилов, И. И. Челноков. -М. : Транспорт, 1979. - 352 с.
16. Нордлинг К. Справочник по физике для ученого и инженера / К. Нордлинг, Д. Остерман ; пер. с англ. - СПб. : БХВ-Петербург, 2011. - 522 с.
References
1. Komarova A. N. & Boronenko Y. P. Vliyaniye typa i parametrov gasyteley kolebaniy vagona na so-protyvleniye dvyzheniyu [The influence of the type and parameters of shock absorbers of a car on resistance to motion]. Proceedings of Petersburg Transport University, 2014, issue 2 (39), pp. 35-41. (In Russian)
2. Komarova A. N. & Boronenko Y. P. Sravnytelnaya otsenka soprotyvleniya dvyzheniyu gruzovykh vagonov na telezhkakh razlychnykh typov [Comparative assessment of freight cars rolling resistance on cars of different types]. Transport of the Russian Federation, 2014, no. 2 (23), pp. 69-72. (In Russian)
3. Gapanovich V. A. Energosberezheniye na zhelez-nodorozhnom transporte [Energy saving on railroad transport]. Ed. by V. A. Gapanovich, V. D. Avylov, B. I. Ivanov. Moscow, 2012, 619 p. (In Russian)
4. Volfson S. A. & Mynykyn Y. G. Energetycheskiy balans pry dvyzhenii zheleznodorozhnogo ekypazha po puty s nerovnostyamy [Power balance of a railway vehicle when moving along the track with rough shape surface]. Materialy setevoy nauchno-tekhnicheskoy konferentsii 10-14 oktyabrya 1972 [Proceedings of an online science and technical conference dated October, 10-14th 1972]. Omsk, 1972, pp.139-145 (In Russian)
5. Komarova A., Boronenko Y., Orlova A. & Ro-men Y. Calculating rolling resistance of freight wagons using multibody simulation. Program and abstracts of 23th Intern. Symposium on Dynamics of Vehicles on Roads and Tracks (19.08-23.08.2013). Qingdao, 2013, paper 15.3.
6. Kononenko V. O. Kolebatelniye systemy s ogranychennym vozbuzhdeniyem [Oscillating systems with terminated actuation]. Moscow, Nauka Publ., 1964, 254 p. (In Russian)
7. Doyev V. S., Doronyn F. A. & Indeykyn A. V. Teoriya kolebaniy v transportnoy mekhanyke [The theory of oscillations in transport mechanics]. Moscow, Uchebno-metodicheskiy tsentr po obrazovaniyu na zheleznodorozhnom transporte [Learning and teaching educational center of railway transport] Publ., 2011, 352 p. (In Russian)
8. Panovko Y. G. & Gubanova I. I. Ustoychy-vost i kolebaniya uprugykh system: Sovremenniye kontseptsii, paradoksy i oshybky [Stability and oscillations of elastic systems: Modern strategies, paradoxes and errors]. 4th revised ed. Moscow, 1987, 352 p. (In Russian)
9. Koshelev V. A., Vasylenko D. A. & Saidova A. V.
Dynamycheskiye svoystva i kolebaniya vagonov [Dynamic properties and oscillations of cars]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2013, 134 p. (In Russian)
10. Koshelev V. A. & Chelnokova L. I. Kolebaniya vagonov v sostave poyezda. Metodycheskiye uka-zaniya dlya samostoyatelnoy raboty [Oscillations of cars being a part of a train. Learning package]. Leningrad, LIIZhT Publ., 1989, 24 p. (In Russian)
11. Yakushev A. Y. & Vykulov I. P. Issledovaniye systemy avtomatycheskogo upravleniya tyagovymy
elektrodvygatelyamy elektrovoza peremennogo toka [The study of an automatic control system of an AC locomotive motor]. In 2 parts. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2010, 41p. (In Russian)
12. Pravyla tyagovykh raschetov dlya poyezdnoy raboty [The rules of grade computations for train operation]. Moscow, Transport Publ., 1985, 287 p. (In Russian)
13. Rozenfeld V. Y., Isayev I. P. & Sydorov N. N.
Teoriya elektrycheskoy tyagy [Electric traction theory]. Moscow, Transport Publ., 1983, 328 p. (In Russian)
14. Maznev A. S., Popov I. M. & Yevstafiyev A. M. Dynamyka elektrycheskogo podvyzhnogo sostava [Dynamics of electric vehicles]. Saint Petersburg, PGUPS Publ., 2007, 213 p. (In Russian)
15. Vershynskiy S. V., Danylov V. N. & Chelno-kov I. I. Dynamyka vagona [Dynamics of a car]. Moscow, Transport Publ., 1979, 352 p. (In Russian)
16. Nordling C. & Osterman J. Spravochnyk po phyzyke dlya uchenogo i inzhenera [Physics handbook for science and engineering]; tr. from Eng. Saint Petersburg, BHV-Petersburg Publ., 2011, 522 p. (In Russian)
*ЧЕРНЫШЕВА Юлия Владимировна - старший преподаватель, [email protected] (Петербургский государственный университет путей сообщения Императора Александра I).
