Оптимизация систем подачи и распределения воды методом линейного программирования Текст научной статьи по специальности «Математика»

Гидравлика и инженерная гидрология

УДК 502/504:628.147:626.882:577.4

С. Н. Карамбиров, доктор техн. наук, профессор Ю. Г. Буркова, канд. техн. наук, доцент

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет природообустройства»

ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ПОДАЧИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОДЫ МЕТОДОМ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Для решения более широкого круга задач оптимизации систем подачи и распределения воды предложены новые ограничения задачи линейного программирования, позволяющие увеличивать область допустимых решений и учитывать ряд дополнительных требований: обеспечение заданных подач водопитателей, применение оптимальной подкачки, гарантирование равных диаметров параллельных участков и т. д. Разработан метод приближения суточного графика водопотребления к ступенчатому графику с меньшим числом ступеней и на его основе задана многорежимная оптимизация, при которой ограничения формируются для каждого режима потокораспределения, а целевая функция обеспечивает минимум дисконтированных затрат для всех режимов с учетом их продолжительности.

For a solution of a wider range of the tasks of optimization of systems of water supply and distribution there were proposed new restrictions of the linear programming allowing to increase a region of admissible decisions and take into consideration a number of additional requirements including provision of the needed water feeders, usage of the optimal pumping, guarantee of equal diameters of parallel sections and etc. There was developed an approximation method of a daily schedule of water consumption to the step schedule with a less number of steps and on its base a multimode optimization was set under which restrictions are formed for each regime of flow distribution and the goal function provides a minimum of discounted expenses for all the modes taking into account their duration.

В основу расчета положен метод линейного программирования. Каждый участок представлен в виде телескопической трубы с рядом допустимых для него стандартных диаметров подучаст-ков. Расчет базируется на подходящем для этого метода выборе основной ис-

комой переменной — протяженности труб определенного стандартного сечения, прокладываемых на каждом участке. Это означает, что допускается их последовательная укладка, т. е. участок разбивается на несколько подучастков в зависимости от числа предусмотрен-

ных к укладке сечении, среди которых впоследствии выбирают оптимальное. Такое представление неизвестных позволяет обоИти нелинеИную зависимость между расходами, напорами и диаметрами и линеаризовать задачу не путем аппроксимации, а заменоИ переменных, позволяющей построить линеИ-ную математическую модель без каких-либо упрощениИ и допущениИ.

Пусть ] — порядковые номера сечениИ, предусмотренных к укладке на всех участках системы ] = 1, 2, ша, где ша — число рассматриваемых стандартных сечениИ. Обозначим: Ji — подмножество диаметров из множества /, которые допускаются к укладке на ¿-м участке; х. — протяженность труб /-го диаметра, укладываемого на ¿-м участке (рис. 1).

1

к

Хц

Рис. 1. Телескопическое представление ¿-го участка

Величины х. являются основными искомыми параметрами. Очевидно, что 1 = 1, •••, п. (1)

¡е ^

Потери напора на ¿-м участке:

к = Е Аахи>

) е^!

где А.. — потери напора на единицу длины трубопровода диаметром ] на ¿-м участке при заданном расходе q..

Общую стоимость водопроводноИ

сети, состоящеИ из п участков, можно

выразить так:

С1 = Е X

где С.. — стоимость строительства 1 м трубопровода /-го диаметра при укладке его на ¿-м участке.

При оптимизации систем подачи и распределения воды методом линеИ-ного программирования наличие контуров учитывается в системе ограничениИ, как правило, путем приравнивания потерь напора от узлов схода потоков

до водопитателеИ [1]. Целесообразно отметить, что этот метод иногда применяется и при обычноИ увязке сети. Однако следует иметь в виду, что расходы участков кольцевоИ сети определяют в ходе гидравлического расчета лишь приближенно, а ограничения в виде равенства значительно сужают область допустимых решениИ задачи линеИно-го программирования. При этом чем больше переменных входит в эти ограничения, тем сложнее обеспечить требуемое равенство.

По этоИ причине авторы использовали и более «естественные» ограничения для независимых контуров в виде второго закона Кирхгофа (для к-го контура) [2]:

где ] — номер возможного диаметра ¿-го участка; п. — число возможных диаметров труб на ¿-м участке.

При этом величина невязки в гидравлическом расчете уменьшалась до в = 10-8.

Уравнение внешнеИ увязки для водопитателеИ Ы и Ъ] записывают в следующем виде:

(ны+гы)-(нъь + гъ])~

¿Ек ]=1

где Ь — совокупность участков, соединяющих водопитатели; ^ и Н — отметка и напор Ы-го водопитателя соответственно.

Расчеты показали хорошую сходимость алгоритма при использовании последних соотношениИ. Однако в многоре-жимноИ оптимизации с ростом числа ограничениИ и сужением допустимоИ области не всегда удавалось получить оптимальное решение. Выходом из положения явилось использование более «мягких» ограничениИ в виде неравенств:

22 4А

1<=к 5=1

<8,

что эквивалентно системе

XX Ал <е,

1ек 5=1

"II

1 е к 5=1

А.рс..<е.

Аналогично решается вопрос с внешней увязкой. Для повышения надежности систем подачи и распределения воды отдельные участки сети укладывают в две нитки с равными диаметрами. Расчеты показывают, что после оптимизации диаметров параллельных участков, диаметры, как правило, продолжают совпадать, однако бывают и вырожденные случаи их различия. Избежать этого можно, если закрепить равенство длин параллельных подучастков в системе ограничений при условии, что возможные диаметры этих участков совпадают. Для участков Ь и / такие ограничения могут иметь вид:

хя = хд;

Х12 = Х}2'

Хк ^к'

При оптимизации не учитывают многих требований, налагаемых на проектируемую систему, например намеченный график водоподачи в случае нескольких водопитателей. Даже если в начальном приближении выдержаны требуемые подачи, технико-экономический расчет не накладывает на них никаких ограничений, и в полученном решении подачи перераспределяются. Хотя такое изменение для данного часа оправдано с точки зрения минимума функционала, оно может привести к значительной корректировке принятых решений, удорожанию сооружений, параметры которых непосредственно не входят в число оптимизируемых, к невозможности практической реализации полученных решений и т. д. В результате не исключено регулирование напоров насосных станций и увеличение объемов водонапорных башен.

Таким образом, решения требует следующая задача: провести технико-экономический расчет с дополнительными ограничениями на необходимые подачи водопитателей. Так как оптимизация кольцевых сетей методом линейного программирования осуществляется в несколько этапов, на каждом этапе нужно стремиться варьировать

диаметры таким образом, чтобы расходы участков, смежных с водопитателя-ми, не менялись или менялись в заданных пределах. Этого можно достичь, если зафиксировать диаметры таких участков (или их части) и ввести в технико-экономический расчет дополнительные ограничения. Обозначим длину фиксированного участка, примыкающего к Ь-му водопитателю через I , а геодезический напор на соответствующем расстоянии — Ни. Тогда, чтобы подача Ь-го водопитателя находилась на отрезке q1i...q2i, необходимо выполнить следующие условия: > А,

Ны~НГ1

1н>

Я

ы

Яп <А21,

где Дц

= А

,т ^и» ^21 _ ^ ,т ' — потери напори ¿и ра, соответствующие расходам q и q2.; к, Ь, т — коэффициенты; Н — переменная задачи оптимизации; Н определяется из гидравлического расчета; в случае q = q2. одно ограничение получается в виде равенства.

При проведении технико-экономических расчетов в качестве минимизируемого функционала выбирают, как правило, некоторый экономический показатель, например: приведенные затраты, интегральные дисконтированные затраты и т. д. При этом ограничениями гарантируется, что напоры в узлах будут не ниже требуемых, однако сверху величины напоров ограничиваются прочностными характеристиками труб только у водопитателей. На практике значительное завышение напора может привести к утечкам, нерациональному расходованию воды, износу запорно-регулирующей арматуры, более частым авариям и т. д. В таких случаях целесообразно использовать регулирование напоров основных насосных станций и станций подкачки, а также задвижки, понижающие напоры в отдельных зонах систем подачи и распределения воды. В расчетной схеме задвижка моделируется участком нулевой длины и заданной потерей напора, что позволяет не выделять ее при увязке сети. Определение оптимальных напоров водо-питателей и степеней открытия задвижек

№ 2' 2008

103

является частью как гидравлического, так и технико-экономического расчетов. Величина потерь напора в задвижках входит в ограничения для узлов, расположенных за задвижкой. Целевая функция является взвешенной суммой экономической и гидравлической частей. Последнее слагаемое пропорционально избыточному напору в нескольких характерных узлах сети. Таким образом, оптимизируются режимы. При оптимизации же системы в целом искомыми являются также диаметры участков.

С целью снижения напоров на головных насосных станциях применяют принцип зонирования групповых водопроводов и сетей, т. е. их делят их на отдельные части, между которыми устанавливают станции подкачки. Во многих случаях станции подкачки — альтернатива установке труб большего диаметра. Выбор того или иного решения подтверждается экономическим расчетом вариантов, который позволяет найти лучшее из предложенных, но, как правило, не оптимальное решение. Сложность системы заключается во множестве одновременно влияющих факторов: стоимости электроэнергии, насосных станций и труб различных диаметров; величины требуемых и допустимых напоров; выполнения законов гидравлики; практической реализуемости проекта и др. В результате получается оптимальное соотношение между напорами головных насосных станций, станций подкачки и диаметрами труб при выполнении необходимых ограничений. В процессе расчета может оказаться, что станция подкачки не нужна. Целевой функцией являются интегральные дисконтированные затраты за весь срок строительства и эксплуатации системы. В основу расчета положен метод линейного программирования с известными ограничениями на длины участков, на выполнение внешней и внутренней увязки, на напоры водопитателей и в узлах сети.

Кроме того, вводятся дополнительные ограничения для напоров узлов Н ,

питаемых от станции подкачки с напором Н :

г спк щ

ТУ

Н =Н /./.

и В ' * Г *

161

Ацхц + гв

-г + ^н .,

и спк треби

ке1

где Н , Z — напор и отметка головной насосной станции, питающей и-й узел; I — множество участков (путь), соединяющих эту станцию с и-м узлом; Zц — отметка и-го узла.

Дополнительно вводятся ограничения на допустимый напор за станциями подкачки. Расходование воды из сети для расчетных суток принято определять суммарными ступенчатыми графиками водопотребления. Обычно такие графики имеют несколько характерных многочасовых ступеней (режимов), вокруг которых происходят незначительные колебания часовых расходов. Один из способов получения Я графика характерных режимов заключается в осреднении на нескольких характерных интервалах исходного или ранжированного графика водопотребления. Искомый график условно назовем «графиком подач насосных станций». Ранжированный график водопотребления можно описать следующей формулой:

О 24

где Я — часовой расход воды в момент времени Т (Т = 1/24); Я — суточное потребление воды; К — коэффициент часовой неравномерности.

Формально мерой близости обоих графиков может быть выбрана величина суммы квадратов их разностей для каждого часа суток, а оптимальной — значения Янс, минимизирующие это выражение. Рассмотрим процесс такой оптимизации как многошаговый процесс управления системой «подача — потребление». На ¿-м этапе значение Я . выбирают из условия:

Необходимое условие экстремума дает следующий результат: \2

дЯ

= 0,

или

я

п

где п — число часов 1-го периода постоянного значения О .

^нс

Таким образом, оптимальным значением Онс на заданном отрезке является усредненное на этом отрезке водо-потребление. Методом математической индукции легко показать, что это условие должно выполняться для каждого шага, а процесс оптимизации сводить к выбору времени переключения, где график водопотребления усредняется на некотором периоде. Для небольших систем водоснабжения графики работы насосов имеют простую форму. В случае постоянной подачи задача оптимизации становится тривиальной и сводится к решению выражения

24

Ее,

Оно

24

При полном отключении насосов или переходе на пониженную подачу в режиме уменьшения водопотребления (двухступенчатый график) задача решается простым перебором вариантов. При этом для упрощения алгоритма расчета целесообразно смещать время начала суток таким образом, чтобы вместо двух ступеней переключения осталась одна. В более сложных случаях задача решается методом динамического программирования. Необходимо найти моменты «переключения» t, обеспечивающие:

к 2 пппХ Е 1 =1 3 = 1;1

'1+1

Я = У

где Чиа ~ ¿—I + + ' к — число ступеней, t. е

1 = ^ Ь + 1 _ Н 1

[1...24].

В общем виде эта задача может быть записана так:

/к(£) = ппп^Я, С7) + /к_1(5')],

где Я — состояние системы (время переключения), ч; и — управление (ширина интервала), ч; О(Я, и) — значение целевой функции (суммы квадратов разностей) при и-м варианте управления на к-м шаге; Я' — состояние системы за к — 1 ступеней до конца графика; /к(Я) — сумма квадратов разностей при оптимальном управлении за к ступеней до конца графика для Я-го варианта состояния.

Расчет начинается с последней ступени. График четырехступенчатого приближения неранжированного графика водопотребления приведен на рис. 2. Следует отметить, что полученное приближение ступенчатого графика водо-потребления при использовании его в качестве графика подач насосных станций необязательно соответствует минимальному объему регулирующих емкостей. Для уменьшения регулирующего объема можно перераспределить значения расходов с соблюдением их общего баланса в пределах полученных ступеней. Этот метод реализован с помощью компьютера. Расчеты показали, что по сравнению с выбором подач насосных станций «на глазок» регулирующие объемы можно уменьшить до 20.25 % .

Суммарное водопотребление Я, л/ч (Фшш = 3, втах= 19)

■866599,0 ■ -788088,0 ■699577,0 < ■ 581066,0 ■ 492555,0 ■334044^1

Рис. 2. Приближение графика водопотребления

Многорежимная оптимизация.

Авторы предлагают выбрать параметры системы, обеспечивающие ее оптимальное функционирование на нескольких характерных режимах работы в целом с учетом величины требуемых подач и их продолжительности. В основу расчета положен метод линейного программирования.

Первое ограничение задается формулой (1).

Гидравлические ограничения второго закона Кирхгофа для кольца, условия внешней увязки напоров вь-го и в]-го водопитателей, а также ограничения обеспечения у потребителей напоров не ниже требуемых, а у водопитателей не выше допустимых, записываются для каждого режима t.:

№ 2' 2008

^05

Е Е А ч ж ч

<е ;

1 е м 1 = 1

(Н* + )-(я?,-я„)-

111

Е Е А у дс ч

1 е 11

<е

Ни — Нт УУ, АцХц + 2т

1е1 ]=1

% у}. — Д^треби»

Я - ^ я

(2)

(3)

(4)

(5)

дот»

где Нци и Нв.и — напоры соответственно у иго узла и связанного с ним вь-го водопитателя для режима t.; Z и Z . — аналогичные отметки; I — путь (номера участков), соединяющий узел и с водопитателем; Нтребц — требуемый напор и-го узла; Н . — предельный допустимый напор у вь-го водопитателя; е — точность увязки; М — номер кольца.

Для существующих участков (при реконструкции) соответствующий член суммы переносится в правую часть ограничения.

Целевой функцией являются интегральные дисконтированные затраты на строительство и эксплуатацию системы:

_р_

t=o

К,

+

(1 + Я) (1 + Е\

где К% — капиталовложения на ^м интервале времени; С — текущие затраты на ^м интервале, за исключением капиталовложений; Е — норма дисконта (требуемая инвестором норма доходности на единицу авансированного капитала [3]); Т — продолжительность расчетного периода.

Величина интервала расчетного периода принята равной одному году.

Приводя затраты к началу строительства ^ = 0) и считая продолжительность строительства равной одному году, получим:

' 1 Г \ТР + 1 "

^ = Ко + С1

1 + Е

1 + Е.

■ + 1

1-

1 + Е

где К0 = ^ ^ сцхцг с.. — стоимость единицы длины подучастка ]-го диаметра (стоимость насосных станций для рассматриваемых вариантов принимают постоянными); С1 — ежегодные эксплуатационные затраты (средние за расчетный период);

^ _ V р ^ УУ ^*дер1СТс тт*

1=1 а 1-1 Ю2г|в1

где Р. — амортизационные отчисления для ь-го участка; ст — стоимость 1 кВт-ч электро-

энергии; t . — длительность периода t. в году; П . — коэффициент полезного действия насосных установок водопитателя в.; Кв — число насосных станций с подачами л/с, в период tь.

В функционал интегральных дисконтированных затрат, кроме затрат на строительство сетей, входят суммарные затраты на электроэнергию по периодам. Если водопитателем является башня, ее высота входит одной переменной для всех периодов. Для насосных станций с каждым режимом связана своя величина оптимального напора Нйв., что на практике сводится к изменению числа работающих насосов или к их регулированию.

Минимизация функционала Z с ограничениями (1), (2)...(5) составляет задачу линейного программирования. Решение находят итерационно при заданном потокораспределении для всех характерных режимов до совпадения начальных и конечных диаметров. В большинстве случаев в оптимальном решении превалирует один диаметр подучастка, который распространяется на всю длину участка. Возможно и введение дополнительных узлов для получения диаметров, более близких к оптимальным.

Остальные режимы работы, в том числе на случай максимального водопот-ребления или транзита, являются поверочными и могут незначительно изменить диаметры отдельных участков сети. Аналогично учитываются сезонные и годовые колебания водопотребления.

Ключевые слова: система подачи и распределения воды, многорежимная оптимизация, оптимизация кольцевых сетей, интегральные дисконтированные затраты.

Список литературы

1. Кикачейшвили, Г. Е. Расчет оптимальных параметров систем подачи и распределения воды [Текст] / Г. Е. Кикачейшвили. — Тбилиси : Сабчота Сапартвело, 1980. — 199 с.

2. Карамбиров, С. Н. Математическое моделирование систем подачи и распределения воды в условиях многорежим-ности и неопределенности [Текст] / С. Н. Карамбиров : монография. — М.:

МГУП, 2004. — 197 с. онных проектов [Текст] / А. М. Марго-

3. Марголин, А. М. Финансовое обеспе- лин. — М. : Изд-во «Мелиорация и вод-чение и оценка эффективности инвестици- ное хозяйство», 1997. — 144 с.

УДК 502/504:532.5:627.83

Н. В. Ханов, доктор техн. наук, профессор М. В. Беспрозванный, аспирант

Федеральное государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Московский государственный университет природообустройства»

ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ МАЛЫХ ДОЖДЕПРИЕМНЫХ РЕШЕТОК С ПРОДОЛЬНЫМ РАСПОЛОЖЕНИЕМ СТЕРЖНЕЙ

Изложены результаты гидравлических исследований малых дождеприемных решеток с продольным расположением стержней. Установлена принципиальная возможность для отвода воды с мостов, путепроводов и искусственных покрытий.

There are given the results of hydraulic researches of small rain inlet lattices with longitudinal rods. The principal possibility is established for water drainage from bridges, viaducts and artificial coverings.

Одной из основных задач повышения технического уровня автомобильных дорог, безопасного движения по ним, сохранения экологической стабильности в городе является обеспечение своевременного и целенаправленного сбора и отвода воды с поверхности автомобильных дорог и последующая ее очистка от загрязнений [1, 2]. Результаты обследования дорог и искусственных сооружений неоднократно подтверждали, что в большинстве случаев неудовлетворительное состояние дорог объясняется некачественной работой системы поверхностного водоотвода с покрытий дорог и мостов [3]. Авторами были проведены исследования, направленные на решение вопроса водоотвода с искусственных твердых покрытий. Были проанализированы все конструкции малых дождеприемных решеток с разными рисунками отверстий с целью выбора таких, которые обладают повышенной пропускной способностью. Решетки исследовали на гидравлической модели автодорожного полотна. Ее прототипом является автодорожное полотно моста, имеющее следующие уклоны: продольный ¿0 =

0,02 и поперечный ¿п = 0,02 [4].

Исследовали следующие решетки (рис. 1): решетка 1а (РосдорНИИ); решетка 1б со скругленными кромками стержней; решетка 1в со спрямленными отверстиями; решетка 1г с зауженными отверстиями и стержнями; решетка 1д с овальными отверстиями; решетка 1е с зигзагообразными отверстиями и стержнями; решетка 1ж со спрямленными и зауженными отверстиями и стержнями; решетка 1з со скошенными кромками стержней; решетка 1к с закругленными кромками стержней; решетка 1л со стержнями (выпуклыми) вверх.

Решетка 1в отличается от исходной решетки 1а РосдорНИИ формой отверстий в плане. Если у решетки 1а отверстия имеют форму вытянутого овала, то у решетки 1в сделаны прямоугольные отверстия, которые незначительно увеличивают площадь. Так, суммарная площадь отверстий решетки 1а равняется 335,32 см2, а суммарная площадь прямоугольных отверстий решетки 1в — 345 см2. Увеличение площади составило 2,8 %.

Все решетки установили большей стороной вдоль потока. Глубина пото-