CC BY
18
УДК МУ.^:004.421.5:004.7
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ КАНАЛОВ ПО УЗЛАМ СЕТЕЙ С ФРАКТАЛЬНЫМ ТРАФИКОМ
Б И Чид«1[ж аныЙ Т Р Зихирт-ьюки
Омский государственный гкохнмеский униворситот, 2. Омск, Россгл
Аннотация - Решается проблема повышения качества информационного обслуживания в телекоммуникационных сетях с фрактальным трафиком сообщений Цель исследования - разработка методов обеспечения низкой вероятности потерь сообщении. В терминах теории очередей формулируется н решается задача оптимального конфигурирования сетей с фрактальным трафиком. Разрабатывается эффективный метод оптимального распределения каналов по узлам сети. Приводится пример его применения.
Ключевые слова: телекоммуникационные сети, теория очередей, фрактальный трафик, структурная оптимизация.
1 Введение
Исследования в области телекоммуникационных систем показали, что трафик современных сетей передачи данных имеет фрактальную (самоподобную) структуру [1]. Случайные переменные, описывающие такой графин 11|1ИН<1;и1ГАИГ ¡МСЩГДСМГНИНМ С 1НЖСЛММИ XKIXTdUH (РТХ) [?], 411) НО^О.КДЛГМ сигцнфнчп кИГ |ру.<1Н()|-|И
при измерениях трафика [3] и проектировании сетевых устройств.
На системном уровне сетевые устройства представляются в вице систем с очередями И, 5|. В тех системах GVGjtvm. которые мы называемым фрактальными. интервалы поступления и/или время обслуживания заявок щ>инлдлгжат РТХ с конечным мкгкмггичтнм с»ли;.ииис*м (ад о ) и (ктгконгчной дис г]х:игй Км^ицигм г :<я-I ручки ржч мирикигмых сисггад иг п[:гк4>:-лоди г t-диниг.м р — А Л/л < 1, гдг А < о0 — ^гднее крг-мч ипслужики-
пия заявки. к - 1/а - пптепсшшость входяшего потока, а < ос— среднее время между приходами! заявок, ?? - чне ло каналов. Системы Gl/Gbnlm. задаваемые только распределениями с легким:-! мостами, будем называть классическими
Соответственно, фрактальная сеть с очередякш описывается распределениями, хотя сы одно нз которых является РТХ с конечным мо. и бесконечной днспсрснси.
Хнрик1грнмми Н1**дг171китглями ijipt ixuhHMX CHC irvi с очгргдмми HHJiiKintx гипгмы Рл!УА!п!т. М/Ра/я/т и Ра/Ра/и/г/7. Здесь символ ?а соответствует распределению Парето:
Fifi-\-lKit)*.. а>0, К>0, i>K,
где а - параметр формы. К- наименьшее значение случайной величины (с.в.) к. одновременно, масштабный параметр. Сокращенно распределение Парето с параметрами К. а будем обозначать как 1'а(А. а). Типичный для фрактального трафика диапазон значений С/, определяется неравенством L < 0t < 2. При таких а м.о. конечно н равно <хК /(а 1), а дисперсия бесконечна. Основным методом расчета фрактальных систем является пмнта цнонаос модслиров анис.
Далее на основе теории очередей и методов моделирования решается проблема минимизации потерь сообщений в сетях с фрактальным трафиком.
И. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ
Рассмотрим фрактальную систем?' MTVl. Средняя длина L очереди в этой системе, согласно формуле По-лачека - Хинчнва [4]. здесь при любом Э > 0 составляет
г ^ L =-= ш.
2(1-р)
поскольку второй момент Ь( ) времени обстукивания, принадлежащего здесь ф.р. Парето при 1 < а < 2, бесконечен. Этот пример поясняет, почему при конечном буфере (т.е. в системе М/РаЛ/ю) снижение вероятности потери заявки за счет увеличения размера т буфера и/или за счет повышения быстродействия канала оказыва-е-ся va.-ггг-ффектичнъш В статье [6] устаномтена бегперопрктичкогть для фрактяяьнмх г иг тем борьбы г ттпте-рями заявок за счет увеличения буферов или ускорения каналов.
Отсюда вытекает задача поиска более >ффективпых стратегий сорьОы с потерями.
Теоретическая задача, которая решается б данной статье, состоит е исследовании возможности и эффективности снижения вероятности потерь за счет нгращнвання числа каналов у фрактальной системы (и. соответственно. в узлах фрактальных сетей)
¡.рпклахюя задача статьи состоит d разработке основанного па выполненном тесреппеском исследовании метода структурной оптимизация фрактальных сстсй.
ш. Теория
3. Классические и фрактальные многоканальные системы GI/GL'cc
Ртч mtrqimv :«дачу шфгдглгния д.1и cJijkik i#i.hы-к!й гипгмм чакон) ниимснмипti чигли п канилпк. mmipor при отсутствии буфере для хранения заявок (i.e. при т = 0) обеспечивало бы матую вероятность потерн заявки, не превосходящую заданной величины О. Назовем эту задачу задачей нахождения л (О), подразумевая, что О достаточно мала.
Заменим систем/ GI/GL'w системой GI/GL'oc и найдем путем моделнровашея стационарное распределение вероятностей сс состояний, определяя к как чнело зелвок (число занятых ксналов) в снстсмс Gl'Gl/:»
(к = 0,1.....сс). Задачу нахождения u(Q) приближенно переформулируем как задачу нахождения наименьшего
г.. удовлешораюша и yc.ioB.-iK) Р(А > л) < Q. т.е. условию 1 - РС1 < л) < Q Рдссмахридех л. л. P(t < л) —F^n) как непрерывные величины, níu можем просто найти такое я, при котором 1 -Р(к< ri) — Q, т.е. решить прн заданном малом Q ураппеппе
l-*\n)~Q, (L)
где t\n) ф.р. с в. к.
Для К.М1ТИЧГСКИХ СИПИМ GJ^Ol/'M Il])r1 tXUIhlllOM НИфуЧКС. I Г при (KUlhlllllM М il М(£) — 'áJj, ХЯДНЧИ (1) HÜKOJK-
дения ?;(0 может решаться за счет применения асимптотической гауссовой аппроксимации распределения рь параметры которой рассчитываются по формулам, найденным в работе [7]. В экспериментах с фрактальными системами выясннтось. однако, что на них эта аппроксимация в оошем случае не распространяется. Но эти эксперименты позволили нам найго приближение общего для классических и фрактальных систем вида, выражающее зависимость n(Q) лпиой формулой, постоянные коэффициенты в которой определяются моделированием. Тем сс.мыы процедура решения задачи (1) сводится к одному прогону меделн системы GJ/(i-/<x> н послсдующс-му представлению решения ч(0) в общем виде явной формулой.
4. Пинчер эгредетення необходимого числа канатов для фрякпалъной с\*алемы
Па рнс. 1 слева показан график найденного моделнреванием распределения вероятностен состоянийp¡¡ для системы Ра/Ра/сп. в когерой интервалы поступления заявок описываются законом Ра(1/5,1.25), а время обслуживания - законом с менее тяжелым хвостом Ра(.0в,1.5). В этой системе а,= i. b = 10. Прн моделировании через нее прошло более 100 млн. заявок.
.72
1 Ь-00
1 f-01
1.Е-02
1-Е 03
1-Е 04
1.Е-05
1 f-ofi
1.С-07 Г (* > п)
Рис. 1. Слева - распределение р.- в рассматриваемой системе Ра/Ра/»: справа - зависимость Р(к > ti) от н2
Ни риг 1 Г.П|1ИКИ I к: ргчулыичим М11ДГ.1ЩЧ1К;ИИН 1&КСЧМ1-1НЯ ММЛЫХ КГр<1Н1НОГ1ГЙ О — Р(А > п) линия
тренда описываемая уравнением
О = 25.191<?
Решая его ошос:гтелыю получаем решешге задачи (1) в виде п _ ^j— 75.191u О + 242.59 • В соответствии с стнм для обеспечения, например, героягоосгн потерь О - 10 6 достаточно уетановип, в системе 35.8, т.е. 36 ка налов.
Многочисленные имитационные эксперименты повышенной годности с разнообразными ф р акт а ль ным и системами СтТ/ОтТ/оо покачивают, что занятнмостч (Хю с рангом п в тттсбой такой системе при большой (порядка )Jb = L J н выше) нагрузке с высокой точностью описывается формулой
&п)~с 0е~Сп\ (2)
где С - некоторые константы, свои для каждой конкретной системы. Закон (2) позволяет рекомендовать для борьбы с потерями заявок наращивание числя каналов в системе как эффективную универсальную стратегию. При этом даже при весьма малых О избыточность числа каналов (по сравнению со средним числом ко используемых каналов) оказывается относительно невысокой.
Рг:чу.141яг <?Х >чтганоклгннн1Й ч И]к1нгдгннс)м итигдонинии »мииричпки. «Ьлидип мгин нтб.чстдимыии признаками универсального закона, выполняющегося для всех классических и фрактальных систем типа Gl/Gl/эо. Это позволяет сформулировать гипотезу, чго этот закон будет выполняться и для узлов сетей с очсрс-
5. Фрактаяьмке сети с очередями
Имнтапнонныс эксперименты с различными сетями, содержащими многоканальные узлы осз буферов, пока-мыкикл Ч1Х1 :шои (?) г кыгокой пнмипьн) кмшшнчг-и х и уч. и ж тиич г.пгй
В качестве примера на рис. 2 слева показаны распределения вероятностей состояний четырех узлов сети, полученной модификацией соответствующей четырехузловон сстп. описанной в [ '\ При модификации сохра-
НГНЫ \1/ipill])y I НИМ МИ 1]Ж||Н \f С.ПИ И Гиконтжг ЧНГ.Ш КИН.-11ЮК К КПЖДПМ y<Jir RxiV.XII.HH I ICTItlK и кргмя IIU-
служнвання в каждом узле изменены, н заданы следующим образом.
d 300 1ээ0 1500 2соо
Рис. 2. Слева - распределениярс состояний узлов 1-4: справа - зависимости Р(к > п) от п~ для узлов сети
Извне о сеть поступают четыре входящих потока (затем в сети опн. разумеется, перемешиваются). В первый узел извне поступает регулярный поток с интенсивностью 2. Во второй узел - луассоновскин исток с интенсивностью 2 В третий узел - поток с интервалам: поступления распределенными по закону Ра^О.2,125) И в четвертый узел — поток с интервалами поступления, распределенными по заколу Ра(1/15,1.5).
Время обслуживания в узлах определено следующим образом. Б первом узле оно детерминированное и равно 0 5. Во втором - распределено экспоненциально со средним 1. В третьем- по закону Ра (1/6,1.5). В четвертом - по закону Ра(<М, 1.25).
На рис. 2 спраза приведены полученные в результате моделирования зависимости вероятностей Р(£> ?;) от г для всех четырех узлов в вщ;е соответствующих линий тренда и нх уравнений
Результаты эксперимента подтверждают гипотезу о действии закона (2) ие только з изолированных снеге мах. но и з узлах сетей. Моделирование разнообразных других модификаций сеги подтвердило действие закона (2) и в нх узлах.
Наиболее значимым в законе (2) является то. что наращивание числа каналов о узлах при относительно ие большой их избыточности приводит к резкому снижению вероятноетк потерь. Это при обслуживании фрактального трафика кардинально отличает стратегию наращивания числа каналов от стратегии увеличения объема буферов и стратегии повышения производительности каналов.
Б качестве одного из возможных практических применений результата (2) сформулируем задачу оптимального распределения каналов по узлам сети и предложим метод ее решения, пригодный для применения в инженерной практике.
6. Задача оптимальногораспределения холопов
Пусть заданы маршрутная матрица сстн. распределения вероятностен Bit) времени обслуживания в углах г (7 = 1. ...,\f)y входящий поток (входящие потоки) заявок. Буферы для хранения заявок в узлах сети отсутствуют. ТрсЬустся распределить N каналов i[М»М) по узлам сстн таким образом, чтобы минимизировать сумму вероятностей потерь в узлах.
Задача оптимального распределения канатов возникает при построении (развитии) телекоммуникационной сети с фрактальным трафиком, если используется стратегия нарашнвания числа каналов в узлах. Какое бы число каналов ни имелось в нашем распоряжении, на практике сно всегда конечно, и от того, как мы распределим эта каналы по узлам, зависит эффективность нх использования.
7. Метод оптимальногораспределения каналов
С учетом результата (2) формально задачу оптимального распределения каналов можно переписать следующим образом:
К .V ,
У Q.(Л;) = Су.С > mm, (3)
i-i .-1
-V
T-i
п,> 0. i = ].....At.
Все коэффициенты с о, и С, здесь известны Действительно, на практике задача оптимального распределения каналов может решаться только с использованием моделирования, а как с его помощью определяются эти коэффициенты. было продемонстрировано выше.
В форме (3) решение задачи распределения каналов не составляет труда. Она может решаться любыми известными численными методами. Мы можем, например, рассматривать варьируемые переменные r.t как непрерывные величины, отыскивать решение каким-либо градиентным методом и затем соответствующим образом округлять полненные не целые оптимальные значения. Или решать задачу как целочисленную, испо.тьзуя подходящие квазиградиентные методы.
IV Результаты экспериментов
j . Пр их юр оптимального распределения каналов
Решим чадичу мши мал к но го ригиргдтснин N— 100 Ю1ни.шк но четырем у.мнм спи, [1ж:1'.шп|жннии к рихде-ле «Фрактальчыс сети с о\ерсдями-.>. Используя данные ее моделнрооашм. представлешше па рпс. 2 справа, ЧЛ ИИ III г и пидлчу К ф(фМе (Я)
0.360U-"0^ +5.6561^-°cl74^ + 1.6991^503357j2 + 44.462«H>X>U"< ->шш.
л
V//, =100.
Г.I
1*7, 0, г'-1,...,Л.
Реши* :»iу ча.личу с иоькпцкю 1Г}>кисл «ТТсжо jjrineним» Еи*1, получим rjj — 1 3 rij - (1, //j — 19 9. пл ~ 38.27 или, округляя:
Л| - 1 Я, п2 - 79,я, - 70, «4 - 1Я (4)
2. Проверка оптимального решения
OirrHM/lilhHlX1 рж'иргдслгннг КЙНЯШШ (4) нпрудне! I JX >НГ]1И I К HCIKUIh-Cy» i y же ИМ И |}1||,ИОНЬу Ч) Mll^JIk, I ПОМОЩЬЮ которой получены данные рис. 2.
Пл.'ИК К модели (-(ХГГКГНПКуЮИК-Г решению (4) ЧИС.Н! КИНШОК К IUI1VIIIM И< y<JIOK 1—4 И КМП0.1НИК \!ОДе.1ИрО-ваине (с прохождением через сеть 1J млн заявок), находим сумму всрояпюстеи потерь в узлах:
+ Qi + Qi + Q* = 1.810"4.
Чтобы пэдтверд?пъ оптимальность распределения [4). сравним его с равномерным распределением каналов и с распределением каналов, обеспечивающим одинаковые коэффициенты загрузки узлов. С помощью той же имитационной модели сстн. задав равномернее распределение каналов (по каналов иа каждый узел), получаем Ох + ... — Оц = 0.0024. Распределение каналов, обеспечивающее одинаковые коэффициенты загрузки узлов р. — 0 (:-»'Н1 рлги]к*деление п\ — 9 л; — Я0 л;—К», п.\ — 45). дяег суммарную кероюжх-гь ишерн Oi + ... + Qi = 0.00026. В обоих случаях суммарная вероятность потерь на несколько порядков хуже. чем при найденном выше оптимальном распределении каналов.
v. выводы и заключение
В результате исследования установлено следующее.
При борьбе с потерями заявок во фрактальных системах и сетях стратегия наращивания числа каналов обладает кардинальными преимуществами перед стратегиями увеличения буферов шили повышения производительности канатов.
Хвост 0(п) функции Ди) распределения состояний систем и узлов с бесконечным числом каналов имеет при малых О (больших и) асимптотику (2). Достаточная для решения задач оптимизации точность представления (2) обеспечивается, как правило, уже при загрузке Kb - L0.
Астп.плотика (2) обусловливает для фрактальных систем и сетей эффективность наращивания числа каналов как метода борьбы с потерями заявок.
Предложенный в статье приближенный метод оптимизации распределения каналов по узлам фрактальной сети с очередями может быть непосредственно использован проектировщиками сетей с фрактальным трафиком. прост в применении и обеспечивает радикальное снижение вероятности потерь.
Значимость полученных теоретических результатов и эффективность разрабатываемых на их основе методов оптимизации свидетельствуют о перспективности продолжения исследований в направлении оптимизации фрактальных сетей с многоканальными узлами
список литературы
1 Lelanjd W Е., Taqgu M S Willinger W , Wilsen D. V. Ou the Self-Similar Nature of Ethernet Traffic H ACM SIGCOMM Computer communications review, 1993. P. 146—155.
2. Crovella M. E., Taqgu M Bestavros A. Heavy Tailed-Probability distributions in the World Wide Web 1997. 5(6). P 835-846.
3. Czachorski T., Douianska J., Pagano M. On stochastic models of Internet traffic Í! Information technologies and mathematical modeling. 2015. P 289-303.
4. Klemroct L. Queueing Systems: Computer Applications. New York: Wiley Literscience. 1976. V. II. 576 p.
5. Zwarr A. P. Queueing Systems with Heavy Tails. Eindhoven University of Technology. 2001. 227 p.
6. Задорожнын В. H. Метод ускоренного расчета буферов для фрактальных систем с очередями It Омский научный вестник. 2013. № 1 (117). С. 216-220.
7. Моисеев А. Н., Назаров А. А. Бесконечнолннейные системы и сети массового обслуживания. Томск: Изд-во HTJI 2015. 240 с.
