CC BY
57
УДК 519.673
р/
ОПТИМИЗАЦИЯ СТРУКТУР РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ИНФОРМАЦИОННО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ГИБКИХ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ ПРОИЗВОДСТВ МЕТОДОМ ПАРНЫХ ЗАМЕЩЕНИЙ
А. М. Васильев, А. П. Смоляков
Введение
Метод замещений - это точный метод решения оптимизационных задач на графах, использующий поиск в глубину с возвращением [1]. В основе метода лежит функциональный принцип парных замещений. Под парой замещения в зависимости от характера задачи понимается либо пара ребер, либо пара вершин, т.е. два каких-либо однородных элемента графа, один элемент является удаляемым, а другой - добавляемым. Элементарная операция замещения заключается в замене первого элемента вторым.
В результате выполнения элементарной операции замещения в исследуемом подграфе происходит изменение таких параметров, как вес подграфа, структура подграфа, степени вершин подграфа, число компонент его связности и др. Это обстоятельство является важнейшим с точки зрения вычислительного эффекта.
Алгоритмы, построенные на базе метода замещений, имеют процедуры, отслеживающие текущее состояние упомянутых параметров.
Это дает возможность:
- более точно выбирать дальнейшее вычислительного процесса;
- использовать новые виды математических ограничений (векторы топологии);
- сокращать объемы вычислительных затрат при использовании вычислительной техники.
Для объяснения метода замещений используем терминологию, изложенную в [2].
В обслуживающую многостадийную систему поточного типа, состоящую из множества М приборов в момент времени й = 0 поступает множество N = (1, 2,..., п) пакетов требований.
Маршрут Ьд обслуживания отдельных требований 1 е I с N представляет собой чередующуюся последовательность
Допускается присвоение одному из пакетов требований высшего (нулевого) приоритета обслуживания. Прерывания в процессе обслуживания, как пакета требований, так и отдельных требований, запрещены. Запрещены также перестановки пронумерованных в порядке очередности обслуживания отдельных требований, входящих в пакет.
Множество вариантов планов (расписаний) обозначим 5.
Необходимо сформировать план 5*, при котором общее время обслуживания всех пакетов требований принимает наименьшее значение.
Будем называть пакетом требований множество I с N пронумерованных требований 1 £ 1,1 = 111, имеющих одинаковые маршруты и обслуживаемые одним и тем же набором приборов.
(1)
где Ьд ^ Ьд+1.
Известны длительности > 0 выполнения всех операций
(1, Ь, д), 1 е N, Ьд е М, д = 1,..., г.
(2)
Конкретным вариантом интерпретации терминологии [2] применительно к решению задачи разработки алгоритма обмена информацией в распределенной информационно-измерительной системе (РИИС) может быть следующий:
- прибор - элемент РИИС;
- требование - сообщение;
- пакет требований - набор сообщений;
- маршрут обслуживания отдельных сообщений - технологический маршрут;
- план - график сообщений и т.п.
Конкретным вариантом интерпретации терминологии [2] применительно к решению задачи разработки структуры РИИС гибкой производственной системы (ГПС) может быть следующий: прибор - элемент РИИС; требование - время обмена информацией между элементами РИИС; пакет требований - набор времен обмена информацией между элементами РИИС; маршрут обслуживания отдельных требований-конкретная структура РИИС ГПС; план 5* - график обмена информацией.
Снижение трудоемкости алгоритма достигается путем декомпозиции задачи [3-4]. Укрупненная блок-схема алгоритма решения задачи показана на рис. 1.
Назовем базисным (Р-планом) план обслуживания пакета требований 1 <£ I с N РИИС с заданными длительностями > 0 всех операций
(1, Ь, g), 1 е I е N, Ь, е M, д — 1,..., г, (3)
где М- множество элементов РИИС.
Р-план характеризуется множеством Г-моментов начала выполнения операций те Та и
множеством //-моментов окончания выполнения операций те Т.
Начало обслуживания пакета требований в каждом Р-плане привязано к условной нулевой отметке времени (рис. 1).
Рис. 1. Алгоритм решения задачи
Если при обслуживании пакета I требований 1 2 РИИС ГПС с номером не используется, то
т 'Т — ^ т {‘■т — 0
’ АЬс
Определим сопряженное время пары Р-планов А и В, А е N, В е N как интервал тсАВ , отделяющий условную нулевую отметку времени Р-плана А от условной нулевой отметки времени Р-плана В при выполнении следующих условий:
Уе I а у е J(A > В), (4)
Т /Ь, - V, + %сАВ.
Для всех элементов РИИС ГПС, если Р-план В сдвигается по временной шкале вправо относительно нулевой отметки времени Р-плана А до тех пор, пока хотя бы для одного из элементов РИИС, входящего в маршруты, выполнится равенство
Т ПЬЧ +ХсАВ.
Здесь 1 - номер требования в предшествующем Р-плане А, содержащем требования у - номер требования в последующем Р-плане В, содержащем J требований.
В тех случаях, когда в паре Р-планов не задействованы одни и те же элементы РИИС, то
ХоЛВ = 0
При численной реализации Р-планов используются следующие прямоугольные матрицы:
М\[/, к] - матрица моментов начала обслуживания;
М1^[I, к] - матрица моментов окончания обслуживания.
Обозначив через к - номер столбца (номер требования) и через I - номер строки матриц (номер элемента РИИС), определяем сопряженное время пары Р-планов следующим образом:
= тах(М^/, ктах] - МВ [I, к, ], (5)
где ктах = I 1 |.
Для всех пар Р-планов формируем квадратную матрицу Мт сопряженных времен с диагональными элементами, равными ^ .
Для анализа структуры плана и постановки в терминах теории графов воспользуемся терминологией [5].
С помощью матрицы Мт взвешиваем дуги исходного графа, для которого номерами вершин исхода являются номера строк, а номерами вершин захода являются номера столбцов. На этом формирование исходного графа заканчивается.
Выявление структуры оптимально плана имеет существенное значение для формирования самого оптимального плана. В общем случае выявление структуры будет сводится к определению числа ветвей и длины каждой ветви корневого дерева минимального веса. Конкуренция за приоритет между Р-планами возникает внутри каждой ветви корневого дерева.
Данная задача математически формулируется в терминах теории графов следующим образом. Требуется найти набор дуг корневого дерева, доставляющий минимум функции цели:
т т
£ £ і • <6>
і = 1 } = 1т
При ограничениях
Ху є {0,1,і Ф у;
уИв = (У1,1,1,...,1); (7)
V зв = (0,1,1,..., 1);
уин =(^,0,0,...,0);
V зН = (0,1,1,..., 1);
т* = п -1,
где т - число дуг исходного графа; т - число дуг искомого графа; п - число вершин исходного
графа (число Р-планов); і и у - номера граничных вершин дуги соответственно исхода и захода;
Vив - вектор полустепеней исхода (верхняя граница), т.е. вектор, регламентирующий максимально возможное число дуг, выходящих из вершин графа; V ин - вектор полустепеней исхода (нижняя граница), т.е. вектор, регламентирующий минимально возможное число дуг, выходящих из вершин графа; V зв - вектор полустепеней захода (верхняя граница), т.е. вектор, регламентирующий максимально возможное число дуг, входящих в вершины графа; V зн - вектор полустепеней захода (нижняя граница), т.е. вектор, регламентирующий минимально возможное число дуг, входящих в вершины графа; V і - полустепень исхода вершины номера; V * - число компонент слабой связанности искомого подграфа.
Если план составляется на те случаи, когда все требования должны обслужиться полностью, т.е. когда не требуется взаимного перекрытия периодов планирования (индивидуальное производство), то целевая функция имеет вид
{т т
ЕЕт^ху+ Ет» у®
1=1 у=1 ме V
при ограничениях
Ху Е {0,1} , I Ф j, Ум Е {0,1}, (9)
где м - ветвь дерева с предписанной степенью корневой вершины, принадлежащая множеству V его ветвей; ТМ - вес висячей вершины ветви МЕ V.
Поставленная задача не может быть решена классическими алгоритмами, например, основанными на методе ветвей и границ, поскольку конструирование дерева решений потребует столько модификаций алгоритмов, сколько изоморфизмов будут содержать возможные структуры искомых подграфов (корневых деревьев).
По этой причине многие разработчики ищут решение подобных задач, используя методы имитационного моделирования с использованием эвристических правил отсечения.
Для решения такой задачи предлагается использовать алгоритмы, основанные на методе замещений [1].
Пусть РИИС ГПС состоит из множества М элементов, а В - множество Р-планов, предлагаемых для расчета плана £*, исключая Р-план Ы\, который имеет высший приоритет.
Граф отношений (биграф) от М к В обозначим
О(М, В, Я, 11),
где М - множество вершин исхода; В - множество вершин захода; Я - множество дуг, задающих отношения от М к В; ц - число компонент слабой связности биграфа.
Тогда значение У1 определяется
V! =1 . (10)
Для рассмотрения алгоритма решения задачи введем следующие обозначения [6].
Пусть О (V, Е) - исходный граф, содержащий п = | V | вершин и т = | Е | взвешенных дуг. Искомый подграф содержит п вершин и т взвешенных дуг.
Дополнительные параметры:
К - номер яруса дерева замещений (ДЗ);
ЖО - верхняя граница;
V? - вес промежуточного подграфа;
ёк - номер узла, подчиненного узлу на к-м ярусе ДЗ;
ОЕЫ = I - признак наличия сгенерированных пар замещений;
1Б = 1 - признак наличия очередного нуль-узла, имеющего ЖО меньше предыдущего;
Вк - число узлов, подчиненных общему на К-м ярусе ДЗ.
Предварительный этап алгоритма сводится к упорядочению множества дуг Е в порядке возрастания их весов %Су и разделению множества Е на два подмножества |Е0 | и ЕЕ0, \Е \ Е° | = т - п + 1.
Основной этап алгоритма (итерации) состоит из следующих шагов:
Шаг 1. Положить К = 0, ЖО = да.
Шаг 2. Положить К = К + 1, ёк = 1. Если К > т*, то идти к шагу 5.
Шаг 3. Выполнить процедуру генерации пар замещений на ярусе К ДЗ. Если ОЕЫ = 0, то идти к шагу 6, иначе идти к шагу 4.
Шаг 4. Выполнить процедуру исследования узла ёк ДЗ.
Если 1Б = 0, то идти к шагу 2. Если 1Б=1, то идти к шагу 5.
Шаг 5. Выполнить процедуру восстановления параметров подграфа.
Положить К = К - 1. Если К = 0, то идти к шагу 7.
Иначе идти к шагу 6.
Шаг 6. Положить йк = йк + 1. Если йк > Вк, то идти к шагу 5. Иначе идти к шагу 4.
Шаг 7. Выдать результат - подграф, характеризующий структуру оптимального плана 5*.
Представленный основной этап алгоритма строит дерево замещений (ДЗ), в каждом узле которого формируется вариант структуры плана 5 в виде подграфа Ор.
Размер ДЗ в значительной степени зависит от процедуры, выполняемой в шаге 3 алгоритма. Для уменьшения трудоемкости алгоритма необходимо стремиться к минимуму числа пар замещений на каждом ярусе ДЗ, обеспечивая при этом получение точного решения.
Введем следующее декартово произведение:
Ак = 1к Х ^ к,
где 1к - множество дуг 1к в подграфе Ор, инцидентных вершине с полустепенью, большей соответствующей компоненты векторов Vив или Vзв; Jk - множество дуг ^ ЕЕ0, инцидентных вершин с полустепенью, меньшей соответствующей компоненты векторов Vив или Vзв.
Шаги 3, 4 и 5 алгоритма используют процедуры соответственно I, II, III.
Процедура I
Просматриваются вершины подграфа ОР в порядке возрастания их номеров с целью отыскания вершины, имеющей избыточную полустепень. Формируется множество 1к, выполняется аналогичный просмотр с целью отыскания вершины, имеющей недостаточную полустепень.
Генерируется множество пар замещений, которые упорядочиваются в порядке возрастания разности весов между добавляемой и удаляемой дугами. Число сгенерированных узлов на ярусе К ДЗ становится равным Би. Выйти из процедуры.
Процедура II
1. Если хотя бы одной из вершин подграфа значение полустепени выходит за пределы ограничений, то 1Б = 0. Выйти из процедуры. Иначе идти к 2. 1. Вычислить ЖР.
Если ЖР<ЖО, то ЖО = ЖР; 15 = 1. Выйти из процедуры.
Иначе 15 = 0.
Выйти из процедуры.
Вычисление ЖР в процедуре II выполняется путем дополнительного просмотра дуг, входящих в каждую исследуемую вершину ветви по списку Е. Если ТС дуги, исходящей из ближайшей вершины, окажется меньше, чем из более удаленной в строну корневой вершины, то при суммировании веса дуг для ЖР принимается большее значение.
Процедура III
Восстановить вес и полустепени подграфа путем добавления удаленной дуги и удаления добавленной дуги на ярусе К = К + 1.
Предложенный алгоритм позволяет точно решить задачу за конечное число шагов.
По завершении его работы получаем минимальный подграф, характеризующий структуру оптимального плана 5*. Найденный подграф может содержать от 1 до п - 1 ветвей. Внутри каждой ветви номер дуги соответствует номеру приоритета, а номер вершины - номеру Р-плана.
Таким образом, подграф О1 определяет такую очередность обслуживания пакетов требований, которая доставляет минимум функций цели (9).
Используя полученный при оптимизации подграф О и набор Р-планов, соответствующих вершинам подграфа, формируем план 5* путем использования зависимости для каждой дуги внутри каждой ветви подграфа, начиная с корневой вершины.
Реализация такого алгоритма позволяет существенно снизить трудоемкость расчета плана 5* по сравнению с методами имитационного моделирования. Эффект снижения трудоемкости обусловлен, во-первых, декомпозицией задачи и, во-вторых, использованием метода замещений для отыскания подграфа сложной топологической структуры.
Таким образом, главным ограничением метода при решении основных задач синтеза РИИС ГПС является возможность минимизации функции цели типа (9), для более сложных функций цели необходимо применять либо сложные искусственные приемы, либо другие методы.
Решением задачи является граф с минимальной суммой длин дуг. Процесс решения задачи заключается в исследовательском преобразовании исходного (нулевого) графа до полного удовлетворения ограничений. Нулевой граф строится из п вершин и т ребер с минимальными весами. Исходными данными для построения нулевого графа является матрица весов.
Алгоритм синтеза оптимального графа представлен на рис. 2.
Построение графа с нулевой парой замещения
1 г
Окончание
Рис. 2. Алгоритм синтеза оптимального графа
Важными являются вопросы составления матрицы весов и векторов ограничений. При разработке структуры РИИС ГПС вершинами графа являются элементы системы - устройства управления и датчики обратных связей, а ребрами - времена обмена информацией.
Время обмена информацией между /-м и /-м устройством определяется по формуле
\ = в/ / С, (11)
где в/ - объем передаваемой информации; С/ - пропускная способность канала между устройствами / и /
Все величины в/ и С// определяются исходя из характеристик устройств управления и технологического процесса ГПС. При разработке алгоритма обмена информацией между устройствами управления и датчиками, вершинами графа являются датчики, а ребрами - совмещенные времена передачи информации между устройствами, определяемые по формуле (11) на базе диаграмм Гаммта [4].
Определение
ш ш
I 2 Ту Ху 1-І І-1
Таким образом, для решения задач, возникающих при автоматизации современных технологических процессов и производств, характеризующихся сложными комбинаторными структурами с множеством временных, пространственных, ресурсных, экономических и иных ограничений, необходимо использовать единое методическое обеспечение на базе метода замещений [7].
Разработанный метод решения широкого класса оптимизационных и комбинированных задач из графов, метод замещений, позволяет решить ряд задач, не решаемых существующими методами (метод ветвей и границ, динамическое программирование, венгерский метод), а также повысить эффективность вычислительных процедур.
Список литературы
1. Горшков, А. Ф. Метод замещений / А. Ф. Горшков. - М. : КноРус, 2004. - 184 с.
2. Пуховский, Е. С. Технология гибкого автоматизированного производства / Е. С. Пуховский, Н. Н. Мясников. - Юев : Техшка, 1989. - 207 с.
3. Юрков, Н. К. Модели и алгоритмы управления интегрированными производственными комплексами : моногр. / Н. К. Юрков. - Пенза : Информационно-издательский центр ПГУ, 2003. - 198 с.
4. Юрков, Н. К. К проблеме концептуального анализа интегрированных производственных комплексов / Н. К. Юрков // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2005. - С. 74-78.
5. Оре, О. Теория графов / О. Оре. - М. : Наука, 1980. - 336 с.
6. Гибкие производственные системы, промышленные роботы, роботизированные комплексы : в 14 кн. / под ред. Б. И. Черпакова. - М. : Высш. шк., 1989. - Кн. 10. Гибкие автоматические линии массового и крупносерийного производства. - 111 с.
7. Юрков, Н. К. Лабораторный комплекс в архитектуре ИКОС как основа формирования умений / Н. К. Юрков, И. Д. Граб, А. В. Затылкин, Н. В. Горячев, В. Б. Алмаметов, В. Я. Баннов, И. И. Кочегаров // Надежность и качество : тр. Междунар. симп. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2008. - Т. 1. - С. 213-215.
УДК 519.673
Васильев, А. М.
Оптимизация структур распределенных информационно-измерительных систем гибких автоматизированных производств методом парных замещений / А. М. Васильев, А. П. Смоляков // Надежность и качество сложных систем. - 2013. - № 3. - С. 8-15.
Васильев Андрей Михайлович
кандидат технических наук, старший преподаватель,
Московский государственный университет приборостроения и информатики,
107996, Россия, г. Москва, ул. Стромынка, 20.
E-mail: [email protected]
Смоляков Андрей Петрович
кандидат технических наук, заместитель директора
Государственный научно-исследовательский институт информационных технологий и телекоммуникаций «Информика»,
125009, Россия, г. Москва,
Брюсов переулок, дом 21, строение 2 +7 (495) 969-26-17.
E-mail: [email protected]
Аннотация. В настоящей статье рассмотрена задача оптимизации структур распределенных информационно-измерительных систем. Дано математическое описание решения рассматриваемой задачи. Показано, что поставленная задача не может быть решена классическими алгоритмами, например, основанными на методе ветвей и границ, поскольку конструи-
Vasil'ev Andrey Mikhaylovich
candidate of technical scienses, senior teacher,
Moscow State University
of instrument making and computer science,
107996, 20 Stromynka street, Moscow, Russia.
E-mail: [email protected]
Smolyakov Andrey Petrovich
candidate of technical scienses,
deputy director of the State Research Institute
of Information Technology
and Telecommunications «Informika»,
125009, building 2, 21 Bryusov lane, Moscow, Russia +7 (495) 969-26-17.
E-mail: [email protected]
Abstract. In the present article the problem of optimisation of structures of the distributed information-measuring systems is considered. The mathematical description of the decision of a considered problem is given. It is shown that the task in view cannot be solved classical algorithms, for example, based on a method of branches and borders as designing of a tree of decisions
рование дерева решений потребует столько модификаций алгоритмов, сколько изоморфизмов будут содержать возможные структуры искомых подграфов (корневых деревьев). Для решения этой задачи предложено использовать алгоритм, основанный на методе замещений. Установлено, что реализация такого алгоритма позволяет существенно снизить трудоемкость расчетов по сравнению с другими известными методами.
Ключевые слова: распределенные информационноизмерительные системы, оптимизация, гибкие автоматизированные производства, метод парных замещений, графы.
will demand so much updatings of algorithms, how many изоморфизмов will contain possible structures of required subgraphs (root trees). For the decision of this problem it is offered to use the algorithm based on a method of replacements. It is established that realisation of such algorithm allows to lower essentially labour input of calculations in comparison with other known methods.
Key words: the distributed information-measuring systems, optimisation, the flexible automated manufactures, a method of pair replacements, columns.
