Научная статья на тему 'Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоскости'

Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоскости Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
133
34
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
ПОЛИНОМИАЛЬНАЯ СИСТЕМА ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ / ОСЬ СИММЕТРИИ / ИЗОКЛИНЫ / ЦЕНТР / ФОКУС / POLYNOMIAL DIFFERENTIAL SYSTEMS / AXIS OF SYMMETRY / ISOCLINES / CENTER / FOCUS

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Тлячев В. Б., Ушхо А. Д., Ушхо Д. С.

Вводится понятие оси симметрии N-типа. Доказывается, что векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений с полиномами n-й степени в правых частях, не может иметь четного числа осей симметрии N-типа при n = 2m,m  N. Для случая n = 2, 3 проведено полное исследование данной системы наN-симметрию. В зависимости от числа осей симметрии N-типа найдены специальные формы записи квадратичных и кубичных систем, которые позволяют упростить качественное исследование таких систем.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The notion ofN-type axis of symmetry is introduced. It is proved that the vector field defined by system of the differential equations with norder polynomials in a right hand, cannot have even number of axes of symmetry N-type at n = 2m,m  N. For n = 2, 3 full research of the given system onN-symmetry is carried out. Depending on the number of axes of N-type symmetry special forms of presenting of square and cubic systems,which allowto simplify qualitative research of such systems, are discovered.

Текст научной работы на тему «Оси симметрии полиномиальных дифференциальных систем на плоскости»

Рассматривается задача, аналогичная задаче (2)-(3) с заменой в ней оператора на опера-

тор А^ р „. Рассматривается также уравнение вида (4) с заменой в нем оператора А+ на оператор

(q)

A

(q)

+, p, v

, p, v

Существование регуляризатора таких задач при ^ = 0 известно (см. [10]). Затем при всех

р = 1, 2,3,... и ^ е [0; 1] доказываются коэрцитивные априорные оценки, аналогичные оценкам (5) и (6). С помощью продолжения по параметру ^ устанавливается существование регуляризатора для задач, аналогичных задачам (2)-(3) и (4) при ^ = 1. Затем с использованием коэрцитивных априорных оценок и предельного перехода при р ^ показывается существование регуляризатора задач (2)-(3) и (4).

Теорема 4 доказывается аналогично теореме 3.

Библиографический список

1. Келдыш, М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области / М.В. Келдыш // Докл. АН. - 1951. - Т. 77, № 2. -С. 181-183.

2. Олейник, О. А. Об уравнениях эллиптического типа, вырождающихся на границе области / О. А. Олейник // Докл. АН. - 1952. - Т. 87, № 6. - С. 885-887.

3. Смирнов, М.М. Вырождающиеся эллиптические и гиперболические уравнения / М.М. Смирнов. - М.: Наука, 1966. - 292 с.

4. Рукавишников, В. А. О коэрцитивности Rv-обобщенного решения первой краевой задачи с согласованным вырождением исходных данных / В. А. Рукавишников, А. Г. Ереклинцев // Дифференциальные уравнения. - 2005. - Т. 41, № 12. - С. 1680-1689.

5. Антонцев, С. Н. О локализации решений эллиптических уравнений с неоднородным анизотропным вырождением / С. Н. Антонцев, С. И. Шмарёв // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т. 46, № 5. - С. 963-984.

6. Вишик, М. И. Краевые задачи для эллиптических уравнений, вырождающихся на границе области /

УДК 517.917

ОСИ СИММЕТРИИ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ СИСТЕМ НА ПЛОСКОСТИ

В.Б. Тлячев, А.Д. Ушхо*, Д.С. Ушхо

Адыгейский государственный университет, Майкоп, кафедра теоретической физики, * кафедра информатики E-mail: [email protected]

Вводится понятие оси симметрии N-типа. Доказывается, что векторное поле, определяемое системой дифференциальных уравнений с полиномами n-й степени в правых частях, не может иметь четного числа осей симметрии N-типа при n = 2m, m <g N. Для случая n = 2,3 проведено полное исследование данной системы на N-симметрию. В зависимости от числа осей симметрии N-типа найдены специальные формы записи квадратичных и кубичных систем, которые позволяют упростить качественное исследование таких систем.

Ключевые слова: полиномиальная система дифференциальных уравнений, ось симметрии, изоклины, центр, фокус.

М. И. Вишик, В. В. Грушин // Мат. сб. - 1969. - Т. 80 (112), вып. 4. - С. 455-491.

7. Глушко, В. П. Теоремы разрешимости краевых задач для одного класса вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / В. П. Глушко // Дифференциальные уравнения с частными производными: Тр. семинара акад. С. Л. Соболева. - Новосибирск, 1978. -№ 2. - С. 49-68.

8. Баев, А.Д. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка и связанные с ними псевдодифференциальные операторы / А. Д. Баев // Докл. АН. -1982. - Т. 265, № 5. - С. 1044-1046.

9. Баев, А.Д. Об общих краевых задачах в полупространстве для вырождающихся эллиптических уравнений высокого порядка / А. Д. Баев // Докл. АН. -2008. - Т. 422, № 6. - С. 727-728.

10. Баев А.Д. Качественные методы теории краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений / А. Д. Баев. - Воронеж: Изд-во Воронеж. гос. ун-та, 2008. - 240 с.

Symmetry Axes of Planar Polynomial Differential Systems

V.B. Tlyachev, A.D. Ushkho*, D.S. Ushkho

Adyghe State University, Maykop, Chair of Theoretical Physics, * Chair of Informatics E-mail: [email protected]

The notion of N-type axis of symmetry is introduced. It is proved that the vector field defined by system of the differential equations with norder polynomials in a right hand, cannot have even number of axes of symmetry N-type at n = 2m, m e N. For n = 2,3 full research of the given system on N-symmetry is carried out. Depending on the number of axes of N-type symmetry special forms of presenting of square and cubic systems, which allowto simplify qualitative research of such systems, are discovered.

Key words: polynomial differential systems, axis of symmetry, isoclines, center, focus.

ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] изучено дифференциальное уравнение

dy Y

(1)

dx X(x, y) '

где Y(x, y) и X(x, y) — аналитические в окрестности начала координат функции, разложения которых в ряды

X(x, y) = Pn (x, y) + Pn+1 (x, y) + . . . , Y (x, y) = Qn (x, y) + Qn+1 (x, y) + ... начинаются с членов не ниже первого порядка, при условии, что характеристическое уравнение

Qn(cos sin cos ^ + Pn(cos sin sin ^ = 0 (2)

не имеет действительных корней.

Отсутствие действительных корней уравнения (2), как известно [2], является достаточным условием того, что ни одна интегральная кривая уравнения (1) не входит в начало координат с определенным угловым коэффициентом, т.е. 0(0,0) — особая точка типа центра или фокуса. Именно в связи с проблемой различения центра и фокуса автором работы [1] исследуется вопрос о существовании осей симметрии поля направлений дифференциального уравнения (1), проходящих через начало координат. В [1] доказана теорема 1, которая утверждает, что существование проходящей через начало координат оси симметрии поля направлений дифференциального уравнения (1) гарантирует наличие центра в начале координат 0(0,0), разумеется, при выполнении условия отсутствия действительных корней уравнения (2). Очевидно, что это утверждение представляет собой не что иное, как принцип симметрии, примененный к уравнению (1). В качестве примера в работе [1] приводятся условия наличия осей симметрии у квадратичного дифференциального уравнения:

dy x + C20x2 + Cil xy + C02 y2

¿X у + &20Х2 + бцху + 602У2 '

В предлагаемой статье изучаются условия существования осей симметрии системы двух дифференциальных уравнений, правые части которой являются многочленами второй или третьей степени. В дальнейшем будем называть такие системы квадратичными и кубичными, соответственно, так как это принято в качественной теории дифференциальных уравнений. При этом, в отличие от [1], мы не требуем, чтобы начало координат было только особой точкой второй группы, т.е. центром или фокусом.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

¿Х = Рп(х,у), ¿У = ^ (х,у), (3)

где Рп и Qn — взаимно простые многочлены степени п(п > 2) с действительными коэффициентами. Определение 1. Пусть преобразование

X = х + ^у, у = — + у (4)

переводит систему (3) в систему

¿Х = Рп(Х,у ), ¿у = Qn (Х,у), (5)

где Рп(Х,у) = Рп((Х — &у)/(Р + 1), (&Х + у)(Р + 1)), Qn(Х,у) = Qn((X — + 1), (&Х + у)(р + 1)).

Тогда прямую у = ^х будем называть осью симметрии N-типа поля направлений системы (3), если имеют место одновременно следующие три тождества

Рп (X, у) = урп- 1(Х,у), Qn (X, —у) = Qn (X, у ), рп- 1(х, —у) = Рп- 1 (X, 27).

Теорема 1. Если прямая у = кх — ось симметрии N-типа векторного поля, определяемого системой (3), то эта прямая является изоклиной системы (3), причем

^п(х,кх) - 1 (к е К).

-Рп (х, кх) к

Доказательство. Прежде всего, заметим, что в случае к = 0, согласно определению 1, Рп(х,у) — уРп_ 1 (х, у), где Рп_ 1(х,у), — многочлен степени п — 1 и прямая у = 0 — изоклина бесконечности.

Пусть к = 0. В результате преобразования (4) система (3) перейдет в систему (5), где

Рп (х, у) — Рп (х, у) + к^п (х, у), (х, у) — —кРп (х, у) + (х, у), (6)

а х и у следует заменить по формулам:

х — ку кх + у

х = к^ГГ' у = ^П'

Так как по условию прямая у = кх — ось симметрии N-типа системы (3), то Рп (х, 0) — 0. Поэтому из первого равенства (6) получим тождество

Рп (х, кх) + к^п (х, кх) — 0,

из которого следует требуемое равенство ^п(х, кх)/Рп(х, кх) — —1/к. Теорема доказана. □

Замечание 1. Любую ось симметрии ^типа системы (3) пересекают траектории этой системы под прямым углом (разумеется, в точках, отличных от особых).

Следствие 1. Любая простая особая точка системы (3), расположенная на ее оси симметрии ^типа, является центром или седлом.

В самом деле, простая особая точка системы (3) может быть либо центром, либо фокусом, либо узлом, либо седлом [2]. Очевидно, случай фокуса исключается, так как спиралевидная траектория не может быть расположена симметрично относительно прямой, проходящей через особую точку типа «фокус». Исключается также случай особой точки типа «узел». Сошлемся на монографию [2], согласно которой всегда можно указать цикл без контакта такой, что он окружает узел и расположен в его достаточно малой окрестности, а все траектории, пересекающие цикл, стремятся к узлу при £ ^ +го или при £ ^ —го. Вместе с тем, согласно замечанию 1, в сколь угодно малой проколотой окрестности особой точки траектории пересекают ось симметрии N-типа под прямым углом, а значит, особая точка не может быть узлом.

Пусть далее система (3) имеет две оси симметрии N-типа у = к1 х, у = к2х, к1 = к2, к1 , к2 е К. Тогда согласно теореме 1 выполняются условия:

Рп(х,к1х) + к1 ^п(х, к1 х) — 0, (7)

Рп(х,к2х) + к2^п(х, к2х) — 0. (8)

Из (7) и (8) следуют тождества

Рп(х, у) + к1 фп(х, у) — (у — к1 х)Яп-1(х, у), (9)

Рп(х,у) + к2 ^п(х,у) — (у — к2 х)£п-1 (х, у), (10)

где

п 1 п 1

Дп-1 (х,у)= ^ Г^ хгу^, ^п-1(х,у)= ^ хУ. (11)

г+^=0 ¿+.7=0

Разрешив систему (9), (10) относительно Рп и и переходя к новой переменной ¿т = ¿£/(к2 — к1) приведем систему (3) к виду

¿х

¿т = к2 (у — к1 х)Дп-1(х,у) — к1 (у — к2х)^п-1(х,у), Математика 43

dy

— = -(y - kix)Rn-i(x,y) + (y - k2x)S„-i(x,y). (12)

Рассмотрим случай, когда оси симметрии N-типа y = k1x и y = k2x взаимно перпендикулярны. Очевидно, что тогда k2k1 = —1 и, полагая k1 = k, систему (12) перепишем в виде

dx

— = (y - kx)Rn-i(x, y) + k(x + ky)Sn-i(x, y), dy

— = k(y - kx)Rn-i(x, y) - (x + ky)Sn-i(x, y). (13)

Здесь d^ = -dr/k, k = 0. Если к системе (13) применить преобразование (4) и замену времени dn = (k2 + 1)d^, то она преобразуется в систему

dx = y Rn-i (x, y), = -xSn-i (x, y), (14)

где

Rn-1(x, y) = Rn-i(x, y), Sn-i(x, y ) = Sn-i(x, y), x = x2 ky, y = kx + y.

k2 + 1 k2 + 1

Таким образом, доказана

Теорема 2. £сли система (3) имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии N-типа, то подходящим линейным преобразованием (4) эту систему можно привести к виду (14), где

Rn-i (x, -у) = Rn-i(x,y), Sn-i (x, -у) = Sn-i (x,y),

Rn-i (-x, y) = Rn-i(x,y), Sn-i (-x, y) = Sn-i (x,y). (15)

Воспользуемся системой (14) и условиями (15) для получения явного вида функций (11) в системе (13) при n = 3. Тогда

R2 (x, y) = Г00 + rio x + roiy + Г20 x2 + rii xy + r02y2, (16)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

S2(x, y) = S00 + Si0x + S0iy + S20x2 + siixy + S02y2. (17)

Заменяя в выражениях (16) и (17) x и y по формулам (4), а затем, используя условия (15), можно убедиться в выполнении ограничений на коэффициенты:

ri0 = r0i = S0i = Si0 = 0, riik2 - 2(Г02 - Г20)k - rii = 0, siik2 - 2(s02 - S20)k - sii = 0. (18) Исследуем систему (18).

Если rii = sii =0 и (r02 -r20)2 + (s02 - s20)2 > 0, то координатные прямые y = 0 и x = 0 являются осями симметрии N-типа системы (3) при n = 3. При этом система (3) имеет вид

dx dy

"Г- = УR00, ~ТГ = -xS00, dt dt

где R00 = Г00 + r20x2 + Г02y2, S00 = S00 + S20x2 + S02y2.

Если rii =0 и sii = s02 - s20 = 0, то осями симметрии N-типа системы (3) являются прямые y = kx и y = -x/k, где k — корень уравнения riik2 - 2(r02 - r20)k - rii = 0. При этом система (3) имеет вид

dx

— = (y - kx)(R00 + rii xy) + k(x + ky)S00, dy

— = k(y - kx)(R00 + riixy) - (x + ky)S00. (19)

Если sii =0 и rii = r02 - r20 = 0, то прямые y = kx и y = -x/k являются осями симметрии N-типа системы (3), где k — корень следующего уравнения:

Siik2 - 2(S02 - S20)k - sii =0. (20)

При этом система (3) имеет вид

¿х

— = (у — кх)Лоо + к(х + ку)(5оо + вц ху), ¿у

— = к(у — кх)Доо — (х + ку)(50о + вц ху). (21)

Если г11 в11 =0 и (го2 — г2о)/г11 = (во2 — в2о)/в11, то осями симметрии N-типа системы (3) при п = 3 являются прямые у = кх и у = —х/к, где к — корень уравнения (20). При этом система (3) имеет вид

— = (у — кх)Л + к(х + ку)(^оо + в11 ху),

= к(у — кх)Л — (х + ку)(5оо + 511 ху), (22)

где

5 , 2 , , Г11 (во2 — 52оЬ 2 я = Гоо + Г2ох + Гцху + Г2о Г--у

V 511 /

Г11 (во2 — 52о) \у2 511

Если г11 = вц =0 и го2 = г2о = 0, во2 = в2о = 0, то осями симметрии N-типа системы (3) при п = 3 являются прямые у = кх и х = — ку, к е К, а система (3) имеет вид

¿х

— = (у — кх)Лоо + к(х + ку)£оо, ¿у

— = к(у — кх)Доо — (х + ку)^оо. (23)

Таким образом, доказана

Теорема 3. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 3 имеет две оси симметрии N-типа у = кх и х = —ку тогда и только тогда, когда она имеет вид одной из систем (19), (20)-(23) с соответствующими ограничениями на коэффициенты.

Теорема 4. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 2т, т е N и наличии в правых частях уравнений этой системы хотя бы одного одночлена размерности 2т не может иметь ровно двух осей симметрии N-типа.

Доказательство. Пусть вопреки утверждению теоремы система (3) имеет ровно две оси симметрии ^типа. Не умаляя общности, рассмотрим систему

= №ш-1(х,у), = —х^2Ш-1(х,у), (24)

где

2ш — 1 2ш — 1

^2ш-1 (х,у)= £ Г- хг у-7, ^2Ш-1(х,у)= ^ % ху. (25)

г+7=о г+7 =о

В силу симметрии поля направлений системы (24) относительно прямых х = 0 и у = 0 при п = 2т должны быть выполнены условия (15).

Каждое слагаемое степени 2т — 1 в правых частях равенств (25) содержит х или у в нечетной степени. Поэтому согласно условиям (15) при п = 2т все одночлены размерности 2т — 1 в правых частях равенств (25) отсутствуют. Пришли к противоречию с тем, что правые части уравнений системы (24) содержат хотя бы один одночлен размерности 2т. Теорема доказана. □

Следствие 2. Если правые части уравнений квадратичной дифференциальной системы содержат хотя бы один квадратичный член, то эта система не может иметь в точности две оси симметрии N-типа.

Согласно работе [1] система (3) в случае (Рп,^п) = 1 имеет не более п + 1 осей симметрии ^типа. Поэтому справедливо

Утверждение 1. Если векторное поле системы (3) имеет более п +1 осей симметрии N-типа, то число таких осей симметрии бесконечно много, а система (3) вырождается в систему = у,

¿у= —х.

Теорема 5. Система дифференциальных уравнений (3) при п = 2т, т е N не может иметь четного числа осей симметрии N-типа, если правые части уравнений этой системы содержат хотя бы один одночлен размерности 2т.

В самом деле, пусть число осей симметрии ^типа поля направлений системы (3) при п = 2т,т е N равно 21, где 1 < I < [(п + 1)/2]. Не уменьшая общности, считаем, что осью симметрии N-типа является прямая у = 0 (этого всегда можно добиться с помощью преобразования (4)). Очевидно, любую из 21 осей симметрии ^типа можно получить поворотом прямой у = 0 на угол, кратный углу ^ = п/21 [1]. Следовательно, среди осей симметрии векторного поля системы (3) непременно находится и прямая х = 0. Это означает, что система (3) имеет вид системы (24). В остальном рассуждения совпадают с теми, которые проведены при доказательстве предыдущей теоремы 4.

Далее рассмотрим случай трех осей симметрии N-типа векторного поля системы (3) при п = 3.

Введем обозначения: = tg ^, = tg , &з = tg , причем 0 < ^ < < ^з < п. Тогда согласно работе [1] справедливо равенство — = — = п/3.

Воспользовавшись тригонометрическим равенством tg(а — в) = ^ а — tg в)/(1 + tg а tg в) легко получить соотношения для и :

ki + л/3 , ki — л/3

-, кз =-= .

1 — kiV3 1 +

к2 = , кз = . (26)

Так как к3 < 0, то из (26) по необходимости следует, что ki е [0; 1/л/3) U (1/л/3; л/3), разумеется, при к1 > 0.

Заметим, что при к1 = 1/л/3(^1_ = п/6) имеем к2 = = п/2) и к3 = — 1/л/3(^3 = 5п/6).

Пусть система (12) при n = 3 имеет, наряду с прямыми y = k1 x и y = к2x, ось симметрии N-типа y = к3x. Тогда по теореме 1 имеет место тождество

[R2(x,y)(k2 — к3 )(y — ki x) + S2 (x,y)(k3 — ki)(y — k2x)] = 0. (27)

y=k3x

Из (27) получаем, что

S2(x, y) = (y — k3x)Ti(x, y) + R2(x, y). (28)

Здесь

2

R¡(x,y) = Vijxy, Ti (x, y) = too + ti0x + toiy.

i+j=0

С учетом (28) система (12) при n = 3 запишется в виде dx

— = (к2 — ki)yR¡(x,y) — ki (y — k2x)(y — k3x)Ti (x,y),

dy = — (k2 — ki)xR2(x,y) + (y — k2 x)(y — k3 x)Ti (x,y). (29)

Последовательно применяя к системе (29) преобразования x = x + kiy, у = —kix + y (i = 1, 2, 3) и учитывая после каждого преобразования, что прямая y = 0 — ось симметрии N-типа поля направлений, получаемых в результате указанных преобразований систем, убеждаемся в выполнении следующих условий на коэффициенты:

tio = toi = 0, Vii = 0, V02 = V20 = 0,

t00(k2k3 + 1) t00(k2k3 + 1)ki , тур* /QA'I

Vio = --J--J-, Voi = -:-:-, too € R\{0}, (30)

k2 — ki k2 — ki

kiе [0; 73) n(;i; v5

С учетом (30) придадим системе (29) вид

dx

— = (k2 — ki)yT — ki (y — k2x)(y — k3x)too,

dy

— = -(&2 - kl)xT + (y - k2x)(y - k3x)too, (31)

dT

где

Г too (k2 k3 + . , n . ,2 , 2Л1

T = ^roo +--k _ k-(x + kiy)+ r2o(x + y )J

k2 - ki

и k2,k3 задаются формулами (26). Таким образом, доказана

Теорема 6. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 3 имеет три оси симметрии N-типа y = k1 x, y = k2x, y = k3x, где k1 e |0; П ^; V3^, k2 и k3 определяются по формулам (26), тогда и только тогда, когда эта система имеет вид (31).

Замечание 2. too = 0, так как в противном случае правые части уравнений системы (31) не будут взаимно простыми, а также r2o = 0 (в противном случае система (31) вырождается в квадратичную). Рассмотрим теперь случай четырех осей симметрии N-типа системы (3) при n = 3. Пусть y = k1 x, y = k2x, y = k3x, y = k4x — оси симметрии N-типа системы (3), причем k1 = tg k2 = tg ^2, k3 = tg ^3, k4 = tg , 0 < < ^2 < ^3 < < П.

Не уменьшая общности, считаем, что 0 < < п/4, то есть 0 < k1 < 1. В силу работы [1] - = - = - = п/4.

Полагая, что четыре указанные прямые являются осями симметрии N-типа системы (3), ее можно привести к виду

dx

— = (k2 - k^yRn- 1 (x, y) - k1 K234T„_3(x, y),

dT

^ = -(k2 - k1 )xRn-1(x, y) + K234Tn-3(x, y), (32)

где

K234 = (y - k2x)(y - k3x)(y - k4x),

n —1 n—3

Rn-1(x,y)= rijxy, Tn-3(x,y)= tijx'yj.

i+j=o i+j=o

Применяя к системе (32) последовательно преобразования x = x + ky, y = -kx + y, i = 1, 2, каждый раз учитывая, что векторное поле получаемых систем симметрично относительно прямых x = 0 и y = 0, убеждаемся, что при n = 3 и k1 e (0; 1) имеют место ограничения на коэффициенты:

гю = ro1 = 0, 2(ro2 - r2o)k1 + Гц (1 - k2) = 0,

2(ro2 - r2o)k2 + rn(1 - ) + too(k2 + k3 + k3k2 - k4) = 0,

где too e R\{0}.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Таким образом, имеет место

Теорема 7. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 3 имеет четыре оси симметрии N-типа y = k1 x, y = k2x, y = k3x, y = k4x тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

dx

— = (k2 - k1 )y(Roo + Г11 xy) - k1 tooK234, dy

"dt = -(k2 - k1 )x(Roo + Г11 xy) + tooK234, (33)

где k1 e (0; 1), k2 = (1 + k1)/(1 - k1), k3 = -1/k1, k4 = (k1 - 1)/(1 +

2(ro2 - r2o)k1 + Г11 (1 - k2) = 0, (34)

2(ro2 - r2o)k2 + Г11 (1 - k2)+ too(k2 + k3 + k3 - k4) = 0, too e R\{0}. (35)

Замечание 3. В системе (33) по необходимости выполняется условие (ro2 - r2o)r11 = 0, так как в противном случае из (34) и (35) следует равенство too = 0, и правые части уравнений этой системы не взаимно простые.

Теорема 8. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 3 имеет четыре оси симметрии N-типа y = 0, x = 0, y = x, y = — x тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

dX = yRoo, dt = —x[Roo — too (y2 — x2)], (36)

где too e R\{0}, ro2 = r2o + too-

Для системы (36) в силу неравенства too = 0 автоматически выполняется условие ro2 — r2o = 0. Далее, полагая, что прямая y = kx — ось симметрии N-типа векторного поля системы (3) при n = 3, в соответствии с теоремой 1 придадим системе (3) вид

ddx = (y— kx)R2 (x,y) — kQ3 (x,y), ddt = Qs(x,y)' (37)

где

23

r2 (x,y)= rij xiyj' Q3 (x,y)= bijxi yj -

i+j=o i+j=o

Применив к системе (37) преобразование (4) и считая прямую y = 0 осью симметрии N-типа для полученной системы, можно легко убедиться в выполнении следующих ограничений на коэффициенты:

roí = rio k, гцк2 — 2(ro2 — r2o)k — щ = 0, boi = (bio + roo)k,

riok3 + biik2 + (2b2o — 2bo2 + rio)k — bn = 0,

(bi2 + ro2)k3 + (rii — 3bo3 + 2b2i )k2 + (r2o — 2bi2 + 3b3o)k — b2i = 0,

(b3o + r2o)k3 — (rii + b2i )k2 + (ro2 + bi2 )k — bo3 = 0. (38)

Теорема 9. Прямая y = kx является осью симметрии N-типа системы дифференциальных уравнений (3) при n = 3 тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

dx = (y — kx)(roo + riox + roi y + r2o x2 + riixy + ro2 y2) — kBi, ddt = Bi,

где Bi = boo + biox + boi y + b2ox2 + bnxy + bo2y2 + b3ox3 + b2ix2y + bi2xy2 + bo3y3, k e R и выполняются условия (38).

Рассмотрим вопрос об осях симметрии N-типа квадратичной системы. Согласно теореме 5 и работе [1] квадратичная система может иметь либо одну ось симметрии, либо три оси симметрии N-типа.

Пусть система (3) при n = 2 имеет ось симметрии N-типа y = kx. Тогда согласно теореме 1 эта система имеет вид

dt = (y — kx)Ri (x,y) — kQ2 (x,y), ^ = Q2(x,y), (39)

2

где Ri(x,y)= roo + riox + roiy, Q2(x, y) = E b¿jxiyj.

i+j=o

Применим к системе (39) преобразование (4) и, считая прямую y = 0 осью симметрии N-типа векторного поля полученной системы, убедимся в выполнении следующих ограничений на коэффициенты:

roi = riok, boi = (roo + bio)k, riok3 + bnk2 + (2b2o — 2bo2 + rio)k — bn = 0. (40)

Теорема 10. Прямая y = kx является осью симметрии N-типа поля направлений системы (3) при n = 2 тогда и только тогда, когда эта система имеет вид

ddx = (y — kx)(roo + rio x + roi y) — kB2, ^t = B2, где B2 = boo + biox + boiy + b2ox2 + biixy + bo2y2 и коэффициенты удовлетворяют системе (40).

Пусть далее система (3) при n = 2 имеет три оси симметрии N-типа: y = k1 x, y = k2x, y = k3x, где k1 e [0;1^V3^(1^v/3^V/3], k2 и k3 определены по формулам (26). Тогда система (12) при n = 2 по теореме 1 может быть приведена к виду

dx

— = (k2 - k1 )y(roo + r1ox + ro1 y) - k1(y - k2x)(y - k3x)too, dy

dT = -(k2 - k1)x(roo + r1ox + ro1 y) + (y - k2x)(y - k3x)too, (41)

где too e R\{0}.

Последовательно применяя к системе (41) преобразования x = x + k¿y, y = -k'x + y (i = 1, 2,3) и учитывая после каждого преобразования, что прямая у = 0 — ось симметрии N-типа поля направлений получаемых в результате указанных преобразований систем, убеждаемся в выполнении следующих условий на коэффициенты системы (41):

ro1 = r1ok1, ro1 - r1ok2 + too(1 + k2k3) = 0, (k2 - k1)(ro1 - rWk3) + too(k3 - k1 )(1 + k2k3) = 0.

Учитывая полученные ограничения на коэффициенты, а также формулы (26), запишем систему (41) в виде

^ = yK1 - k1 K2, ^ = -xK1 - K2, (42)

где d^ = [(k2 + 1)dT]/(1 - 3k2), K = [(V3 + 3k1)roo - 2too(x + k1y)], K = too[(1 - k^y -- (k1 + V3)x][(1 + k^\/3)y - (k1 - V3)x]/(k2 + 1).

Теорема 11. Система дифференциальных уравнений (3) при n = 2 имеет три оси симметрии N-типа: y = k1 x, y = k2x, y = k3x, где k2 и k3 определяются по формулам (26), тогда и только тогда, когда она имеет вид (42), причем k1 e [0; 1/\/3) U(1/\/3; \/3), too e R\{0}.

В заключение отметим, что в работе [3] проведено исследование на симметрию дифференциального уравнения

3

x + J] Cij x' yj dy i+j=2

dx 3

y + bijxi yj

i+j=2

(43)

Как видно, начало координат уравнения (43) является особой точкой типа «центр» или «фокус». В целях их различения в точке 0(0; 0) в [3, 4] найдены условия симметрии. Отметим, что в работах [1, 3, 4] не используется термин «ось симметрии N-типа», введенный нами в настоящей работе и который позволяет записать в более удобной форме полиномиальные системы, что упрощает их последующее качественное исследование.

Библиографический список

1. Сибирский, К. С. Принцип симметрии и проблема центра / К. С. Сибирский // Учен. записки Кишинев. ун-та. - 1955. - Т. 17. - С. 27-34.

2. Андронов, А. А. Качественная теория динамических систем второго порядка / А. А. Андронов, Е. А. Леон-тович, И. И. Гордон, А. Г. Майер. - М.: Наука, 1966. -568 с.

3. Сибирский, К. С. Условия симметрии поля на-

правлений некоторого дифференциального уравнения / К. С. Сибирский, И. И. Плешкан // Учен. записки Кишинев. ун-та. - 1957. - Т. 29. - С. 11-14.

4. Сибирский, К. С. Центры с симметрией поля направлений дифференциального уравнения / К. С. Сибирский // Изв. АН Молд. ССР. - 1963. - № 1. -С. 79-83.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.