Оптимизация вырожденных импульсных переходов с учетом ограничений и возмущений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.1:521.1 В. С. Новоселов

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2003, вып. 2 (№9)

ОПТИМИЗАЦИЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ИМПУЛЬСНЫХ ПЕРЕХОДОВ С УЧЕТОМ ОГРАНИЧЕНИЙ И ВОЗМУЩЕНИЙ1

1. Общее решение уравнений Эйлера—Лагранжа на баллистическом участке полета в центральном гравитационном поле [1], впервые полученное Д. Лоуденом [2-5], использует деление на эксцентриситет орбиты. Поэтому это решение не может применяться при оптимизации перелетов между близкими околокруговыми орбитами. Универсальное представление указанного решения, использующее элементы Лагранжа

h = e sin ш, k = e cos ш, (1)

получено различными методами в работах [6-8]. В формуле (1) e — эксцентриситет, ш — угловое удаление перецентра от узла.

Универсальное представление сопряженных переменных на участках свободного полета в центральном гравитационном поле для сферической системы координат

Xi = Vr, Х2 = v¡p, X3 = Vg, X4 = Г, X5 = y, X6 = в

имеют вид

A1 = A cos u + B sin u + CGi,

A2 = (v2 cos i — v3 sin i cos u) (1 + h sin u + к cos u) cos-1 в, A3 = (v2 sin i cos u + v3 cos i) (1 + h sin u + к cos u) 1 cos-1 в, v2 = (2 + h sin u + к cos u) (—A sin u + B cos u) + CG2 + D, (2)

v3 = M cos u + N sin u,

A4 = (l + hsmu + kcosu) (A sin и — В cos и + CG% — D),

A5 = -кр'% cosi{Ak + Bh + С - Ntgi),

Аб = cos-1 в{(Ак + Bh + С) sin i cos и — (М sin и — Neos и) cos i).

Здесь A, B, C, D, M, N — произвольные постоянные интегрирования уравнений Эйлера — Лагранжа, u — аргумент широты, i — наклонение орбиты к основной плоскости, р — фокальный параметр, к — квадратный корень из произведения гравитационной постоянной на массу центрального небесно тела. При этом

C = — к-2р2 H, (3)

где H — функция Гамильтона совместной системы уравнений движения и уравнений Эйлера — Лагранжа. Выражение специальных функций G1 , G2 и G3 приведены в работах [6-8]. Для околокруговых орбит можно пользоваться асимптотическим представлением

G1 = 2 + O(k2 + h2)1/2, G2 = —3u + O(k2 + h2)1/2,

G3 =3u + O(k2 + h2)1/2. (4)

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №02-01-01039).

© В. С. Новоселов, 2003

В настоящей работе предлагается схема построения в первом приближении аналитического решения с учетом ограничений и возмущений вырожденных задач оптимизации переходов между близкими околокруговыми и слабонаклоненными орбитами. Поэтому воспользоваться более простыми выражениями соответствующих лагранжевых множителей с аргументом истиной аномалией [2-5] не представляется возможным. Решение будет строиться по общей схеме принципа максимума [2-9], при этом фазовые переменные участков кеплерового движения выражаются через элементы Лагранжа (1):

vr = жр~ i (к sin и — /icos и),

vv = >ср~ 2 (1 к cos и + hsmu) cosicos-1 в,

vg = >cp~i( 1 + к cos и + hsmu) sinicosMCOs-1 в, (5)

r = p(1 + k cos u + h sin u)-1,

tg(^> — П) = cos i tgu, sin в = sin i sin u.

2. Типичной задачей с ограничением является построение оптимального перехода при условии tK — tH < T > 0 с минимизируемым функционалом

ÍK

V = У xdt + a(ÍK — Íh), (6)

Íh

где x — реактивное ускорение, а — положительный весовой множитель, который можно рассматривать как дополнительный множитель Лагранжа. Индексами ник отмечаем характеристики начала и конца оптимального движения. Запишем условие трансверсальности общего вида [5, 9] для задачи минимизации функционала (6)

ÍEA*7TAM1 Д*к-Д*„) = 0. (7)

ÍH

Здесь А, и Н вычисляются на переходной орбите, а и Дм на соответствующих граничных орбитах в точках старта и финиша. Вариацию Дм можно определить с помощью интеграла площадей на основе формулы (5)

r2 u :

u

J(1 + hsinu + kcosu)~2du = (t — íq), (8)

где ¿п — момент прохождения через восходящий узел. Из формулы (8) следует, что Дм будет равно произведению некоторого множителя на разность Д£ — Дп. При произвольной фазе движения хотя бы для одной граничной орбиты величина Д£п не зависит от Д£н и Дгк, и на основании (7) получаем

6 dxi

du

5>

Е6 , dxi

i=i

0, H = а. (9)

В задаче с ограничением на время движения Н = 0 и по формуле (3) С = 0. В задачах без ограничения на время движения [10, 11] указанная постоянная обращается в нуль и формулы лагранжевых множителей (2) существенно упрощаются.

0

í=í

í=í

Предлагаемая общая схема решения вырожденных задач оптимизации с учетом ограничений и возмущений заключается в составлении необходимых условий экстремума в виде условий трансверсальности (9), условий непрерывности лагранжевых множителей Aj в точках соединения активных участков с участками баллистического движения, представления первых трех лагранжевых множителей в этих точках с помощью тригонометрических функций углов ф и y наклона тяги [5, 9], конечных формул приращения фазовых переменных на различных участках движения. Будем обозначать индексами — и + переменные на переходной орбите в точках старта и финиша. В целом для двухимпульсного некомпланарного перелета получим 27 уравнений: 6 уравнений связывают хн и x-, 6 уравнений для x+ и хк, 6 уравнений непрерывности первых трех лагранжевых множителей в начале и конце переходного эллипса, еще 6 уравнений следуют из зависимости (5) для угловых переменных и соотношений (8), два уравнения трансверсальности и одно уравнение, выражающее равенство времени перелета заданной величине T. Неизвестных будет 27: A, B, C, D, M, N, V1, V2, Ф1, Ф2, 71, 72, k, h, р, i, Q, u+, uH, uK, в-, в+, y-, y+, tH, tK, а. Здесь V1 и V2 —характеристические скорости первого и второго импульсов. По формуле (6) U = V1 + V2 + a(tK — tH).

Вырожденные задачи оптимального перелета отвечают случаю близких околокруговых орбит [9-14]. Для этих задач можно ввести малый параметр

М = (рк — рн)р-1, Рн = Г, рН =0, Рк = Г + мрК, рК = Г. (10)

Штрихом отмечаем члены первого порядка. Кроме того, полагаем

кн = Мкш hH = MhH кК = мкк hK = iK — iH = m(íK — iн),

р = Г + мр', i — Íh = m(í' — iH), T = To + mT '. (11)

Зависимость времени перехода от угловой дальности перелета u+ = Ф = Ф0 + мФ ' можно получить с помощью формулы (8):

Т° = tl-tl = H-lri<S>°, T'=t'K-t'H =

= (Ф' + У'г-Ч0 - 2к' sin Ф° - 2h'(í - cos Ф0))

Существенное значение среди необходимых условий экстремума имеют условия трансверсальности. В нулевом приближении вариации фазовых переменных на граничных орбитах будут

Дх1 = Дх2 = Дх3 = 0, Дх4 = 0, Дх5 = Au0, Дх6 = 0.

Поэтому в нулевом приближении на основании (1) условия трансверсальности (9) принимают вид: — с0Аи°. Отсюда получаем С0 = 0, а по формуле (3) и (9) <т° = 0 Поскольку возмущения имеют первый или более высокий по М порядок, то для упрощения вычислений можно принять плоскость невозмущенной начальной орбиты за основную плоскость, а за начальную точку отсчета углов долготы — невозмущенный взаимный узел граничных орбит. В этом случае

íH = 0, iH = 0, qH = 0, qK = 0, uH = n°, uK = n° + u0+.

Для слабонаклоненных околокруговых орбит примем во внимание формулы (4), (10), (11) и воспользуемся условиями трансверсальности первого порядка из работы [11], добавив с учетом формул (2)-(5) дополнительные содержащие а' слагаемые. В результате

(12)

получим

A0(kH cos Q0 + hH sin Q0 — k') + B0(-kH sin Q0 + hH cos Q0 — h')+ +№i' - K^r^a' = 0,

A0(kK cos Q0 + hK sinQ0 — k') + B0( —kK sinQ0 + h'K cosQ0 — h') — —M°i'K sin + №(i< - i'K cosQ0) + Xavier' = 0.

Вычтем в (13) первое уравнение из второго

A°((kK — kH) cosQ0 + (hK — hH) sinQ0) + B0(( —kK + kH) sinQ0+

+ (hK — hH) cos Q0) — M0iK sin Q0 — N0iK cos Q0 = 0. (14)

3. В работе [11] отмечалось, что анализ членов первого порядка целесообразно начинать с условия непрерывности по углу в, для которого sin в = sin i sin u. Отсюда для приближения порядка ^

в'+ = iK sin uK = i' sin ф0. (15)

Выделялись варианты: I — Ф0 = п, II — Ф0 = п Для первого варианта i'K sin uK = 0 и возможны подварианты: 1а — i'K = 0, sin uK = 0 и 1б — i'K = 0. В первом подварианте точки старта и финиша в нулевом приближении совпадают с невозмущенными узлами граничных орбит. Пусть старту отвечает восходящий узел, тогда Q0 = 0. Во втором под-варианте наклонение конечной орбиты второго или более высокого порядка малости. Как показано в работе [11], в первом приближении в этом случае переходная орбита располагается в плоскости начальной орбиты. Для варианта II на основании (15) имеем

i' = iK sin(Q0 + ф0) sin-1 Ф0. (16)

В подслучае 1а в нулевом приближении по формуле (12) Т° = тг, т.е. вре-

мя движения равно времени перелета по эллипсу типа Гомана. Все уравнения первого приближения, включая полученное из условий трансверсальности уравнение (14), совпадают с уравнениями первого приближения работы [11]. На основании указанных уравнений в цитированной работе выделены две возможные полуветви: Ii при D0 = 0 и I2 при A0 = B0 = 0.

Приведенные в этой работе характеристики перелета первого порядка будут верны и при ограничении по времени, которое в случае !а будет слабым в том смысле, что время движения мало отличается от времени движения по полуэллипсу Гомана. Результат указанной работы для подварианта !а требует уточнения, именно: из двух знаков нижний выбирается, если k'K > kH, а верхний — при k'K < kH. Поэтому поправки первого порядка к характеристическим скоростей подварианта ^i при выборе малого параметра по формулам (10) и (11) будут такими:

v{ = jxr-i(i + -р'Ж - К\-1)Яъ

V2 = \xr-\{-\ + -К)\K - K\-lQu (17)

^^Ф + КК-к'Ж-р'.Г1)-

При этом на основании условий трансверсальности (13) оказывается а' = 0, что естественно при слабом ограничении на время движения [10].

а наклон орбиты —

В подварианте I2 также а ' = 0, кроме того

V{ = \кг-Ц1 +г(К - к'н)(р'к -р'нГ^2, v> = - г(к'К - к'нЩ-р'н)-^2, (18)

Q2 = (42 + K2(K-K)2)i

г = 2«

¿»"(1 + г(к>К-к>н)(Р>К-Р>н)-1).

Ветвь I2 не вырождается для задачи перехода между близкими круговыми орбитами с радиусами гк > Дн, для которых к'к = к'н = 0, рн = г, рН = 0, рк = Гк, м = (гк — г)г-1 , р°К = г,р'к = г. Из (18) следует Q2 = (± + V{ = V¡ = 1 + 4i'K)i, г' =

Это решение другим методом получено в работе [10]. В цитированной работе построено буквенное решение с точностью до членов третьего порядка. Следует заметить, что для перехода между некомпланарными круговыми орбитами со слабым ограничением на длительность перелета только в предельном случае равенства радиусов круговых орбит поворот на некоторый угол iK можно оптимально выполнить и в одноимпульсном режиме [1]. Возможные ветви экстремального решения этой задачи получим на основе точного решения задачи перехода без ограничения на длительность между некомпланарными круговыми орбитами с уравнением для наклонения [1, 5]

i i r£ V2 sin i — r£\1 sin(iK — i) = 0.

Здесь характеристические скорости старта и финиша равны

Vi = хгйЦ2 + k - 2y/l + kcosi)?,

V2 = >сг~Ц2 -к- 2 Vi - к cos(iK - i))?.

Для задачи поворота плоскости круговой орбиты полагаем: гн = гк, к = 0. Будем иметь после сокращения

. i . íK — if i íK — Л „ sin - sin- eos--eos- = 0.

2 2 V 2 2 J

Возможные решения: i = iK отвечает одноимпульсному повороту плоскости круговой орбиты, i = 7¿iK соответствует приведенному выше решению для двухимпульсного перехода.

К варианту 1б относится задача оптимального перехода между близкими компланарными круговыми орбитами со слабым ограничением на время [12]. Оказалось, что для уменьшения времени перехода на величину первого порядка малости требуется дополнительный расход характеристических скоростей третьего порядка. При этом

а' = 0, (-тгх-1^2-Т>] .

2 V4

Однако поправки наклона характеристических скоростей к радиус-вектору первого порядка отличны от нуля:

= -2к-2г2 а '', = 2к-2 г2 а ''.

Если орбиты будут близкими, компланарными и слабоэллиптическими, то следует учесть ветвление при двойном вырождении [13, 14].

4. При исследовании варианта II будем исходить из уравнений (13)—(15), дополненных другими условиями экстремальности. В частности, в начале и в конце участка баллистического движения квадрат суммы трех первых лангражевых множителей Л2 равен единице [9, 11]:

(Л-)2 = A2 + (2B + D)2 + M2 = 1, (л+)2 = A2(1 - 3sin2 Ф) + B2(1 + 3cos2 Ф) + D2 + +M2 cos2 Ф + N2 sin2 Ф - (AB - MN) sin Ф cos Ф--4AD sin Ф + 4BD cos Ф = 1.

В указанных точках Л2 достигает максимального значения. Однако в силу ограничения 0 < u < Ф этот экстремум может быть негладким и производная dA2/du в указанных точках может не обращаться в нуль. Поскольку а0 = 0, то будут верны шесть преобразованных уравнений экстремума первого порядка (17) из работы [11]. Первые два уравнения для рассматриваемой задачи примут вид

A0(k' - kH cosQ - hH sinQ) + 4B0(h' + kH sinQ - hH cosQ)--2D0(h' - kH sinQ - hH cos Q) = 0,

A0(k' - kK cos Q - hK sin Q) + B0(h' + kK sin Q - hK cos Q)+ (20)

+ (3A0 sin Ф - 3B0 cos Ф - 2D0)(k' sinФ - kK sin(Q + Ф)--h' cos Ф + h'k cos(Q + Ф)) = 0.

Оставшиеся четыре уравнения содержат поправку первого порядка к наклонению переходной орбиты:

A0i' = M0(-kH sinQ - h' + hH cosQ0),

(A0 cos Ф + B0 sin Ф) (¿' cos Ф - ¿K cos(Q + Ф)) =

= (M cos Ф + N sin Ф)(^ sin Ф - kK sin(Q + Ф) -

-h' cosФ - hKcos(Q + Ф)), (21)

2(2B0 + D0)i' = M0(k' - kHcosQ - hHsinQ), (21)

2(-2AsinФ + 2BcosФ + D)(i' cosФ - ¿K cos(Q + Ф)) = (M cosФ + N sin Ф)(k' ^Ф - kK cos(Q + y>)+ +h' sinФ - hK sin(Q + Ф)).

Уравнения (13), (16), (19)-(21) должны быть дополнены соотношениями первого порядка, полученными от сшивания участка баллистического полета с участками активного движения. Так, непрерывность по величине радиус-вектора приводит к уравнениям

r 1 (p' - pH) = k' - kH cos Q - hH sin Q,

r-1(p' - pK) = k' cosФ - kK cos(Q + Ф) + h' sinФ - hK sin(Q + Ф).

Сложная система 13 уравнений (13), (16), (19)-(22) относительно 11 неизвестных: А0, В0, Д0, М0, №, к', Л', г', П, р', а' требует отдельного исследования. В качестве примера ограничимся задачей, для которой эксцентриситеты граничных орбит и угол их взаимного наклонения имеют второй порядок малости, т. е. кН = к^ = 0, ЛН = ЛК = 0, ¿К = 0. Получим следующее решение:

А° = 2дз1 сое §, в° =-гдз1^! со8|,

В^С^зыгГ^, д3 = (1 + Зсо82|)1/2, (23)

к' = 1 Н< = , р' = ±г, М° = 0, Ж0 = 0.

Заметим, что на основании формул (2) и (23) производная от Л2 = Л2 + Л2 + по аргументу и в точке старта будет равна

dA2 du

= 0 = -AB - 4AD + MN =

( 2 Ф\ / 2 Ф\ 1 Ф , Ф

= -4 ( 2 + 5 cos2 — 1 ( 1 + 3 sm2 — 1 cos — sin-1 —.

При 0 < <£> < п это выражение отрицательно и только при Ф = п указанная производная равна нулю, что отвечает гладкому максимуму Л2 в точке старта для п-перелета. Запишем уравнения импульсного приращения компонент скорости

—>cr~%h' = V/cosV'i, sin<J> — h' cos<J>) = — V^'cos V>2,

1 3 1

(p' —p^) = У/sincos7°, = У/sinsin7°, (24)

1 3 1

— xr~2(p' — p'K) = —V¡ sin Ф2 cos72 ; COS Ф = — V¡ sin Ф2 sin 72 •

В первом приближении переход компланарный: i' = 0, 7° = 0, 7° = 0. Поправки трансверсальных компонент характеристических скоростей не зависят от угла Ф:

V{ COS ф° = — V¡ cos Ф2 = ~ i .

Радиальные компоненты характеристических скоростей противоположны по знаку

У/cos Ф1 = -V^cos ф°2 = ^xr-hgj.

Величины характеристических скоростей в первом приближении равны

V{ = V2' = i^r-i (l + 4ctg2|) 2 . (25)

Представление (25) другим методом для компланарной задачи получено в работе [15].

5. Если надо учесть небесномеханические возмущения, то в первоначально составленных уравнениях необходимых условий экстремума для элементов граничных и переходной орбит вместо q' следует поставить [16, 17]

<?' = q' +

где (/' — соответствующее небесномеханическое возмущение первого порядка. Для примера будем рассматривать возмущения от второй зональной гармоники гравитацтонно-го поля с физическим малым параметром а = |/2, для Земли /2 = (1082, 65±0, 02)-10~6. Влияние вековых возмущений изучено в работе [5]. Для рассматриваемой в настоящей статье задачи с ограничением на время перелета и малым наклонением основное значение имеют короткопериодические возмущения. Положим а = ^а' и пусть а' = 0(1). Не равными нулю короткопериодические возмущения первого порядка с орбитальной частотой будут только для зависящих от положения перицентра элементов [18-20]

к = a'r^r-2(cosu0 - cosu(t0)), h' = a'r^r-2(sinu0 - sinu(t0)), (26)

u

где гэ —экваториальный радиус планеты, и (¿о) — аргумент широты в начальную эпоху ¿о. Если принять за начальную эпоху момент прохождения маневрирующим телом невозмущенного взаимного узла, то для близких орбит в нулевом приближении ин(^0) = ) = ик(^0) = 0, мк(^к) = (¿к) = Ф. По формуле (26)

= 0, k

u=0

= k '

И=Ф

h!, = h'

= 0, hK|„=v = h '

u=0

2».-2/

cus Ф - 1) ,

(27)

= a'r2r 2(с^Ф — 1),

И=Ф

22 = a'rjr 2 sin y.

И=Ф

Но эти значения не следует подставлять в окончательные формулы (17), (18) и (24), так как при их выводе отождествлялись к'|и=о, к'|„=ф и h'|„=o, h'|и=Ф. Например, вместо уравнений (24), должны быть написаны полные уравнения (14) работы [11] в виде

>cr~i (к' sinw0 — fcj, sinWg — h' cosw0+ + h'H cosw°)í=ío = V/cos-^j1,

(A;'sinM0+ — k^sinw° — h' cosw0+ + h'Kcosu1)t=to = = — V' cus V2

(p'-p'H)t=to = 1// Sinocos 7°, (28)

^яг-Цр' о = -У2'sinocos72°,

(xr~ 2 j' cosw°~)í=ío = У/sinsin 7°, (иг- 2 j' cosm0+ — >cr~ z i'K eos u1)t=to = V2 sin ф2 sin 72.

Уравнения (28) дополняются уравнениями (22), переменные которых снабжаются значком Поскольку по формуле (27) величины k и h граничных и переходной орбит в соответствующие моменты времени одинаковы, p и i не имеют короткопериодических возмущений, то из уравнений (28) получаем те же значения (17), (18) и (24). Если выражения (27) подставить в (17), (18) и (24), то получится иной результат.

Изменение расхождения характеристических скоростей за счет воздействия возмущений можно ожидать, если движению по граничным и переходной орбите отвечают различные моменты времени изменения невозмущенных элементов. Поскольку для близких околокруговых некомпланарных орбит нет ветви экстремального решения со стартом не в узле [11], рассмотрим задачу с конечной разностью фокальных параметров граничных орбит pK — рн > 0. Пусть элементы на начальной орбите определены в некоторый момент времени to. Требуется построить оптимальный переход на орбиту с заданными значениями kK, hK. Время tK — произвольно, но должно выполняться ограничение tK — tH < T. Начальными эпохами будут: для начальной орбиты — to, переходной— tH, конечной — tK. Выбираем а в качестве малого параметра. Пусть ен и eK — величины порядка а. Нулевым приближением будет полуэллипс типа Гомана с эксцентриситетом и фокальным параметром e0 = (pK — pH)(pK + рн)-1, р0 = 2pKpH(pK + рн)-1. Пусть iK = 0. На основании (25) запишем

kH = kH + r2p-2(cosuH — 1), hH = hH + ^p-2 sin(29)

В рассматриваемой задаче удобнее пользоваться условиями трансверсальности (8) работы [17]. Ввиду произвольности ^ выполняется равенство H' = а', поэтому указанные условия трансверсальности приведутся к виду

i ~ i Рк Рн(к'н sin — /?4cosw°) = pl PK(kK sinuK — hK coswK),

pH = i-y-y¡(i+p-1p0) >0, (30)

Pk = Í-^ÍpI(Í+P-1Po) >0.

После преобразования уравнения (30) с использованием (29) для нулевого значения углового положения точки старта получаем

plPn{K-rlpñ2)+plPÍK

Поправки первого порядка к эксцентриситету и параметру переходного эллипса будут такие [5]:

е' = Ро(Рн + Рк)-1 ((ЛН + Л^ш иН + (еН + кК)ео8 иН), (32)

Р' = Ро(Рн + Рк)-1( (Рн^К - Рк^-Н) вт иН + (РнкК - РкЛН)СОв иН) .

Поправки первого порядка к гомановским [1] характеристическим скоростям —

= V + (рУ2 -pH/2)(4sinMH +Â)hcosmh))>

V{ = -жр-1(\р0 V + (рк/2 -p¿/2)(Xsinw° + ^COSM°)).

(ЗЗ)

На основании (32) и (33) находим

V1' + V2' = + Рн^Н) cosuH - к(РкhK + PnhH) sinuH =

= у' + к,' - кг2р-2Рн(1 - cosuH). (34)

Из двух значений uH, которые даются формулой (31), выбираем отвечающее наименьшей величине правой части (34).

Summary

Novoselov V.S. Optimal singular impulse transvers taking into account restrictions and perturbations.

The scheme of symbolic solution in the problem of two-impulse optimal transfers between proximity orbits with small inclinations and eccentricities taking into account restrictions and pertubrations is given. Illustrative examples of base problems in the values of the first order are present.

Литература

1. Охоцимский В.Е., Сихарулидзе Ю.Г. Основы механики космического полета. М., 1990.

2. Лоуден Д.Ф. Межпланетные траектории ракет//Космические траектории. М., 1963. С. 177-242.

3. Лоуден Д.Ф. Импульсный переход между эллиптическими орбитами//Методы оптимизации с приложением к механике космического полета. М., 1965. С. 387-415.

4. Лоуден Д.Ф. Оптимальные траектории для космической навигации. М., 1966.

5. Новоселов В.С. Аналитическая теория оптимизации в гравитационных полях. Л., 1972.

6. Новоселов В. С. Универсальные формулы лагранжевых множителей для баллистической орбиты в центральном поле//Проблемы механики управляемого движения. Иерархические системы: Межвуз. сб. Пермь. 1980. С. 123-134.

7. Новоселов В.С. Об изохронных производных и универсальных формулах лагранжевых множителей на кеплеровом движении//Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. № 1. C. 91-97.

8. Новоселов В.С. Варьирование динамических моделей движения. Л., 1983.

9. Новоселов В.С. Аналитическая динамика управляемого движения. СПб., 1998.

10. Новоселов В. С. Оптимизация некомпланарного перехода между близкими круговыми орбитами со слабым ограничением на время //Теория систем управления (Вопросы механики и процессов управления. Вып. 15). 1992. С. 123-145.

11. Новоселов В.С. Тройное вырождение в задаче двухимпульсного перелета//Вестн. C.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 4 (№ 22). С. 114-121. Управляемые системы в гравитационном поле. Оптимальные траектории. СПб., 2001. С. 3-13.

12. Новоселов В. C. Оптимальная траектория импульсного компланарного перехода между близкими круговыми орбитами со слабым ограничением на время//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 1 (№1). С. 76-80.

13. Новоселов В.С. Ветвление компланарных двухимпульсных траекторий перехода между близкими околокруговыми орбитами// Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1992. Вып. 2 (№8). С. 81-87.

14. Новоселов В. С. Двойное вырождение в задаче экстремального компланарного двухимпульсного перелета//Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 80-87. Управляемые системы в гравитационном поле. Управляемое движение. СПб. 2000. С. 30-40.

15. Новоселов В. С. Экстремальные импульсные траектории перехода между близкими компланарными круговыми орбитами при существенном ограничении на время//Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1989. Вып. 4 (№22). С. 66-71.

16. Новоселов В. С. Анализ возмущенных оптимальных орбит на основе фундаментального решения// Анализ и синтез систем управления. Л., 1987 (Вопросы механики и процессов управления. Вып. 10). С. 119-126.

17. Новоселов В.С. Усложненная схема оптимизации траекторий в гравитационном поле с учетом возмущений и ограничений // Вестн. С-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2002. Вып. 4 (№25). C. 68.

18. Чеботарев Г.А. Аналитические и численные методы небесной механики. М.; Л., 1965.

19. Абалкин В.К., Аксенов Е.П., Гребенников Е.А., Рябов Ю.А. Справочное руководство по небесной механике и астронавтике. М., 1971.

20. Новоселов В.С. Оптимальная двухимпульсная возмущенная траектория перехода между компланарными околокруговыми орбитами// Вестн. Ленингр. ун-та. Сер. 1. 1991. Вып. (№1). С. 84-88.

Статья поступила в редакцию 13 июня 2002 г.