CC BY
31
ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРАВООХРАНИТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
УДК 351.74/.76
ОПТИМИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ГРУПП РЕАГИРОВАНИЯ
ПО ОБЪЕКТАМ ЗАЩИТЫ
OPTIMIZING THE DISTRIBUTION OF RESPONSE TEAMS ACCORDING TO PROTECTED VENUES
Меньших Валерий Владимирович
Menshikh Valeriy Vladimirovich
доктор физико-математических наук, профессор, почетный работник высшего профессионального образования РФ, начальник кафедры высшей математики, Воронежский институт МВД России
PhD. (Physics and Mathematics), professor, honorary worker of higher professional education of the Russian Federation, head of the department of mathematics, Voronezh institute of the Russian Interior Ministry
e-mail: [email protected]
Калков Дмитрий Юрьевич
Kalkov Dmitriy Yuryevich
адъюнкт кафедры высшей математики, Воронежский институт МВД России
Adjunct of the department of mathematics, Voronezh institute of the Russian Interior Ministry
e-mail: [email protected]
В статье представлена математическая модель и численный метод решения задачи оптимизации распределения групп реагирования по охраняемым объектам. Численный метод основан на венгерском алгоритме нахождения максимально-
The paper presents a mathematical model and numerical method for solving the problem of optimizing the distribution of response teams on protected objects. The numerical method is based on the Hungarian algorithm for finding maximum
го паросочетания. Приведены численные результаты моделирования на примере подразделения вневедомственной охраны МВД России.
Ключевые слова: математическая модель, принятие решений, охраняемый объект, своевременность прибытия группы реагирования, риск ущерба, венгерский алгоритм нахождения максимального паросочетания, целераспределение.
matching. The authors discuss the results of numerical simulation conducted on the basis of private security divisions of the Russian Interior Ministry.
Keywords: mathematical model, decisionmaking, protected venue, arrival time of the first response team, risk of damage, the Hungarian algorithm for finding a maximum matching, target distribution.
В настоящее время актуальной является задача обеспечения безопасности систем различного назначения. Особую сложность задача приобретает в том случае, если система является территориально распределенной. Решение задачи осуществляется на основе использования групп реагирования, направляемых к объектам защиты данной системы в случае поступления сигналов тревоги. Примером такой системы является вневедомственная охрана [1], где группами реагирования являются группы задержания, а объектами защиты - охраняемые объекты собственников. Разработанные методы можно использовать не только в интересах вневедомственной охраны, но и для других сложных систем.
Основной задачей подразделений вневедомственной охраны является обеспечение имущественной безопасности собственников на договорной основе. Успешное выполнение данной задачи главным образом зависит от скорости реагирования дежурной смены на полученный сигнал тревоги с охраняемого объекта. Согласно приказу МВД № 247 от 14.03.2008 г. в течение нескольких лет осуществлялось объединение (укрупнение) пунктов централизованной охраны с целью оптимизации штатной численности отделов вневедомственной охраны, однако при этом возник и отрицательный эффект: все объекты ликвидированных пунктов централизованной охраны, группы реагирования перешли в распоряжение одного укрупненного, тем самым увеличив нагрузку на дежурного. К тому же задача усложняется в тех ситуациях, при которых количество полученных с коротким интервалом времени сигналов тревоги превышает количество групп реагирования в данном районе.
Таким образом, актуальной является задача распределения групп реагирования по объектам защиты так, чтобы минимизировать общий риск ущерба на объектах. Для этого необходимо знать следующие показатели: 1) оценки предполагаемого времени пребывания нарушителей на объектах; 2) минимальное время прибытия групп реагирования на каждый сработанный объект; 3) вероятности своевременного прибытия групп реагирования; 4) оценки важности охраняемых объектов.
Авторами разработана математическая модель оценок времени пребывания нарушителя на охраняемом объекте с помощью автоматной модели Мура [2]. Построенная модель обладает целым рядом преимуществ, среди которых можно отметить: возможность анализа продолжительности пребывания преступника на охраняемом объекте с учетом его времени преодоления каждого рубежа, возможность преобразования данной модели в имитационную. Точность модели может быть повышена за счет ее детализации, например учета наличия или отсутствия оповещателей, существования нескольких шлейфов сигнализации на каждом рубеже и т.д. С учетом полученных результатов [2] авторами также разработана модель оценки своевременности прибытия группы реагирования на охраняемый объект [3]. Полученная информация необходима для проведения дальнейших расчетов.
Описательная модель. В данной работе критерием оптимальности будет являться риск ущерба, под которым понимается вероятность возможного нанесения вреда имущественного или неимущественного характера [4]. Под имущественным вредом понимается совершение кражи материальных ценностей на охраняемом объекте, а неимущественный вред заключается, к примеру, в выведении из строя оборудования объектов жизнеобеспечения населения.
Для описания математической модели введем следующие обозначения и переменные: о. — г-й охраняемый объект; д1 -]-й экипаж группы реагирования;
- оценка важности объекта о; ^ - оценка времени пребывания нарушителя на объекте о;
V - оценка минимального времени прибытия группы реагирования д. на объект о1;
рл - вероятность своевременного прибытия экипажа группы реагирования д. на охраняемый объект о .
В пункт централизованной охраны отдела вневедомственной охраны за короткий интервал времени поступают сигналы тревоги с п охраняемых объектов. Каждый объект имеет свою оценку важности V,, соответствующую уровню материальных ценностей или социальной значимости для населения, а также
оценку времени пребывания предполагаемого нарушителя £гн. В распоряжении дежурного пункта централизованной охраны имеется т экипажей группы реагирования, каждый из которых может доехать до любого сработанного объекта за определенное время Ц. Зная показатели и ^ , можно получить вероятности своевременного прибытия р.. экипажа группы реагирования а. на объект о..
Так как показатели ак и Рк не поддаются непосредственному измерению, их значения будут определяться экспертами методом попарных сравнений с использованием метода Саа-ти [5; 6]. Для сравнительной оценки необходима шкала, представленная в табл. 1. Помимо рангов, указанных в таблице, можно использовать и промежуточные значения 2, 4, 6, 8.
Таблица 1
Степень важности Определение Пояснения
0 Объекты не сравнимы Сравнение двух объектов бессмысленно
1 Объекты одинаково важны Оба объекта вносят одинаковый вклад в достижение поставленной цели
3 Один немного важнее другого (слабое превосходство) Есть некоторые основания предпочесть один объект другому, но их нельзя считать неопровержимыми
5 Один существенно важнее другого (сильное превосходство) Существуют веские свидетельства того, что один из объектов более важен
7 Один явно важнее другого Имеются неопровержимые основания, чтобы предпочесть один другому
9 Один абсолютно важнее другого Превосходство одного из объектов столь очевидно, что не может вызвать ни малейшего сомнения
Далее, опираясь на значения показателей V. и р.. , дежурный принимает такое управленческое решение по порядку проведения проверки объектов экипажами группы реагирования, при котором будет достигнут минимальный риск ущерба.
Учитывая вышесказанное, можно сделать вывод, что в условиях напряженной оперативной обстановки в сжатом временном интервале дежурный не может оперировать всеми показателями и достоверно определить минимальный риск ущерба на объектах. Поэтому целью данной работы является разработка математической модели в интересах принятия оптимальных управленческих решений.
Модель оценки важности объектов. Каждый объект характеризуется рядом признаков, влияющих на его важность, среди которых главными, как правило, выступают следующие: стоимость хранимых ценностей на объекте р, социальная важность объекта р2, социальная опасность объекта рз. Этот перечень в каждом конкретном случае может быть изменен, что не должно отразиться на сущности модели. Поэтому в интересах общности будем считать, что учитывается п признаков при оценке важности т объектов. Обозначим ак - приоритет г-го объекта по к-му признаку, Рк - приоритет к-го признака.
Решение задачи осуществляется в три этапа:
1) ранжирование признаков, т.е. определение значений параметров вк;
2) ранжирование объектов охраны по каждому признаку, т.е. определение значений параметров агк;
3) определение важностей объектов по формуле:
Шкала рангов попарных сравнений
На основании определенных экспертами рангов строятся матрицы парных сравнений относительной значимости признаков Ак с
элементами
к а7
где k
й„, ,номер признака, и Б с элементами1Ъг1=Ък/Ъ1. Следующий шаг заключается в вычислении векторов приоритетов = И УЬ=(!\,-, Ю-Вектор приоритетов представляет собой собственный вектор матрицы, который может быть найден как решение уравнения: БУ = XV, где X - собственное значение матрицы Б, У - собственный вектор матрицы Б.
В крупных городах количество охраняемых объектов исчисляется тысячами, поэтому получить экспертные оценки для каждого не является возможным. Решение этой проблемы заключается в объединении однородных охраняемых объектов в группы О. с помощью методов, описанных, например, в работе С.В. Бухарина, А.В. Мельникова [6]. Примеры групп: дома, квартиры, места хранения личного имущества граждан - О; школы, институты, детские сады - О2; учреждения здравоохранения - О3; места хранения оружия - О4 и другие.
Разработанная модель оценки важности объектов методом Саати позволяет построить последовательность групп охраняемых объектов по убыванию важности. Полученная информация будет полезна дежурному пункта централизованной охраны при анализе сложившейся оперативной обстановки, также эти оценки в дальнейшем важны для определения
оптимального порядка проверки сработанных объектов экипажами группы реагирования.
Математическая модель оптимизации распределения групп реагирования.
В рамках данной работы будем считать, что на охраняемый объект при поступлении сигнала тревоги направлено не более одного экипажа группы реагирования. Данное условие описано массивом Х=(х ,..., х ,..., х ), элементы ко-
4 1У * гу * пт"
торого принимают следующие значения:
х..= 1, если группа реогирования д.направляется на объект о; х = о, если иначе.
V
Массив X необходим для получения информации о том, какой именно экипаж группы реагирования д. направился на объект о,. Такая задача целераспределения математически описывается условием:
х„ < 1
7 = 1
Используя
Л"г] < 1 - экипаж группы реагирования 1 д. выдвигается только на один
™ объект;
N х - < 1 - на объект о/ выдвигается не более 1 J одного экипажа группы реагирования.
элементы массива X, выражение вероятности своевременного прибытия группы реагирования д на объект oi имеет вид при этом согласно теории вероятности риск совершения преступления на объекте oi в случае несвоевременного прибытия экипажа группы реагирования д. выглядит как 1 2^=1 Рц^*/.
Теперь, зная все показатели модели, а именно оценки важности объектов, оценки времени пребывания злоумышленников на объектах, временные оценки прибытия групп реагирования, вероятности своевременного прибытия экипажей групп реагирования на объекты, выведем формулу риска ущерба на объекте о:.
ние риска ущерба, является искомым элементом математической модели оптимизации распределения групп реагирования.
Максимальное паросочетание в двудольных графах. Задачу оптимального распределения групп реагирования можно привести к задаче нахождения максимального паросочетания в двудольных графах. Паросо-четанием в графе О =< У,Т > называется такое произвольное множество дуг М с Е, что никакие две дуги из М не инцидентны одной вершине. Под максимальным паросочетанием в двудольном графе понимается такое паросо-четание, для которого сумма весов дуг е е М имеет максимальное значение [7].
Пусть задан полный ориентированный двудольный граф Н =< У,Е >, множество вершин которого разобьем на два непересекающихся подмножества V = О п О, ОиО=0, где О э д1, д- экипажи группы реагирования, а О э о1, о2, оз - охраняемые объекты, с которых поступили сигналы тревоги (рис. 1). Необходимо отметить, что каждое ребро графа е е Е имеет вид е={дг, о,}, весом которого является величина с ^,,Ру, характеризующая вероятность своевременного прибытия экипажа группы реагирования дна объект о1 с уровнем важности V Возникает задача поиска максимального па-росочетания в заданной двудольной графе, для решения которой будет использован венгерский алгоритм [8].
Я^ъА!-
I
Рис. 1. Графовая модель распределения групп реагирования по объектам
.
Отсюда необходимо получить конечную формулу для определения оптимального распределения экипажей групп реагирования по сработанным объектам, другими словами, нужно найти аргумент X*, при котором риск ущерба по всем объектам в целом будет минимальным:
X* = Агдтт [ 1 —
Zm
/=1
Рчх
чч
После проведенных расчетов массив Х, при котором было достигнуто минимальное значе-
Венгерский алгоритм является алгоритмом оптимизации, решающим задачу о назначениях за полиномиальное время. Для его реализации необходимо интерпретировать граф Н в матрицу, элементами которой будут веса ребер графа с, (рис. 2 а). В нашей задаче необходимо найти такое паросочетание М, при котором сумма весов ребер е е М будет максимальным. В этом случае нужно модифицировать матрицу умножением всех элементов на (-1) и затем сложением их с максимальным элементом матрицы (например, с ) так, чтобы матрица не
Рис. 2. Матричная интерпретация реализации венгерского алгоритма
содержала бы отрицательных элементов. Для получения квадратной матрицы устраним дисбаланс, добавив третью строчку с нулевыми элементами (рис. 2б).
На первом шаге алгоритм проводит редукцию матрицы по строкам, т.е. вычитает минимальное значение матрицы (допустим (с21 — сп) из всех ее элементов построчно. Затем такая же операция редукции проводится по столбцам. В связи с этим во вновь полученной матрице в каждой строке и столбце будет как минимум один ноль, другими словами, получаем полностью редуцированную матрицу (рис. 2в). Далее алгоритм проводит поиск допустимого решения, для которого все элементы назначения имеют нулевую стоимость. Фиксируется первое допустимое значение - значение элемента (1,1), а остальные нулевые элементы первой строки и первого столбца вычеркиваются (рис. 2г). Поскольку расположение нулевых элементов в матрице не позволяет образовать систему из трех независимых нулей (в матрице их только 1), то решение недопустимое. Теперь необходимо провести модификацию матрицы, вычеркнув строки и столбцы с возможно большим количеством нулевых элементов: это строка 3 и столбец 1. Получаем сокращенную матрицу (элементы выделены), изображенную на рис. 2д. После этого минимальный элемент сокращенной матрицы (допустим (с — с)) вычитается из всех ее элементов и складывается с элементами, расположенными на пересечениях вычеркнутых строк и столбцов (рис. 2е). Далее повторяются шаги алгоритма до тех пор, пока не будет найдено возможное допустимое решение. Как видно из рис. 2е, допустимое решение уже найдено (образована система из трех независимых нулей): элементы (1,1), (2,2), (3,3), т.е. максимальное паросочетание будет достигнуто при направлении д1 на о1 и д1 на о. Элемент (3,3) не будет играть роли в целераспределении, так как его строка была добавлена с целью устранения дисбаланса матрицы. В итоге получим стах
=(с +с ).
4 11 22-1
Пример. Рассмотрим работу системы поддержки принятия управленческих решений дежурного ПЦН на примере деятельности ОВО по г. Прохладный Кабардино-Балкарской Республики. ОВО города обеспечивает имущественную безопасность около 400 объектов с помощью двух экипажей группы реагирования, осуществляющих ежедневное патрулирование.
Для работы полученного математического аппарата, а именно для расчета минимального времени прибытия группы реагирования на объект, необходимо составить граф дорожной сети города (рис. 3). Вершины графа, соответствующие опорным точкам на местности, указывающим на расположение охраняемых объектов, перекрестков дорог, мест нахождения групп реагирования (последние выбираются так, чтобы временем достижения группой реагирования близлежащей опорной точки можно было пренебречь), обозначены точками синего цвета. Дороги (вернее их полосы движения), соединяющие эти вершины, представляют собой ребра графа, соответствующие направлениям движения, а их весами будут являться временные оценки прохождения данного участка дороги: математическое ожидание и дисперсия. Необходимо также отметить, что ребра графа, соответствующие участкам дороги с заторами, будут иметь веса, равные средней скорости движения потока.
Предположим, что в течение короткого промежутка времени на пульт централизованного наблюдения ОВО по г. Прохладный поступили сигналы тревоги со следующих объектов: продуктовый магазин - оп, аптека - оа, ювелирный магазин - ою . Дежурный ПЦН при этом видит всю сложившуюся оперативную обстановку: места нахождения экипажей группы реагирования, наименования и места расположения сработанных объектов, уровень заторов на дорогах, наличие дорожно-транспортных происшествий, ремонтных работ и т.д. (рис. 4), после чего за кротчайший промежуток времени должен отдать указания экипа-
Рис. 3. Карта района г. Прохладного с нанесенным на дорожную сеть графом
жам группы реагирования по проверке объектов.
Задача принятия оптимального управленческого решения усложняется еще тем, что дежурный должен определить объект проверки не для каждого экипажа по отдельности, а в целом по сложившейся оперативной обстановке с целью снижения общего риска ущерба.
Так как расчет основных показателей рассматривался в работах [2; 3], в данной статье
он проводиться не будет. Поэтому введем уже рассчитанные исходные данные: оценки важности объектов: vм=0,l, vа=0,4, ^=0,6; оценки времени прибытия экипажей группы реагирования на охраняемые объекты (табл. 2); оценки времени пребывания предполагаемых нарушителей на охраняемых объектах (табл. 3); оценки вероятностей своевременного прибытия экипажей группы реагирования на охраняемые объекты (табл. 4).
Таблица 2
О м О а О ю а
gl 76 133 170 3,87
g2 195 98 123
Таблица 3
Ом м О а О ю
т н 180 140 120
а н 5,48 4,47 3,87
Таблица 4
О м О а О ю
g1 1 0,882 0
g2 0,013 1 0,292
После того как будут собраны исходные данные и рассчитаны основные показатели, модель выбора оптимального целераспреде-ления перейдет к расчету возможного общего риска ущерба согласно математической модели (2) методом венгерского алгоритма. Результат проведенного моделирования показал, что максимальное паросочетание было достигнуто при направлении первого экипажа группы реагирования на проверку аптеки, а второго -на проверку ювелирного магазина, хотя визуально кажется, что первый экипаж группы реагирования находится значительно ближе к продуктовому магазину, чем к другим.
Таким образом, нами получена модель выбора оптимального распределения групп реагирования по объектам защиты с применением численного метода, основанного на использовании венгерского алгоритма. Приведены результаты моделирования. Использование полученных моделей позволит увеличить безопасность территориально распределенных сложных систем. Разработанные модели рекомендуется использовать в деятельности вневедомственной охраны.
Библиографический список
1. Федеральный закон от 07.02.2011 г. № 3-ФЗ (ред. от 21.07.2014) «О полиции» // Собрание законодательства РФ. 14.02.2011. № 7. Ст. 900.
2. Меньших В.В., Калков Д.Ю. Автоматная модель действий злоумышленника на охраняемом объекте // Вестник Воронежского института МВД России. 2014. № 2.
3. Меньших В.В., Калков Д.Ю. Оценки своевременного прибытия группы задержания на охраняемый объект по сигналу тревоги // Вестник Воронежского института МВД России. 2014. № 3.
4. Вишняков Я.Д., Радаев Н.Н. Общая теория рисков : учебное пособие / 2-е изд., испр. М. : Издательский центр «Академия», 2008.
5. Саати Т. Принятие решений: Метод анализа иерархий: пер. с англ. М.: Радио и связь, 1993.
6. Бухарин С.В., Мельников А.В. Кла-стерно-иерархические методы экспертизы экономических объектов. Воронеж: Изд-во «Научная книга», 2012.
1. Federal'nyy zakon ot 07.02.2011 g. № 3-FZ (red. ot 21.07.2014) «0 politsii» (2011) [Federal Law approved on 07.02.2011 № 3-Federal law (amended on 07.21.2014) "On Police"] // Sobraniye zakonodatel'stva RF. 14.02.2011. № 7. St. 900.
2. Men'shikh V.V., Kalkov D.Yu. (2014) Avtomatnaya model' deystviy zloumyshlennika na okhranyayemom ob»yekte [Automated model of perpetrator behavior on the protected venue] // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. 2014. № 2.
3. Men'shikh V.V., Kalkov D.Yu. (2014) Otsenki svoyevremennogo pribytiya gruppy zaderzhaniya na okhranyayemyy ob»yekt po signalu trevogi [Estimated time of arrival of first response and detention teams after the alarm signal] // Vestnik Voronezhskogo instituta MVD Rossii. 2014. № 3.
4. Vishnyakov Ya.D., Radayev N.N. (2008) Obshchaya teoriya riskov : uchebnoye posobiye / 2-ye izd., ispr. [The general theory of risk: textbook / 2nd ed., rev. and add.]. Moscow: Izdatel'skiy tsentr «Akademiya».
5. Saati T. (1993) Prinyatiye resheniy: Metod analiza iyerarkhiy [Decision-making: Method of hierarchical analysis]. Moscow: Radio i svyaz'.
6. Bukharin S.V., Mel'nikov A.V. (2012) Klasterno-iyerarkhicheskiye metody ekspertizy ekonomicheskikh ob»yektov [Cluster and
7. Кристофидес Н. Теория графов. Алгоритмический подход. М.: Мир, 1978.
8. Липский В. Комбинаторика для программистов: пер. с польск. М.: Мир, 1988.
hierarchical methods of assessing business premises]. Voronezh: Izd-vo «Nauchnaya kniga».
7. Kristofides N. (1978) Teoriya grafov. Algoritmicheskiy podkhod [The theory of graphs: Algorithmic approach]. Moscow: Mir.
8. Lipskiy V. (1988) Kombinatorika dlya programmistov [Combinatorics for programmers]. Moscow: Mir.
