CC BY
1
ВЕСТНИК МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ 7. ФИЛОСОФИЯ. 2024. Т. 48. № 6. С. 71-98 LOMONOSOV PHILOSOPHY JOURNAL. 2024. Vol. 48. No. 6. P. 71-98
ЛОГИКА Ш
Научная статья
УДК 162
doi: 10.55959^Ш201-7385-7-2024-6-71-98
ОСНОВНЫЕ НАПРАВЛЕНИЯ И РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЙ ПО ФИЛОСОФСКОЙ ЛОГИКЕ В МОСКОВСКОМ УНИВЕРСИТЕТЕ
А.А.Беликов, О.М. Григорьев, В.И. Маркин
Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова, 119991,
Ленинские горы, МГУ, учебно-научный корпус «Шуваловский», г. Москва,
Россия
Аннотация. Данная статья содержит обзор основных направлений философской логики, в рамках которых осуществляется научная деятельность коллектива кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова. В статье также дается краткое описание со ссылками на соответствующие публикации в научных изданиях наиболее значимых результатов, полученных ее сотрудниками и выпускниками за последние годы.
Ключевые слова: обобщенные истинностные значения, коннексивная логика, многозначная логика, дискуссивная логика, корреспондентный анализ, силлогистика, аргументация
© Коллектив авторов, 2024. Ответственный за переписку автор: Беликов Александр Александрович, e-mail: [email protected]
LOGIC
Original article
MAIN DIRECTIONS AND RESULTS OF RESEARCH IN PHILOSOPHICAL LOGIC AT MOSCOW UNIVERSITY
A.A. Belikov, O.M. Grigoriev, V.I. Markin
Lomonosov Moscow State University, Leninskie Gory, Moscow, Teaching and
Scientific Building "Shuvalovsky", 119991, Russia
Abstract. This article provides an overview of the main directions of philosophical logic, within the framework of which the research activities of the staff of the Department of Logic, Faculty of Philosophy, Lomonosov Moscow State University are carried out. The article also gives a brief description of the most significant results obtained by the staff and graduates of the Department of Logic in recent years, with references to the relevant publications in scientific journals.
Key words: generalized truth-values, connexive logic, many-valued logic, discussive logic, correspondence analysis, syllogistics, argumentation
Введение
Общепринятый и широко распространенный в научной литературе термин «философская логика» (имеющий также своеобразного напарника для обозначения родственной в методологическом отношении области знания — термин «математическая логика») предполагает определенное взаимопроникновение и взаимообогащение проблематики, идущей от традиционных философских дисциплин (таких, как онтология, эпистемология, методология научного познания) и собственно логической сферы исследований, где изучаются формализованные языки и их семантики, логические теории и исчисления и многое другое.
Идеи, которые лежат в основе многих направлений современной философской логики, несомненно принадлежат предметным областям тех или иных философских исследований: теории истины, учению о модальности, онтологической природе времени, детерминизму и учению о причинности и т.д. При этом, как хорошо видно даже из очень краткого дальнейшего изложения, путь от содержательной философской идеи до абстрактной логико-математической конструкции может быть не таким уж и длинным. Так, обобщенные истинностные значения первоначально были придуманы как инструмент для описания эпистемического состояния рационального
субъекта (или даже просто вычислительного устройства), находящегося в условиях неполноты и противоречивости информации, с которой ему приходится иметь дело. Содержательная интерпретация таких истинностных значений и определение разнообразных операций на их множестве вполне могут быть предметом самостоятельного исследования. Однако сами по себе эти истинностные значения представляют собой теоретико-множественные конструкции, образующие в совокупности особую разновидность частич-но-упорядоченного множества. И вот уже теперь мы имеем дело с абстрактным математическим объектом, который может изучаться исключительно с формально-логической точки зрения.
В силу сказанного, разнообразие исследовательской тематики, подпадающей под рубрику «философская логика», чрезвычайно широко — от собственно философского анализа тех или иных понятий, терминов, феноменов, так или иначе связанных с логической проблематикой, до изучения формальных свойств весьма абстрактных логико-математических сущностей.
Обобщенные истинностные значения
Одним из направлений исследований, активно разрабатываемых научным коллективом кафедры логики, является изучение систем обобщенных истинностных значений и определяемых ими логических теорий. Само по себе это направление имеет давнюю историю и восходит к работам 60-х гг. прошлого века известных американских логиков Н. Белнапа и М. Данна, посвященным разработке семантики для систем релевантной логики. Однако как самостоятельная сфера исследований изучение обобщенных истинностных значений оформилось за последние два десятка лет благодаря большому количеству публикаций и новых результатов как технического, так и общефилософского характера (см. обзорную статью: [1]).
Наиболее известный и в некотором смысле базовый вариант системы обобщенных истинностных значений встречается в семантике релевантной системы первоуровневого следования FDE, считающейся наиболее простой, но в то же время наиболее фундаментальной системой релевантной логики. Истинностные значения в этом случае представляют собой всевозможные подмножества множества {Т, F} — множества привычных «классических» истинностных значений. Новых истинностных значений всего четыре: {}, {Т}, {Т, F}. Их содержательная интерпретация носит преимущественно эпистемический характер и связана с ситуациями, в которых рассуждения осуществляются в условиях неполной или противоречивой информации. Полученное четырехэлементное множество допускает
различные варианты упорядочения, например по теоретико-множественному отношению включения, по приращению истинности, убыванию ложности, а также различные варианты определения фундаментального для логики отношения логического следования. Кроме того, на этом множестве можно задавать операции, соответствующие пропозициональным связкам формализованного языка. При этом по своим свойствам некоторые из этих связок могут существенно отличаться от связок классической логики. Можно пойти еще дальше и рассматривать в качестве истинностных значений все подмножества уже четырехэлементного множества. Возникает еще больше вариантов упорядочения полученного множества, а также возможностей определения отношения логического следования. Логические теории шестнадцатиэлементного множества истинностных значений хорошо изучены в ряде публикаций в ведущих логических журналах (см. например: [2]).
Однако даже для случая упорядоченного некоторым образом четырехэлементного множества обобщенных истинностных значений исследовательский потенциал далеко не исчерпан, несмотря на необозримый объем научных работ, так или иначе связанных с этой семантической конструкцией. В частности, естественным образом возникает вопрос о том, какие логические теории можно получить, выбирая различные множества так называемых выделенных значений среди имеющихся {}, {T}, {F} и {T, F}. Наличие множества выделенных значений характерно для семантик многозначных логик. Такие истинностные значения наделяются особым статусом, аналогичным статусу значения истина в классической логике. Известно, например, что упомянутая выше система FDE получается при выборе {T, F} и {T} в качестве выделенных значений. В то же время одни содержательные предпосылки могут мотивировать выбор единственного выделенного значения {T}, а другие — всех, кроме {F}. Задача формализации соответствующих логических теорий в виде систем бинарного следования была поставлена в работе А.А. Беликова, Д.В. Зайцева и Я.В. Шрамко [3] и успешно решена в последующей публикации этих же авторов [4], где было предложено исчисление, построенное как двухуровневая система бинарного следования. Помимо собственно формализации логических теорий, определяемых выбором одного ({T}) или нескольких ({}, {T}, {T, F}) выделенных значений, в [4] также было изучено обширное семейство расширений этих логических теорий, установлены связи между полученными расширениями по отношению включения на множествах утверждений, которые имеют статус законов. В системах бинарного следования к последним относятся утверждения о парах формул, а
не отдельные формулы, как это обычно принято в логических теориях, относящихся к классической логике.
В рамках исследовательских проектов, осуществляемых сотрудниками кафедры логики, были предложены также и иные варианты определения обобщенных истинностных значений, которые не сводятся к простой теоретико-множественной операции взятия множества-степени некоторого исходного множества. Весьма плодотворной оказалась идея так называемой поликомпонентной истины. Суть этого подхода заключается в том, что истина (как значение высказывания) может представлять собой сложную сущность, имеющую части или компоненты. Например, это может быть истина, содержащая онтологическую и эпистемическую компоненты (двух-компонентная истина). Онтологическая компонента присутствует в значении такого высказывания, которое считается истинным с определенной «онтологической» точки зрения. Последнее может пониматься, например, как истинность с точки зрения общепринятой научной теории, формирующей представления о той или иной онтологической картине мира. Эпистемическая компонента содержится в значении высказываний, истинных по отношению к состоянию знаний, убеждений или мнений некоторого рационального субъекта. В результате высказывание может быть, к примеру, истинным эпистемически, но ложным онтологически. С формальной точки зрения, такие истинностные значения могут быть получены как результат декартова произведения двух множеств — {Т, F} и {1, 0}, репрезентирующих онтологические и эпистемические истинностные значения соответственно. Таким образом, множество получаемых истинностных значений состоит из пар (Т, 1), (Т, 0), (^ 1) и (^ 0). Это множество также допускает упорядочение, например, по приращению истинности в компонентах. Самое же интересное состоит в том, что на этом множестве можно определить нестандартные операции, в каком-то смысле соответствующие отрицаниям в пропозициональном языке. Одна из операций действует только на первой координате пары, как бы «переключая» компоненты Т и Д а другая — на второй, заменяя 1 на 0 и обратно. Таким образом, пропозициональный язык соответствующей логической теории, помимо стандартных связок — конъюнкции и дизъюнкции, содержит два нестандартных «отрицания». Примечательной особенностью этих связок является то, что их композиция, взятая как единое целое, обладает всеми свойствами классического отрицания. Базовые свойства логической теории в таком языке, с определением следования по приращению истинности в компонентах, были изучены в работе О.М. Григорьева и Д.В. Зайцева [5], а также в последующей статье
Д.В. Зайцева и Я.В. Шрамко [6], однако формализация такой теории оказалась нетривиальной задачей. Вариант аксиоматизации в виде системы бинарного следования был предложен в работе Д.В. Зайцева [7]. Отметим, что идея описанного варианта обобщенных истинностных значений и операций покомпонентных отрицаний принадлежит профессору Д.В. Зайцеву.
Один из возможных путей дальнейшего развития идеи двух-компонентной истины состоит в возможности допущения промежуточного истинностного значения типа неопределенности как для онтологической, так и для эпистемической компоненты, аналогично тому, как это делается в трехзначных логиках. Результирующая семантическая структура в таком случае — девятиэлементное реше-точно упорядоченное множество истинностных значений. На нем по-прежнему задаются «переключающие» одноместные операции, но теперь еще дополнительно переводящие значения неопереден-ности в самих себя. Описанная конструкция и формализации соответствующей логической теории в виде аналитико-табличного исчисления и системы бинарного следования были предложены в работах О.М. Григорьева [8, 9].
Помимо таких необычных, действующих только на определенную компоненту истинностного значения унарных операций, системы обобщенных истинностных значений открывают возможности для определения и других семантических операций, которым на языковом уровне соответствуют связки, также имеющие некоторое сходство с классическим отрицанием. В частности, на множестве истинностных значений {}, {Т}, и {Т, F} можно определить специфические операции, которые, отображая один элемент в другой, как бы проходят через все это множество подобно итерации цикла. Первоначально такие операции назывались правым и левым поворотами [5] (правда, в указанной работе эти «повороты» определялись для случая четырехэлементного множества двухкомпонентной истины), циклическими отрицаниями [10, 11], пока, наконец, в работе [12] не был введен новый термин «коннегация». Этот гибрид двух из терминов — конфляция и негация — как бы сообщает о том, что обозначаемая им операция обладает некоторыми свойствами, присущими конфляции, и некоторыми свойствами, имеющимися у другой операции, негации. Речь в данном случае идет об унарных операциях, хорошо известных в теории особых математических структур — бирешеток — широко используемых при построении семантики для некоторых семейств неклассических логик. В работе [12] была изучена одна из таких коннегаций, циклическое действие которой на четырехэлементном множестве схематически можно
изобразить как {Т} ■ {Т, F} ■ {F} ■ {} ■ {Т} и т.д. Были даны различные аксиоматизации (генценовского и гильбертовского типов) отношения логического следования, определяемого на основе стандартного множества выделенных значений {{Т}, {Т, F}}, доказаны теоремы о полноте и непротиворечивости полученных исчислений, исследована их связь с классической логикой через определение погружающих функций. Интересно заметить, что композиция коннегации (одного типа) вновь обладает свойствами классического отрицания. Подобный эффект уже был отмечен ранее в отношении композиции «нестандартных отрицаний» в логике двухкомпонентной истины. Такие эффекты представляют собой отдельный исследовательский интерес. В логической литературе их описывают как «симуляцию» семантических или дедуктивных свойств связок одного формализованного языка средствами связок другого языка. Некоторые публикации специально посвящены данной проблематике [13].
Системы обобщенных истинностных значений могут иметь конкретный вид, как, например, множество {{}, {Т}, {Т, F}}, но могут изучаться и в предельно абстрактном виде. В таком случае они ассоциируются с некоторой математической структурой. Как правило, это решеточно-упорядоченные множества, причем на множестве-носителе такой структуры может быть задано целое семейство различных отношений порядка. Так, задавая на множестве {{}, {Т}, {Т, F}} различные порядки — по приращению истинности (где {Т} является наибольшим элементом, — наименьшим, а остальные несравнимы) и приращению информации ({Т, F} является наибольшим элементом, {} — наименьшим, а остальные несравнимы), приходят к абстрактной структуре, называемой бирешеткой. В абстрактной бирешетке уже отвлекаются от структуры истинностных значений. По сути, они представляют собой лишь однотипные элементы множества-носителя, а само это множество может быть и бесконечным. Следующим шагом, обобщая бирешетки, вводят понятие и-решетки. В последнем случае мы имеем дело с абстрактным множеством, на котором задано семейство из и-отношений порядка. Несмотря на отвлеченный характер таких структур, их логические теории также активно изучаются. Например, изучаются так называемые модальные и-решетки, в которых семантическими аналогами языковых модальностей выступают особые операции, ассоциированные с каждым из отношения порядка, — операции взятия внутренности и замыкания. По своим свойствам эти операции подобны модальностям ряда хорошо известных систем модальной логики, таких, как S4, S5, и некоторых других. Сами по себе и-решетки допускают различные трактовки отношения логического следования, формализации от-
ношений следования представляют собой нетривиальную задачу, в особенности для языков с модальностями. Некоторые результаты в этой области представлены в работах [14, 15], однако это лишь первые шаги в изучении свойств и-решеток и формализаций их логических теорий.
Изучение логических теорий, определяемых описанными выше четырехзначными системами обобщенных истинностных значений с одним ({Т}) и тремя ({}, {Т}, {Т, F}) выделенными значениями, получило интересное развитие в статье [16]. Связано оно с особым направлением в современной многозначной логике, специфика которого состоит в том, что матричное определение пропозициональных связок допускает наличие так называемых «инфекционных» истинностных значений. Особенность таких истинностных значений заключается в следующем эффекте. Пусть некоторому высказыванию А приписано «инфекционное» истинностное значение, тогда то же самое значение получает любое более сложное высказывание, содержащее А в своем составе. В работе [16] в качестве «инфекционного» истинностного значения берется {}. Такой выбор обусловлен семантическим анализом механизма приписывания истинностных значений высказываниям вычислительной машиной, функционирующей в условиях неполноты и противоречивости информации. Авторами предложены секвенциальные исчисления для ряда логических теорий, определяемых четырехзначной семантикой с различным выбором множества выделенных значений и с «инфекционным» значением {}, изучены их метатеоретические свойства. В качестве продолжения указанной линии исследований следует рассматривать работу [17]. В ней предложены системы натурального вывода, формализующие логические теории, определяемые четырехзначными ({}, {Т}, и {Т, F}) семантическими структурами с различными «инфекционными» истинностными значениями: {} в одном и {Т, F} в другом случае, с множеством выделенных значений {{Т}, {Т, F}}. Для характеризации указанных логических теорий была также разработана так называемая «информационная семантика», представляющая собой модифицированный вариант семантики релевантной логики первоуровневого следования, предложенной в свое время выдающимся отечественным логиком Е.К. Войшвилло.
Коннексивная логика
Одним из самых плодотворных источников многих направлений современной неклассической логики является анализ условных высказываний. Удивителен тот факт, что и в наше время этот источник
по-прежнему дает жизнь новым идеям и, в конечном итоге, новым логическим теориям.
Хорошо известно, что попытки выявления форм корректных рассуждений, составными частями которых могут выступать условные высказывания, а также попытки экспликации семантики условных высказываний имели место еще на заре развития логики, в изысканиях античных философов. Особое внимание этим проблемам уделялось и в работах средневековых логиков (Боэций, П. Абеляр и др.). В рамках символической логики начиная примерно со второй трети XX в. эта проблематика преимущественно разрабатывалась в контексте двух основных направлений — релевантной логики (от англ. relevance logic) и логики условной связи (от англ. conditional logic). В период активного развития обоих направлений в научной литературе возникали и другие подходы к анализу условных высказываний, которые в силу различных причин тогда оказались менее популярными и долгое время считались «маргинальными».
К числу таких направлений можно отнести так называемую «коннексивную логику» (от англ. connexive logic). В основе этого направления лежит идея о том, что логика, претендующая на адекватную экспликацию условной связи, должна обладать следующими вполне естественными свойствами, которые, тем не менее, не являются законами классической логики, как, впрочем, и законами неклассических логик, исключая собственно коннексивные:
- ни одно высказывание не должно быть следствием собственного отрицания;
- ни одно высказывание не должно иметь в качестве следствия собственное отрицание;
- ни одно высказывание не должно иметь в качестве следствия сразу два таких высказывания, которые противоречат друг другу.
Общепринятый способ формализации этих свойств заключается в том, чтобы «закодировать» их в виде требования об общезначимости некоторого набора пропозициональных формул. Это два так называемых «тезиса Аристотеля»: -(-А ■ А), -(А ■ -А), а также два «тезиса Боэция»: (А ■ -B) ■ -(А ■ B), (А ■ B) ■ -(А ■ -B).
В последние годы коннексивная логика переживает новую волну интереса. Такое возрождение связано с достижениями немецкого исследователя Х. Вансинга [18, 19], предложившего оригинальный подход к семантическому моделированию коннексивной импликации. Основная идея Вансинга состоит в том, что достичь коннексивности можно, используя нестандартное условие ложности для импликатив-ных формул. Запишем это условие в неформальном виде:
А ■ В ложно если А истинно, то В ложно.
Нетрудно заметить, что оно существенно отличается от классического условия ложности импликации:
А ■ В ложно А истинно и В ложно.
Отличие в том, что определяющая часть в классическом условии является конъюнктивным метаязыковым утверждением, а определяющая часть в условии Вансинга является условным метаязыковым утверждением. Если в классической логике для ложности импликации достаточно и необходимо лишь одновременной истинности антецедента и ложности консеквента, то в случае с условием Вансинга ложность консеквента должна возникать вследствие истинности антецедента.
Нужно отметить, что условие Вансинга работает только в семантических моделях с обобщенными истинностными значениями, где истинность и ложность высказываний не являются взаимоисключающими свойствами. Например, первая коннексивная логика Вансинга C из статьи [18] получена как результат модификации условия ложности в паранепротиворечивой конструктивной логике Д. Нельсона N4, в которой допускаются истинностно-значные провалы и пресыщенные оценки.
Вообще логические теории, используемые для формализации условной связи, можно выстроить в определенную иерархию в зависимости от того, насколько богаты по классу логических законов их импликативные фрагменты. Самыми сильными в этом смысле будут системы, содержащие импликативный фрагмент классической логики. Ниже в этой иерархии находятся более слабые теории, формализующие другие подходы к экспликации условной связи, например системы со строгой импликацией (интуиционистская и конструктивные логики), еще слабее — системы с импликациями из релевантных логик и т.д. Характеристические принципы кон-нексивной логики (тезисы Аристотеля и Боэция) выражают особый подход к отрицанию условных высказываний, а значит, любая коннексивная логика как минимум расширяет некоторый базисный импликативный фрагмент за счет оператора отрицания и, соответственно, логических законов, регулирующих взаимодействие отрицания с импликацией.
Различные системы коннексивной логики, полученные по методу Вансинга можно рассматривать именно в таком контексте. Например, материальная коннексивная логика MC содержит классический импликативный фрагмент, конструктивная коннексивная логика
C и ее трехзначное расширение C3 содержат интуиционистский импликативный фрагмент, а чистые теории релевантной и коннек-сивной импликации Н. Франзеса и Й. Вайса содержат импликатив-ные фрагменты различных релевантных логик (подробнее об этих системах см.: [19]).
Серия работ А.А. Беликова [20, 21, 22, 23], посвященная кон-нексивной логике, объединена общей проблемой поиска методов устранения одного из недостатков перечисленных выше теорий. Речь идет о свойстве «гипер-коннексивности». Оно выражается в том, что помимо минимальных требований об общезначимости тезисов Аристотеля и Боэция во всех упомянутых выше теориях общезначимыми становятся формулы -(А ■ B) ■ (А ■ -B) и -(А ■ -B) ■ (А ■ B). Некоторые исследователи, например С. МакКолл [24], рассматривают их как несоответствующие естественной практике отрицания условных высказываний и приводят вполне убедительные аргументы против их общезначимости.
В упомянутых выше статьях авторами разработано несколько новых логических теорий, свободных от гиперконнексивности, каждая из которых получается в результате применения авторского условия ложности в контексте того или иного типа формально-семантических моделей. В отличие от Вансинга, авторы работ [20, 21, 22] развивают идею, согласно которой для приписывания ложности импликативной формуле имеет смысл учитывать не только ложность консеквента, но и его не-истинность. В контексте семантики обобщенных истинностных значений ложность и не-истинность выражают разную семантическую информацию, но при этом обе выступают как разновидности негативной семантической информации. Как следствие, предлагаются [20, 21, 22] различные логические теории со следующим условием ложности для импликации:
А ■ B ложно ^def если А истинно, то B ложно или B не истинно.
Так, в работе [20] сформулирована и исследована четырехзначная логика MMC, являющаяся свободным от гиперконнексивно-сти аналогом логики MC. В статье [21] предлагаются логики MeC и qMeC3, которые являются свободными от гиперконнексивности аналогами логик C и C3. В работе [23] обсуждается расширение логики qMeC3, содержащее не интуиционистский, а классический импликативный фрагмент. Наконец, в работе [22] автором предлагается формальная семантика для импликативно-негативного фрагмента логики MeC и определена семантика не-гиперконнексивной импликативно-негативной логики, содержащей импликативный фрагмент релевантной логики R.
Разумеется, проблемные области коннексивной логики вовсе не обязательно связаны только со свойством гиперконнексивности. Например, в работе [25] предметом исследования является в реконструкция так называемой триадической логики Ч. Пирса. Автором статьи [25] предлагается два варианта такой реконструкции, а также показано, что один из них совпадает с первоуровневым фрагментом малоизвестной коннексивной логики — логики обыденного дискурса У. Купера.
Дискуссивная логика
Новые результаты в логике нередко представляют собой развитие или переосмысление хорошо известных идей, уже ранее привлекавших внимание многих исследователей. Так, например, обстоит дело с системами дискуссивной (также называемой дискурсивной) логики, предложенными выдающимся польским логиком С. Яськов-ским в конце 40-х гг. прошлого столетия. Дискуссивная логика представляет собой исторически одну из первых известных разновидностей так называемой паранепротиворечивой логики. Подобные логические системы предназначены для моделирования и анализа рассуждений в условиях противоречивой информации. Как известно, множество всех следствий из противоречивого множества высказываний становится тривиальным (содержит все высказывания), если пользоваться дедуктивным аппаратом классической логики.
Паранепротиворечивые логики предназначены для рассуждений с противоречивыми посылками, но без тривиализации множества следствий. Системы дискуссивной логики, предложенные Яськовским, содержат в языке «неклассические» связки типа импликации и конъюнкции, которые допускают определенное представление в языке пропозициональной модальной логики. Яськовский пользовался хорошо известной модальной системой S5 для определения множества законов своей системы дискуссивной логики, обычно обозначаемой как D2. Законами D2 являются такие формулы, которые при определенном переводе в язык модальной логики оказываются законами S5. Ясно, что при таком подходе любая система модальной логики может точно таким же образом порождать какую-то дискуссивную логику, возможно, не содержащую законов вообще. Последнее, например, произойдет, если в тех же определениях Яськовского вместо системы S5 использовать минимальную систему нормальной модальной логики ^
В работе [26] была поставлена задача изучить минимальную систему дискуссивной логики, содержащуюся в любой другой нетривиальной системе дискуссивной логики. Такая минимальная
система, названная авторами D0, порождается деонтической модальной логикой D. В статье [26] была дана аксиоматизация D0, изучены некоторые аспекты ее отношения с классической логикой, а также определено погружение исчисления, аскиоматизирующего D2, в исчисление, аксиоматизирующее D0. Системы дискуссивной логики, определяемые посредством модальной логики, не имеют конечных характеристических матриц. Однако в недавней статье [27] было показано, что логика, определяемая некоторым конечным семейством трехзначных матриц с двумя выделенными значениями, также может считаться дискуссивной исходя из детального анализа идей, имеющихся в текстах С. Яськовского.
Матричная семантика классической
и многозначной логики
Логическая проблематика иногда носит сугубо технический характер. Однако как раз технические результаты в конечном счете и приводят к четкому пониманию свойств логических теорий и исчислений, взаимосвязи этих свойств, а также отношений между самими логическими теориями. Одно из таких технических направлений исследований связано с изучением многозначных характеризаций различных фрагментов классической логики. В частности, в серии работ В.М. Попова [28, 29, 30, 31] была детально исследована проблема расширения матричной семантики, адекватной собственному (то есть более узкому в строгом смысле) фрагменту классической логики до семантики, адекватной всей классической логике. В качестве такого собственного фрагмента берется ее импликативный фрагмент, в то время как расширение, являющееся классической логикой, дано в импликативно-негативной форме. Матричная семантика строится на основе трехзначных матриц с одним выделенным значением. В работе [28] определяется особая трехзначная логическая матрица с одним выделенным значением, адекватная импликативному фрагменту классической логики; в то же время ее нельзя обогатить никакой унарной операцией, чтобы получилась трехзначная логическая матрица, адекватная импликативно-негативной классической логике. В статьях [29, 30, 31] изучаются семейства логических матриц специального вида, адекватные только импликативному фрагменту, и семейства логических матриц, адекватные всей импликативно-не-гативной классической логике.
Корреспондентский анализ
Особое место в исследовательской деятельности кафедры логики всегда занимало получение технических результатов, относящих-
ся к области изучения систем логического вывода. В особенности это касается систем натурального вывода. От других формализаций логических теорий они отличаются интуитивной естественностью правил вывода, определенной степенью подобия самой структуры вывода и формы рассуждения в естественном языке. По крайней мере так обстоит дело в классических натуральных исчислениях. Однако формализации типа натурального вывода разрабатываются и для систем неклассической логики. Примечательно, что для систем многозначной логики с конечным множеством истинностных значений и матричным определением пропозициональных связок существуют алгоритмические процедуры порождения множества правил, образующих собственно натуральное исчисление. Один из таких подходов, называемый корреспондентским анализом, был успешно применен Я.И. Петрухиным и В.О. Шангиным для построения натуральных исчислений для ряда систем неклассической логики [32, 33, 34, 35].
Силлогистические теории
В отечественной логике еще в 70-80-е гг. XX в. сложилась научная школа, исследующая силлогистические теории средствами современной символической логики. У ее истоков стояли профессора Московского университета В.А. Смирнов, В.А. Бочаров, Е.К. Войш-вилло. В этом направлении был получен ряд впечатляющих научных результатов.
Силлогистика является исторически первой строго построенной дедуктивной теорией. Она изучает связи между атрибутивными суждениями, выражающими мысль о наличии или отсутствии некоторого свойства (атрибута) у отдельного предмета или у предметов некоторого множества. Силлогистика отличается простотой, элегантностью и кажущейся самоочевидностью выделяемых в ней форм корректных рассуждений. Первая система силлогистики была предложена основоположником логики Аристотелем. В середине XX в. Я. Лукасевич переформулировал силлогистику в соответствии со стандартами символической логики в виде формального исчисления. После этого различными исследователями был построен спектр систем силлогистики, которые различаются как выразительными возможностями языка, так и семантикой форм атрибутивных суждений. Были установлены метатеоретические взаимосвязи между разными силлогистиками и современными логическими теориями (булевой алгеброй, классическим исчислением предикатов и др.) Эти результаты дали весомые аргументы в пользу тезиса об историческом единстве формальной логики как науки.
В настоящее время сотрудники и аспиранты кафедры логики разрабатывают оригинальные подходы к исследованию силлогистики, которые позволяют по-новому взглянуть на природу этого древнейшего раздела дедуктивной логики.
Общеизвестно, что при экстенсиональном подходе термины (субъект и предикат) атрибутивных суждений рассматриваются как знаки множеств индивидов, а стандартные силлогистические константы «Всякий ... есть ...» (я), «Некоторый ... есть ...» (г), «Ни один ... не есть ...» (е), «Некоторый ... не есть ...» (о) репрезентируют различные теоретико-множественные отношения. Однако кроме этих четырех отношений существуют и иные. Более того, в истории логики предпринимались попытки построения силлогистик с другими исходными наборами силлогистических констант (ассерторическая силлогистика Н.А. Васильева, логика классов Дж. Венна). В.И. Маркин в [36] построил силлогистику, язык которой содержит знаки всех возможных отношений между двумя непустыми терминами и в данном аспекте может считаться «универсальным». Для «универсального» языка была предложена интуитивно прозрачная семантика и сформулировано исчисление, аксиоматизирующее класс общезначимых формул. Далее естественным образом встал вопрос о тех системах силлогистики, в которых исходными константами являются знаки лишь некоторых отношений между двумя множествами. Какие наборы силлогистических констант являются полными в том смысле, что в «локальном» языке, содержащем только эти константы, можно выразить любое бинарное объемное отношение? Критерии полноты множества силлогистических констант были сформулированы В.И. Маркиным на Тринадцатых Смирновских чтениях по логике (2023 г.) [37].
В традиционной логике наряду с атрибутивными суждениями выделялись как особый тип так называемые суждения существования. Это простые суждения, их логическим сказуемым является термин «существует», рассматриваемый как предикат особого типа, как знак онтологической характеристики индивидов. Субъектами суждений существования могут выступать как отдельные термины, так и их последовательности. В истории логики нередко высказывалось мнение (Ф. Брентано, Л. Кэрролл), что статус суждений существования более фундаментален по сравнению с атрибутивными суждениями в том отношении, что вторые можно, не меняя их смысла, редуцировать к первым. Так, суждения формы «Некоторый 5 есть Р» (БгР) можно понимать как «БР существуют», а суждения вида «Всякий Б есть Р» (БяР) как «Б не-Р не существуют». Таким образом, любая стандартная система позитивной силлогистики
является фрагментом логики суждений существования. Причем если в качестве субъектов таких суждений допустить последовательности произвольной конечной длины, то в данной логике выразимы объемные отношения не только между двумя терминами, но и между любым числом терминов. Последнее утверждение справедливо лишь для «расширенных» силлогистик (силлогистик со сложными терминами), которые дефинициально эквивалентны булевой логике классов. Маркиным [38] был сформулирован язык, позволяющий фиксировать логические формы суждений существования, предложена естественная его семантика и построено адекватное ей аксиоматическое исчисление. Кроме того, был предложен аналитико-табличный вариант логики суждений существования и сформулирована эффективная процедура выделения ее законов и форм корректных умозаключений [39].
Другим направлением исследований является разработка интенсионального подхода к силлогистике, восходящего к идеям Лейбница и Канта. Атрибутивные суждения здесь трактуются как выражающие мысль об отношении между терминами не по объему, а по содержанию. Например, суждение формы БаР выражает мысль о том, что содержание Р есть часть содержания Б, а суждение формы Б1Р — мысль о том, что содержания Б и Р не противоречат друг другу. Термины при этом понимаются как языковые понятийные конструкции, но ответ на вопрос, что является содержанием понятия, может быть разным. В традиционной логике под содержанием понятия понималась некая совокупность признаков — положительных и отрицательных. Современный вариант интенсионального подхода к построению систем силлогистики, основанный на такой трактовке содержаний понятий, активно развивался Маркиным на рубеже XX-XXI вв.
Иной вариант основан на предложенной Е.К. Войшвилло экспликации содержания понятия как предиката (формулы первопо-рядкового языка со свободными переменными). Семантика силлогистики в этом случае строится следующим образом: общим терминам в качестве значений сопоставляются формулы первопорядкового (или, для простоты, пропозиционального) языка, а условия истинности форм атрибутивных суждений задаются с использованием отношения логического следования между упомянутыми формулами. Например, если значением термина Б является формула А, а значением термина Р — формула В, то можно, например, считать БаР истинным, если и только если из А следует В, а Б1Р — истинным, если и только если из А не следует -В. Идея построения интенсиональной семантики данного типа была впервые выдвинута и реализована
В.И. Шалаком [40]. Маркин [41] обратил внимание на возможность использования в интерпретациях форм атрибутивных суждений отношения релевантного следования вместо классического. При этом некоторые законы силлогистики перестают быть общезначимыми. Позднее адекватные семантики как с классическим, так и с релевантным отношением следования были построены М.М. Легейдо и В.И. Маркиным для многих известных и совсем новых систем силлогистики [42, 43].
К исследованиям в области силлогистики примыкает и проблема адекватной формальной реконструкции логических систем выдающегося казанского логика Н.А. Васильева, который по праву считается одним из основоположников неклассических логик. Наибольший интерес у современных ученых вызывает сформулированная Васильевым воображаемая неаристотелева логика, которая представляет собой силлогистику особого вида. Если в традиционной силлогистике рассматриваются суждения двух качеств — утвердительные и отрицательные, то в воображаемой логике дополнительно вводятся так называемые индифферентные или противоречивые суждения. Последние содержат связку «есть и не есть одновременно» и могут, согласно Васильеву, оказаться истинными не в нашем, а в некотором воображаемом мире, где допустимо, что некий предмет и обладает, и не обладает неким свойством.
Сам Васильев предложил, по сути, два различающихся классами законов варианта воображаемой логики: один из них изложен тщательным, подробным образом, другой дается наброском. Основная версия воображаемой логики, как показала в своей диссертации Т.П. Костюк [44], может быть адекватно интерпретирована в рамках семантики, где с каждым термином связываются три экстенсиональные характеристики: его объем, антиобъем и противоречивая область. Утвердительные суждения фиксируют отношение между объемом субъекта и объемом предиката, отрицательные — между объемом субъекта и антиобъемом предиката, индифферентные — между объемом субъекта и областью, противоречивой применительно к предикату. А.В. Коньковой [45] удалось выделить все виды силлогизмов, корректных в этой логической системе.
Альтернативный вариант воображаемой логики основан на лейбницевской идее интенсиональной трактовки атрибутивных суждений, о которой шла речь выше. Суждение формы БяР, согласно Васильеву, истинно, если каждый признак из содержания Р утверждается в содержании Б; суждение формы БеР истинно, если каждый признак из содержания Р отрицается в содержании Б; а индифферентное суждение формы «Все Б есть и не есть Р» истинно, если не-
которые признаки из содержания Р утверждаются, а некоторые отрицаются в содержании Б. Адекватная современная реконструкция интенсиональной версии воображаемой логики была осуществлена Д.В. Зайцевым и В.И. Маркиным [46], а А.В. Конькова [47] выделила все виды корректных в ней силлогизмов. Конькова и Маркин [48] сформулировали систему правил силлогизма для данной дедуктивной теории: каждый корректный силлогизм удовлетворяет всем критериям из этого набора, а каждый некорректный силлогизм не удовлетворяет хотя бы одному из критериев. Таким образом, было наглядно показано, что воображаемую логику Васильева можно построить в соответствии со стандартами, принятыми в традиционной силлогистике.
Еще один интересный результат, демонстрирующий связь воображаемой логики и традиционной силлогистики, был получен Коньковой и Легейдо [49]. Им удалось доказать, что исчисление, формализующее альтернативный вариант воображаемой логики, является консервативным расширением силлогистики Лукасеви-ча, которая, в свою очередь, представляет собой формализацию позитивной традиционной силлогистики. Иными словами, воображаемая логика включает те и только те законы, формулируемые в стандартном силлогистическом языке, которые являются законами традиционной силлогистики.
Формальные модели аргументации
Теория аргументации является полноценной частью логических исследований, несмотря на то что аргументационная деятельность не сводится к логическому выводу, а сама теория аргументации является скорее междисциплинарной областью знания. Современные исследования в сфере разработки искусственного интеллекта неожиданно дали новый импульс для развития этой столь же древней, сколь и сама логика, дисциплины, существенно изменив ее задачи, методы и технический аппарат. Можно сказать, что современная формальная аргументация уже довольно далеко ушла от традиционной теории аргументации, став, наряду с разнообразными системами немонотонных рассуждений, одной из ключевых составляющих логического подхода к разработке искусственного интеллекта.
Среди многочисленных существующих на сегодняшний день формальных моделей аргументации наиболее распространенной является такая, согласно которой аргументационная система трактуется как двухкомпонентная структура, состоящая из некоторого множества «аргументов» (где под «аргументами», как правило, име-
ются в виду рассуждения, а не отдельные утверждения) и заданного на нем отношения «атаки». Такой «абстрактный» взгляд на формальный анализ аргументации начал формироваться с момента выхода в свет работы Ф.М. Дунга [50].
Исходя из этой трактовки, можно выделить два общих направления исследований в этой области. В рамках первого направления разрабатываются различные подходы, нацеленные на анализ структуры и типологизацию аргументов. Второе направление связано с анализом, соответственно, отношения «атаки». Здесь исследуется, например, то, как это отношение может быть эксплицировано формально-логическими средствами, какие разновидности «атаки» имеет смысл выделять и как это влияет на критерии отбора эффективных методов аргументации.
Опубликованные за последние годы работы сотрудников кафедры логики по теории формальной аргументации можно поместить как в первую, так и во вторую категорию. В частности, работы [51, 52] предлагают авторские подходы к формальной экспликации различных отношений «атаки» в виде пропозициональных связок в контексте четырехзначных дедуктивных теорий. Остальные работы так или иначе посвящены критериям оценки аргументов. Как отмечается в работе [53], практика аргументативных рассуждений не всегда соответствует требованиям, которые предъявляет к ним логика. Из этого возникает вполне естественная потребность в разработке таких формальных моделей аргументации, которые давали бы нам возможность учитывать и логически корректные аргументы, и аргументы обычно трактуемые как логически некорректные. Один из таких формализмов был предложен в работе [53] и впоследствии был развит в работе [54]. Ключевая идея заключается в использовании особого отношения подтверждения между парой (множеством посылок и фиксированным допущением) и заключением, где заключение логически следует из множества посылок, дополненного фиксированным допущением, но не следует из множества посылок или фиксированного допущения по отдельности. Наконец, в статье [55] исследуется возможность формальной экспликации логических отношений, фиксирующих различные степени семантической оппозиции (противоречие, противоположность или подпротивоположность) между аргументами с формой условных высказываний, где последние рассматриваются как выраженный в языке способ обоснования тезиса (консеквента) с помощью довода (антецедента). А.А. Беликовым был разработан подход, позволяющий формализовать эти логические отношения средствами трехзначной логики.
Заключение
Подводя итоги, отметим, что исследовательский ландшафт современной философской логики непрерывно меняется, с одной стороны, обогащаясь переосмыслением известных ранее идей, с другой — отвечая на новые вызовы. Здесь сосуществуют такие исследования, которые относятся к проблематике классической и даже традиционной логики, и такие, которые связаны с логико-философскими основаниями разработки искусственного интеллекта. Сотрудники и выпускники кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова поддерживают высокий уровень получаемых ими научных результатов, что подтверждается многочисленными публикациями в ведущих международных и отечественных логических журналах (см. [56]), докладами на престижных научных форумах, участием в представительных коллективных монографиях.
О последних хотелось бы сказать особо. В мировой научной практике существует специальный жанр коллективных монографий, посвященных выдающимся представителям той или иной области знания, внесшим в их развитие существенный вклад. А.А. Беликов, О.М. Григорьев и Д.В. Зайцев написали не так давно главу [12] для подобного сборника, посвященного памяти М. Данна, известного американского логика и философа, крупнейшего специалиста в области релевантной логики. В июне 2024 г. в издательстве Springer в серии «Библиотека журнала Синтез» вышла книга, посвященная профессору кафедры логики философского факультета МГУ Юрию Васильевичу Ивлеву [57]. Научные работы, собранные в этом издании, объединены общей тематикой, которую кратко можно было бы назвать «квазиматричная логика», пользуясь терминологией самого Ю.В. Ивлева. Профессор Ивлев является одним из признанных основоположников этого направления неклассической логики, хотя широкая известность пришла к его идеям и работам в области квазиматричной логики лишь в последние годы. Ключевая идея, лежащая в основе квазиматричной семантики, состоит в допущении недетерминированного выбора истинностного значения высказывания. Значения пропозициональных связок формализованного языка определяются посредством так называемых «квазиматриц», описывающих возможные альтернативы при осуществлении этого недетерминированного выбора (в зарубежной литературе распространен термин «недетерминистические матрицы», non-deterministic matricies). Интерес к логическим теориям, определяемым квазиматрицами, заметно вырос за последние два десятка лет, появилось немало серьезных публикаций на эту тему (см. обзор: [58]). По боль-
шей части это работы, посвященные многозначным (в особенности паранепротиворечивым) логикам, тогда как Ивлев основное внимание уделял построению квазиматричной семантики для модальных логик (см, например: [59, 60, 61, 62]), разрабатывая эту проблематику на протяжении практически всей своей академической карьеры. Возвращаясь к упомянутой книге, отметим, что в ее написании приняли участие крупнейшие специалисты по неклассической логике из разных стран, в то время как профессор Д.В. Зайцев и выпускница кафедры логики Е. Кубышкина выступили в роли соредакторов этого сборника. Книга увидела свет за месяц до того, как не стало Юрия Васильевича.
СПИСОК ИСТОЧНИКОВ
1. Shramko Y. Wansing H. Truth values // The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 Edition) / E.N. Zalta (ed.). URL: https://plato.stanford.edu/archives/ win2021/entries/truth-values
2. Shramko Y., Wansing H. Some useful 16-valued logics: how a computer network should think // Journal of Philosophical Logic. 2005. Vol. 34, N 2. P. 121-153.
3. Shramko Y.,ZaitsevD.,BelikovA. First-degree entailment and its relatives // Studia Logica. 2017. Vol. 105, N 6. P. 1291-1347.
4. Shramko Y., Zaitsev D., Belikov A. The fmla-fmla axiomatizations of the exactly true and non-falsity logics and some of their cousins // Journal of Philosophical Logic. 2019. Vol. 48, N 5. P. 787-808.
5. Григорьев О.М., Зайцев Д.В. Две истины — одна логика // Логические исследования. 2011. Т. 17. С. 121-139.
6. Zaitsev D., Shramko Y. Bi-facial truth: a case for generalized truth values // Studia Logica. 2013. Vol. 101, N 6. P. 1299-1318.
7. Zaitsev D. Logics of generalized classical truth values // The Logica Yearbook 2014 / P. Arazim, M. Pelis (eds). L.: College Publications London, 2015. P. 331-341.
8. Grigoriev O.M. Generalized truth values: From logic to the applications in cognitive sciences // Lecture Notes in Computer Science. 2016. Vol. 9719. P. 712-719.
9. Grigoriev O.M. Logic of bipartite truth with uncertainty dimension // Journal of Applied Logics — IfCoLoG Journal of Logics and their Applications. 2019. Vol. 6, N 2. P. 291-319.
10. Grigoriev O., Zaitsev D. Cyclic negations and four-valuedness // Indrzejczak A., Zawidzki M. Proceedings of the 10th International Conference on Non-Classical Logics: Theory and applications (NCL 2022). todz, Poland, 14-18 March 2022. Vol. 358 of Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science. todz, 2022. P. 216-226.
11. Grigoriev O., Zaitsev D. Basic four-valued systems of cyclic negations // Bulletin of the section of logic. 2022. Vol. 51, Т 4. P. 507-533.
12. Belikov A., Grigoriev O., Zaitsev D. On connegation // Relevance logics and other tools for reasoning: Essays in honor of J. Michael Dunn. United Kingdom, London: College Publications, 2022. "Tributes" series, Vol. 46. P. 73-88.
13. Беликов А.А., Григорьев О.М. О проблеме симуляции паранепротиворе-чивых и параполных отрицаний // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. 2024. № 4. С. 56-73.
14. Grigoriev O., Petrukhin Y. Modal multilattice logics with tarski, kuratowski, and halmos operators // Logic and Logical Philosophy. 2021. Vol. 30, N 3. P. 385-415.
15. Grigoriev O., Petrukhin Y. On a multilattice analogue of a hypersequent S5 calculus // Logic and Logical Philosophy. 2019. Vol. 28, N 4. P. 683-730.
16. Belikov A., Petrukhin Y. Exactly true and non-falsity logics meeting infectious ones // Journal of Applied Non-classical logics. 2020. Vol. 30, N 2. P. 93-122.
17. Belikov A. On bivalent semantics and natural deduction for some infectious logics // Logic Journal of the IGPL. 2022. Vol. 3, N 1. P. 186-210.
18. Wansing H. Connexive modal logic // Advances in modal logic / R. Schmidt (ed.). 2005. Vol. 5. P. 367-383.
19. Wansing H. Connexive logic // The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 Edition) / E.N. Zalta (ed.). URL: https://plato.stanford.edu/archives/sum2022/ entries/logic-connexive
20. Belikov A., Zaitsev D. A variant of material connexive logic // Bulletin of the section of logic. 2022. Vol. 51, N 2. P. 227-242.
21. Belikov A. A Simple way to overcome hyperconnexivity // Studia Logica. 2024. Vol. 112. P. 69-94.
22. Беликов А.А. Проблема гипер-коннексивности в чистых теориях коннек-сивной импликации // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2024. № 80. С. 23-33.
23. Беликов А.А. Замечания об импликации Фаррелла // Философия. Журнал Высшей школы экономики. 2024. Т. 8, № 2. С. 123-141.
24. McCall S. A history of connexivity // Handbook of the history of logic / Gabbay D.M., Pelletier F.J., Woods J. (eds). North-Holland, 2012. Vol. 11. P. 415-449.
25. Belikov A. Peirce's triadic logic and its (overlooked) connexive expansion // Logic and Logical Philosophy. Online. 2 May. 2021. Vol. 30, N 3, P. 535-559.
26. Grigoriev O., NasieniewskiM., Mruczek-Nasieniewska K., Petrukhin Y., Shangin V. Axiomatizing a minimal discussive logic // Studia Logica. 2023. Vol. 111, N 5. P. 855-895.
27. Jukiewicz M., Nasieniewski M., Petrukhin Y., Shangin V. Computer-aided searching for a tabular many-valued discussive logic-matrices // Logic Journal of the IGPL, 2024. online publication: https://doi.org/10.1093/jigpal/jzae080
28. Попов В.М. К проблеме расширения матричной семантики, адекватной классической импликативной логике, до матричной семантики, адекватной классической импликативно-негативной логике // Логико-философские штудии. 2019. Т. 17, № 1. C. 1-31.
29. Попов В.М. К проблеме расширения матричной семантики, адекватной классической импликативной логике, до матричной семантики, адекватной классической импликативно-негативной логике (часть 2) // Логико-философские штудии. 2020. Т. 18, № 1. С. 34-45.
30. Попов В.М. К проблеме расширения матричной семантики, адекватной классической импликативной логике, до матричной семантики, адекватной классической импликативно-негативной логике (часть 3) // Логико-философские штудии. 2020. Т. 18, № 2. С. 134-160.
31. Попов В.М. К проблеме расширения матричной семантики, адекватной классической импликативной логике, до матричной семантики, адекватной классической импликативно-негативной логике (часть 4) // Логико-философские штудии. 2020. Т. 18, № 3. С. 212-236.
32. Петрухин Я.И., Шангин В.О. Корреспондентский анализ для паранепро-тиворечивой слабой логики Клини // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. 2017. № 6. С. 52-62.
33. Petrukhin Y., Shangin V. Automated correspondence analysis for the binary extensions of the logic of paradox // Review of Symbolic Logic. 2017. P. 1-26.
34. Petrukhin Y., Shangin V. Automated proof-searching for strong kleene logic and its binary extensions via correspondence analysis // Logic and Logical Philosophy. 2019. Vol. 28, N 2. P. 223-257.
35. Petrukhin Y., Shangin V. Non-transitive correspondence analysis // Journal of Logic, Language and Information. 2023. Vol. 32, N 2. P. 247-273.
36. Маркин В.И. Силлогистика как логика отношений между двумя непустыми множествами // Логические исследования. 2020. Т. 26, № 2. С. 39-57.
37. Маркин В.И. Критерии полноты для множества силлогистических констант // Тринадцатые Смирновские чтения по логике: Материалы международной научной конференции. 22-24 июня 2023 г. М: Издатель Воробьёв А.В., 2023. С. 94-97.
38. Маркин В.И. Логика суждений существования и силлогистика // Логические исследования. 2021. Т. 27, № 2. С. 31-47.
39. Маркин В.И. Логика суждений существования как средство представления знаний и автоматической проверки умозаключений // Интеллектуальные системы: Теория и приложения. 2022. Т. 26, № 1. С. 422-426.
40. ШалакВ.И. Синтаксическая интерпретация категорических атрибутивных высказываний // Логические исследования. 2015. Т. 21, № 1. C. 60-78.
41. Маркин В.И. Интерпретация категорических высказываний в терминах релевантного следования // Логические исследования. 2016. Т. 22, № 1. С. 70-81.
42. Легейдо М.М. Интенсиональные семантики для некоторых систем позитивной силлогистики // Логические исследования. 2021. Т. 27, № 2. С. 9-31.
43. Маркин В. И., Легейдо М.М. Интенсиональная семантика логики классов Дж. Венна // Логические исследования. 2019. Т. 25, № 2. С. 114-137.
44. Костюк Т.П. Реконструкция логических систем Н.А. Васильева средствами современной логики: Диссертация кандидата философских наук: 09.00.07. М., 1999.
45. Конькова А.В. О корректных силлогизмах основного варианта Воображаемой логики Н.А. Васильева // Логические исследования. 2023. Т. 29, № 1. С. 84-100.
46. Markin V., Zaitsev D. Imaginary logic-2: formal reconstruction of the unnoticed Nikolai Vasiliev's logical system // Logique et Analyse. 2002. Vol. 45, N 177-178. P. 39-54.
47. Конькова А.В. Воображаемая логика-2 Н.А. Васильева как силлогистическая теория // Логические исследования. 2019. Т. 25, № 2. С. 94-113.
48. Конькова А.В., Маркин В.И. Силлогистика с двумя видами отрицания (реконструкция одной идеи Н.А. Васильева) // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. 2020. № 5. С. 108-127.
49. Легейдо М.М., Конькова А.В. Об интересной связи между традиционной силлогистикой и воображаемой логикой // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2022. № 70. С. 48-58.
50. Dung P.M. On the acceptability of arguments and its fundamental role in nonmonotonic reasoning, logic programming and n-person games // Artificial intelligence. 1995. Vol. 77, N 2. P. 321-357.
51. Беликов А.А. Наивная экспликация отношения атаки // Двенадцатые Смирновские чтения: Материалы Международной научной конференции, Москва, 24-26 июня 2021 г. Русское общество истории и философии науки. М.: Изд-во "Русское общество истории и философии науки", 2021. С. 242-245.
52. Зайцев Д.В. Выразительные возможности аргументативной атаки // Двенадцатые Смирновские чтения: Материалы Международной научной конференции, Москва, 24-26 июня 2021 г. Русское общество истории и философии науки. М.: Изд-во "Русское общество истории и философии науки", 2021. С. 255-257.
53. Зайцев Д.В., Беликов А.А. Моделируя аргументацию: оценки и рассуждения // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2020. № 57. С. 13-24.
54. Зайцев Д.В. Степени подтверждения // Логико-философские штудии. 2022. Т. 20, № 2. С. 202-209.
55. Беликов А.А. Логические отношения между условными высказываниями и трехзначная логика // Вестник Томского государственного университета. Философия. Социология. Политология. 2023. № 71. С. 5-12.
56. Shangin V. A classical first-order normalization procedure with V and 3 based on the Milne-Kurbis approach // Synthese. 2023. Vol. 202, N 2. P. 48.
57. Many-valued semantics and modal logics: Essays in honour of Yuriy Vasiliev-ich Ivlev / Coniglio M.E., Kubyshkina E., Zaitsev D. (eds). Synthese Library. Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG, 2024. Vol 485.
58. Avron A., Zamansky A. Non-deterministic semantics for logical systems — A survey // Handbook of Philosophical Logic. D. Gabbay, F. Guenther (eds). Berlin: Springer, 2011. Vol. 16. P. 227-304.
59. Ивлев Ю.В. Табличное построение пропозициональной модальной логики // Вестник Московского университета. Серия 7. Философия. 1973. № 6. С. 51-61.
60. Ивлев Ю.В. Модальная логика. М.: Издательство Московского ун-та, 1991.
222 с.
61. Ивлев В.Ю., Ивлев Ю.В. Проблема построения теории фактических модальностей // Логические исследования. 2000. Т. 7. С. 269-276.
62. Omori H., Skurt D. On Ivlev's semantics for modality / Coniglio M.E., Kubyshkina, E., Zaitsev, D. (eds). Many-valued semantics and modal logics: Essays in honour of Yuriy Vasilievich Ivlev. Synthese Library. 2024. Vol. 485. P. 243-275.
REFERENCES
1. Shramko Y., Wansing H. Truth values. In: The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Winter 2021 Edition). E.N. Zalta (ed.). URL: https://plato.stanford.edu/archives/ win2021/entries/truth-values
2. Shramko Y., Wansing H. Some useful 16-valued logics: how a computer network should think. Journal of Philosophical Logic. 2005. Vol. 34, N 2. P. 121-153.
3. Shramko Y., Zaitsev D., Belikov A. First-degree entailment and its relatives. Studia Logica. 2017. Vol. 105, N 6. P. 1291-1347.
4. Shramko Y., Zaitsev D., Belikov A. The fmla-fmla axiomatizations of the exactly true and non-falsity logics and some of their cousins. Journal of Philosophical Logic. 2019. Vol. 48, N 5. P. 787-808.
5. Grigorev O.M., Zajcev D.V. Dve istiny — odna logika. Logicheskie issledovaniya. 2011. Vol. 17. P. 121-139. (In Russ.)
6. Zaitsev D., Shramko Y. Bi-facial truth: a case for generalized truth values. Studia Logica. 2013. Vol. 101, N 6. P. 1299-1318.
7. Zaitsev D. Logics of generalized classical truth values. In: The Logica Yearbook 2014 / P. Arazim, M. Pelis (eds). L.: College Publications London, 2015. P. 331-341.
8. Grigoriev O.M. Generalized truth values: From logic to the applications in cognitive sciences. In: Lecture Notes in Computer Science. 2016. Vol. 9719. P. 712-719.
9. Grigoriev O.M. Logic of bipartite truth with uncertainty dimension. Journal of Applied Logics — IfCoLoG Journal of Logics and their Applications. 2019. Vol. 6, N 2. P. 291-319.
10. Grigoriev O., Zaitsev D. Cyclic negations and four-valuedness. In: Indrzejczak A., Zawidzki M. Proceedings of the 10th International Conference on Non-Classical Logics:
Theory and applications (NCL 2022). Lodz, Poland, 14-18 March 2022. Vol. 358 of Electronic Proceedings in Theoretical Computer Science. Lodz, 2022. P. 216-226.
11. Grigoriev O., Zaitsev D. Basic four-valued systems of cyclic negations. Bulletin of the section of logic. 2022. Vol. 51, N 4. P. 507-533.
12. Belikov A., Grigoriev O., Zaitsev D. On connegation. In: Relevance logics and other tools for reasoning: Essays in honor of J. Michael Dunn. United Kingdom, L.: College Publications, 2022. "Tributes" series, Vol. 46. P. 73-88.
13. Belikov A.A., Grigorev O.M. O probleme simulyacii paraneprotivorechivyh i parapolnyh otricanij. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 7. Filosofiya. 2024. N 4. P. 56-73. (In Russ.)
14. Grigoriev O., Petrukhin Y. Modal multilattice logics with tarski, kuratowski, and halmos operators. Logic and Logical Philosophy. 2021. Vol. 30, N 3. P. 385-415.
15. Grigoriev O., Petrukhin Y. On a multilattice analogue of a hypersequent S5 calculus. Logic and Logical Philosophy. 2019. Vol. 28, N 4. P. 683-730.
16. Belikov A., Petrukhin Y. Exactly true and non-falsity logics meeting infectious ones. Journal of Applied Non-classical logics. 2020. Vol. 30, N 2. P. 93-122.
17. Belikov A. On bivalent semantics and natural deduction for some infectious logics. Logic Journal of the IGPL. 2022. Vol. 3, N 1. P. 186-210.
18. Wansing H. Connexive modal logic. In: Advances in modal logic. R. Schmidt (ed.). 2005. Vol. 5. P. 367-383.
19. Wansing H. Connexive logic. In: The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Summer 2022 Edition). E.N. Zalta (ed.). URL: https://plato.stanford.edu/archives/sum2022/ entries/logic-connexive
20. Belikov A., Zaitsev D. A variant of material connexive logic. Bulletin of the section of logic. 2022. Vol. 51, N 2. P. 227-242.
21. Belikov A. A Simple way to overcome hyperconnexivity. Studia Logica. 2024. Vol. 112. P. 69-94.
22. Belikov A.A. Problema giper-konneksivnosti v chistyh teoriyah konneksivnoj implikacii. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sociologiya. Poli-tologiya. 2024. N 80. P. 23-33 (In Russ.)
23. Belikov A.A. Zamechaniya ob implikacii Farrella. Filosofiya. Zhurnal Vysshej shkoly ekonomiki. 2024. Vol. 8, N 2. P. 123-141. (In Russ.)
24. McCall S. A history of connexivity. In: Handbook of the history of logic. Gab-bay D.M., Pelletier F.J., Woods J. (eds). North-Holland, 2012. Vol. 11. P. 415-449.
25. Belikov A. Peirce's triadic logic and its (overlooked) connexive expansion. Logic and Logical Philosophy. Online. 2 May. 2021. Vol. 30, N 3. P. 535-559.
26. Grigoriev O., Nasieniewski M., Mruczek-Nasieniewska K., Petrukhin Y., Shan-gin V. Axiomatizing a minimal discussive logic. Studia Logica. 2023. Vol. 111, N 5. P. 855895.
27. Jukiewicz M., Nasieniewski M., Petrukhin Y., Shangin V. Computer-aided searching for a tabular many-valued discussive logic-matrices. Logic Journal of the IGPL. 2024. online publication: https://doi.org/10.1093/jigpal/jzae080
28. Popov V.M. K probleme rasshireniya matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassi-cheskoj implikativnoj logike, do matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassicheskoj implika-tivno-negativnoj logike. Logiko-filosofskie shtudii. 2019. Vol. 17, N 1. P. 1-31. (In Russ.)
29. Popov V.M. K probleme rasshireniya matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassicheskoj implikativnoj logike, do matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassicheskoj implikativno-negativnoj logike (chast 2). Logiko-filosofskie shtudii. 2020. Vol. 18, N 1. P. 34-45. (In Russ.)
30. Popov V.M. K probleme rasshireniya matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassicheskoj implikativnoj logike, do matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassicheskoj implikativno-negativnoj logike (chast 3). Logiko-filosofskie shtudii. 2020. Vol. 18, N 2. P. 134-160. (In Russ.)
31. Popov V.M. K probleme rasshireniya matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassicheskoj implikativnoj logike, do matrichnoj semantiki, adekvatnoj klassicheskoj implikativno-negativnoj logike (chast 4). Logiko-filosofskie shtudii. 2020. Vol. 18, N 3. P. 212-236. (In Russ.)
32. Petruhin Ya.I., Shangin V.O. Korrespondentskij analiz dlya paraneprotivorechi-voj slaboj logiki Klini. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 7. Filosofiya. 2017. N 6. P. 52-62. (In Russ.)
33. Petrukhin Y., Shangin V. Automated correspondence analysis for the binary extensions of the logic of paradox. Review of Symbolic Logic. 2017. P. 1-26.
34. Petrukhin Y., Shangin V. Automated proof-searching for strong kleene logic and its binary extensions via correspondence analysis. Logic and Logical Philosophy. 2019. Vol. 28, N 2. P. 223-257.
35. Petrukhin Y., Shangin V. Non-transitive correspondence analysis. Journal of Logic, Language and Information. 2023. Vol. 32, N 2. P. 247-273.
36. Markin V.I. Sillogistika kak logika otnoshenij mezhdu dvumya nepustymi mnozhestvami. Logicheskie issledovaniya. 2020. Vol. 26, N 2. P. 39-57. (In Russ.)
37. Markin V.I. Kriterii polnoty dlya mnozhestva sillogisticheskih konstant. In: Trinadcatye Smirnovskie chteniya po logike: materialy mezhdunarodnoj nauchnoj konfer-encii 22-24 iyunya 2023 g. Moscow: Published Vorobjev by A.V., 2023. P. 94-97. (In Russ.)
38. Markin V.I. Logika suzhdenij sushestvovaniya i sillogistika. Logicheskie issledovaniya. 2021. Vol. 27, N 2. P. 31-47. (In Russ.)
39. Markin V.I. Logika suzhdenij sushestvovaniya kak sredstvo predstavleniya znanij i avtomaticheskoj proverki umozaklyuchenij. Intellektualnye sistemy: Teoriya iprilozheniya. 2022. Vol. 26, N 1. P. 422-426. (In Russ.)
40. Shalak V.I. Sintaksicheskaya interpretaciya kategoricheskih atributivnyh vyskazy-vanij. Logicheskie issledovaniya. 2015. Vol. 21, N 1. P. 60-78. (In Russ.)
41. Markin V.I. Interpretaciya kategoricheskih vyskazyvanij v terminah relevantnogo sledovaniya. Logicheskie issledovaniya. 2016. Vol. 22, N 1. P. 70-81. (In Russ.)
42. Legejdo M.M. Intensionalnye semantiki dlya nekotoryh sistem pozitivnoj sil-logistiki. Logicheskie issledovaniya. 2021. Vol. 27, N 2. P. 9-31. (In Russ.)
43. Markin V.I., Legejdo M.M. Intensionalnaya semantika logiki klassov Dzh. Venna. Logicheskie issledovaniya. 2019. Vol. 25, N 2. P. 114-137. (In Russ.)
44. Kostyuk T.P. Rekonstrukciya logicheskih sistem N.A. Vasileva sredstvami sovre-mennoj logiki: dissertaciya kandidata filosofskih nauk: 09.00.07. Moscow, 1999. (In Russ.)
45. Konkova A.V. O korrektnyh sillogizmah osnovnogo varianta Voobrazhaemoj logiki N.A. Vasileva. Logicheskie issledovaniya. 2023. Vol. 29, N 1. P. 84-100. (In Russ.)
46. Markin V., Zaitsev D. Imaginary logic-2: formal reconstruction of the unnoticed Nikolai Vasiliev's logical system. Logique et Analyse. 2002. Vol. 45, N 177-178. P. 39-54.
47. Konkova A.V. Voobrazhaemaya logika-2 N.A. Vasileva kak sillogisticheskaya teoriya. Logicheskie issledovaniya. 2019. Vol. 25, N 2. P. 94-113. (In Russ.)
48. Konkova A.V., Markin V.I. Sillogistika s dvumya vidami otricaniya (rekonstrukciya odnoj idei N.A. Vasileva). Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 7. Filosofiya. 2020. N 5. P. 108-127. (In Russ.)
49. Legejdo M.M., Konkova A.V. Ob interesnoj svyazi mezhdu tradicionnoj sillogis-tikoj i voobrazhaemoj logikoj. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sociologiya. Politologiya. 2022. N 70. P. 48-58. (In Russ.)
50. Dung P.M. On the acceptability of arguments and its fundamental role in nonmonotonic reasoning, logic programming and n-person games. Artificial intelligence. 1995. Vol. 77, N 2. P. 321-357.
51. Belikov A.A. Naivnaya eksplikaciya otnosheniya ataki. Dvenadcatye Smirnovskie chteniya: materialy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, Moscow, 24-26 iyunya 2021 g. Russkoe obshestvo istorii i filosofii nauki Moscow. Publisher: "Russian community of history and philosophy of science", 2021. P. 242-245. (In Russ.)
52. Zajcev D. V. Vyrazitelnye vozmozhnosti argumentativnoj ataki. In: Dvenadcatye Smirnovskie chteniya: materialy Mezhdunarodnoj nauchnoj konferencii, Moscow, 24-26 iyunya 2021 g. Russkoe obshestvo istorii i filosofii nauki Moscow: Publisher: "Russian community of history and philosophy of science" , 2021. P. 255-257. (In Russ.)
53. Zajcev D.V., Belikov A.A. Modeliruya argumentaciyu: ocenki i rassuzhdeniya. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sociologiya. Politologiya. 2020. N 57. P. 13-24. (In Russ.)
54. Zajcev D.V. Stepeni podtverzhdeniya. Logiko-filosofskie shtudii. 2022. Vol. 20, N 2. P. 202-209. (In Russ.)
55. Belikov A.A. Logicheskie otnosheniya mezhdu uslovnymi vyskazyvaniyami i trehznachnaya logika. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Filosofiya. Sociologiya. Politologiya. 2023. N 71. P. 5-12. (In Russ.)
56. Shangin V. A classical first-order normalization procedure with V and 3 based on the Milne-Kurbis approach. Synthese. 2023. Vol. 202, N 2. P. 48.
57. Many-valued semantics and modal logics: Essays in honour of Yuriy Vasilievich Ivlev. Coniglio M.E., Kubyshkina E., Zaitsev D. (eds). Synthese Library. Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG, 2024. Vol. 485.
58. Avron A., Zamansky A. Non-deterministic semantics for logical systems — A survey. In: Handbook of Philosophical Logic. D. Gabbay, F. Guenther (eds). Berlin: Springer, 2011. Vol. 16. P. 227-304.
59. Ivlev Yu.V. Tablichnoe postroenie propozicionalnoj modalnoj logiki. Vestnik Moskovskogo universiteta. Seriya 7. Filosofiya. 1973. N 6. P. 51-61.
60. Ivlev Yu.V. Modalnaya logika. Moscow: Izdatelstvo Moskovskogo universiteta, 1991. 222 p.
61. Ivlev V.Yu., Ivlev Yu.V. Problema postroeniya teorii fakticheskih modalnostej. Logicheskie issledovaniya. 2000. Vol. 7. P. 269-276.
62. Omori H., Skurt D. On Ivlev's semantics for modality. In: Coniglio M.E., Kubyshkina, E., Zaitsev, D. (eds). Many-valued semantics and modal logics: Essays in honour of Yuriy Vasilievich Ivlev. Synthese Library. Cham, Switzerland: Springer International Publishing AG, 2024. Vol. 485. P. 243-275.
Информация об авторах:
Беликов Александр Александрович — кандидат философских наук, старший преподаватель кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: +7 (495) 939 18 46; [email protected] Григорьев Олег Михайлович — кандидат философских наук, доцент кафедры логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: +7 (495) 939 18 46; [email protected]
Маркин Владимир Ильич — доктор философских наук, профессор, заведующий кафедрой логики философского факультета МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: +7 (495) 939-18-46; [email protected]
Information about the authors:
Belikov Alexander Alexandrovich — Cand.Sc (Philosophy), senior lecturer, Department of Logic, Faculty of philosophy, Lomonosov Moscow State University, tel.: +7 (495) 939 18 46; [email protected]
Oleg M. Grigoriev — Cand.Sc (Philosophy), Associate Professor, Department of Logic, Faculty of philosophy, Lomonosov Moscow State University, tel.: +7 (495) 939 18 46; [email protected]
Vladimir I. Markin — Doct.Sc (Philosophy), Professor, head of the Department of Logic, Faculty of philosophy, Lomonosov Moscow State University, tel.: +7 (495) 939-18-46; [email protected]
Поступила в редакцию 02.07.2024; принята к публикации 07.10.2024
