Оптимизация затрат энергии при конвективно-кондуктивном нагреве жидкости в цилиндрической емкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 536.24, 614.83

ОПТИМИЗАЦИЯ ЗАТРАТ ЭНЕРГИИ ПРИ КОНВЕКТИВНО-КОНДУКТИВНОМ НАГРЕВЕ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ЕМКОСТИ

В. И. Трушляков1, А. В. Паничкин2

1 Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия 2 Институт математики им. С.Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук,

Новосибирск, Россия

Аннотация. Разработана математическая модель (ММ) для описания процесса испарения модельной жидкости со свободной поверхностью типа «зеркало», изменения температуры жидкости и парогазовой смеси (ПГС) в цилиндрической емкости (ЦЕ) с применением оптимизации энергетических затрат при конвективно-кондуктивном воздействии. Для ММ была рассмотрена оптимизация энергетических затрат на основе принципа максимума Понтрягина с применением к процессу испарения жидкости со свободной поверхности при совместном тепловом и конвективным воздействии. Для моделирования процессов тепло- и массопереноса с испарением в цилиндрической емкости при комбинированном воздействии была использована система обыкновенных дифференциальных уравнений в пределах некоторых допущений с упрощением постановки задачи. ММ при некоторых отклонениях параметров позволяет проводить оптимизацию циклограммы работ систем конвективной продувки и подогрева и определить тенденцию уменьшения энергетических затрат при последовательных включениях и выключениях продувки ПГС и подогрева стенок цилиндрической емкости с пленкой жидкости на ее стенках. В качестве критерия оптимальности приняты энергетические затраты на кондуктивный нагрев жидкости и продувку ПГС из цилиндрической емкости. На основе численного моделирования определены интервалы времени подогрева стенок с жидкостью и продувки ПГС, обеспечивающих минимизацию энергетических затрат для испарения заданной массы жидкости. Проведены тестовые расчеты без оптимизации, показывающие увеличенные энергетические затраты.

Ключевые слова: конвективно-кондуктивный нагрев, жидкость, тепловой нагреватель, принцип максимума, оптимизация.

Б01: 10.25206/2310-9793-2018-6-4-153-163

I. Введение

Существует значительное количество технологий для сушки материалов, которые широко применяют в различных сферах деятельности, например, для сушки сельскохозяйственной продукции, пиломатериалов, а также при изготовлении авиационной и ракетно-космической техники (топливных баков и магистралей) после ряда технологических операций, связанных с их заполнением технологической жидкостью (мойка, тарировка, испытания на прочность) и т.д.

В настоящее время актуальной является задача повышения эффективности процессов тепло- и массообмена, происходящих в различных технических системах осушки. В качестве одного из примеров такой технической системы осушки в данной работе рассматривается система конвективно-кондуктивной осушки цилиндрической ёмкости с пленкой жидкости.

Известны многочисленные теоретико-экспериментальные исследования, включающие в себя разработки математических моделей (ММ) по сушке материалов при использовании различных механизмов подачи теплоты, акустического воздействия, изменение давления, продувки и т.д., которые можно условно разделить на группы, в том числе:

- по различным граничным условиям расположения жидкости на твердой поверхности в виде капель [1, 2], различных по типу поверхностей: гладкой поверхности типа «зеркало» [3], волнообразной [4], с микро- и нано-покрытиями [5], с обдуванием газом пленки жидкости в микроканалах [6, 7], с анализом испарения и конденсации [8, 9], по исследованию теплообмена на границе жидкость-газ [10, 11], в замкнутых объемах [12, 13] ;

- по типам воздействия на жидкость: конвективные [14] и кондуктивные нагревы [15,16], термокапиллярные [5], вакуумные [17];

- по оптимизации процессов осушки с изменением конструкций [18] и процессов теплообмена [19, 20].

В данной работе рассматривается повышение эффективности процесса тепло- и массообмена при испарении жидкости со свободной поверхностью при совместном тепловом и конвективном воздействиях с применением принципа максимума Понтрягина [21]. Специфика применения принципа, широко используемого в задачах оптимального управления, заключается в том, что он применим для объектов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, например, [22].

Таким образом для применения оптимизации энергетических затрат на основе принципа максимума Понтрягина необходимо разработать упрощённую ММ, описывающую процесс испарении жидкости со свободной поверхности при совместном тепловом и конвективном воздействии на основе обыкновенных дифференциальных уравнений, что, естественно, приведёт к некоторым методическим погрешностям, но позволит оценить тенденцию уменьшения энергетических затрат за счёт оптимизации циклограммы работ систем воздушной продувки и подогрева.

II. Постановка задачи

На основе проведённого выше обзора работ можно сформулировать следующую постановку задачи, включающую в себя:

- разработку ММ испарения жидкости в цилиндрической ёмкости (ЦЕ) при конвективно-кондуктивном нагреве на основе обыкновенных дифференциальных уравнений;

- разработка оптимального управления конвективно-кондуктивным нагревом жидкости в ЦЕ на основе принципа максимума Понтрягина.

Граничные условия: жидкость размещается в виде тонкого слоя со свободной поверхностью на боковой поверхности цилиндра, продольная ось которого размещена перпендикулярно вектору силы тяжести, имеется зеркало поверхности жидкости.

Начальные условия: в ЦЕ подаётся конвективная теплота в виде подогретого воздуха с постоянной объёмной скоростью, температурой и влажностью, а также кондуктивная теплота в виде нагрева стенок ЦЕ. Критерий: суммарное количество поданной теплоты для испарения заданной массы жидкости с учётом затрат на прокачку подаваемого в ЦЕ горячего воздуха.

Оптимизируемые параметры: время включения (выключения) подачи конвективной и кондуктивной теплоты в ЦЕ с жидкостью.

Допущения:

- в процессе взаимодействия подаваемого ЦЕ горячего воздуха и испаряемой жидкости в ЦЕ образуется парогазовая смесь (ПГС), удаляемая из ЦЕ за счёт подаваемого горячего воздуха с последующей выдувкой ПГС;

- установившийся процесс взаимодействия ПГС с металлической ЦЕ и жидкостью.

III. Разработка физико-математической модели испарения жидкости

Конвективная теплота подаётся в ЦЕ в виде горячего воздуха при постоянном давлении Р0 с объемной скоростью Пу0 через сечение Б0 температурой Ту0 и концентрацией паров жидкости С№ в ПГС.

Кондуктивная теплота подаётся в ЦЕ с помощью подогрев стенок ЦЕ площадью £ и толщиной И нагревательными элементами мощностью QT на единицу площади.

С учетом испарения жидкости на выходе из ЦЕ объемная скорость истечения ПГС будет равна Пу =Си(1)иУ0 + 8¥цт, где Уw- объемная скорость испарения жидкости с единицы площади, Си(£) - функция включения (= 1) и выключения (= 0) подачи (вдува) горячего воздуха, Ст (£) - функция включения (= 1) и выключения (= 0) кондуктивного нагрева стенок ЦЕ.

Рассмотрим следующие величины для исследуемых параметров процессов:

V,, Р, Т, шъ Ср1 - объемы, давления, температуры, массы и теплоемкости для стенки ЦЕ, жидкости, ПГС, горячего воздуха и пара жидкости при I = s, V, V, А и р, соответственно.

На основе рассмотренных допущений далее приведем ММ, описывающую процесс тепло- и массообмен между элементами в ЦЕ, в виде обыкновенных дифференциальных уравнений.

Для упрощения ММ, описывающий процесс тепло- и массообмена при конвективно-кондуктивном нагреве, введем ряд обозначений [23]:

Шц,(I,Т,Р) = К0 (Рф(Тш) — Рр(трТуУ) - скорость испарения жидкости с единицы площади, (£,Т,Р) =

-. объемная скорость испарения жидкости с единицы площади, рУ0 (Ту0) = ----- -

плотность подаваемого горячего воздуха с долей паров жидкости С№.

при температуре Ту0, РА0(р,тА) = иУ0(1 — )ру0(Ту0) - функция скорости подачи горячего воздуха в ЦЕ, Рро^,тР) = иу^мРус,^^,) - функция скорости подачи пара с горячим воздухом в ЦЕ, иу = Си(1)иУ0 +

БУм(Ь, Т, Р) — функция объемной скорости выхода ПГС из ЦЕ, РА(Ь, тА) = иу— - функция скорости убывало

ния сухого воздуха из ЦЕ, Рр (С, тА) = - функция скорости убывания паров жидкости из ЦЕ, РтЦ, (С, Т) =

Ууо

—-—---— - функция изменения среднемассовой температуры жидкости от ее испарения, Рт (¡) =

Qт

--функция изменения среднемассовой температуры жидкости от мощности теплового (кондук-

т5Ср5+тцгСрцг ^

тивного) воздействия, РуА(Ь) = (Си(Ь)Щ0 + 5К0(174727.8 — 1312.1 • Ты + 2.47 ■ Т& — (Ш^)) (г)/ (Р^ж- функция выхода сухого воздуха из ЦЕ, Рур(Ь) = (Си(1)иУ0 + (I,Т,Р))— - функция выхода

Уу0 Уу0

паров жидкости из ЦЕ.

г- /->- тЛ СииУ0РУ0(СРА(1-С]№) + СррС]№)(тУ0-ту) л. г- /V тЛ

Руо(£, Т) =--функция энергии входящего горячего воздуха, РтУ(I, Т) =

тдСрд+трСрр

- функция изменения среднемассовой температуры ПГС от испарения жидкости, Рт„ (Ь, т, ^) =

^ ^ ипцтш iijuivii^mm ^р^ди^лш^ииип ivum^uij^/iJi ш v./ ui и^ии^шш /ivii/^iw^/iii,

,тА(Ь) , mp(t).

(--I--) - мольное соотношение масс сухого воздуха и паров жидкости.

МA P-W

При рассмотренных допущениях в постановке задачи система обыкновенных дифференциальных уравнений, учитывающая обмен массами (испарение жидкости, вдув воздуха и сброс ПГС) и теплообмен для жидкости и ПГС, будет иметь вид:

dm-w

dt

= -SWw(t, Т, Р) , (1)

^ = & ) — & т*) = & т*) — (С» (*) иУ0 + ^Т,р)) ^ (2)

^ = Си (№,(1, тР) — Рур (I, тР)+ БШп (I, Т, Р), (3)

^ = (*,Т) + БСт№(О, (4)

^ = Ру0(0 (£, Т, Р)Рту(1, Т), (5)

Г, / гг, Л ,-тр ЯТу. т„ п , Л ,тА тр\

где РР(т„Ту ) = (--) - парциальное давление паров жидкости в ЦЕ, Ру(I) = (--I--)-) - текущее дав-

^ ^У0 Ра № Ууо

ление в ЦЕ (Па), Р0 - начальное атмосферное давление (Па), - масса жидкости (кг), - объем ПГС (м3), Т^г - температура жидкость (К), Ту - температура ПГС (К), - площадь свободной поверхности жидкость (м2), - скорость испарения жидкость с единицы площади (кг/(с м2)), Ьщ - удельная теплота испарения жидкость (Дж/кг), Ст{0 - функция управления включением и отключением теплового нагрева (1 или 0), Я - 8.314Дж универсальная газовая постоянная (Дж/(моль К)), К0 - коэффициент состояния испаряемой поверхности жид-кость(невозмущенная - 1.39-10-8, волнообразная - 4.17-10-8 [24] и движения воздушной среды (при 5 м/с -1.67-10-7 кг/(Па- м2с)), Р„ - парциальное давление насыщения испаряемой жидкость при ее текущей температуре Т„ (Па), q - степень пропорциональности изменению давления для данной жидкости (0.66^1.18) [24], ш8 -масса стенок ЦЕ (кг), ш№ - масса жидкости на стенках ЦЕ (кг), шА - масса сухого воздуха в ЦЕ (кг/моль), шР0 -начальная масса паров жидкости (кг), шР = шР0 +ш„0 -ш„ - текущая масса паров жидкости (кг), - молярная масса жидкость (кг/моль), дА - молярная масса сухого воздуха (кг/моль), иу - скорость истечения ПГС из ЦЕ

(м3/с), Сц(() - функция управления включением и отключением подачи ПГС в ЦЕ (1 или 0), Ср5 - теплоемкость ЦЕ (Дж/(кгК)), Ср„ - теплоемкость жидкости (Дж/(кгК)), Срр - теплоемкость паров жидкости (Дж/(кгК)), СрА - теплоемкость сухого воздуха (Дж/(кгК)).

Парциальное давление насыщения испаряемой жидкости при температурах жидкого состояния Т„ от 273.1°К и выше до 303.1°К приближенно представим в виде, согласно табличным данным [24]:

Р„(Т„) = 174727.8-1312.1- Т„ + 2.47-Т„2 (Па). (6)

На основании уравнения Клапейрона-Менделеева для смеси газов парциальное давление жидкости в воздухе РР представим в виде:

Рр (0 = (Щ(0) ЯТу (). (7)

Для системы уравнений (1) - (5) можно задать начально-краевые условия искомым функциям от времени mw, mA, mP, Tw, TVв следующем виде:

to = 0: mw = mwo, mA = mA0, mp = mp0, Tw = Tm, Tv = Tvo;

t = tk: mw = mwk, (8)

где tk является неопределенной величиной.

При постоянном объеме ВК в системе уравнений (1)-(5) полагаем, что объем ПГС равен VV = VV0, и при продувке воздуха из ЦЕ давление воздуха в ЦЕ сохраняется атмосферным P0 и выполняется изменение плотности и температуры по адиабатическому процессу с k = 1.4 (TV~1 = const, PV = const).

IV. Критерий оптимизации

Для формирования критерия оптимальности процесса тепло- и массообмена рассмотрим минимизацию энергетических затрат на испарение определенной массы жидкости с m0 до mk за временя от t0 = 0 до tk с изменением всей энергии внутри рассматриваемой системы элементов (ЦЕ+ жидкость + ПГС).

Изменению энергии всей системы материальных тел с жидкостью и ПГС должны соответствовать суммарные затраты конвективной энергии Еи на подогрев подаваемого в ЦЕ воздуха, затрат на продувку подаваемого воздуха Eui и кондуктивной энергии на подогрев стенок ЦЕ Ет. Суммарную энергию можно представить в виде интегралов по времени [25]:

Ezv(t) = Еи + Еи1 + Ет = 2j0;k C[jUy0S-2 pV0(TV0)dt + (9)

fo ^u UvoPvo(TVo)((1 - Cw)CpA + CwCpP)(TVo Tv) dt + ft" CTQT dt ,

где Ev- соответствует работе сил по подаче горячего воздуха ^CuU^S-2 pV0 (кинетическая энергия ПГС) за время tk с энергией EM, где UV0 - скорость подачи через сечение площадью S0, и предварительным нагреванием его до температуры 7V0, Ет - энергия кондуктивного нагревания стенок и жидкости мощностью CTQT.

В п. 5 приведены численные результаты моделирования системы уравнений (1) - (5) и сравнение энергетических затрат с результатами без управления при Си = 1 и Ст = 1, т.е. при одновременной подаче конвективной и кондуктивной энергий.

V. Разработка оптимального управления термопроцессом испарения на основе принципа максимума понтрягина

Рассмотрим оптимизацию энергетических затрат на испарение заданной массы жидкости с помощью метода Понтрягина [21].

Согласно этой теории, при решении задачи оптимизации с функцией Гамильтона:

H= Ai^ + + + + Л5^-/н (10)

1 dt 2 dt 3 dt 4 dt 5 dt v '

необходимо ввести сопряженные функции Х1, Х2, Л3, Х4, Х5 и функцию fH для минимизации энергетических затрат. Выражение для fH можно записать в виде:

fH = ^ = ^uUvoS^Pvo(TVo) + CuUVoPVo(TVo)((1 - Cw)CpA + CwCpP)(TVo - Tv) + CTQT . (11)

По (1) - (5) и (12) строится окончательное выражение для функции (10), определяющей максимизирующий функционал с минимизацией затрат энергии по функции (11) за период времени [0, tk]:

„ = . dmw dmA dmP + . dTw + , dTv 1 „ . 3 2_ (T )

H= — + — + h — + ¿4 — + ¿5i;r-2CuUVoSo Pvo('vo) -

-CuUVoPVo(TVo)((1 - Cw)CpA + CwCpP)(TVo - Tv) - CTQT =

= ki[-SWw(t, T,P)] +

+*2[Cu (t)FAo & mA) - FVA(t, mA)] +

+Хз[Си(t)Fp(t,mP) - FVP(t,mP) + SWw(t, T,P)] +

+X4[-SWw(t, T, P) Fmw(t, T) + SCT(t)FT(t)] +

+Л5[Ру0(1) +Шу, (I, Т, Р)РтУ (I, Г)] —

— 1сииУ0$0 2Руо(Хуо) — Сииу0ру0(Ту0)((1. — )СрА + СщСрР)(ТУ0 — Ту) — CTQT .

Для построения сопряженной системы уравнений для определения функций Х1, Х2, Х3, Х4, Х5 первоначально определяются частные производные от выражений (1) - (5) и (10) по выбранным независимым переменным (т-щ, тА, тР, Тк, Ту). После использования их в производных от функции Гамильтона Н (производные от Н, включая/Н) строится сопряженная система уравнений к (1) - (5) в следующем виде [21]:

Ъ =

дН дтщ7

Х^ =

дН дтА

Хз =

дН дтр'

Л4 =

дН дТш'

х = — дн

5 = дТу

(12) - (16)

Для уравнений (12) - (16) ни начальные данные Х10, Х20, Х30, Х40^ Х50, ни конечные данные Х1к, Х2к, Х3к, Х4к Х5к неизвестны, при этом еще не заданы и конечные значения для четырех функций шАк, шРк, Ткк, Тук, поэтому для замыкания граничных условий в системах уравнений с неизвестным конечным временем ^ потребуются пять условий трансверсальности при Х = Хк , при котором с переменными >>1 = шкк, у2 = шАк, у3 = шРк, у4 = Ткк, у5 = Тук первая вариация оптимизирующего функционала:

мк

А = ]0 Н (у,, у,, Х)И

(17)

при требовании достижения экстремума должна быть равной нулю:

5 дН

Ч ¿у, (хк ) + Н (у,, у,, Хк )5хк = 0.

к 1=1 дуг

(18)

При этом для достижения максимума вторая вариация должна быть отрицательной:

в2А = [VдНу, +±^уг + дН-](вкк)2 < 0.

1хк £ ду, & ду,дГ' ЭЛ

Это условие выполняется из построения сопряженной системы уравнений (13)-(17).

Уравнение (19) с учетом, что уже ву1 (Хк ) = 0, будет выполняться при равенствах нулю коэффициентов при других вариациях по неизвестным переменным на правой границе, т.е. при

дН п дН п дН п дН п тт. . Л = 0,-= 0,-= 0,-= 0, Н (у,, Хк) = 0,

ду 2 ' ду 3 ' ду 4 ' ду 5

или

дН

дш,

= 0,

дН

дшт

= 0,

дН

дТш

= 0,

дН

дТ

, , • д

Л Х - шш-Г

11к

дш

дН

-ш

А

дш

дН

-ш

дш

= 0,

• дН - -Г"

Хк дТш

• дН

- ТУ-Г

Хк дТУ

= - Н = 0.

Хк

Эти условия приводятся к виду:

или

Х2=0, Х3=0, Х4=0, Х5=0, /Н - = 0

~ СцЩо^о 2 Руо (Гуо) + Сииу0ру0(Ту0)((1 — )СрА + СщСрр )(Туо Ту) + СТ(2Т +

+хл

5К0 ( 174727.8 — 1312.1 • Тш + 2.47 • ТЪ —

V Ууо '

(19)

к

к

к

к

к

к

к

Для получения максимального значения функционала от И(/) на интервале [0,4] управление включения и отключения продувки ПГС по функции СП (0 будет осуществляться из условий:

иП=дИ/дСП >0 при СП (Г) = 1,

ии=дИ/дСи< 0 при СП (0=0. (20)

Отсюда подача горячего воздуха будет при условии

тв

ии = Х2[иуо(1 — См)Ру0(Ту0) ] + Х3

иуо СмРУ0 (ТУ0 ) иуо

—Ьщ^р^о) — иу0ру0(Ту0)((1 — См)СрА + С„СрР)(ТУ0 — Ту). (21)

Для СТ условие включения и выключения внешнего нагрева (конвективная составляющая) определяется в следующем виде:

ПТ=дИ/дСТ >0 при СТ (Г) = 1,

ПТ=дИ/дСТ< 0 при СТ (0=0. (22)

Требование положительности функций управления иП,иТ указывает на увеличение коэффициентов СП, СТ (здесь только с 0 до 1), чтобы для функционала 3 достигались максимальные значения.

На основе (10) получается функция включения ПТ в виде:

ит = А4[БРт (с)] — QT. (23)

VI. Численное моделирование процесса

Было проведено численное моделирование системы (1) - (5), с начальной массой жидкости ш„0 = 10 г до конечной = 5 г и 1 г из емкости массой ш8 = 52 кг и площадью стенок 8 = 3.32 м2 с минимизацией затрат энергии при использовании подогрева с мощностью QT = 35,7 КВт/м2 и подачей воздуха со скоростью Пу0 = 1.0 м3/с с Т^ = 353.1°К или 413.1°К в ЦЕ объемом УК = 0.463 м3 через сечение £0 = 0.001 м2 при давлении ПГС Р0 = 105.6 кПа и температуре Т0 = 273.1°К для воздуха в ЦЕ, жидкости, стенок ЦЕ из железа массой ш8 = 52 кг.

В начальный момент времени в ЦЕ будет рассматриваться воздух с влажностью паров жидкости 0% или 90%. Для второго случая потребует, как для наиболее напряженного случая, больших затрат энергии или продувки более сухой ПГС (что подтверждается проведенными расчетами).

Для численного решения системы дифференциальных уравнений (1) - (5) и сопряженной к ним системы (12) - (16) использовался метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности по дискретным шагам времени. Расчеты проводились до испарения 5 и 9 г из 10 г жидкости, и при использовании условий оптимизации дополнительно проводилась корректировка начальных данных для переменных сопряженной системы (в начале: Х10 = 1, Х20 = 1, ^зо = -1, ^40 = -1, ^50 = -1) с требованием приближения к (19). В расчетах с оптимизацией применялись условия (20) - (23).

По аналогии с данными в экспериментах работы [23] были взяты следующие физические величины: Ь„ = 2256.0 кДж/кг, Я = 8.314Дж/(мольК), К0 = 1.39-10-8 кг/(Па- м2 с), q = 1.18, = 0.0182 кг/моль, дА = 0.02897 кг/моль, Ср8 = 460 Дж/(кгК), Ср„ = 4180 Дж/(кгК), Срр = 2020 Дж/(кгК), СрА = 1005 Дж/(кгК).

Для учета теплообмена между ПГС, жидкостью и корпусом ЦЕ были рассмотрены следующие величины: размеры корпуса ЦЕ - Ь = 0.969м - длина, г = 0.39м - радиус, И = 0.002м - толщина, теплоемкость стенок корпуса ЦЕ - СрК = 460 Дж/(кгК), коэффициенты теплопроводности жидкости - = 0.63 Вт/(мК), ПГС - ^ = 0.022-(Р^0) Вт/(мК), корпуса ЦЕ - = ХК = 92.0 Вт/(мК) моделирование теплообмена проводилось согласно методам, представленным в [23].

Был рассмотрен случай совместного постоянного воздействия нагревателя и подачи ПГС и с управлением для достижения минимизации суммарных энергетических затрат Е1У согласно выражению (9).

В табл. 1 приведены результаты расчетов с начальными влажностями С„0 = 0% и 90% с постоянным подогревом при QT = 35,7 КВт/м2 и постоянной подачей горячего воздуха с ПУ0 = 1.0 м3/с (строки 1-3). Здесь время осушки меньше, чем при применении оптимизации включений (строки 4-5), но при этом значительны энергетические затраты, и при повышенной влажности может не испариться быстро заданная масса жидкости ввиду значительного перегревания стенок ЦЕ и жидкости при инерционном запаздывании по испарению. Но при увеличении энергетических затрат с QT = 357,0 КВт/м2 при подаче более прогретой ПГС (Т^ = 413.1°К ) происходит быстрее испарение по времени, что является более эффективным на конечном интервале процесса испарения (табл. 2, 3 расчет). Уменьшение нагрева подаваемого горячего воздуха (Т^ = 353.1°К) или скорости (ПУ0 = 0.4 м3/с) приводит к уменьшению энергетических затрат (табл. 2, расчеты 1 и 5) для испарения массы

жидкости с 10 г до 1 г. Как показывают расчеты с оптимизацией, нагрев стенок ЦЕ эффективен на начальном интервале для последующего увеличения скорости испарения после уменьшения влажности в ЦЕ после подачи относительно сухого горячего воздуха (0-30%). При этом может быть получена экономия энергетических затрат до 2,5 раз (табл. 1, строки 4-5 при = 5 г) или до 10-20 % (табл. 2, расчеты 2,4,6 при = 1 г).

ТАБЛИЦА 1

ЭНЕРГОЗАТРАТЫ ПРИ ИСПАРЕНИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ПРОДУВКЕ И ПОДОГРЕВЕ С ОПТИМИЗАЦИЕЙ И БЕЗ ОПТИМИЗАЦИИ

№ Время 1, с £)т КВт/м2 и¥0 м /с , тУО к ^10 ^20 ^30 ^40 ^50 Лт г, С'№00 Е^ь КДж

1 / = 16.1 35.7 1.0, 413 5.0 0% 0% 4982,2

2 / = 16.2 35.7 1.0, 413 5.0 0% 90% 4984,6

3 / = 16.3 35.7 1.0, 413 - - - - - 5.0 30% 90% 5006,1

4 / = 32.4 35.7 10=0.0 гк=1.08 1.0 413 г0=10.3 1к=14.5 5.62 -9.89 -67.2 31.78 0.00 339 5.0 0% 0% 2201.0

5 / = 21.4 35.7 10=0.0 1к=0.17 1.0 413 10=0.2 1к=7.2 -6.29 13.28 -66.9 30.96 0.00 354 5.0 30% 90% 3104.0

Из табл. 1 при использовании прерываний в нагревании и продувке (сравнивая строки 4-5 со строками 1 и 3) следует, что с помощью управления на испарение заданной массы жидкости энергетические затраты существенно сокращаются (до 2-х с лишним раз). С№00 - начальная влажность в ЦЕ.

Циклограмма включения нагрева и продувки

О 5 10 15 20 25 30

Си,0или1 И С1Г 0или 1 А Масса испарения 1, г X Масса испарения 2. г Время, сек.

Рис. 1. График испарения жидкости с циклограммой включений - строки 1 и 4 из табл. 1

Рис. 2. График испарения жидкости с циклограммой включений - строки 3 и 5 из табл. 1

На рис. 1 показаны графики испарения масс жидкости с 10 г до 5 г по времени и циклограммы включений и отключений откачивания и подогрева по расчетам, приведенным в табл. 1 в строках 1 (график массы испарения 1 без оптимизации) и 4 (график массы испарения 2 с оптимизацией включений по функциям Си и 01).

На рис. 2 показаны аналогичные графики и циклограммы включений и отключений откачивания и подогрева по расчетам в строках 3 и 5 (табл. 1).

ТАБЛИЦА2

ЭНЕРГОЗАТРАТЫ ПРИ ИСПАРЕНИИ ЖИДКОСТИ ПРИ ПРОДУВКЕ И ПОДОГРЕВЕ С ОПТИМИЗАЦИЕЙ

И БЕЗ ОПТИМИЗАЦИИ

№ Время г, с £)т КВт/м2 Пу0 м3/с , Туе К ^10 ^20 ^30 ^40 ^50 Лт г, С№0 Одам ЕЕь КДж

1 г = 37.5 35.7 1.0, 353 9.0 0% 0% 1454,0

2 г = 50.1 35.7 1о=0.0 1к=1.4 1.0 353 10=14.3 1к=42.4 0.331 2.94 -67.1 31.6 0.003 37 9.0 0% 0% 1302.0

3 г = 19.4 357. 1.0, 413 - - - - - 9.0 0% 0% 5047,0

4 г = 29.1 357. 10=0.0 1к=1.1 1.0 413 10=5.2 1к=16.1 0.574 2.96 67.31 31.90 0.003 24 9.0 0% 0% 4131.0

5 г = 52.5 35.7 0.4 353 - - - - - 9.0 0% 0% 1131.0

6 г = 60.8 35.7 10=0.0 1к=1.2 0.4 353 10= 10.3 1к=58.1 0.334 11.72 67.02 31.52 0.003 49 9.0 0% 0% 1077.0

Циклограмма включения нагрева и продувки

Рис. 3. График испарения жидкости с циклограммой включений - строки 1 и 2 из табл. 2

Рис. 4. График испарения жидкости с циклограммой включений - строки 3 и 4 из табл. 2

На рис. 3 показаны графики испарения масс жидкости с 10 г до 1 г по времени и циклограммы включений и отключений откачивания и подогрева по расчетам, приведенным в табл. 2 в строках 1 (график массы испарения 1 без оптимизации) и 2 (график массы испарения 2 с оптимизацией включений по функциям Си и С1).

На рис. 4 показаны аналогичные графики и циклограммы включений и отключений откачивания и подогрева по расчетам в строках 3 и 4 (табл. 2).

Как следует из графиков, кратковременные воздействия продувки и подогрева достаточны для испарения жидкости с большой экономией энергетических затрат.

VII. Обсуждение полученных результатов

Были рассмотрены два варианта осушки стенок ЦЕ от жидкости с 10 г до 5 г и до 1 г, что показало при оптимизации процессов отличающиеся циклограммы включений продувки ПГС и подобные циклограммы по подогреву ЦЕ.

Так, в первом случае из сравнения результатов моделирования осушки (подогрев и продувка ПГС) с оптимизацией и без оптимизации энергозатрат (табл. 1) следует, что выигрыш при применении оптимизации происходит за счет начального подогревания жидкости (строки 4 и 5) и более поздней кратковременной продувки ПГС. При этом с уменьшением энергозатрат более оптимальное управление (строка 4) приводит к удлинению времени процесса испарения заданной массы жидкости. Там более оптимальный случай достигается за счет испарения жидкости в ненасыщенную ПГС без включений подогрева и продувки на второй половине времени. Расчеты с увеличенной влажностью газовых смесей в ЦЕ и для продувки приводят к увеличению энергетических затрат.

Во втором случае при осушке до 1 г и нулевых влажностях газовых смесей (табл. 2) проведены расчеты при разных мощностях подогрева и разных скоростях продувки ЦЕ. И, как показали расчеты, для минимизации энергозатрат целесообразно использовать меньшие мощности на подогрев (35,7 КВт/м вместо 357,0 КВт/м2) и уменьшенные скорости продувки (0.4 м3/с вместо 1.0 м3/с).

Дальнейшее направление исследований предусматривает оценку методических погрешностей, обусловленных заменой дифференциальных уравнений в частных производных на обыкновенные дифференциальные уравнения, а также экспериментальная проверка полученных результатов оптимального управления процесса испарения жидкостей с другими параметрами системы (объемы, массы, скорости продувки, механизмов подачи теплоты в емкость).

VIII. Выводы

1 Разработана математическая модель испарения жидкости при кондуктивно-конвективном воздействии на основе обыкновенных дифференциальных уравнений.

2 Предложен критерий оптимизации управления продувкой и теплонагревом при фиксированных значениях мощности нагревателя и производительности продувки грячим воздухом из условия минимизации энергии для испарения фиксированной массы жидкости.

3 Разработана процедура применения теории оптимального управления на основе принципа максимума Понтрягина для оптимизации процесса кондуктивно-конвективного испарения.

4. Показана эффективность применения теории оптимального управления для рассматриваемой постановки задачи.

Источник финансирования

Исследования проведены при финансовой поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания подведомственным образовательным организациям, проект «Повышение экологической безопасности и экономической эффективности ракетоносителей с маршевыми жидкостными ракетными двигателями» задание № 9.1023.2017/ПЧ (Трушляков В.И., разделы I, II, IV, VIII) и при поддержке программы фундаментальных научных исследований СО РАН № 11.3, проект № 0314-2016-0009 (Паничкин А.В., разделы III, V, VI, VII).

Список литературы

1. Кузнецов Г. В., Феоктистов Д. В., Орлова Е. Г. Испарение капель жидкостей с поверхности анодированного алюминия // Теплофизика и аэромеханика. 2016. № 1. С. 17-22.

2. Семенов А. А., Феоктистов Д. В., Зайцев Д. В., Кузнецов Г. В., Кабов О. А. Экспериментальное исследование испарения капли жидкости на нагреваемой твердой поверхности // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22, № 6. С. 801-804.

3. Гатапова Е. Я., Филипенко Р. А., Люлин Ю. В., Граур И. А., Марчук И. В., Кабов О. А. Экспериментальное исследование температурного поля в двухслойной системе жидкость-газ // Теплофизика и аэромеханика.

2015. № 6. С. 729-734.

4. Gatapova E. Ya., Kabov O. A. Shear driven flows of locally heated liquid films // Intern. J. Heat and Mass Transfer. 2010. Vol. 53, no. 13-14. P. 2795-2807.

5. Гончарова О. Н., Резанова Е. В., Тарасов Я. А. Математическое моделирование термокапиллярных течений в тонком слое жидкости с учетом испарения // Математика и механика. 2013. № 3. С. 47-52.

6. Кабов О. Л., Кабова Ю. О. Кузнецов В.В. Испарение неизотермической пленки жидкости в микроканале при спутном потоке газа // ДАН. 2012. № 446 (5).

7. Кузнецов В. В., Андреев В. К. Движение жидкой пленки и газового потока в микроканале с испарением // Теплофизика и аэромеханика. 2013. № 1. C. 17-28.

8. Цыганков А. В., Алешин А. Е. Моделирование процессов конденсации и испарения в канале регенеративного теплоутилизатора // Вестник Международной академии холода. 2016. № 1. С. 82-85.

9. Зудин Ю. Б. Линейный кинетический анализ испарения и конденсации // Теплофизика и аэромеханика.

2016. № 3. С. 437-450.

10. Гатапова Е. Я., Филипенко Р. А., Люлин Ю. В., Граур И. А., Марчук И. В., Кабов О. А. Экспериментальное исследование температурного поля в двухслойной системе жидкость-газ // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22, № 6. С. 729-734.

11. Кузнецов В. В. Тепломассообмен на поверхности раздела жидкость-пар // Известия российской академии наук. Механика жидкости и газа. 2011. № 5. С. 97-107.

12 Trushlyakov V., Lavruk S. Theoretical and experimental investigations of interaction of hot gases with liquid in closed volume // Acta Astronautica 2015. Vol. 109. P. 241-247. DOI: 10.1016/j.actaastro.2014.10.029.

13. Трушляков В. И., Лесняк И. Ю., Гальфетти Л. Экспериментальные исследования процесса конвективного теплообмена при испарении керосина и воды в замкнутом объеме // Теплофизика и аэромеханика. 2017. Т. 24, № 5 (107). С. 771-781.

14. Iorio G. S., Goneharova O. N., Kabov O. A. Study of evaporative convection in an open cavity under shear stress flow // Microgravity ScL TcchnoL. 2009. № 21 (1).

15. Зудин Ю. Б. Полуэмпирическая модель интенсивного испарения // Теплофизика и аэромеханика. 2017. № 4. С. 539-552.

16. Kuznetsov V. V. Dynamics of locally heated liquid films // Russ. J. Eng. Thermophys. 2000. Vol. 10, no. 2. P. 107-120.

17. Семенов Г. В., Буданцев Е. В., Меламед Л. Э., Тропкина А. И. Математическое моделирование и экспериментальное исследование совмещенных циклов вакуумной сушки термолабильных материалов // Вестник международной академии холода. 2011. № 4. C. 5-11.

18. Кабов О. А., Кабова Ю. О. Влияние размеров нагревателя на испарение пленки жидкости, увлекаемой потоком газа в микроканале при локальном нагреве // Теплофизика и аэромеханика. 2015. Т. 22, № 4. С. 539-542.

19. Некрасов С. А., Волков В. С. Компьютерное моделирование и оптимизация процесса оттаивания грунтов при помощи энергии СВЧ // Инженерно-физический журнал. 2017. Т. 90, № 1. C. 55-63.

20. Дилигенская А. Н., Рапопорт Э. Я. Метод минимаксной оптимизации в коэффициентной обратной задаче теплопроводности // Инженерно-физический журнал. 2016. Т. 89, № 4. C. 1007-1012.

21. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1983. 393 с.

22. Гусев Е. Л., Бакулин В. Н. Оптимальное проектирование структурно-неоднородных материалов и конструкций с требуемыми свойствами // Инженерно-физический журнал. 2014. Т. 87, № 6. C. 250-255.

23. Trushlyakov V., Panichkin A., Prusova O., Zharikov K., Dron M. Theoretical and experimental researches of the liquid evaporation during thermal vacuum influences // Journal of Physics: Conference Series : 11th International Scientific and Technical Conference on Applied Mechanics and Dynamics Systems, AMSD 2017, Omsk, Russian Federation, 14-16 November 2017. Vol. 944, Iss. 1. DOI: 10.1088/1742-6596/944/1/012119.

24. Волков А. И., Жарский И. М. Большой химический справочник. Мн.: Современная школа, 2005. 608 с.

25. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. Москва-Ленинград: Госэнергоиздат, 1963. 536 с.