Оптимизация управляющих функций и параметров в нелинейных системах на основе задач о неподвижной точке Текст научной статьи по специальности «Математика»

1. Управляемые системы и методы оптимизации

УДК 517.977

© А.С. Булдаев

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЯЮЩИХ ФУНКЦИЙ И ПАРАМЕТРОВ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ НА ОСНОВЕ ЗАДАЧ О НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКЕ1

Предлагается новый подход в классе нелинейных задач оптимального управления, содержащих одновременно управляющие функции и параметры, основывающийся на решении специальной задачи о неподвижной точке конструируемых операторов в пространстве управлений. Рассматриваемая задача о неподвижной точке дает возможность получать новые условия оптимальности управления в рассматриваемом классе оптимизационных задач и строить улучшающие управления.

Ключевые слова: управляемая система, задача о неподвижной точке, условия оптимальности

© A.S. Buldaev

OPTIMIZATION OF THE MANAGING FUNCTIONS AND PARAMETERS IN NONLINEAR SYSTEMS ON BASIS OF THE FIXED POINT PROBLEMS

A new approach to the class of nonlinear optimal control problems containing both managing functions and parameters, is proposed on basis of the solution of special fixed point problems for operators constructed in the space of controls. The fixed point problem makes it possible to obtain new conditions for optimal control in the class of optimization problems and build improving controls.

Keywords: controlled system, fixed point problem, conditions of optimality

Введение

Многие задачи теории управления в актуальных приложениях могут быть представлены как задачи оптимального управления с параметрами, в которых кроме неизвестных параметров требуется дополнительно определить и управляющую функцию. Например, к таким задачам сводятся заменой переменной времени задачи с нефиксированной длительностью окончания процесса управления. Известные подходы к решению рассматриваемых задач основываются на необходимых [1] или достаточных [2] условиях оптимальности.

В данной работе предлагается новый подход, который является развитием и обобщением предыдущих результатов, полученных в классах нелинейных задач оптимального управления [3-5]. Метод иллюстрируется в рамках следующего класса задач оптимального управления:

ф(<г) = (р(x(t1), со) + | F(x(t), u (t), со, t)dt ^ inf , (1)

t cte

x(t) = f (x(t), u (t),0, t), x(t0) = a, u (t) e U, ®eW , a e A, t e T = [t0, t1], (2) в котором x(t) = (x1(t),...,xn(t)) - вектор состояния, u(t) = (u1(t),...,um(t)) - вектор управляющей функции, a = (a1,...,a1) и a = (a1,...,an) - векторные управляющие параметры. Множества U с Rm,

W с R1, A с Rn замкнуты и выпуклы. Интервал T фиксирован. В качестве допустимых управляющих функций рассматривается множество V кусочно-непрерывных на T функций со значениями в множестве U. а = (u,a,a) - допустимое управление со значениями в множестве П = VхWхA .

Предполагаются выполненными следующие предположения:

1) функция (р(x,w) непрерывно-дифференцируемана Rn xW, функции F(x,u,a,t), f (x,u,a,t) и их частные производные по x, u, а непрерывны по совокупности аргументов (x,u,a, t) на множестве Rn х U х W х T;

1 Работавыполненапри финансовойподцержке РФФИ, гранты 12-01-00914-а, 12-01-98011-р_сибирь_а, 13-01-92200-Монг_а

2) функция /(х,и,ю,г) удовлетворяет условию Липшица по х в Я" х и х Ж х Т с константой Ь > 0 : ||/(х,и,а,г) - /(у,и,а,г )|| < Ь||х - у||.

Условия гарантируют существование и единственность решения х(г,ст), г еТ системы (2) для любого допустимого управления ст еП .

Рассмотрим стандартные конструкции: функцию Понтрягина с сопряженной переменной у/е Я"

Нх,и,а,г) = ,/(х,и,а,г)) - ^(х,и,а,г) и стандартную сопряженную систему

у/ (г) = -Нх (^(0, х(г), и (г),ю, г), г еТ, ^(1) = -<Р* (х(0,®), (3)

на основе которых формулируются известные необходимые и достаточные условия оптимально -сти [1,2].

Для допустимого управления сгеО обозначим \у(г,а), г еТ - решение стандартной сопряженной системы (3) при х(г) = х(г,ст) и аргументах и , со , соответствующих компонентам управления ст .

Одним из основных подходов к оптимизации управления является последовательное решение задач улучшения управления, в которых для заданного управления и1 еО требуется найти управление а111 еП с условием Ф(<гя)- Ф(ст7) < 0 .

В данной работе для решения задачи улучшения предлагается решить специальную задачу о неподвижной точке конструируемого оператора в пространстве управлений с помощью рассматриваемых операций на максимум. Решение предлагаемой задачи о неподвижной точке позволяет улучшать неоптимальные управления, удовлетворяющие принципу максимума, и получать новые необходимые условия оптимальности в рассматриваемом классе задач.

1. Формула приращения функционала

Далее для удобства частное приращение произвольной вектор-функции g(у1,...,у1) по переменным у^ , у^ будем обозначать

л +ду^, +ду^ g(У1—У') = g(Уl,..., У^1 +Ау^... у*2 + Ау^... У1) - g(Уl,..., у).

Приращение функционала (1) на допустимых управлениях и , ст1 в соответствии с введенным обозначением выписывается в виде:

АстФ(^) = Ах(4 х(^1, ^), ю1) + | Ах(г,ст),и(г(х(г, о1), и1 (г), ю1, г)Л . (4)

Т

Дополнительно обозначим Лх(г) = х(г,а) - х(г,ст1), Аю=ю-ю1, Аа = а - а1.

Приращение терминальной части функционала в выражении (4) можно записать в виде:

Ах(ч,а),Мх(г1 ^X®11) = Аш(р(х(г1,ст),ю1) + Ах(4,СТ)^(х(г1,а1X ю1). Введем непрерывную кусочно-дифференцируемую вектор-функцию р(г) = (р1(г),...,рп(г)), г еТ с условиями:

Р(1) = (х(^1,ст1 ),ю1) - q, (5)

где величина q удовлетворяет алгебраическому уравнению

(х(^1, ст1), а1) + q, Аг^)) = Ах й ,ст^( х(^, ст1), а1). (6)

При этом по определению полагаем q = 0 в случае линейности функции по х, а также в случае

Тогда приращение терминальной части функционала в выражении (4) можно записать в виде:

Л*(4,^ Х®' ) = АМХ^е),®1 ) " (), =

= Ашср(х(^,а)У) - (р(г0), Аа) -1^Р®'^^Л =

= АМ х(^, ®1) -{р(0,-

{( р (X), Ах(Г )) + ( р(1), А Х(( ,СТ),Н (()ш/(Х(г, ст1), и1 (X), ю1, X ))

т

На основе полученного соотношения с помощью функции Понтрягина приращение функционала (4) можно представить в виде:

АстФ(ст7) = Аа(р(х(Х1,ст),ю1 ) -(р(Хо), Аа) -

-1{(р(Х), Аг(Х)) - Ах(х,стХи(хХшИ(р(Х),х(Х,ст1),и1 (X),а1, X)}dX =

т

= Аш(р(.х^о),®1) -(р(Хо), Аа) - (7)

-[ {( р(Х), Ах(Х )) + АшИ (р (X), х(Х и (X), ю1, X) +

т

+Аи (X) И (р(), x(X, а), и1 (X), ю1, X) + Ах (X ,ст) И (р^), x(X, ст1), и1 (X), а1, X)} dX. Введем дифференциально-алгебраическую систему для функции р^) с условиями (5), (6) в форме:

р(X) = -Их (р(X), х^,а1),и1 (X), ю1, X) - г(X), (8)

где кусочно-непрерывная величина г(X) = (г^),...,гп(X)), X еТ определяется в каждый момент времени X е Т из алгебраического уравнения

(Их (р^), х^, ст1), и1 (X), ю1, X) + г (X), Ах^)) =

= Ах (^ Я (/>(Х), x(t, ст7), u1 (X ),ю7, X).

(9)

При этом по определению полагаем г (X) = 0 в случае линейности функций ^, / по х, а также в случае равенства х^,ст) = х(X,o■I).

Тогда в силу дифференциально-алгебраической системы (8), (9) для р(X) с начальными условиями (5), (6) формула приращения (7) принимает вид:

АстФ(ст1) = -Аа {-<р( х(^, ст), а1) +1И (р^), x(X, а), u(X), а1, X ^} -

Т (10)

- (р^), Аа) -1 Аи(X)И(р^), x(X, ст),и1 (X), ю1, X

т

Для удобства записи явной зависимости р^) от управления введем новую конструкцию: модифицированную дифференциально-алгебраическую сопряженную систему в форме

р(X) = -Их (р(), х^),и(X), ю, X) - г(X), (11)

(Их (р(), х^), и (X), о, X) + г (X), у (X) - х (X)) = Аг (X) И (р (X), х^), и (X), ю, X) (12)

с краевыми условиями

р(XI) = ~Фх(х(0,ю) - Я , (13)

(<Рх (х(0, ю) + Я, У(XI) - х(д) = Аг(X. x(Xl), а), (14)

в которой по определению полагаем я = 0 , г (X) = 0 в случае линейности функций (р, ^, / по х (линейной по состоянию задачи (1), (2)), а также в случае х^,ст) = x(X,ст1) при соответствующих

X е Т.

В линейной по состоянию задаче (1), (2) модифицированная сопряженная система (11)-(14) по определению совпадает со стандартной сопряженной системой (3).

Для допустимых управлений стеО, и1 еО обозначим р(X,ст1 ,ст), XеТ - решение модифицированной сопряженной системы (11)-(14) при x(X) = х^ст1), у^) = х^^), и(X) = и1 (X), со =ю1. Из определения следует очевидное равенство р(X= ^(X,ст), X еТ .

Формула приращения (10) в новых обозначениях, в которых указывается явная зависимость фазовых и сопряженных переменных от управления, принимает вид

АСТФ(^7) = -Аа {-<?(x(tl, ст),ю7) +1H(p(t,о7, а), x(t, а),u(t),а7,0dt} -

Т (15)

- ( p(to, ст7, ст), Да) -1 А„ (() H (p(t, ст7, ст), x(t, а), и7 ^), а7, t )dt.

T

Отметим нестандартный вид формулы (10), которая не содержит каких-либо остаточных членов разложений. Формулы приращения функционалов от управления подобного вида получили название «нелокальных» формул. Соответствующие методы улучшения управления, основывающиеся на таких формулах, обладают свойством нелокальности улучшения и позволяют получать новые условия оптимальности, а также возможность улучшать управления, удовлетворяющие принципу максимума [3 - 5].

Используемые в работе обозначения решений фазовых и сопряженных систем, явно указывающие их зависимость от управления, являются удобными для формулировки и анализа условий улучшения и оптимальности управления в форме задач о неподвижной точке.

2. Задача о неподвижной точке на основе операций на максимум

При заданном и7 еО определим оператор Л*: и ^ ст* на множестве допустимых управлений О. следующими выражениями:

и ^ и*, и* (:) = а^шах Н (р^,о-7 ,ст), х(^ст), и,а7, ^ , t еТ,

йеи

а , а* = ащтах{-^(х(^,ст),ю) + [Н(р(^ст7,ст),х(^ст),и^),ё^,

а ^ а*, а* = а^шах(,ст),а).

аеЛ \ '

Задача о неподвижной точке ст = Л*(ст) для рассматриваемого оператора ЛЛ определяется следующей системой уравнений:

и^) = argшax Н (р^,о7 ,ст), х^,о), и,а1, ^ , t еТ, (16)

а = argшax{-^(x(t1,ст),í£i) + [Н(р^,а7 ,ст), х(^ст), и^),ё, t)Л} , (17)

Т

а = а^шах/р,ст),а). (18)

аеЛ \ '

Предположим, что задача (16)-(18) имеет решение о77 = (и17,юп,а11) (возможно, не единственное) и управление и17 является кусочно-непрерывным. Тогда, в силу определения отображения ЛЛ, получаем

Аи77 а) Н (р^ ,о77), х(1 ,о77), и7 ^ ),©', t) > 0, t еТ, АаП {-<р(х^,а77), ю7) +1Н(р^, ст7, ст77), x(t, ст77),и77(t), о7, t> 0,

Т

(р(^,е7 ,ст77), а77 - а7) > 0. Отсюда и из формулы (15) следует Д^77 Ф(ст7) < 0 . Введем отображение

и* (р, х, 0 = а^шах Н (р, х, и,ю7, ^ , р е Л", х е Л", t еТ .

йеП

Краевая задача улучшения в пространстве фазовых и сопряженных переменных, эквивалентная задаче о неподвижной точке (16)-(18), имеет вид

Х(0 = / (x(t), и * (р (t), х(0, 0,ю*, t), x(t0) = а*, (19)

р^) = -Нх (ра), х7 ^),и7 (t), а1, t) - г^), (20)

(Нх (р^), х7 (t), и7 ^), ю7, t) + г (t), x(t) - х7 (t )) =

(21)

р(О = -^х(х7 (О,®7) - д, (22)

= Ах (,) Н (р (t), х7 (t), и7 ^ ),ю7, t)

Т

(фх (х1 (XI),®1) + Я, x(Xl) - х1 (О) = АХ (хl х1 (О, ю1), (23)

в которой

со* = а^ тах^^х^), ¿5) + [ И (p(X), x(X), и * (р^), x(X), X), ю, ^^^^^ , (24)

¿ое1¥ *

Т

а* = а^тах/р(X0),а). (25)

аеА '

Предположим, что решение (х^), р(X)), X еТ интегро-дифференциально-алгебраической краевой задачи (19) - (25) существует (возможно, не единственное), а управляющая функция, формируемая по правилу

и11 (X) = и * (р^), х^), X), X еТ, является кусочно-непрерывной. Сформируем

о11 = ащтах{-^(х^)^) + [ И (р^), x(X), и11 ^^, X)dX} ,

¿ое1¥ *

Т

а11 = а^ тах (p(X0),а),

аеА '

Тогда x(X) = x(X,стя), р(X) = р(X,ст1 ,ст11) и, в силу определения а11, получаем

А 11 ^)И(р^^,аП),х^,ап),и1 (X),ю1,X) > 0,

Д^ {-<р(x(Xl ,ап), а1) +1И(р^,^, ), x(X, а11), и11 (X), со1, X)dх} > 0,

Т

(р^,*1 ,ап),а11 - а1) > 0.

Отсюда и из формулы (15) следует, что А^п Ф(ст1) < 0 .

Эквивалентность краевой задачи (19)-(25) и задачи о неподвижной точке (16)-(18) понимается в следующем смысле. Пусть пара (х^),р(X)), X еТ, является решением краевой задачи (19)-(25).

Тогда управление а11, формируемое по указанному выше правилу, является решением задачи о неподвижной точке (16)-(18). Наоборот, пусть допустимое управление <7П является решением задачи (16)-(18). Тогда пара (х^^11),р^ст7,стя)), X еТ является решением задачи (19)-(25).

Таким образом, метод улучшения управления ст7 еО, состоит в решении задачи о неподвижной точке (16)-(18) или в решении эквивалентной ей краевой задачи (19)-(25).

Установим связь необходимых условий оптимальности управления с задачей о неподвижной точке.

Необходимые условия оптимальности управления стеА в задаче (1), (2) в форме операции на максимум, аналогичной работе [1], можно получить на основе формулы приращения (15) в следующем виде:

и (X) = а^тах И (^(X,ст), х и,ю, X), X еТ, (26)

иеи

а= а^тах/ -фа(х^ст),®) + [И^уЦ,ст),х^ст),u(X),ю,X)dх,а), (27)

СОе1¥ \ * /

\ т /

а = argmax(^(X0,ст),а). (28)

аеА '

Условия (26)-(28) обобщают принцип максимума, полученный в [1] для частного случая задачи (1), (2) (отсутствие зависимости функции от параметра со , фиксированное начальное условие а

для фазовой переменной х в момент времени X0).

Обозначим 0(ст7) ей - множество допустимых неподвижных точек задачи (16)-(18). Пусть

ст7 ), т.е. выполняются равенства:

и1 (X) = а^тах И (y(X,oI), х^^1), и,ю7, X), X еТ, (29)

йе.и

а1 = а^тах{-^(х^^1),со) + [И(^^ст7),х^^1),и1 (X),ë,X)dX} , (30)

¿ое1¥ *

Т

а1 = argmaxw(X0,GI),а). (31)

аеА \ '

В линейной по а задаче (1), (2) условия (29)-(31) совпадают с необходимыми условиями опти-

мальности (26)-(28) для управления и1 ей . Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Лемма. В линейной по переменной а задаче (1), (2) управление ст eQ удовлетворяет условиям принципа максимума (26)-(28) тогда и только тогда, когда ст eD(ff) .

Следствие (принцип максимума в терминах задачи о неподвижной точке). Пусть управление ст eQ является оптимальным в линейной по а задаче (1), (2). Тогда ст eD(ff) .

Другие следствия (в линейной по а задаче (1), (2)).

1. Задача о неподвижной точке (16)-(18), и, следовательно, краевая задача (19)-(25), всегда разрешимы для управления, удовлетворяющего принципу максимума.

2. В случае неединственности решения задачи о неподвижной точке (16)-(18) появляется принципиальная возможность строгого улучшения управления, удовлетворяющего принципу максимума. Такая возможность иллюстрируется в работах [3 - 5] для частных случаев задачи (1), (2).

3. Отсутствие неподвижных точек в процедуре улучшения управления свидетельствует о неоптимальности управления.

Отметим, что условия принципа максимума (26)-(28) можно рассматривать как отдельную независимую задачу о неподвижной точке ст = A(ct) в пространстве управлений для определяемого правыми частями этих условий соответствующего оператора A : ст ^ ст:

u ^ u , u (t) = argmaxH(y(t,o),x(t,a),ü,rn, t), t еГ,

ueU

со , со = argmax ( + [Ha(y(t,o),x(t,a),u(t),m,t)dt,o> ),

coeW \ * /

\ T /

a ^ a , a = argmax(y(t0,o),a).

aeA '

Таким образом, для поиска «подозрительных на оптимальность» (экстремальных) управлений можно рассматривать систему уравнений, определяющую задачу о неподвижной точке ст = А(ст):

u(t) = argmaxH(y(t,o),x(t,o),u,rn,t), t e T,

ueU

a= arg max (-фш( х(^,а),а) + [ Ha(y(t ,<r), x(t,a), u(t),a>, t) dt ,ä),

CÖelV \ * /

T

a = arg max (y(t0,o),a),

aeA '

или эквивалентную интегро-дифференциально-алгебраическую краевую задачу принципа максимума:

x(t) = f (x(t), u (у (t), x(t), ä, t), ä, t), x(to) = a ,

у (t) = -Hx (y (t), x(t), u (y (t), x(t), ä, t), ä, t),

W(ti) = ~<Px (x(0,®),

в которой

u x,rn, t) = argmax H x, ü,w, t), ye Rn, x e Rn, coeW, t eT,

ueU

ä = argmax/ -^(xft),®) + [Ha(y(t),x(t),u(^(t),x(t),®,t),ä,t)dt,® ),

(yeW \ /

T

a = argmax(^(t0),a).

aeA * '

Отметим, что краевая задача улучшения (19)-(25) существенно проще по свойствам гладкости правой части системы для сопряженной переменной и структуре зависимости параметра а от фазовых и сопряженных переменных, чем краевая задача принципа максимума.

Предлагаемый подход к улучшению управления проиллюстрируем на примере линейной по состоянию задачи (1), (2), в которой модифицированная сопряженная система (11)-(14) совпадает со стандартной сопряженной системой (3). В этом случае задача о неподвижной точке (16)-(18) существенно упрощается и принимает следующий вид

u(t) = argmax H (y(t,^'), x(t,a), ü,a', t), t eT,

ÜeU

а = argmax{-^(x(t1,a),cö) + [H(^(t,CT7),x(t,a),u(t),c5,t)dt} ,

<5eW J

a = argmax{w(t0,a ),a).

SeA \ '

При этом уравнение для компоненты a является независимым от остальных уравнений системы.

Эквивалентная краевая задача улучшения (19)-(25) сводится к специальной интегро-дифференциальной задаче Коши

X(t) = f (x(t),u*(p(t,a7),x(t), t),ffl*,t), x(t0) = a*,

в которой

u* (p, x, t) = argmax H (p, x, U,a', t), p e Rn, x e Rn, t eT,

UeU

a* = argmax{-^(x(t1),ё) + [H(^(t,ст7),x(t),u*(^(t,ст7),x(t), t),¿¡, t)dt} ,

(5eW J

T

a* = argmax{w(t0,^),.

sea \ i

Таким образом, в данном примере задача о неподвижной точке и краевая задача для поиска улучшающего управления значительно проще задачи о неподвижной точке и краевой задачи для поиска экстремального управления.

3. Вычислительные особенности

Для решения задачи о неподвижной точке

ст = A* (ст), стеО, (32)

можно использовать известный в вычислительной математике метод последовательных приближений и его модификации [6]. В частности, можно применить явный метод простой итерации при к > 0 , имеющий форму:

ак+1 = A*(ак), ст0 eQ .

Для улучшения сходимости итерационного процесса задачу о неподвижной точке (32) можно преобразовать к эквивалентной задаче с параметром S > 0:

а = а + 5(а-A* (ст)), стеО, (33)

на основе которой получаем модификацию итерационного процесса:

стк+1 =стк +£(стк -A"(стк)), CT0 eQ .

Основным условием сходимости метода простой итерации является выполнение свойства «сжимания» [6] для оператора правой части задачи о неподвижной точке. Поэтому, выбирая достаточно малый параметр S > 0, можно регулировать сходимость рассматриваемой модификации (33) метода простой итерации.

Расчет задачи о неподвижной точке производится до первого улучшения исходного управления ст7. Далее строится новая задача улучшения для полученного управления ст77 и расчет повторяется. Итерации улучшения продолжаются до тех пор, пока не выполнится условие

|ф(ст77)-Ф(ст7)| <е|ф(ст7)|,

где s > 0 - заданная точность расчета.

Явный метод простой итерации и его модификации можно использовать также для решения задачи о неподвижной точке ст = А(ст) с целью поиска экстремальных управлений.

Заключение

Предлагаемый подход последовательного решения задач улучшения на основе поиска неподвижных точек в рассматриваемом классе задач оптимального управления характеризуется отсутствием процедуры игольчатого или выпуклого варьирования управлений и обладает принципиальной возможностью строгого улучшения неоптимальных экстремальных управлений. В целом, оптимизация управлений на основе расчета конструируемых задач о неподвижной точке явными методами последовательных приближений сводится к последовательному решению задач Коши для фазовых и сопряженных переменных. Указанные свойства являются важными факторами повышения вычислительной и качественной эффективности решения задач оптимального управления.

T

Литература

1. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. - М.: Наука, 1976. - 392 с.

2. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. - Новосибирск: Наука, 1997. - 175 с.

3. Булдаев A.C. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. - Улан-Удэ: Изд-во Бурятск. гос. ун-та, 2008. - 260 с.

4. Булдаев A.C. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач / A.C. Булдаев, О.В. Моржин // Известия Иркутского госуниверситета. Серия «Математика». - 2009. -Т.2, №1. - С. 94-106.

5. Булдаев A.C. Методы неподвижных точек в задачах параметрической оптимизации систем / A.C. Булдаев, И.-Х.Д. Хишектуева // Автоматика и телемеханика. - 2013. - №12. - С. 5-14.

6. Самарский A.A., Гулин A.B. Численные методы. - М.: Наука, 1989. - 432 с.

Булдаев Александр Сергеевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры прикладной математики Бурятского государственного университета, тел. (301-2) 217733, E-mail: buldaev@mail. ru.

Buldaev Alexander Sergeevich, doctor of physical and mathematical science, professor of applied mathematics department of Buryat State University.