Оптимизация управления подвижными объектами с ограниченными внешними возмущениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Смирнов М.Н.

Санкт-Петербургский государственный университет, аспирант

[email protected]

Оптимизация управления подвижными объектами с ограниченными внешними возмущениями

Введение

В большинстве задач, рассматриваемых в литературе (в частности, [1 - 4, 6]), возмущения либо отсутствуют, либо задаются в конкретном виде, к примеру, считаются неограниченно убывающими с течением времени. В данной работе рассматривается задача о динамической компенсации (подавлении) внешнего возмущения, о котором отсутствует какая-либо информация, за исключением факта его ограниченности, с заданием меры ограничения. В такой ситуации требуется выбрать закон управления, который давал бы наилучший возможный результат по качеству динамики для наихудшего варианта ограниченного возмущения.

Важным показателем качества управления является длительность переходного процесса, которая напрямую связана со степенью устойчивости рассматриваемой системы: чем ближе степень устойчивости к нулю, тем медленнее завершается переходный процесс.

Цель данной работы заключается в построении закона автоматического управления движением морского судна, обеспечивающего наименьшее отклонение судна по курсу при воздействии на него ограниченных внешних возмущений и желаемую степень устойчивости линейной замкнутой системы.

Математическая формулировка задачи

Рассмотрим линейную стационарную систему

х = Ах + Ви + Hd (Г),

(1)

У = Сх,

где хЦ) е Rn - вектор состояния системы, У^) е Rm - выход системы, и е Rr -управляющее воздействие, d(г) е R1 - ограниченное внешнее возмущение, удовлетворяющее условию:

р(0||1, 0 < Г <«>. (2)

Будем искать управление в форме линейной обратной связи по состоянию

и = Кх (3)

Матрица усиления к подлежит определению.

Обозначим через а р - требуемую степень устойчивости характеристического полинома матрицы линейной замкнутой системы, а через а = а(К) - фактическую.

Требуется найти такой закон автоматического управления движением вида (3), который будет компенсировать ограниченные

внешние воздействия, обеспечивая заданное ограничение выхода и желаемую степень устойчивости характеристического полинома замкнутой системы.

С учетом введенных обозначений сформулированная задача примет следующий вид: необходимо найти матрицу коэффициентов к регулятора и = Кх такую, что

||у(:, К )|| и «(К) >«, . (4)

Методы и алгоритмы решения

В качестве базового подхода предлагается использовать метод компенсации ограниченных внешних возмущений, предложенный в [5], который основан на применении инвариантных эллипсоидов.

Определение. Эллипсоид с центром в начале координат

в х = {х е Я" : хТРх < \\ Р > 0 называется инвариантным по переменной х (по состоянию) для динамической системы (1), (2), если из условия х(0)евх следует х(:)евх для всех моментов времени : >о. Матрицу р будем называть матрицей эллипсоида вх.

Замечание. В определении и далее по тексту факт положительной определенности матрицы будем обозначать как р > о.

Другими словами, любая траектория системы х(:), исходящая из эллипсоида в х, в каждый последующий момент времени принадлежит в х.

Аналогичным образом определяется инвариантный эллипсоид по выходу системы у:

Ву 4 е Ят : уТ(СРСТ)~1у <

где р>о - матрица эллипсоида вх.

Множество инвариантных эллипсоидов по выходу у позволяет оценить степень воздействия внешних возмущений на выход системы. Таким образом, выбрав из множества инвариантных эллипсоидов у минимальный по некоторому критерию, мы ограничим влияние внешнего воздействия на выход системы у(:).

В качестве критерия для выбора минимального инвариантного эллипсоида используем целевую функцию / (Р) = tr(cpcT), которая определяет сумму квадратов полуосей инвариантного эллипсоида по выходу системы (1).

Для обеспечения требуемой степени устойчивости предлагается использовать метод, основанный на построении вспомогательного полинома с наперед заданной степенью устойчивости.

В работе [4] доказана теорема, описывающая алгоритм построения полинома с заранее заданной степенью устойчивости:

Теорема. Для любого вектора у е е" степень устойчивости полинома

ЛЩ1 =

Л (г,у), если П] - четное;

ж ®

(г(у, о£))Д (г,у), если п^ - нечетное,

не меньше наперед заданной величины а> о, и обратно, если степень устойчивости некоторого полинома А(Х> не меньше величины а> о, то можно указать такой вектор уе е" , что справедливо тождество ДО?) = у), где

^

Г (б, у) = 1 *:2 + а] (у, а)б + а° (у, а) I, (6) !=1

= /2].^1(у,а) = 2а + у-1, дрСу.а) = а? + У?[СИ-у-2 -А = Ы, (7)

Таким образом, задав произвольный вектор у, по формулам (5) - (8) можно построить полином, который будет обладать требуемой степенью устойчивости.

Для построения системы автоматического управления движением на основе решения задачи (4), предлагается модифицировать метод компенсации ограниченных внешних воздействий (описанный в [5]), объединив его с методом обеспечения желаемой степени устойчивости (представленным в [4]) путем построения вспомогательного полинома.

Разработанный алгоритм состоит в следующем:

1. Следуя методу компенсации внешних воздействий:

1.1. Разрешаем уравнение

АР + РАТ -уВВТ +аР + а-1ННТ = о, Р > о. относительно матричной переменной р , выражая ее компоненты через параметры а и у.

1.2. используем р(а= у) для определения коэффициентов регулятора Ь, ^, ^, k4 как функций параметров а и у с помощью соотношений:

и = -уВТ Р _1(а, у)х = Кх ^ К (а, у)=-уВТР -1 (а, у)

2. Замыкаем систему (1) управлением и = к (а у)х.

3. Строим характеристический полином замкнутой системы, зависящий от а и у

й(?) = - А - ВК(а, у)С).

4. Задаем требуемую степень устойчивости ^ и строим вспомогательный полином а*(?) по методу, описанному в [4].

5. Приравнивая коэффициенты при соответствующих степенях в характеристическом и вспомогательном полиномах, получаем систему уравнений, решением которой является некоторое множество параметров а и у .

6. Решаем задачу минимизации ту11о1г(СР(а,у)сТ), учитывая дополнительные ограничения на параметры а и у из предыдущего шага

алгоритма.

7. Используя найденные а и у , по формуле и = YP получаем вектор к коэффициентов регулятора.

Пример реализации предложенного подхода

Описанный алгоритм был применен для построения системы автоматического управления морским транспортным судном водоизмещением 6000 т.

В качестве математической модели объекта управления была принята система обыкновенных линейных дифференциальных уравнений, описывающая боковое движение морского судна

Р = а11Р + а12ю + ^5 + h1d ^), со = а21Р + а22ю + Ь25 + h2 d (t),

ср = ю,

(9)

5 = и,

Здесь используются следующие обозначения (рис. 1): ю - угловая скорость относительно вертикальной оси, р - курс (положительным считается поворот на левый борт), 5 - угол отклонения вертикальных рулей (положительным считаем отклонение на левый борт),

Р - угол дрейфа (угол между вектором скорости и продольной осью судна),

и - управляющее воздействие,

d () - внешнее возмущение, определяемое порывами ветра и морским волнением.

Предполагается, что величина d (0 удовлетворяет ограничению (2).

9

Рис. 1. Динамические переменные В качестве компенсирующего управления будем использовать регулятор в форме статической обратной связи по состоянию,

представленный уравнением

и = + k2ю + k3ф + k45 , (10)

где kl,^,kз,k4 - коэффициенты, которые подлежат выбору в процессе решения задачи синтеза.

На рули и скорость их поворота (т.е. на управление) накладываются следующие ограничения: |8| < 30°, \и\ < з °/с.

Преобразуем систему (9), обозначив вектор состояния через х = (Р,ю, ф, 5)г .

В соответствии с введенными обозначениями систему (9) можно записать в виде (1):

х = Ах + Ви + Hd (/),

У = Сх,

с матрицами А B, С, н, имеющими постоянные компоненты:

а11 а12 0 Г 0 > Г1 0 0 0 > Г h1 ^

а21 а22 0 Ь2 , В = 0 , С = 0 1 0 0 , Н = h2

0 1 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 V V 1 V V 0 0 0 1V V 0 V

Тогда система (1), замкнутая управлением (3), примет вид

X = Асх + Н М и),

с с кь (11)

У = Сх,

Где Ас = А + ВКС = А + ВК, Нс = Н, К = {к1 k2 k3 k4 ).

При фиксированной скорости хода коэффициенты в модели (9) принимают следующие значения:

а11 = -0,03408, а12 = 0,56, а21 = 0,015, а22 = -0,306, Ь1 = -0,0099, Ь2 = -0,00417, h1 = -0,0648, ^ = -0,0046.

Зададим требуемую степень устойчивости ^ =0,06 и применим для нахождения коэффициентов регулятора разработанный алгоритм. В результате получен закон управления со следующими коэффициентами:

^ = 3,0981, ^ = 57,7472, k3 = 23,9121, k4 = -1,2793.

При использовании полученного регулятора собственные числа матрицы замкнутой системы принимают значения

11 = -0,1027, 12 = -0,5465 + 0,0147/, 13 = -0,5465 - 0,0147/, 14 = -0,5368, т.е. степень устойчивости можно оценить числом 0,1.

Для проверки качества найденного закона управления проведем имитационное моделирование в среде МА^АВ^тиНпк при воздействии на судно случайного ограниченного внешнего возмущения.

В качестве прикладного программного обеспечения была построена Simulink-модель системы управления, схема которой изображена на рис. 2.

Disturbances

Control Saturation

}

Control

h

Рис. 2. Общая схема Simulink-моделы системы Построенная Simulink-модель объединяет в себе следующие блоки:

• блок Ship - объект управления;

• блок Control - центральное устройство формирования управляющего сигнала;

• блок Control Saturation - корректировка управляющего сигнала с учетом технических ограничений объекта управления;

• блок Disturbances - внешнее воздействие;

• блок Plot - визуализация динамических процессов.

Для проверки качества найденного закона управления проведем имитационное моделирование в среде MATLAB-Simulink при воздействии на судно ограниченного внешнего возмущения.

Пусть ограниченное внешнее возмущение представляет собой последовательность случайных ограниченных «всплесков» продолжительностью 70 секунд (рис. 3). 0.6 0.4 0.2

0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8

0 20 40 60 80 100 120

Рис. 3. Ограниченное внешнее возмущение Графики изменения динамических переменных при воздействии такого возмущения изображены на рис. 4 и 5.

Как видно из рис. 4, отклонение от курса составляет менее 0,3°, что является хорошим показателем. Время стабилизации курса судна после окончания действия ограниченного возмущения составляет приблизительно 20 секунд. Данный пример иллюстрирует адекватную реакцию управления на случайное ограниченное воздействие.

Рис. 4. Изменение курса

40-1-1-1-1-

20 -■

-20 -■

-40-1-1-1-1-1-

0 20 40 60 80 100 120

Рис. 5. Отклонение вертикальных рулей

Заключение

В результате проведенных исследований разработан алгоритм оптимальной компенсации ограниченных внешних воздействий с учетом требований к степени устойчивости. Разработанный алгоритм реализован в интегрированной среде MATLAB и его работоспособность проиллюстрирована на примере реального транспортного судна водоизмещением 6000 т.

Литература

1. Веремей Е.И., Корчанов В.М., Коровкин М.В., Погожев С.В. Компьютерное моделирование систем управления движением морских подвижных объектов. СПб.: СПбГУ, 2002. 370 с.

2. Веремей Е.И. Синтез законов многоцелевого управления движением морских объектов // Гироскопия и навигация, 2009. Вып. 4. С. 3-14.

3. Лукомский Ю.А., Корчанов В.М. Управление морскими подвижными объектами. СПб.: Элмор, 1996. 320 с.

4. Веремей Е.И. Обеспечение заданной степени устойчивости регуляторами с неполной информацией // Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1986. Вып. 4. С. 123130.

5. Поляк Б.Т., Щербаков П.С. Робастная устойчивость и управление. М.: Наука, 2002.

303 с.

6. Fossen T.I. Guidance and control of ocean vehicles. John Wiley and Sons. New York, 1999. 494 p.