Опцион продажи на основе минимального значения цены рискового актива с фиксированной ценой исполнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

2010

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Управление, вычислительная техника и информатика

№ 3(12)

ОБРАБОТКА ИНФОРМАЦИИ

УДК 519.865

У.В. Андреева, Н.С. Демин, Е.В. Ерофеева

ОПЦИОН ПРОДАЖИ НА ОСНОВЕ МИНИМАЛЬНОГО ЗНАЧЕНИЯ ЦЕНЫ РИСКОВОГО АКТИВА С ФИКСИРОВАННОЙ ЦЕНОЙ ИСПОЛНЕНИЯ

Рассматривается задача нахождения цены опциона, портфеля (хеджирующей стратегии) и капитала на диффузионном (В^-финансовом рынке европейского типа с фиксированной ценой исполнения, когда в качестве цены рискового актива используется ее минимальное значение в рассматриваемом временном периоде. Исследуются свойства решения.

Ключевые слова: опцион, портфель, капитал, хеджирование.

Опцион представляет собой контракт, по которому покупатель опциона приобретает право покупки или продажи некоторого оговоренного в контракте базисного рискового актива по оговоренной цене, а продавец опциона за премию, которая является ценой опциона, обязан исполнить требование покупателя при предъявлении опциона к исполнению. В первом случае имеем опцион купли, а во втором - опцион продажи. Стандартные платежные функции этих опционов характеризуются ценой исполнения и ценой базисного актива в момент исполнения [1 - 4]. С развитием рынка опционных контрактов стали появляться дополнительные требования к платежным обязательствам, что породило класс экзотических опционов [5 - 7]. Важным частным случаем подобных опционов являются опционы, основанные на учете экстремальных значений цены базисного актива. В [8] рассмотрен опцион купли на основе максимального значения цены. В данной работе для диффузионного (В,£)-финансового рынка европейского типа приводится полное исследование задачи хеджирования опциона продажи, основанного на минимальном значении цены рискового актива, в случае выплаты дивидендов по рисковым активам.

1. Постановка задачи

Рассмотрение задачи проводится на стохастическом базисе (^, ^, Е = (^)е0, Р) [1 - 3].На финансовом рынке обращаются рисковые (акции) и безрисковые (банковский счет, государственные облигации) активы, текущие цены которых ^ и В( в течение интервала времени t е[0, Т] определяются уравнениями

^ (рй + ), йВг = гВ^, (1)

где Wt - стандартный винеровский процесс, с > 0, г > 0, Б0 > 0, В0 > 0, решения которых имеют вид

St = SoexP j|i f -у f + aWt J , Bt = BoexP{rt} • (2)

Считаем, что текущее значение капитала инвестора Xt определяется в виде

X = PtBt + YtSt, (3)

где nt = (Pt, yt) есть пара ^-измеримых процессов, составляющая портфель ценных бумаг инвестора. Аналогично [9, § 6] предполагается, что за обладание ак-

циями происходят выплаты дивидендов в соответствии с процессом Dt со скоростью 5ytSt, пропорциональной рисковой части капитала с коэффициентом 5 , таким, что 0 < 5 < r, т.е. dDt = 5уtStdt. Тогда изменения капитала в задаче с дивидендами происходит в виде

dXt = etdBt + YtdSt + dDt. (4)

Так как

dXt = PtdBt + уtdSt + BtdPt + Stdjt, (5)

то Btdpt + Stdyt = dDt. (6)

Условие (6) является балансовым соотношением, которое заменяет условие самофинансируемости Btdpt + Stdyt = 0 в стандартной задаче без дивидендов. Тогда капитал определяется уравнением [9]

dXt = rXtdt + ajtStdWf-+5, (7)

где процесс

Wf -r+5 = f - Г + 51 + Wt (8)

а

является винеровским относительно меры Pf-r+5, такой, что

dpf-r+5 = if-r+5dPt; (9)

Zf-r*5 = expj-f-l+iWt -i]! t} . (10)

Обозначая через Law(■ |P) и Law(■ |Pf r 5) свойства процессов относительно P

Law(Wf-r+5 |Pf-r+5) = Law(W\P).

и Рд r+5, получаем [1]

Таким образом,

с2

Law\ S0 exp -j\ r - 5 - — \ t + cW^r+5 \; t < T |Рд~г+5 | =

( f C C2 ^ ] Ї

Law x e r - 5 9 t + cWt \; t < T | P

V 1 V 2) J )

(11)

V IV 2) J )

Следовательно,

Law(S(д, r, 5) |Pд-r+5) = Law(S(r, 5) |P), (12)

т.е. вероятностные свойства процесса S(д, г, 5), определяемого уравнением

dtSt (д, г, 5) = St (д,г, 5)((г - 5)dt + GdW^5), (13)

относительно меры Рд-г+5 совпадают со свойствами процесса S(г, 5), опреде-

ляемого уравнением

dtSt (г, 5) = St (г, 5)((г - 5)dt + cdWt), (14)

относительно меры P .

Ставится задача: сформировать хеджирующую стратегию п* = (ß*, у*), а также соответствующий ей капитал X* относительно платежной функции

frain (S) = (K - min St)+, (15)

0<t <T

где a + = max(a; 0), K > 0 - цена исполнения опциона.

Из (15) следует, что опцион с платежной функцией frmm(S) предъявляется к исполнению, если величина K превышает минимальное значение цены базисного актива на интервале t е [0, T]. При этом владелец опциона получает доход

Amin omin omin . гг

p = к - St , St = min St.

0<t <T

Используемые обозначения: P{-} - вероятность события; E{-} - математическое ожидание; N{a; d} - плотность нормального распределения с параметрами a и D ; I[A] - индикаторная функция события A; интеграл без указания пределов означает интегрирование на интервале R = (-да, +да);

Ф(z) =\<p(y)dy, ф(у) = -у= exp j-У-j. (16)

2. Предварительные результаты

Приведем два результата, которые понадобятся при решении поставленной задачи.

Утверждение 1. Пусть для t < T

mt = min ст|т = min (aWT+ hx); (17)

0<T<t 0<T<t

h g2

4t = Wt +-1, h = г - 5----. (18)

g 2

Тогда для x < 0 и h е R плотность вероятности pm (t, x) = dP {mt < x}/ dx имеет вид

)2

-72^ I 2-2t I V"" l-П 4 St

m, s 1 I (x-ht)2 I 2h {2h ) f (x + ht), pm(t,x) exp\-v _ / }• +—expj—х}ф| ^| +

1 (2h ( I (x + ht )2.

+-Т1ПГexp Ьx}exp 1" 1-Г (19)

2

Доказательство. Для x > 0

P{mt < -x} = P {min (ct WT + hx) < -x} = P {max (-ctWt - hx) > x} =

\o<t<T ) \o<t<T )

= 1 - P(max (-ctWt-hx) < x}. (20)

vo<t <T )

С учетом симметрии траекторий процесса Wt относительно знака использование (5.9) из [1] дает, что

^(x + ht)^ i 2h ) f (x-hty

P{mt <-x} = 1 -фрЇ+Мj + exp {-^hх}ф^-!

= ф^-(х^'j+expj x}-i*-M

Л

аЛ аПЧ а^ )•

Так как Р {шг < х} для х < 0 совпадает с Р <-х} для х > 0, то, меняя в

последнем выражении х на - х, получаем, что

р{,„, <х,=Ф(<£-^)+ехр{а2х|Ф(<ха+^^>). (21)

Тогда (19) следует в результате дифференцирования (21) по х.

Утверждение доказано.

Утверждение 2. Если

J = ^ I exp{cx}exp\ -(Хd }dx , (22)

^— I exp{cx}exp V2nd J

^} і I exp {-ix^^12

2 | >/2nd J 1 2d

Пусть X ~ N{a; d}. Тогда

то J = exp <{ca + C-d [■ ! 1 J exp{-——(a + cd)] }dx . (23)

E{exp{cX}I[X < b]} = exp jca + —^0]+Г~^) " ^)

Представление (23) для J следует из (22) в результате элементарных преобразований, а (24) следует непосредственно из (22) и (23) с учетом (16) и свойства функции Лапласа

Ф( z ) + Ф(—) =1. (25)

Пусть

3. Основные результаты

di(t) = |^+-2)>Г-7 ; (26)

d2(t) = |^--2]VT-7 ; (27)

ln(K/St)-I r -5 + y 1 (T-1)

,!(t) =---------------------------------; (28)

ln( K / S,)+| r - 5 - С2 'I (T -1)

^)=——; (

ln( K / S,)-| r - 5 - S2-1 <T - t)

^) =-----------------------------------------------; <30>

« = *4^, <31)

С

а d1, d2, л _y2, _y3 определяются формулами (26) - (30) при t = 0.

Теорема 1. Цена опциона, платежная функция которого имеет вид (15), определяется следующими формулами:

pm1 = Ke-rT -S0 [(l + a-1)e-5TФ(-d1) + (1 -a-1)e-rTФ(d2)] , (32)

если S0 < K;

РГ = Ke-rTФ(Уз) - S0

(1 + a-1 )e-5TФ(У!)-a-1e-rT ^K] Ф(У2)

(33)

если Б0 > К.

Доказательство. Из (1), (2), (14), (15), (17) - (19) следует, что

Ргт1П = е-гТЕ {( - £0ехр {тТ }+} = е-гТЕт (£0); (34)

0

Рт (■$>) = Е {( - {оехр {тт }+} = { (К - Vх) рт (Т, х^х . (35)

-ОТ

а) Случай Б0 < К. Использование (19) в (35) дает с учетом условия нормировки для рт (/, х), что

0

¥Т (£0) = К - £0 | ехрт (Т, х)й?х = К - £03 ; (36)

-ОТ

3 = 31 + 32 + 33; (37)

31 =0/!пИехр {х}ехр {- <38)

J2 =f i exp ¡I1+f) =f j2; (39>

J3 =^SF 1exp i1+f) x}exp f iJL2^}dx ■ (40)

В (38), согласно Утверждению 2, для X ~ N¡hT; ct2T} имеем, что c = 1, b = 0 . Тогда применение (24) к (38) дает, что

J1 = E {exp {X}I [X < 0]} = exp < hT +

ст 2T

Ф

2

(hT + ct2T ) стлГ

(41)

Использование (18), (26) в (41) приводит к тому, что

J = exp{(r -5)TlФ(-d1) . (42)

В (40), согласно Утверждению 2, для X~N¡hT;ct2T| имеем, что c=1+(2h/ст2), b = 0 . Тогда применение (24) к (40) дает, что

J3 =

E{exp|1 + -2|)X}I[X < 0]} =

= exp ^-W I1 + ^ ] + 211 + CT2 J ст2^ф

isFT

Использование (18), (26) в (43) приводит к тому, что J3 = J1 = exp {(r-S)T lФ(-d1). Интегрирование по частям в (39) с учетом (40) дает, что

J 2 =

22

(ст2+2h)

Г h^ ^

Ф - J3

l ст V

(43)

(44)

(45)

Подстановка (45) в (39) с последующим использованием (18), (26), (27) приводит к тому, что

J2 =

[Ф^)-J3] = (1 -а 1 )[Ф^)-exp{(r-S)TlФ(-d1)]. (46)

2 (r-5)

Тогда из (37), (44), (46) следует, что

J = 2exp{(r-5)T}Ф(^) + (1 -a-1 )[Ф(d2)-exp{(r-5)TlФ(-d1)]. (47)

Подставляя (47) в (36), получаем

¥Т (£0) = К - £0 [(1 + а-1)ехр{(г - 5)Т} Ф(-^) + (1 - а-1) Ф^2)] .

Тогда (32) следует из (34), (48).

б) Случай £0 > К. Из (35) следует

Рт(So) = Е? -Е/;

F1 = K J pm (T, x)dx;

(48)

(49)

(50)

FT = S0 J expm (T, x)dx;

-W

b = ln (K / S0).

(51)

(52)

2

При вычислении р пусть

J = J expm (T, x)dx .

(53)

Использование (19) в (53) дает, что / имеет представление (37), а /х, /2, /3 определяются формулами вида (38) - (40), интегралы в которых верхним пределом имеют величину Ь вида (52). Таким образом, аналогично (41), (43)

h2T 1 ( b-(hT + ct2T P

J1 = E{exp{X}I[X < b]} = exp^hT+ —— |-Ф

a'

лГ

(54)

J3 =

E{exp{(1 +—-\X}I[X < b]} =

= exp і -hT |1 + ^f \+—| 1 + ^f \ a2T ^Ф

2h A 1( 2hN2

a-2 \+211+?

Тогда использование (18), (28), (52) в (54), (55) дает, что J = Jз = exp{(r-5)T}Ф(y1) .

■VT

(55)

(56)

Интегрирование по частям аналогично (46) с учетом (28), (29), (31), (52) дает,

что

/2 =(1 -а-1 )[ЬаФ(у )-./3 ] = (1 -а-1) Тогда из (37), (56), (57) следует / = 2ехр((г -8)Г } Ф (У\ ) + (1-а-1) Подставляя (58) в (51), получаем, что

Ф (У2 )-exp {(r -5)T }Ф(у1)

K

S0

тт\ Ф(У2)-exp{(r-5)T}Ф(Уі)

FT = So

(1 + a 1 )exp{(r-5)T}Ф(У1) + (1 -a 1 )(К\ Ф(y2)

При вычислении ЕТ1 пусть

ь

3 =1 Рт (Т, х)^х.

-ОТ

Использование (19) в (60) дает для 3 представление вида (37), где

J1 = w3Tjexp Г

(x - hT)2 2a2T

dx;

J 2 =

2h b i2h \Ф -2 JexpJ-2х}Ф

(x + hT) A 2h

a

\ dx =—J2;

Vt ' -2

. (57)

(58)

(59)

(60)

(61)

(62)

/3 =■

±_[ехр $ »¡ехр

(х + НТ )2

2а2Т

ёх.

(63)

ал/ 2пТ

Из сравнения (61) - (63) с (38) - (40) следует, что вычисления по нахождению /1, /2, /3 будут аналогичны вычислениям при получении формул (56), (57), только при применении (24) величина с будет принимать значения соответственно с = 0 и с = (2Н / а2). В результате получим с учетом (29) - (31)

/ = / =Ф( У3 ) , /2 =(Ю Ф(У2 )-/3 =[К) Ф(У2 )-Ф(Уэ:

Подстановка (64) в (37) с последующей подстановкой в (50) дает, что

Ф( У3) + ( К ) Ф( У2)

(64)

(65)

Используя (59), (65) в (49), получаем

Рт (^) = КФ(У3) -

- ^0

(1 + а 1 )ехр{(г-5)Т}ф(у1) + КФ(У2)-Б0 (-а 11 Ф(у2

= К Ф( У3) - ^

(1 + а 1 )ехр{(г-8)Т}Ф(уО-а 1 ^Ф(У2)

(66)

Тогда (33) следует из (34), (66).

Теорема доказана.

Теорема 2. Капитал X™11 и портфель (хеджирующая стратегия) = (РГ1П, гГ”) определяются формулами

X= Ке-(Т-) -[(1 + а-1)е-5(Т-)Ф(-^(0) + (1 -а-1)е~г(Т-)Ф(ё2(/))] ; (67)

ур =-[(1 + а-1)е-5(Т-)Ф(-ё1(/)) + (1 -а-1)е~г(Т-)Ф(ё2(/))] ; (68)

ошт = Ке-г (Т -)

если Б, < К :

Х“п = Ке~г (Т -) Ф(у3(,)) -

(1+а-1 )е-5(Т-)Ф(у! (,))-а-1е-г(Т-) I К I Ф(у2 (2))

Б,

У Г” = -

(1 + а-1 )е-5(Т-2)Ф(у1(2)) + (1 -а-1 )г(Т-2) I К I Ф(у2(0)

Б,

КФ(у3(2)) + Б, | — I Ф(у2(2))

К

(69)

; (70)

(71)

(72)

если Б, > К .

Доказательство. Поскольку платежная функция вида (15) является естественной, то, согласно общей теории платежных обязательств [1 - 3],

хшш = е-г(т-)Е{¿ШП(8(г, 5)) | ^} = е-г(т-)ЕТ-((Б,); (73)

Ft- (St) = E { /ттт(S(r, 5))|S(} .

(74)

Из сравнения (73) с (34) следует, что формулы (67), (70) получаются из (32), (33) с заменами Б0 ^ Б,, Т ^ (Т -,).

Согласно [1, 2],

т

,mm t

Yt =-

ds

Pmm =

vmin „,min о

Xt -Yt St

Bt

(75)

(76)

Использование (67) в (75) приводит к (68). Формула (69) следует из (67), (68), (76).

Согласно определению Ф(х),

дФ(а(s)) = 1 [ a2 (s)| da(s) 9Ф(-а(£)) = 9Ф(а(£))

exp і-^ j^T ’ ds ■ ds

ds л/2л

Тогда из (70), (77) следует

dXtmin

ds

(1 + a-1) e-5(T-t)Ф (y (t)) + (1 - a-1) e-r(T-t) (Ks Ф (У2 2))

T = T1 + sa_1Y 2;

^ = Ke-r (T-t) y3(t) ) - se-5(T-t) y1(t) ) .

1 ds ds ’

^ = e-r(T-t) VKT дФ (y2 (t)) - e-5(T-t) ^(y1(t))

2 V s \ ds ds

Согласно (28) - (30),

MO = Уз(0 -aJT-t, ^(t) = y2(t) -2(Г 5)VT-7 .

Из (77) с учетом (28) - (30) следует, что

5Ф( ^)) = 1

ds s-yj2n(T -t)

dO( y2(t)) =

exp {-y| (t) / 2} ;

ds 5ст-у

Использование (82), (28) - (30) в (83), (84) дает, что

= _ Kexp{-(r-5)(T -1 И expi-.v2«)/2l;

55 s2^ 2n(T -1) 1 1

(77)

+ ¥; (78)

(79)

(80)

(81)

(82)

(83)

(84)

(85)

МРуЮ) = _ ехр ¡-К--5)(т - >р} ГГ ехр(_>.2(,)/2). (86)

55 ОТ>/ 2п(Т - Г) I 5 ) > к '

Подстановка (83), (85) в (80) и (84), (86) в (81) дает, что Т1 = 0, Т2 = 0. Тогда, согласно (79), Т = 0 и (71) следует из (75), (78), а (72) следует из (76), (70), (71). Теорема доказана.

4. Свойства

Введем в рассмотрение коэффициенты чувствительности

pT0 =-

dPT

as0

PK =-

dPT

~dK

(87)

определяющие зависимость цены опциона от начальной цены акции Б0 и цены исполнения опциона К.

Теорема 3. Коэффициенты чувствительности для стоимости ,ртт экзотического опциона продажи, основанного на минимальном значении цены рискового актива, определяются следующими формулами:

(p/f ) = - [(i + а-1) e~5T Ф(-^) + (l - а-1) e-T Ф(ё2)] ; (pK ) = erT ,

если S0 < K;

(l + а-1) e-5T Ф(vi) + (1 - a-VrT I K I Ф(V2)

(PTK )min =

min - rT

e

S0

(K T-1

Ф( V3) + IS" J Ф (V2)

(88)

(89)

(90)

(91)

если Б0 > К.

Доказательство. Подстановка (32) в (87) дает (89), а подстановка (33) в (87) дает, что

(pK )min =

min dp -rT

dK

■ = e

a-1

Ф( V3) + ( f\ Ф( V2)

+ Ke

-rT дФ(V3)

dK

- S0

1\ -5T дФ(y) a-i -rT ( K ) 5Ф(У2)

e -------;—a e

dK

S0) dK

Из (77), (28) - (30) следует, что

дФ(y3) 1 ( 2

—— =----------т= exp {- y32/2};

dK K^V2nT 1 3 f

дФ( V2)

dK

(92)

(93)

(94)

Тогда использование (82), (28) - (30) в (93) и (94) дает, что

(95)

дФ(Уі) = ехр{-(г-5)Т} }К

(К) ехр{-у2/2}.

(96)

Запишем (92) в виде

а-1

Ф(У2) + Т ,

(97)

где Т определяется формулой (79), а Т1, Т2 формулами (80), (81) при ґ = 0 и с заменой 5 на К . Так как было доказано, что Т = 0 , то приходим к формуле (91). Формула (88) следует непосредственно из (32), а формула (90) - из (78) при ґ = 0,

5 = Б0 и с учетом того, что Т = 0 .

Теорема доказана.

Анализ формул (88) - (91) дает следующий результат.

Теорема 4. При а > 1

при любом а, т. е. стоимость опциона продажи, основанного на минимальном значении цены рискового актива, является убывающей функцией начальной цены акции 50 и возрастающей функцией цены исполнения опциона К .

Дадим интерпретацию доказанных свойств.

1. Свойство убывания ртт по 50.

Опцион продажи предъявляется владельцем к исполнению, если минимальное значение цены рискового актива на всем интервале от момента заключения контракта t = 0 до момента исполнения t = Т меньше цены исполнения опциона К ,

т.е. тш X < К . При увеличении начальной цены акции 50 риск не предъявить

0^ <т

опцион увеличивается. Поэтому естественно, что цена опциона убывает, так как за больший риск следует меньше платить.

2. Свойство возрастания р““1 по К .

Опцион продажи предъявляется владельцем к исполнению, если тш 5 < К.

При увеличении цены исполнения опциона К вероятность того, что минимальное значение цены рискового актива не превысит величину К, увеличивается, т. е. уменьшается риск не предъявить акцию к исполнению. Поэтому естественно, что величина, которую покупатель платит за опцион, увеличивается, так как за меньший риск следует больше платить.

а

(с \rnin / о \шт

р/0 )_ < 0 , (р/0 ) < 0 ,

(к \rnin / к \rnin

рК )_ > 0, (рТК) > 0

шт

(92)

(93)

0<ґ <Т

Заключение

Основные результаты заключаются в следующем.

1. Получены аналитические выражения для стоимости опциона (Теорема 1).

2. Найдены хеджирующие стратегии (портфели) и соответствующие им капиталы, обеспечивающие выполнение платежного обязательства (Теорема 2).

3. Исследованы свойства цены опциона, касающиеся характера ее зависимостей от начальной цены акции и от цены исполнения опциона (Теоремы 3 и 4).

ЛИТЕРАТУРА

1. Ширяев А.Н., Кабанов Ю.М., Крамков Д. О., Мельников А.В. К теории расчетов опционов европейского и американского типов. Непрерывное время // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1 С. 80 - 129.

2. Ширяев А.Н. Стохастические проблемы финансовой математики // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. Вып. 5. С. 780 - 820.

3. Мельников А.В., Волков С.Н., НечаевМ.Л. Математика финансовых обязательств. М.: ГУ ВШЭ, 2001. 253 С.

4. Халл Д.К. Опционы, фьючерсы и другие производные финансовые инструменты. М.: Вильямс, 2007. 1052 с.

5. Кожин К. Все об экзотических опционах // Рынок ценных бумаг. 2002. Вып. 15. С. 53 -57.

6. Rubinstein M. Exotic options // Finance Working Paper. Berkeley: Inst. of Business and Economic Research, Univ. of California. 1991. Na 220.

7. Zhang P.G. An introduction to exotic options // Europ. Financial Manag. 1995. V. 1. N. 1. P. 87 - 95.

8. Андреева А.В., Демин Н.С., Ерофеева Е.В. Опцион купли на основе максимального значения цены рискового актива с фиксированной ценой исполнения // Вестник Томского госуниверситета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 3(8). С. 3 - 18.

9. Шепп Л.А., Ширяев А.Н. Новый взгляд на расчеты «Русского опциона» // Теория вероятностей и ее применения. 1994. Т. 39. Вып. 1. С. 130 - 148.

Андреева Ульяна Викторовна Демин Николай Серапионович Ерофеева Екатерина Владимировна Томский государственный университет

E-mail: [email protected]; [email protected]; [email protected] Поступила в редакцию 23 марта 2010 г.