CC BY
24Вестник Сыктывкарского университета. Сер. 1. Вып. 2.1996
ЩК 517.987+519.2
Основные понятия теории пространств Лебега-Рохлина. Теория меры на подпространствах
ОБОБЩЕННОГО КАНТОРОВА ДИСКОНТИНУУМА 1 A. A. Самородницкий
Приводятся конструкции; связанные с формулировке д омы компактности .для пространств с конечной .нормированной неотрицательной счетио-аддптшшоА мерой. Эти конструкции составляют основу теории пространств Лебега-Рохлина.
Аксиома компактности для сепарабельных пространств с мерой ;ла введена в работе В. А. Рохлина [1] под названием "аксиома пол-сы"5. Появившаяся в результате этого теория пространств Лебега хлина существенно уточняла аксиоматику А. Н. Колмогорова [2] л сепарабельных пространств с вероятностной мерой. Для форму-гсовки аксиомы компактности в общем (несепарабельном) случае :ественную роль сыграло понятие ’’базиса”, введенное для про-^інств с мерой в [3]. Отличная от [1] и [3] формулировка аксиомы юактности (для сепарабельных пространств, но с другим объек-
— ’’базой”, вместо ’’базиса,”) предлагалась В. Г. Винокуровым . например, [4]). Однако В. Г. Винокуров не изменил процедуру кзактйфикации, что привело его к классу бесконечных произве-. їй пространств Лебега (см., [5]), который оказался более узким, например, класс ЬИ -пространств, введенный в [3].
Ниже, развивая подход В. Г. Винокурова, мы получим доста-■но широких! класс пространств с мерой, имеющий частью класс -пространств. Мы увидим, что меры в таких пространствах додают радоновы продолжения относительно некоторой тополо-Эти продолжения мер позволят соединить два подхода к фор-тіровке аксиомы компактности. Терминология настоящей ра-
‘*?абота выполнена при частичной финансовой поддержке программы ’’Универси-ш России” (раздел ”Ф11ММ”, шифр 1.3.5)
IСамородницкий А. А., 1996.
боты соответствует принятым в [3], [б] и [7] определениям, многие из которых используются без ссылок и комментариев.
1. Пусть О = (О,,1,1-1) — пространство с мерой, в котором О — непустое множество, Эг — <7-алгебра (^-измеримых) подмножеств О, а ¡л — неотрицательная счетно-аддитивная функция на 3^ удовлетворяющая соотношению /г(Г2) = 1 (такие и только такие функции мы называем ниже мерами на измеримом пространстве (О, Эг)). //-пополнение ст-алгебры Зг обозначаем (Зу. Отметим, что полнота по мере ц сг-алгебры Зг не предполагается (если это специально не оговорено), но мы всюду предполагаем, что сг-алгёбра 3” разделяет точки множества 1).
Пусть Е С 2° — произвольная система подмножеств. Через <т{Е} обозначается наименьшая сг-алгебра, содержащая Е, а через —
разбиение порожденное системой Е (каждый элемент С Е со-
стоит из точек, которые Е не разделяет). е(О) обозначает разбиение на одноточечные множества.
Система Е С Зг называется системой образующих пространства Г2, если она удовлетворяет двум условиям: = ¿(0) и (^{Е})^ 3 7.
Наличие хотя бы одной системы образующих в П очевидно.
Пусть Г — множество индексов (при необходимости в нем можно зафиксировать полную упорядоченность) и Е = {Лг : £ € Т}. Если то система Е однозначно определяет инъективное отображение : О -—► {0; 1}т по следующему правилу: 1%(ш) = (я* : t Е Т), и) Е О, где при каждом I Е Т
Пусть £ = {Ьі : і € Т}. Ясно, что при любом і Е Т выполняется = Аи то есть ¿^(-С) = Е. Следовательно, = сг{Е}. Мы
показали, что если Е является, в частности, системой образующих в О, то ¿2 •’ (^, 3*) —► ({0; 1}т, Ш) — измеримое отображение.
пространств со счетной системой образующих) изучались, применительно к аксиоме компактности, в [8] (см. также [3]).
0, если и Е АЬг
1, если ш Е Ась — & \
Обозначим через © наименьшую а-алгебру в {0; 1}^, содержащую множества
и0 — {(а-г : £<0 — 0}, Ц Є Т.
Отображения типа для сепарабельных пространств (то есть
НОГГІС
о —
кеств
, УДО-Ьунк-
і,зо).
інота Но не гляет
а{Е} £е —
;е со~ іение
їства О 3.
зжно
Если
збра-
: і Є
ржа-
іется
Мы
щих
єсть
[ЄНИ-
Снстема образующих Е = {Аі : і Є Т} называется компактной, шгі отображение /V является биекцией П на {(■); I}1. Это определение компактної! системы образующих эквивалентно принятым в [1] [н [3].
Введем меру на 93 (мы ее будем обозначать также А, если не [возникает сомнений относительно выбора Е). Для В Є 93 положим |А{В) = ¡і (іу] (В)). Ясно, что для системы образующих Е отображение ¿V является гомоморфизмом пространства И в пространство
|({0; 1}у Г®, А).
Обозначим через 93д- = ¿е(З’) образ сг-алгебры У в случае, когда |і^ — биекция 1] на {0; 1}7. Ясно, что 93^ С (93) А. Продолжая А |ка 93у (как это делают при А-пополненпп). получим, что из компактности системы образующих Е вытекает, что /’>: — изоморфизм [пространств ($2. 3\ //,) и ({(); 1}], 93у, А).
Иначе определяется а алгебра 93у с случае, когда система обра-Ізующих Е не является компактной. Пусть А" = /^(0). Несложно [доказать, что Ае(А) = 1, где Ае обозначает внешнюю меру, поро-[жденную мерой А. Отображение является биекцией О, на А". Обо-|значим З7' — Поскольку -¿\;(<т{Е}) = 93д — {В П А' : В Є 93},
[то, учитывая определение меры А, получим: У С ((93)А)д. Тогда [для любого Е' Є 7' найдется Е Є (93)А, для которого Е' = £ П А-. [Положим 93у ~ { Е Є (93)л : Е П X Є Э"'}. Очевидно, что 93у — •0-[алгебра и что гомоморфизм П в ({0; I}7 , 93#, А) и изоморфизм |йна(Х,У',Ад-). ■
Если Е = {Л; : і Є Т} — система образующих пространства
[О, то Е-компактификацией О называется пространство ^,3",
[с компактной системой образующих Е — {Л( : / Є Т}, для ко-
торых существуют подпространство (іУ.З’1,^1) в О и изоморфизм с : (ІЇ, Зг, /і) —► (О', и',1.1і), для которых: а) ДДУ = 1; б) при ка-[ждом і Є Т справедливо равенство р(Аі) = А і П О,'.
Читатель сразу же отметит, что пространство ({0; 1}т, 93?, А) с [компактной системой образующих £ является Е-компактификаци-|ей П. Кроме того, если ^,5', с компактной системой образу-
[ющих Е является Е-компактификацией £1, то, рассматривая :
їй —+ {0; I}7, получим 93^ = 93у, а /I и /і порождают одну и ту же меру А на Поскольку, как отмечалось, в этом случае г у — изо-
юрфизм 12 на ({0; I}7 ,93з-, А), то, принимая во внимание очевидный
факт, что (¿g s**;0) *СУ -* —> (^, 3",//) тоже является изо-
морфизмом. получаем единственную (с точностью до изоморфизма) компактпфпкацпю относительно системы образующих S.
Система образующих в Q, имеющая минимальную (среди всех систем образующих в fl) мощность, называется базисом. Если в i2 имеется компактная система образующих Е — {/1; : t £ Т}, то
она является базисом. Это утверждение доказано в [3] и вытекает из того, что в противном случае S имела бы подсистему меньшей мощности, которая была бы тоже системой образующих в И, что противоречит компактности системы Е. Этим фактом объясняется то, что ниже мы будем работать с базисами.
Базис Е = {At : t G Т} пространства Q называется компактным по mod0, если пара (Q, S) тождественна по mod0 паре (П',Е'), в которой Q' — (ft', У', (I1) — пространство с мерой, a S' - его компактный базис:. Используя результаты работ [1] и [3], несложно доказать, что базис S компактен по modi) тогда и только тогда, когда ¿е(П) 6 (iB)A. •
Один из способов введения аксиомы компактности заключается в требовании наличия в И компактного по modО базиса. Если отбросить случаи конечного множества Q (как тривиальные), то в пространствах с бесконечным весом (то есть бесконечной мощностью базиса) из наличия компактного по mod 0 базиса, как показано в [3], вытекает наличие компактного базиса, а такие пространства, как мы видели, изоморфны произведению (но не обязательно прямому) двухточечных пространств с мерой. Классификация таких пространств может быть выполнена с помощью теоремы В. Г. Винокурова (см. [9]), из которой вытекает, что такие пространства полностью определяются своими весом и строением метрической структуры — ассоциированной булевой алгебры с мерой.
Легко указать пример ”хорошего” пространства с мерой, не попадающего в класс произведений двухточечных пространств с мерой. Для этого достаточно взять Q = © Q2, где подпространства Qj
и Q2 измеримы, = {0;1}7‘, причем Т\ и Т2 имеют разные мощ ности, которые являются бесконечными кардинальными числами В [3] указанный недостаток был устранен. Именно, были введен вполне однородные пространства и доказано, что каждое простран ство Q, есть прямая (дизъюнктная) сумма вполне однородных пог
I
(1)
' пеЛР
V — счетное множество, (гп, V,,) ^ (г*, г>*)- при п ф к, тп — метри-кий вес 0„, а г1,, — вес Оп (другие подробности читатель найдет 1}. Разложение (1) иногда обладает дополнительным слагаемым свой меры, мощность которого больше мощности его дополнения, гелях простоты это слагаемое мы опускаем (то.есть, в термино-“ш [3], считаем вес П равным его точному весу).
Вполне однородное бесконечное пространство О, как известно из обладает базисом Е = {Л* : I Е Т}, для которого выполнены гзяя:
|1 сагс1Т — у(П),
причем
Е'+Е", где Е;
{Л, : г е Г}, Е" = {.4/ : / € Т" = Т\Т},
1-
/г ^ П ^tnJ = ^ Для любых п в N и {/,, С Т,
|//
б) цА1 -- 0 при I £ Т",
в) сагсГР = г(О),
г)
/т" - I еслп <
СаП О, если 0 < т(Г2) = и(О),
где т(П) — метрический вес, и($1) — вес пространства О.
отображении в этом случае мы получаем пространство с1;~ - (95)л, А), которое является, в свою очередь, прямым Прогнием пространства {0; 1}т> на пространство {0; 1}т", причем
* — прямое произведение двухточечных пространств с сим-шыми (|; |)- мерами, а в {0; 1}т" перемножаются (0; 1)-меры. $3 и [7] пространство О, в разложении (1) которого каждое однородное подпространство 0,п обладало компактной си-образующих (только что описанного вида), называлось Ы1-1ством, или пространством Лебега-Рохлина. Мы не будем глять всех свойств ЬЯ-пространств, доказанных в [3] и [7]. ш только, что любое бесконечное произведение пространств см. [5]) является ЬЛ-пространством, что обратное к этому
утверждение не верно и что сепарабельное 11 - пр' - транство является пространством Лебега (в смысле работы «!!•-
2. Алгебру Ш подмножеств множества И называть базой
пространства Я = (П, 3*, /¿), если для некоторог • %з::еа Б пространства О Щ является наименьшей алгеброй, со-«^-кггшей Е, то есть !Я -- а{Е} (так будем обозначать порожденную * Е алгебру).
Введем в О так называемую Е~топологии> {с*!. [3]}, объявив !Н базой открыто-замкнутых множеств. Тогда О- становится вполне несвязным хаусдорфовым топологическим пространством. Если Е
— компактный базис, то О компактно в Е-топологии (это вытекает из того, что совокупность Е + Ес, где
Ес = {Ас, : t £ Г} = {А : Ае £ Е},
является предбазой Е-топологии, и хорошо известного факта общей топологии; см., например, [10, с. 143, задача 2]). Доказательство этого см. также в [3, с.28-30]. Обратное утверждение на ’’языке базисов” неверно. Достаточно взять приведенный выше пример суммы а - О] 0 0,2 произведений двоеточий, имеющих разные (но бесконечные) мощности семейств сомножителей.
База 91 называется компактной, если всякая центрированная система множеств из !Н имеет непустое пересечение. Теперь понятно, что О компактно в Е-топологии тогда и только тогда, когда база Ш = а{Е} компактна. Этим, видимо, и объясняется смена терминологии В. А. Рохлина, которую произвел В. Г, Винокуров.
По всякой базе 91 пространства О будем фиксировать базис £, для которого = а{Е}, а также ’’предбазу” !Р = Е + Ес. Выше, фактически, было сказано, что компактность базы УК равносильна непустоте пересечений центрированных систем множеств из У.
Считая, что О — бесконечное множество, отметим, что всякая база является и базисом в О, так как имеет ту же мощность и обладает всеми свойствами, что и порождающий ее базис. Следовательно, для £Н определено отображение : О —4- {0;.1}т, описанное выше, и отображение щ : О -—•* {О;!}1. Ниже мы будем рассматривать только первое из них.
Не представляет труда доказать, что компактность базы Ш равносильна непустоте пересечений центрированных систем множеств .из (Р вида {В* : I £ X’}, где Д> € {А(,АС(} при I £ Г. Если при этом поставить в соответствие каждой такой центрированной си-
xt =
f 0, если В і - Ah І І, если Bt = Act,
рассмотреть множество ГГ таких точек в {0; 1}т, то компактность зы будет равносильна равенству ¿s(fi) = ГГ.
Рассматривая тихоновскую топологию в {0;1}г и индуцирован-з» топологию в ГГ, можно заметить, что «£ — непрерывное отобра-?зие. Более того, база компактна тогда и только тогда, когда гображение ¿V является гомеоморфизмом Q на ГГ. Заметим, что Божество ГГ компактно в {0; 1}т.
Учитывая изложенное в п. 1, немного упростим дальнейшие гделення. Будем считать, что GF* — (93у)п*, А* == Ап». Заме-что Ае(ГГ) — 1. Пространство ГГ = (ГГ, GF*, А*) будем называть яшпактифпкацией Q. При этом 9^* = а{£п*} будет, очевидно, лактной базой в ГГ. Это определение следует воспринимать ”с зздстыо” до изоморфизма *К-компактнфнкаций.
Базу будем называть компактної'! по mod0, если Q1 — is(Q) Є То, что (А*)е(ГУ) = 1, вытекает из вышесказанного. Про-Р-2ЯСТВО Q будем называть пространством Лебега-Рохлина, если м имеется компактная по mod 0 база. Отметим, что мы догоїлись исключать из О множество нулевой меры, если его мощ-. превосходит мощность его дополнения. Понятие пространства гга-Рохлина следует понимать с учетом этого обстоятельства. Покажем, что во всяком LR-пространстве (см. п. 1) имеется лстная по mod 0 база.
Действительно, пусть Еп — компактный базис в Цп из (1), п Є = (Е„ + Е£), Ео = {Оп : п Є Nj, 3V—система подмножеств Обозначим Уо = So + Eg, где, на сей раз, Eg = {О \ Оп : п Є N}. S = Е ?» + Е0, У = (Е + Ес), где Ес = {П \ А : А Є Е}.
neN
пь = о.'{Е}. Покажем, что Щ компактна по mod0. Факт, что база, а Е — базис в О, сомнений не вызывает, лхть Е = {At : t Є Т} — произвольно зафиксированная ”пере-ксация” Е, О* С {0; 1}т и (ГГ, “J*, А*) — й-компактификация [Если (xt : t ЄТ) Є О*, то совокупность {Bt : t Є T}, где
В,
At,
П\Аи
если xt = 0, если Xt — 1,
(2)
при t £ T, является центрированной. Отображение ¿v переводит точку х £ Я, для которой {.г} = Р) Бг, в точку (xt : t. £ Т) £ {0; 1}т.
/С-7 •
Обозначим O' = iV(n) и покажем, что О,' £ (iF*) Л .
Пусть = {Л” : •( 6 Т„} для п £ N. Можно считать, что ££ = {il„ \ Л" : t £ Гя}, где cardT'n = cardTn и п £ N, и что
Т = (Тп + Т'п) + ft. При этом В* G {Л[г; Я \ Л"}, если i G Г„, В< €
n£jV
{П„ \ Л"; Я \"(^п \ Л")}, если t £ Т'п, Bt G \ QJ, если t £ N.
Пусть {В* : i G Г} С У — центрированная система множеств.
Возможны два варианта.
1) Если при некотором t-o G ТПо выполнено соотношение BtQ = Л”0° или при некотором to G Г/ выполнено соотношение Bto — fi„0 \ Л”о° (no G iV), то при любом t £ Г,, и п ф щ будет Bt — Q \ Af (иначе нарушится условие центрированности), npli любом t G и п ф щ будет Bt — 0\(Я1ДЛ"), при i = п ф п0 будет В, —Q\Qt и В„0 = Qno. В этом случае f] В/ = р] В{ и система {В, : t G T,1fj+T{.lQ} С
ter
t^n0+T!lQ
УПц центрирована. Тогда в силу компактности системы Е„0 в Г2„0
получаем непустоту пересечения: П Д= м. Если {В( : < 6 Г} и
<ег
(гг< : I С Г) соответствуют в смысле (2), то ясно, что ¿£(и>) = (*/ :
ге Г) £ О'.
2) При любых / 6 Т„ и п £ N имеем В1 =■ И \ Л” и при любых t £Т'п и п £ N имеем В, — О \ (£1п \ Л”). Тогда
ПВ‘=П П(п\'4ПпП(^\(п»\'4Г)) пр|в„ =
гет пелг .геГп геТ£ пе/*г
= Р| (П \ П„) П |") В„ (3)
71<Е./У пбЛ^
поскольку порядок, в котором в (3) пересекаются множества, не играет роли.
Заметим, что в этом случае множество N бесконечно, так как при конечном N мы вспомним, что Тп и Т' — это, фактически, два ’’дизъюнктных экземпляра одного множества”, что при фиксированных £„ £ Тп и 4 £ Т'п, для которых Лг” == Л",, имеем
(П \ Л”п) П О \ (С1п \Л£ ) = Л \ Оп, откуда в силу И (О \ 12„) = 0 я 1. ^ пем
получаем конечную подсиситему
{П\А1;П\{Пп\А1) : п £ Дг} С {Вг : t £ Т}
[с пустым пересечением, что противоречит центрированности.
Центрированность { Б, : t £ Т} здесь будет также нарушаться, 1«слп Вп — Г2„, хотя бы прп одном п £ N. Видим, что этому слу-[■каю отвечает единственная центрированная система {Bt : t £ Т}, горой в смысле (2) соответствует точка (xt : t £ Т) в Q* с xt = 1
да любом t. £ Т. Поскольку Р) Bt = P|(Q\.fi„) = 0, получаем
teT neN
Н : t £ Т) £ Q* \ Q'.
Заметим, что 1) и 2) охватывают все возможности, поэтому обо-жчим одноточечное множество i)* \ О' через {ж*} и покажем, что
— 0. Этого достаточно для компактности по mod0 базы
Пусть £ — {Li : t £-Т = (Тп + Т'п) + Дт} — компактный базис
neN
i{0; 1}т, 9&г,А), В*г — О* \ Ьп при п £ N. Если Ц, = {0; 1}Г \ Ln,
< В* = ПЬеп, откуда В* £ 3?. Поскольку у нас = At для
^ Г, то i^l(B*t) = Q \ fin, где п £ N. Поскольку iV \ Я' = {.г*} и | О \ П„) = 0, получаем Р) В* = {д-*}, откуда {д.*}- € $*■ Теперь
ЗГ ' riGN
П В"° ) = A, m (Q* П Щ
<n£N / А’ /
= А ( П ) = /, ( П (° \ =
\neiV / \n€N /
построения А и А*. Сформулированное выше утверждение ю. Класс пространств Лебега-Рохлина включает в себя все эстранства.
Не представляет затруднений доказательство того, что всякое эельное пространство с компактной по mod 0 базой является ictbom Лебега в смысле работы [1], если, конечно, требовать кхноту а-алгебры У, как это принято в [1]. Следовательно, ука-ie два подхода, к определению аксиомы компактности, дают для шных пространств с мерой один и тот же класс, кшассе LR-пространств достаточно просто решаются многиц связанные с построением их теории. Это всевозмож-свойства LR пространств и их подпространств (см. [3] и [7]), классификацию. Объясняется такая простота "на^щц^-сгроением вполне однородного LR-пространства, о чем выдре говорили.
Однако, имеется пример (см. [11] или [12]) вполне однородного LR-пространства с компактной базой 91, порожденной базисом Е, который не является компактным (даже по mod 0). Для этого достаточно взять несчетное прямое произведение {0;1}т двоеточий с симметричными (|; |)-мерами и, беря в качестве топологии в {0; 1}т тихоновское произведение дискретных топологий, рассмотреть компактное в {0; 1}т подмножество Q* с внешней мерой 1, а внутренней мерой 0. Существование такого множества под названием ”диагональ” общеизвестно. Компактность топологического пространства Q* эквивалентна компактности базы У\* — «{£*}, а базис £* = £п* не является компактным из-за неизмеримости U* в {0; 1}г.
3. Зафиксируем базис Е в О и рассмотрим Е-топологию в О. Если система Е счетна и если Ъг обозначает борелевскую сг-алгебру, то есть Ът, — (j{Tv}, то = сг{Е}. В случае несчетного Е всегда сг{Е} С причем равенство исключается. -
Обозначим Q = {0; 1}т, где Е = {At : t Е Т}, У и Д — такие стал гебра и мера на Q, что 3*, Д^ является Е-компактификацией
Q. Соответствующий базис Е в О, как и прежде, состоит из множеств
At0 = {(xt ■ t G T G П : xto — 0}, to E Т.
Мы изменим некоторые обозначения для дальнейших удобств. Далее, (Ос компактной базой 91* является 91-компактифика-цией Q. Не нарушая общности дальнейших рассуждений, отождествим Г2 с Q', используя изоморфизм этих пространств. Тогда П С Q* С П, W = 3Fn = ЗЪ, у. = Ы*)п, S = Efi = (Е*)п, где
Е* = Еп», 91 = ог{Е}, 91* = «{£*}, 91 = а{Е}.
Как замечено в [3, с.27], измеримая внутренность любого подмножества В С О. может быть выбрана как предел возрастающей последовательности замкнутых в Е-топологии множеств. Это означает, чтго мера ¡.L регулярна на Т относительно Аналогичным свойством обладают меры ц* и Д (см. [13, с.39]).
Используя понятия и факты относительно регулярных, г-глад-ких, плотных и радоновых мер в топологическом пространстве (см., например, [13, с.33-39]), видим, что для существования радонова
продолжения меры ¡х (для fi* и Д аналогично) необходимо и достаточно, чтобы sup{/4(/i') : К С О, К — компакт} = 1. Учитывая компактность Q и О* в Е- и Е*-топояогиях и Те* соответственно.
■случаем сразу существование и единственность радоновых продолжений V и и* мер Д и /І*.
Обозначим также через А и А* соответственно и- и И-пополне-я борелевских а-алгебр в пространствах О н Г2*. Ясно, что О* Є А. . сложно показать, что для замкнутых подмножеств Р в О справед-равенство и(Р) = Де (.£"), а для открытых подмножеств и С О равенство-р(11) = Т1іт(и)і где Де-и Дгїгі — внешняя и внутрен-меры, порожденные мерой Д. Поскольку О* компактно в О и Ш*) = 1, получаем г'(ГГ) = 1. Мы добились, что наши две ком-ггафнкации ’’отличаются” на пренебрежимом (меры нуль) мно-тве относительно меры ї>.
Важным является то, что теперь, вообще говоря ие(С1) < 1 (и, особой, (и*)е(0,) < 1). Связывая с каждым базисом Е свою то-гшо Ту;, мы можем получать меры и и и*, однако структуры анств И пЛТ (как компактификацнй) утрачивают содержало связь с О при радоновом продолжении мер. если ие{0.) < 1 что эквивалентно, (и*),.({}) < 1). Возможна даже патологиче-
еитуация, когда и {О) = 0 (соответствующий пример несчетного ведения двоеточий П, в котором является одноточечным єством и носителем меры г/, придумать несложно).
ш уе(0.) < 1 существует замкнутое (и компактное, следова-о) множество К С О \ О с г/(А') = Де(А') > 0. Но это, в ленном смысле, внешняя для П характеристика.
значим £ = {і*1 С Я, : Р замкнуто и цеР =1}. Ясно, что £. Будем говорить, что мера ¡.і обладает носителем Эр, =С П, = П^И /-1е(3ц) — 1- Хорошо известно, что носителем
меры V и и* (и, следовательно, меры Д И /«*). Как Только ечалось,//может непметь носителя.
•ольку 3? служит базой ТОПОЛОГИИ Ту; (открытой и замкну-й одновременно), то всякое замкнутое множество есть пе-¡е множеств из Зі. Следовательно, можно считать, что {Р Є Я : (іР — 1} и что, как и прежде, 5^ = П Р. Учи-
что $ ;= % и что Д(Р) — /іР, если Р = Р П и Р £ %
м для £ — {Р Є 3? : Д(Р) = 1} соотношение £ = £п, из
которого, в свою очередь, вытекает равенство = ¿д, где
^ П1
Fel
— носитель JI.
Если предположить, что ve(Q) — 1, то получим ue(Q П Sp) = ие(8,) ~ 1 в силу — 1. Следовательно,
1 = ve{S^) — mf{z/(B) : Зц С В Є Л} <
<inf{u(B): S, С В ei} = іп(ЩВ) ■/ Sft С В еЩ =
= Ы{fiB : Sp С В Є 7} = /¿е(*9Л),
то есть fie(S/i) = 1- Мы показали, что из условия ие(0) — 1 вытекает существование носителя меры /і.
Используя определения г-гладкости мер v и и* и то- гладкости мер /i, Jl и /г* (см., например, [13, с.33, 39]), можно показать, что меры v и V* являются г-гладкими, меры Д .и- р.* — то-гладкими, а при условии ve (И) = 1 несложно получается то-гладкость меры ¡і. В этом случае мера £/, заданная на Л = соотношением
и.(А) = і/е(Л), будет единственным т-гладким продолжением ¡л (см. [13, с.39, теорема 3.2(a)], и учитываем, что S-топология в О регулярна, то есть удовлетворяет аксиомам” отделимости Ті и Тз). Из г-гладкости, в свою очередь, вытекает наличие носителя (см. [13, с.Зб]).
Если теперь понимать компактность по mod 0 относительно радоновых продолжений мер в компактификациях, то компактность по mod (У станет эквивалентной наличию радонового продолжения v меры //, ДЛЯ которого V = Pq = (l/*)f).
Дальнейшие свойства описываемых классов пространств требуют большей подробности и остаются за рамками настоящей работы. Отметим, заключая, что требуется выяснить, в частности, вытекает ли наличие компактной по mod 0 (относительно (і) базы из наличия таковой относительно и. Кроме того, требуется охарактеризовать пространства (i],3*,//), для которых будет йе(0) = 1, то
есть в которых fi продолжается до v = vq = (z/)q. При этом потребуется уточнить понятия базы и базиса с тем, чтобы эти понятия в
пространствах (Q,ÎF,.//) и (il, Л, v) были ’’корректны по отношению к аксиоме компактности”.
Литература
1. Рохлин В. А. Об основных понятиях теории меры//Матем. сборник. 1949. Т.25. №1. С.107-150.
2. Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей. М.: Наука, 1974. 120с.
3. Самородницкий А. А. Теория меры.-Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1990. 268с.
4. Винокуров В. Г., Рубштейн Б. А., Федоров А. Л. Пространство Лебега и его измеримые разбиения. Ташкент: Изд-во ТашГУ, 1985. 76с.
5. Винокуров В. Г. О бесконечных произведениях пространств Лебега//Докл. АН СССР. 1964. Т.158. №6. С.1247-1249.
6. Владимиров Д. А, Булевы алгебры. М.: Наука, 1969. 320с.
7. Самородницкий А. А. Булевский принцип исчерпывания и строение пространств с мерой//Вестник Сыктывкар, ун-та. Сер.1. Вып. 1. 1995. С.89-100.
&. Haezendonck J. Abstract Lebesgue-Rohlin spaces//Bull, de la Soc. Math. Belgique. 1973. Vol.25. P.243-258.
Винокуров В. Г. Компактные меры и произведения пространств Лебега//Матем. сборник. 1967. Т.74. №3. С.434-472.
Архангельский А, В., Пономарев В. И. Основы общей топологии в задачах и упражнениях. М.: Наука, 1974. 424с.
Савченкова Л. М., Самородницкий А. А. Некомпактные базисы в пространствах Лебега-Рохлина//Теория функций: Тезисы докладов Всероссийского научного семинара. Сыктывкар, 1993. С.53-54.
Савченкова Л. М., Самородницкий А. А. Об одной проблеме несепарабельных пространств Лебега-Рохлина // Фундаментальные проблемы математики и механики. Сборник рез-в научн. исслед. М.: Изд-во МГУ, 1994. Т.1. С.153-154.
13. Бахания Н. Н., Тариеладзе В. И., Чобанян С. А. Вероятностные распределения в банаховых пространствах. М.:
• Наука, 1985. 386с.
Summary
Samorodnitski A. A. Basic conceptions of Lebesgue-Rohlin spaces theory. Measure theory on subspaces of generalized Cantor discontinuum
We give constructions connected with a definition of compactness axiom for a space with probability measure. These constructions are the base of Lebesgue-Rohlin spaces theory.
Сыктывкарский университет
Поступила 15.03.96
