CC BY
20
Мезо-, нано-, биомеханика и механика природных процессов Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (2), с. 486-487
УДК 531.26:539.142.2
ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ФИНИТНЫЕ ФУНКЦИИ И ТЕОРИЯ МНОГОСЛОЙНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ОБОЛОЧЕК В МОДЕЛИРОВАНИИ НАНООБЪЕКТОВ
© 2011 г. В.Л. Леонтьев, И.С. Михайлов
Ульяновский госуниверситет
Поступила в редакцию 16.06.2011
В математическом моделировании сил межатомного взаимодействия нанообъектов используются ортогональные функции с компактными носителями (ОФФ). Показывается, что скалярное произведение сеточных ОФФ является адекватной моделью силового взаимодействия атомов нанообъекта. Эта модель используется для модификации постановки задачи о напряженно-деформированном состоянии многослойного нанообъекта, основанной на классических уравнениях равновесия и состояния многослойной анизотропной оболочки.
Ключевые слова: ортогональные финитные функции, межатомное взаимодействие, многослойные анизотропные оболочки, моделирование нанообъектов.
Используется равномерная сетка а = х1 < х2 < ... < хы = Ь с шагом И, и каждому узлу сетки ставится в соответствие сеточная функция вида [1]:
ф, (х) = ф(1)(х / И -/) =
(х - х,-1)/ И,
х е [хг-1, х, -1 + И1] и [хг-1 + И2, х],
- а + 2(аИ + И1)(х, -1 + кы - х) /(И(И2 - И1)), хе [х,-1 + \,х,-1 + км],
— а + 2(аИ + И2) х х (х - хг-1 - км )/(И(И2 - И1)), хе [х,-1 + кК,х,-1 + И2],
(хг-1 - х)/ И,
хе [х,,х, + И1]и[х, + И2,х,+1], в + 2(вИ + И1 - И) х х (х - х, - км )/(И(И2 - И1)), хе [х, + И1, х, + км], в + 2(вИ + И2 - И) х х (х1 + кн - х)/(И(И2 - И1)), хе [х, + кы,х, + И2],
0, хг [х,-1,х,+1],
Теорема. Если и(х) е ^2(^) и И1 + И2 = И, а = в - 1, то существует функция
N
=Ха,фг:
7 =1
и -и
< сИ
w20( я)
\и\щ(Я )’
N
Е1а I2 < с11и
1=1
2, 1^20(я),
(2)
(1)
где к^/ = (И1 + И2)/2, 0 < И1 < И2 < И. Аппроксимирующие свойства функций (1) описываются следующей теоремой [1].
где щ - некоторые постоянные; постоянные с, с1 не зависят от и, И; W2 - функциональные пространства Соболева.
Если, например, И1 = 0 и И2=И, то функции (1) будут ортогональными на данной сетке при выполнении интегрального условия 4ав + а - в = 0 ортогональности функций ф,(х), которое совместно с условием а = в - 1 дает значения 2а = = 42 -1, 2в = 42 +1. В случае И1 = 3И/8, И2 = 5И/8 функции (1) обладают аппроксимирующими свойствами (2) и являются ортогональными, если 2а = 2\[2 -1, 2в = 2у[2 +1. Скалярное произведение двух соседних ОФФ ф,(х) и фм(х) равно нулю, что соответствует равновесному положению атомов в нанообъекте. При смещении центра ОФФ ф,+1(х), соответствующего положению одного атома, в направлении центра ОФФ ф,(х), соответствующего положению другого атома, величина интеграла - скалярного произведения ф,(х) и ф,+1(х) - монотонно возрастает от нулевого значения до величины интеграла функции (ф(х))2, взятого по области конечного носителя. При смещении центра ОФФ ф,+1(х) из
И
И
и
равновесного положения в направлении от центра ОФФ ф^х) величина интеграла - скалярного произведения ф1(х) и ф1+1(х) — принимает отрицательные значения, вначале возрастая по модулю, а затем уменьшаясь по модулю до нулевого значения. Такая зависимость величины интеграла — скалярного произведения ф.(х) и ф1+1(х) от параметра — расстояния между центрами ОФФ ф1(х) и ф1+1(х) — соответствует известной феноменологической зависимости силы межатомного взаимодействия от этого параметра. Поэтому такая функция параметра может быть использована для построения математических моделей нанообъектов, в которых каждому отдельному атому соответствует одна сеточная ОФФ.
Математическое моделирование многослойных нанообъектов проводится на основе теории многослойных анизотропных оболочек [2]. Уравнения равновесия оболочки
Э(ВТі) _ ЭВ + Э№) + й4 +
Эа Эа
эв эв
+ ABk1N1 = _ ABX,
Э(AT2) _dAT + d(BS12) + dBS +
Эв Эв 1 да Эа 21
+ ABk 2 N 2 =_ ABY,
_ (k1T1 + k2T2) +
AB
д( BN1) + Э( AN2)
Эа
Э (BM1) + Э( AM 21) + dAM
Эа
Эв Эв
12
Эв
—M 2 = ABN1 Эа 2 1
Э (AM 2) Э (BM12) ЭВ ^ ЭA ,илт v 2 - + _ 12/ + — M21 _—M 1 = abn2
Эв
Эа
Эа
Эв
R
и соотношения упругости
R
2
Т1 = С11е1 + С12е2 + К11Х1 + К12 %2,
Т2 = С 22е 2 + С12е1 + К 22х 2 + К12%1 ^
Б = Б12 = Б21 = С66Ю + К 66Т,
М = М12 = М 21 = О66Т + К 66®>
М1 = О11Х1 + О12Х2 + К11е1 + К12е2,
М 2 = ^22%2 + ^12е%1 + К22 е 2 + К12е1 позволяют учесть наличие многих слоев, например, в нанотрубке и то, что нанотрубка является анизотропным объектом, обладающим различными свойствами упругости в различных направлениях соприкасающейся плоскости. Здесь Т., Б., N. - внутренние силы; М, М. - изгибающие и крутящие моменты; е., х,, Ю, Т - деформации; С.., К, О. - коэффициенты жесткости [2], учитывающие многослойность и свойства анизотропии оболочки Л, 5 - коэффициенты Ламе криволинейной системы координат на срединной поверхности оболочки; X, У, Z - компоненты вектора внешней нагрузки; кр к2 - главные кривизны; Я1, я2 - радиусы линий главных кривизн срединной поверхности оболочки. Теория многослойных анизотропных оболочек применяется в случаях, в ко -торых изгибающие и крутящий моменты учитываются (для значительного числа слоев), а также в частном случае безмоментного напряженного состояния (для малого числа слоев). Модификация определяется учетом в членах этих уравнений сил взаимодействия атомов соседних слоев нанообъекта, связанным с предложенным здесь моделированием таких сил с помощью ортогональных финитных функций.
Список литературы
1. Леонтьев В. Л. Ортогональные финитные функции и численные методы. Ульяновск: УлГУ 2003. 178 с.
2. Амбарцумян С.А. Теория анизотропных оболочек. М.: ГИФМЛ, 1961. 384 с.
1
ORTHOGONAL FINITE FUNCTIONS AND THE THEORY OF MULTILAYERED ANISOTROPIC SHELLS FOR MODELING NANOOBJECTS
V.L. Leontiev, I. S. Mihailov
Orthogonal compactly supported functions have been used for mathematically modeling an atomic interaction in nanoobjects. The theory of multilayered anisotropic shells has been used for investigating deformation of nanoobject.
Keywords: orthogonal finite functions, atomic interaction, multilayered anisotropic shells, modeling of nanoobjects.
