CC BY
138
УДК 510.644.4:519.23/.25:656.71 ББК В.1.2 О.5.1
ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМЫ ТРАНСФЕРНЫХ АВИАПЕРЕВОЗОК С УЧЕТОМ НЕЧЕТКОЙ И СТОХАСТИЧЕСКОЙ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ
Романенко В. А.1
(Самарский государственный аэрокосмический университет им. академика С.П. Королева (национальный исследовательский университет), Самара)
На основе комбинации нечетко-множественного и теоретиковероятностного подходов решена задача совместной оптимизации параметров расписания и графиков наземного обслуживания воздушных судов (ВС) для аэропорта, действующего в рамках трансферной системы авиаперевозок в условиях неопределенности. Рассмотрен модельный пример решения задачи.
Ключевые слова: параметрическая оптимизация, нечеткие числа, случайные величины, узловой аэропорт.
1. Введение.
Основными элементами трансферной системы пассажирских воздушных перевозок являются узловой аэропорт (хаб), играющий роль концентратора потоков пассажиров и обеспечивающий их массовые пересадки между рейсами, и одна или несколько хабообразующих авиакомпаний, осуществляющие продвижение пассажиропотоков через хаб. Главная цель формирования трансферной системы состоит в повышении коммерческих результатов деятельности ее организаторов за счет при-
1 Владимир Алексеевич Романенко, докторант, кандидат технических наук, доцент (vla_rom@mail.ru).
влечения дополнительного числа трансферных пассажиров, совершающих пересадку в хабе.
Важным конкурентным преимуществом предлагаемой хабообразующей авиакомпанией трансферной перевозки, способным привлечь трансферных пассажиров, является сбалансированная величина времени их пребывания в хабе, исключающая неприемлемо длительное ожидание, но при этом достаточная для обеспечения гарантированной пересадки на стыковочные рейсы. Под стыковкой рейсов понимается такое совмещение времени прибытия предыдущего рейса и времени отправления следующего рейса, которое обеспечивает трансферному пассажиру возможность пройти обслуживание в хабе и успеть на стыковочный рейс на определенной авиасвязи. Под авиасвязью понимается пара аэропортов, между которыми возможна воздушная перевозка, т.е. имеются регулярные воздушные линии. Трансферная авиасвязь - это авиасвязь, предполагающая наличие стыковки рейсов в аэропорту трансфера.
С целью увеличения числа стыковок хабообразующие авиакомпании формируют свое расписание в соответствии с так называемым волновым принципом, предполагающим организацию в хабе волн прибытий-отправлений рейсов. Каждая волна начинается массовым прибытием рейсов в хаб, за которым следуют пересадки трансферных пассажиров на стыковочные рейсы. Завершается волна таким же массовым отправлением рейсов из хаба. Обычно расписание хаба предполагает несколько волн прибытий-отправлений в течение определенного интервала времени (суток или недели).
Формирование расписания хаба представляет собой одну из задач управления авиаперевозками, которая в свою очередь может быть разделена на две подзадачи, состоящие в оптимальном распределении рейсов сначала по волнам, а затем - внутри каждой из волн. Рассмотрим вторую подзадачу, считая, что мы располагаем результатами решения первой подзадачи.
Предполагается, что необходимо найти совокупность плановых (по расписанию) моментов прилетов и вылетов ВС в пределах определенной волны, обеспечивающую максимум
суммарным доходам хабообразующей авиакомпании от перевозки трансферных пассажиров, пересаживающихся в хабе в течение рассматриваемой волны прилетов-вылетов.
Выбранная в качестве критерия величина суммарных доходов зависит от уровней пассажиропотоков и величин тарифов на трансферных авиасвязях. Понятие «тариф», используемое далее в рамках рассматриваемой задачи, требует уточнения. Необходимо иметь в виду, что на регулярных авиалиниях не существует единого фиксированного тарифа на перевозку пассажира определенным рейсом. Обычно авиакомпанией устанавливается ряд тарифов различных уровней, зависящих от класса обслуживания, категории пассажира, срока бронирования места, наличия скидок и т.п. При этом на одном и том же рейсе тарифы наиболее высокого и самого низкого уровней могут отличаться в несколько раз. Тарифу каждого уровня в салоне ВС соответствует определенная квота мест. Чтобы упростить решение задачи оптимизации расписания, каждой авиасвязи поставим в соответствие средневзвешенный тариф, учитывающий фактическое распределение пассажиров по местам, реализуемым по тарифам различных уровней.
Решение оптимизационной задачи связано с наличием неопределенности в исходных данных. Величины как пассажиропотоков, так и тарифов, определяющие доходы авиакомпании, носят неопределенный характер. Дело в том, что на этапе составления расписания, который предшествует началу выполнения перевозок, ни пассажиропотоки на авиасвязях, ни распределения пассажиров по уровням тарифов достоверно не известны. Кроме того, сами эти уровни могут испытывать труднопредсказуемые колебания, например, в результате проведения разного рода рекламных акций, использования специальных предложений и т.п. Фактическое число пассажиров, приобретших билеты на места по соответствующему действующему тарифу, определяется только в процессе продаж перевозок уже после формирования расписания. Таким образом, как фактический пассажиропоток, так и средневзвешенный тариф на авиасвязи на этапе
решения задачи оптимизации расписания являются величинами неопределенными.
Следует отметить, что использование математического аппарата теории вероятностей для описания неопределенности указанных величин возможно далеко не всегда. Причин здесь несколько. Необходимый для задания частотных распределений неопределенных величин объем статистических данных может отсутствовать, например, в случае открытия авиакомпанией новой авиалинии или установления новой трансферной авиасвязи. Накоплению статистики может препятствовать динамичное изменение сети авиалиний авиакомпании, когда авиасвязь поддерживается относительно непродолжительное время, в течение которого необходимый объем данных не может быть собран. Влияние на пассажиропоток и средневзвешенный тариф некоторых факторов, таких как, например, проведение рекламной акции с резким снижением тарифов, вообще трудно выразить в терминах теории вероятностей. Так или иначе, методика решения рассматриваемой оптимизационной задачи должна предусматривать возможность использования величин пассажиропотоков и тарифов, установленных не статистически, а путем экспертных оценок.
Неопределенной и трудноформализуемой является также степень привлекательности времени пребывания в хабе с точки зрения пересаживающегося пассажира, влияющая на уровень пассажиропотока. В большинстве случаев эта величина также определяется экспертно.
Неопределенными величинами являются также продолжительности наземного обслуживания ВС, пассажиров и багажа, которые необходимо учитывать при определении оптимальных плановых моментов прилетов и вылетов ВС. Отдельным источником неопределенности служат отклонения прилетов и вылетов от расписания, вызванные метеоусловиями, нарушениями технологического графика обслуживания рейсов, практикуемое авиаперевозчиками ожидание опаздывающих трансферных пассажиров и др. Как правило, для определения законов распределения случайных величин (СВ), имеющих природу времени,
таких как продолжительности технологических операций или интервалы отклонений от расписания, могут быть использованы статистические данные, накапливаемые в аэропорту. Во многих аэропортах, особенно крупных, источником статистики могут служить компьютерные базы данных их производственных информационных систем.
В исходных данных рассматриваемой задачи различимы два вида неопределенности - нечеткость, присущая ценовым показателям и производственным результатам работы авиакомпании, и случайность, свойственная технологическим параметрам, имеющим временную природу. Возможное представление всех неопределенных величин в единой, нечеткой, форме, существенно упрощающее решение оптимизационной задачи, привело бы к заметному снижению точности результатов. Включение в оптимизационный алгоритм блока имитационного моделирования вызвало бы чрезмерное увеличение затрат машинного времени. Поэтому предложенная методика решения задачи предполагает параллельное использование как нечетких чисел, так и частотных распределений, при этом операции с последними выполняются на базе численных методов. Сама задача оптимизации расписания сводится к задаче нечеткого математического программирования, решение которой, при незначительных затратах машинного времени, имеет точность, сравнимую с точностью, обеспечиваемой с помощью имитационного моделирования.
Как будет показано ниже, учет неопределенности временных характеристик аэропортового обслуживания рейсов требует включения некоторых из них в состав оптимизируемых параметров наряду с параметрами расписания. При этом задача оптимизации расписания преобразуется в задачу совместной оптимизации параметров расписания и технологических графиков аэропортового обслуживания перевозок.
Расписание движения самолетов является результатом решения комплекса задач управления авиаперевозками, описанию которых посвящено множество как отечественных, так и зарубежных работ, вышедших за последние шесть десятков лет.
Изложение математических методов и моделей управления воздушными перевозками представлено, например, в [2]. С внедрением трансферных систем перевозок на основе хабов, весьма чувствительных к разного рода случайным нарушениям расписания, возросло число исследований, где задачи управления перевозками решаются в вероятностной постановке. Одной из последних обобщающих работ, посвященной оптимизации расписания с целью сокращения нерегулярности, в том числе в хабах, является монография [10].
По мнению, автора методы теории нечетких множеств незаслуженно слабо используются при решении теоретических задач управления авиаперевозками. К сожалению, русскоязычные публикации по данной тематике отсутствуют, а иностранные очень немногочисленны и посвящены решению довольно узких и разрозненных задач. В статье [14] предложена нечеткая модель, предназначенная для оценки уровня качества обслуживания пассажиров в аэропорту. Задача оптимизации пропускной способности элементов аэродрома в [12] решена как задача математического программирования в нечеткой постановке. В [13] рассмотрен пример использования метода нечеткого критического пути для анализа и оптимизации технологических процессов обработки грузов в аэропортах.
2. Постановка задачи
Рассматривается отдельная волна прибытий-отправлений рейсов, в течение которой в хаб прилетают, проходят в нем обслуживание и затем вылетают K ВС заданных типов. Пусть, согласно существующей практике, перевозчик (или оператор аэропорта) имеет возможность по своему усмотрению задавать плановые моменты времени прибытия tka и отправления ^ £-го (£ = 1, ..., ^ ВС в течение рассматриваемой волны, а также такой параметр технологического графика наземного обслуживания ВС, как интервал времени Д^г от момента наступления готовности ВС к посадке пассажиров до планового времени вылета. Плановые величины tka и tkd, установленные расписани-
ем, и величина Д^г, установленная технологическим графиком, являются детерминированными. Наряду с плановыми, используем фактические - учитывающие отклонения от расписания, а, значит, стохастические - моменты времени прибытия Т^1 и отправления Tk к-го ВС в течение рассматриваемой волны. Детерминированные величины здесь и далее обозначены строчными буквами, стохастические - заглавными, а нечеткие -заглавными со знаком «тильда».
Используем, несколько видоизменив, нумерацию ВС для обозначения трансферных авиасвязей. Учитывая, что трансферная авиасвязь обеспечивается двумя рейсами, первым из которых трансферные пассажиры прибывают в хаб, а вторым -отправляются из хаба, будем для обозначения трансферной авиасвязи пользоваться парой индексов. Пусть у - трансферная авиасвязь, поддерживаемая двумя рейсами, первый из которых выполняет ВС под номером 7 = 1, ..., К, а второй - ВС под номером у = 1, ..., К. Заметим, что оба рейса могут выполняться одним и тем же ВС, что никак не влияет на постановку задачи. Далее одинарная индексация используется для обозначения определенного ВС, а двойная - трансферной авиасвязи.
Известными предполагаются нечеткие величины трансферных тарифов Су (будем считать, что здесь и далее речь идет только о средневзвешенных тарифах) и потенциальных пассажиропотоков Vjj на авиасвязях, 7,у = 1, ..., К.
Число ВС К, типы ВС, а также величины Vij, 7,] = 1, ..., К,
определяются предварительно в результате решения первой из двух упомянутых выше подзадач управления авиаперевозками. Величины Су устанавливаются экспертно и используются при
решении обеих подзадач. Кратко поясним суть первой подзадачи, один из вариантов постановки которой представлен в [7], уточнив при этом смысл некоторых введенных выше величин. Подзадача относится к категории задач нечеткого математического программирования и состоит в поиске оптимального распределения рейсов по волнам в хабе. Основными исходными
данными являются определяемые путем экспертных оценок нечеткие величины тарифов, расходов на выполнение рейсов, а также недельных уровней спроса на прямые и трансферные перевозки. Под недельным спросом понимается число потенциальных пассажиров, имеющих потребность и возможности совершить поездку на авиасвязи по установленному тарифу, которые могут обратиться к хабообразующей авиакомпании в течение недели. В ходе решения подзадачи имеющиеся у хабообразующей авиакомпании ВС распределяются по рейсам, а рейсы - по волнам, так чтобы обеспечить максимальную суммарную прибыль от выполнения перевозок на заданной сети авиалиний хаба в течение недельного интервала времени. Результаты включают такие характеристики каждой из волн, как число обслуживаемых в хабе ВС, тип каждого ВС, аэропорт отправления для прибывающего в хаб ВС, аэропорт назначения для отправляющегося из хаба ВС. Поскольку в процессе решения, помимо распределения рейсов по волнам, определяется также оптимальное распределение недельного числа потенциальных пассажиров по отдельным рейсам, то в состав результатов входят уровни потенциальных пассажиропотоков на авиасвязях для каждой из волн. Таким образом, под Vij,у = 1, ..., К,
будем понимать число потенциальных пассажиров, имеющих потребность и возможности совершить поездку на авиасвязи у по установленному тарифу, которых хабообразующая авиакомпания должна перевезти рейсами рассматриваемой волны. Итак, все перечисленные результаты решения первой подзадачи используются в качестве исходных данных второй подзадачи. Вернемся к ее описанию.
Необходимо учесть, что не все пассажиры, составляющие Vij, принесут доходы хабообразующей авиакомпании. Поскольку зачастую существует нескольких вариантов доставки пассажира из пункта 7 в пункт у, предлагаемых конкурирующими авиакомпаниями или видами транспорта, то часть пассажиров могут предпочесть перевозку, не предполагающую пересадку в рассматриваемом хабе. Фактором, влияющим на выбор пасса-
жиром перевозки с пересадкой в рассматриваемом хабе, будем считать плановую продолжительность пребывания пассажира в хабе. Эта продолжительность устанавливается расписанием и, таким образом, становится известной пассажиру заранее - до начала перевозки. Пассажиры, которых не устраивает длительность пересадки в хабе, откажутся от услуг перевозчика и не принесут ему экономических результатов.
Предполагается, что не принесут доходов авиакомпании пассажиры рейсов, выполненных с нарушением расписания, -отправленных с опозданием. Опоздание вылета связано с потерями для авиакомпании, в первую очередь вызванными деформацией или разрушением всей волновой схемы движения ВС.
Также предполагается, что не принесут доходов трансферные пассажиры, недостаточно оперативно обслуженные авиакомпанией в хабе и опоздавшие к посадке на ВС. Наличие таких пассажиров вызовет необходимость бесплатного бронирования им мест на последующих рейсах, размещения в гостинице, выплат в их адрес компенсаций и т.п.
Учитывая изложенные соображения, введем величину Щу,
выражающую нечеткое число пассажиров, воспользовавшихся перевозкой на авиасвязи у и при этом принесших доход авиакомпании:
(1) щ = урущ, /,у = 1,...,К,
где куП - доля пассажиров, воспользовавшихся трансферной перевозкой на авиасвязи у, от общего числа потенциальных пассажиров этой авиасвязи; к - доля вылетов у-х ВС, выполненных без нарушения расписания, от общего числа вылетов у-х ВС, зафиксированных за некоторый интервал времени; ку - доля трансферных пассажиров авиасвязи у, своевременно прошедших предполетное обслуживание в хабе и благодаря этому успевших к началу посадки на ВС, от общего числа трансферных пассажиров авиасвязи у.
Ниже будет показано, что все три участвующих в формуле
(1) коэффициента так или иначе зависят от tka и tkd, а коэффициент ккс - еще и от Д^г. Это означает, что нечеткое число пасса-
жиров на трансферной авиасвязи может рассматриваться в качестве функции параметров расписания и технологического графика Щц {(а ), i, у = 1, ., К.
С использованием введенных выше обозначений формула для нечеткой суммы доходов авиакомпании от перевозки трансферных пассажиров в течение одной волны прилетов-вылетов рейсов в хабе D запишется в виде
_ К К ____ _ / \
(2) 1_ = сщ), /■,у = 1,. .,К .
7=Х у=1
При решении оптимизационной задачи необходимо учитывать требования безопасности воздушного движения, согласно которым временные интервалы между взлетно-посадочными операциями (ВПО) на аэродроме не должны быть меньше заданного минимума Дгтт. Для формализованной записи данного ограничения вводится множество плановых моментов выполнения ВПО размерностью 2К с элементами гтВПО, т = 1, ..., 2К, определяемыми как
ВПО [С, т = i, i = 1,...,К,
т У*, т = К + у, у = 1,..., К.
В этом случае для всех т = 1, ., (2К - 1) должно выполняться условие безопасности
(3) Дт1П < |г„впо - ^ , и = (т + 1), ... , 2К.
Таким образом, рассматриваемая задача оптимизации состоит в определении переменных гка, гк и Д4Г, к = 1, ..., К, обеспечивающих максимум целевой функции D (2), и удовлетворяющих ограничению (3).
Два из трех коэффициентов, используемых при расчетах целевой функции D, зависят от фактической продолжительности процессов аэропортового обслуживания пассажиров и ВС. Поэтому, прежде чем перейти к описанию методики определения D, рассмотрим вопросы, связанные с технологией обслуживания перевозок в хабе.
3. Модельный график обслуживания ВС в хабе
Полный технологический график наземного обслуживания ВС в аэропорту включает несколько десятков операций, одни из которых выполняются в обязательном порядке, а другие - только в случае необходимости. Набор выполняемых операций, их последовательность и продолжительность зависят от типа ВС, категорий рейса и перевозки, насыщенности аэропорта средствами обслуживания и спецтехникой, сезона и т.д. Заметим, что наиболее полным составом операций отличаются технологические графики обслуживания ВС, выполняющих характерные для хаба обратные и транзитные рейсы, Использование математической модели полного графика приводит к значительному усложнению процедуры оптимизации, а в ряде случаев является вообще невозможным. Сформируем упрощенную модель графика, сделав его значительно менее детальным, для чего все технологические операции обслуживания ВС, выполняющего оборотный или транзитный рейс, объединим в четыре следующие работы.
Работа 1. Обслуживание ВС и его пассажиров, выполняемое по прилету в хаб (буксировка ВС, установка ВС на место стоянки, установка трапов, высадка пассажиров, выгрузка багажа).
Работа 2. Обслуживание ВС, выполняемое при отсутствии пассажиров на борту (заправка авиатопливом, спецжидкостями и газами; уборка салона и кабины; техобслуживание ВС).
Работа 3. Обслуживание трансферных пассажиров в терминале (досмотр, регистрация, перемещение в пределах пассажирского комплекса). Учитывая специфику организации обслуживания пассажиров в хабах, будем считать, что пассажиры, пересаживающиеся с одного ВС на другое, образуют группу, члены которой перемещаются и обслуживаются совместно. В этом случае под работой 3 для к-го ВС условно будем понимать совокупность работ по обслуживанию отдельных групп пассажиров, пересаживающихся с ряда прилетевших 7-х ^ = 1, ..., К) ВС на вылетающее к-е ВС.
Работа 4. Обслуживание ВС и его пассажиров, выполняемое перед вылетом из хаба (посадка пассажиров, погрузка багажа, закрытие дверей и люков, отгон трапов).
Выделяемые для выполнения перечисленных работ ресурсы аэропорта предполагаются настолько многочисленными, что время ожидания обслуживания считается пренебрежимо малым.
С учетом введенного группирования операций, модельный график обслуживания ВС принимает вид, представленный на рис. 1, где кружками обозначены события, а стрелками следующие работы и интервалы времени:
1-2 - интервал между плановым гк и фактическим Тк моментами времени прилета к-го ВС продолжительностью ДТка = Тк - гк. Значения ДТка могут быть как положительными, означающими опоздание ВС, так и отрицательными, соответствующими его раннему прибытию;
2-3 - работа 1 фактической продолжительностью ДТкП, начинающаяся сразу по прибытии ВС;
4-5 - работа 2 фактической продолжительностью ДТкс, начинающаяся сразу по окончании работы 1 и оканчивающаяся в момент времени Тк ;
5-6 - интервал времени простоя ВС в ожидании начала выполнения работы 4, имеющий фактическую продолжительность ДТк . Образование интервала обусловлено правилами формирования и выполнения технологического графика, в котором предусматривается жесткое задание интервала времени Дгкг от начала выполнения работы 4 до вылета. Посредством Дгкг задается плановый момент гк готовности ВС к началу выполнения работы 4, определяемый как гк = гк - Дгкг. Если выполнение работы 2 завершается раньше гк , то возникает необходимость в ожидании ВС начала выполнения работы 4, и фиктивная работа 5-6 имеет место. Если же наблюдается отставание от графика, когда работа 2 завершается позже гк , то фиктивная работа 5-6 не реализуется;
7-11 - работа 4 фактической продолжительностью ДТкв, начинающаяся, при соблюдении технологического графика, в момент гк или, в случае отставания от графика, - по окончании
работы 2. Фактическое время окончания работы 4 совпадает с фактическим временем готовности ВС к вылету Ткг*;
11-12 - интервал времени фактической продолжительностью ДТк4 между готовностью ВС к вылету ТкЛ и плановым временем вылета 7к*. Может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Положительная величина интервала означает ожидание ВС, отрицательная величина - опоздание вылета ВС;
8'-9' - технологические операции фактической продолжительностью ДТщ, по обслуживанию группы трансферных пассажиров, пересаживающихся с к-го на у-е ВС, у = 1, ..., К. Как отмечалось выше, они не входят в состав графика обслуживания к-го ВС, поэтому обозначены штрихами и приводятся здесь для справки;
8-9 - входящие в состав работы 3 технологические операции фактической продолжительностью ДТ7кт по обслуживанию группы трансферных пассажиров, пересаживающихся на к-е с 7-го ВС, i = 1, ..., К. Фактическое время окончания работ 8-9 -пг- . Предполагается, что на к-е ВС успевают только те группы трансферных пассажиров, для которых работа 8-9 завершается до начала выполнения работы 4 к-го ВС. Окончание обслуживания трансферных пассажиров, пересаживающихся на к-е ВС, до начала предполетных операций не является обязательным. Подобное предположение вполне отвечает практикуемой авиакомпаниями схеме взаимоотношений с клиентурой. Таким образом, событие 6 не связано с событием 9.
9-10 - интервал времени фактической продолжительностью ДТк3 между окончанием обслуживания трансферных пассажиров и плановым временем готовности ВС к выполнению предполетных операций. Может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Положительная величина означает ожидание пассажирами посадки, отрицательная величина -опоздание пассажиров, пересаживающихся с 7-го ВС, на посадку на к-е ВС.
Необходимо отметить, что в модельном графике намеренно не отражены операции, связанные с обслуживанием начальных
и конечных пассажиров. Дело в том, что решение рассматриваемой оптимизационной задачи не требует их учета. Сравнительно небольшое изменение времени прибытия или отправления, вызванное оптимизацией расписания, никак не скажется на количестве этих пассажиров, в отличие от количества пассажиров трансферных. Чтобы не усложнять модельный график, предположим, что наличие начальных и конечных пассажиров учтено во временных характеристиках работ 1 и 4. А их аэровокзальное обслуживание, в соответствии с применяемой технологией, происходит отдельно от трансферных пассажиров, и не влияет на временные характеристики обслуживания последних.
Рис. 1. Модельный технологический график обслуживания ВС
Как следует из представленного описания, модельный технологический график наземного обслуживания ВС в хабе не полностью соответствует стандартным требованиям, предъявляемым к сетевым графикам [5]. Так, он имеет не единственные исходные и завершающие события. Подобная нестандартность объясняется тем, что в узловом аэропорту, где происходят массовые пересадки пассажиров между ВС, графики обслуживания различных ВС связаны между собой посредством операций обслуживания пассажиров. Фактически графики обслуживания каждого из ВС слиты в единый сетевой график обслуживания
перевозок в течение волны и могут рассматриваться как его фрагменты.
4. Определение целевой функции
Наличие нечеткости в параметрах целевой функции приводит к необходимости решения многокритериальной задачи оптимизации, отличающегося значительной трудоемкостью и требующего больших затрат машинного времени. При этом отсутствие единственного решения делает задачу с нечеткой целевой функцией малополезной для аэропортовой практики. Чтобы избежать многокритериальности, производится дефазификация нечеткого значения целевой функции в соответствии с одним из известных методов. При использовании дефазифици-рованной целевой функции решение рассматриваемой здесь задачи не предполагает особых затруднений и достигается с помощью известных методов оптимизации. Предварительно, однако, необходимо установить зависимость нечеткой целевой функции от параметров оптимизации.
Как следует из формул (1) и (2), влияние параметров tka, tkd, Л^г, k = 1, ..., К, на критерий D выражается посредством коэффициентов ^ , к , ^ , /,] = 1, ..., К, поэтому первым этапом определения D на каждом шаге оптимизационного алгоритма является определение указанных коэффициентов. Последующие этапы предполагают сначала вычисление D в соответствии с правилами нечеткой арифметики, а затем дефазификацию этой величины. Рассмотрим подробно первый этап, поскольку для расчетов на последующих этапах могут быть использованы известные методики [6, 8].
Для определения коэффициента ку используем введенное выше допущение о его зависимости только от длительности времени пребывания трансферных пассажиров в хабе Л^Х = ^ - t1a. Выразим предпочтения трансферных пассажиров в отношении Л^Х посредством трапецеидальной функции жела-
тельности [1] X Х (г) с четырьмя реперными точками (г(1), г(2), г(3), г(4)) (рис. 2а) и будем считать £гП (г) = XХ(г).
\<д
ои____¡_
,0) ,(2) ,(3) ,(4) , Х1 ХД/ х
а) б)
Рис. 2. Трапецеидальная функция желательности (а), треугольная функция принадлежности (б)
Сочетания прибывших и отправляющихся рейсов со значениями АггуХ < г(1) не рассматриваются ни одним из трансферных пассажиров в качестве возможных стыковок по причине слишком малого времени, отводимого на пересадку. Напротив, значения Аг/ > г(4) предполагают чрезмерно продолжительное ожидание пересадки; желающих совершить перелет со столь длительным трансфером не находится. Наиболее комфортному времени пересадки - не слишком утомительному, с одной стороны, и достаточному для гарантированного выполнения всех этапов аэропортового обслуживания, с другой - соответствует интервал [г(2), г(3)]. В интервале [г(1), г(2)] число желающих совершить поездку возрастает, а в интервале [г(3), г(4)] - сокращается. Такое интуитивно понятное поведение трансферных пассажиров находит свое подтверждение в специальной литературе [11]. Выразим предпочтения авиапассажиров, совершивших или готовых совершить поездку с пересадкой в промежуточном аэропорту, функцией со следующими значениями параметров: г(1) = 45 мин., г(2) = 75 мин., г(3) = 90 мин. г(4) = 360 мин.
Прежде чем приступить к определению коэффициентов kf' и kiJ:, условимся считать ViJ■ и С^, ¡,] = 1, ..., К, нечеткими числами с треугольными функциями принадлежности. Следуя 300
обозначениям, использованным на рис. 2б, представим их в виде
~ =(уь,хМ,ук ) и С =(с£,см,с*).
У \ V ’ V ’ У / У \ У’ У ’ У /'
Процедуру определения и иллюстрирует рис. 2, где схематично отображены графики функций распределения необходимых стохастических временных характеристик.
о ґк 4 і
Рис. 3. К определению коэффициентов ¡С и
Величину ¡¡^ будем трактовать как вероятность Р(Т^ < 4^) того, что фактическая готовность к вылету ¡-го ВС наступит раньше планового момента вылета 4^. При наличии функции распределения Fkгd(t) случайного фактического времени готовности к вылету Т™ искомый коэффициент определяется как
¡с = р{т;л < ^)-F¡^‘ ^).
СВ Т представляет собой следующую сумму СВ:
(4) Т™ = Т™ + ЛТ¡в,
где Тгс - фактическое время готовности ВС к началу выполнения работы 4.
Судя по представленному технологическому графику, случайное время Т/с определяется как набольшее из двух значений времени - случайного Т^с и детерминированного 4-г:
т^ГС _ /т-7 КС .г\
Т = тах(Т , и.
При наличии известного закона распределения СВ Ткс, закон распределения СВ Тгс может быть установлен с помощью следующего выражения, устанавливающего связь между величинами р-квантилей распределений двух указанных СВ:
. ГС ( р) { >1 Р < FК (>Г)
‘ (р)"1>Г(р), РгFКС(tГ)
где FkKC(í) - функция распределения СВ Т/с; ¡¡КС(р), ¡¡ГС(р) -р-квантили распределений СВ Ткс и Тгс соответственно.
СВ Tk представляет собой следующую сумму:
(5) Ткс = Т/ + ATkп + АТС = ¡1 + АТ/ + АТП + АТС.
Коэффициент ¡¡т интерпретируем как вероятность того, что
готовность к посадке на ¡-е ВС трансферных пассажиров, пересаживающихся с 7-го ВС, наступит раньше, чем начнутся операции, выполняемые перед вылетом ¡-го ВС:
(6) ¡Т = р(тГТ < т¡с),
где
(7) ТГ = та + АТП + АТТ = + АТ а + АТ¡п + АТТ .
При определении АТ7к используем следующие допущения:
- величина АТ7к зависит от числа пассажиров в группе и от продолжительности выполнения наиболее трудоемкой операции по их обслуживанию, в качестве которой, по результатам обработки аэропортовой статистики, выбрана регистрация;
- продолжительность регистрации трансферного пассажира АТ“ас представляет собой СВ с математическим ожиданием М[АТ“ас], которая, как показал анализ статистических данных, может быть описана показательным законом;
- при определении АТ7к число пассажиров в группе считается четким, полученным путем дефазификации соответствующего нечеткого числа.
Введение допущений позволяет избежать неоправданного усложнения расчетной модели, сохранив уровень детализации, соответствующий модельному графику.
При определении нечеткой численности иш группы пассажиров, проходящих регистрацию, необходимо учесть, что в ее состав входят все пассажиры из числа Vik, кроме отказавшихся от перевозки по причине неудобного времени ожидания в хабе, т.е.
(8) ил = .
Учитывая допущения, представим АТ* в виде суммы
АТТ =^АТ ^
и7к
где и7к - округленное до целого дефазифицированное число пассажиров ик.
Распределение СВ АТ7кт, представляющей собой сумму и7к независимых СВ, каждая из которых распределена по показательному закону с одним и тем же параметром (М[АТпас])-1, описывается распределением Эрланга (и7к - 1)-го порядка с параметром (М[АТпас])-1. Функция распределения закона Эрланга легко определяется аналитически [3].
Изложенная в данном разделе методика совместно с формулами (1) и (2) позволяет определять нечеткое значение целевой
функции D для заданных ¡к, ¡к, А>кГ. Вычисления с участием нечетких чисел по формулам (1), (2) и (8) выполняются по правилам нечеткой арифметики.
Формулы (4), (5), (7) подразумевают необходимость вычисления закона распределения СВ, представляющей собой сумму нескольких СВ с известными законами распределения. Формула
(6) предполагает выполнение операции взятия максимума двух СВ. В общем случае такого рода задачи решаются только численно. Здесь использованы вычислительные алгоритмы, разработанные на основе методов гистограммной арифметики. Суть методов, изложенная например в [4, 9], состоит в представлении плотности распределения рассматриваемых СВ в виде гистограммы и численном выполнении над ними арифметических и других операций с получением результата, как правило, также в гистограммном виде. Гистограммные вычисления позволяют
избежать необходимости использования имитационного моделирования методом Монте-Карло, при всех своих достоинствах обладающего низкой скоростью сходимости и требующего значительных затрат машинного времени. Эта особенность гистограммных вычислений делает особенно удачной их комбинацию с нечеткими вычислениями.
Дефазификация нечетких значений D и иш производится по методу центра тяжести [8].
5. Пример решения оптимизационной задачи
Ниже приведен пример оптимизации параметров модельной трансферной системы перевозок на базе одного из крупных аэропортов РФ. Рассмотрена волна прилетов-вылетов, в формировании которой участвуют 10 ВС. Нечеткие данные по потенциальному пассажиропотоку приведены в таблице 1 и выборочно на рис. 4. В целях экономии места в таблице 1 приведены только значения Vij , соответствующие ядрам нечетких множеств Vij. Прочерки означают авиасвязи, к которым отсутствует интерес со стороны потенциальных пассажиров.
Таблица 1. Характеристики трансферных авиасвязей, /СуМ
Графики функций принадлежности (у) для некоторых
авиасвязей, в качестве иллюстраций представленные на рис. 4а, говорят о значительном разбросе уровней возможного пассажиропотока. Модельное суммарное число потенциальных трансферных пассажиров составляет V = (192; 558; 1238) пас. Соотношение между пассажиропотоками на авиасвязях установлено с использованием статистических данных аэропорта, однако абсолютные значения числа трансферных пассажиров в модели значительно превышают фактические. Модельные данные по трансферным тарифам, выраженным в некоторых условных единицах, представлены в таблице 1 и на рис. 4б.
В модельном примере все ВС разделены на две категории, различающиеся пассажировместимостью и временными параметрами технологического графика. ВС I категории, к которым отнесены последние 3 ВС, считаются большими, требующими больших затрат на аэропортовое обслуживание. Графики функций распределения времени выполнения работ 1, 2 и 4 для обеих категорий ВС представлены на рис. 5. На указанном рисунке приведен также пример вероятностного распределения отклонений времени прилета одного из ВС (к = 2) в хаб. Источником исходной информации по длительностям выполнения работ и
нерегулярности прибытий послужила статистика базы данных информационной системы аэропорта.
О 20 40 60 V, пас. 13 15 17 19 с, у.е.
а) б)
Рис. 4. Примеры нечетких исходных данных
Вероятностное распределение времени обслуживания одного трансферного пассажира со средним значением около
0,5 мин., использованное в модельном примере, получено по результатам непосредственных наблюдений в ряде аэропортов. Г рафик функции указанного распределения не приводится из-за слишком мелкого масштаба рис. 5.
Минимальный модельный интервал времени между ВПО принят равным ЫГт = 1 мин., что соответствует пропускной способности элементов летной полосы рассматриваемого аэропорта.
Модельное расписание прилетов и вылетов ВС в течение рассматриваемой волны, составляющее главный результат решения оптимизационной задачи, представлено в таблице 2. В расписании за начало отсчета принят наиболее ранний момент прибытия ВС. Для наглядности расписание воспроизведено также в виде линейчатой диаграммы на рис.6, где длина каждого прямоугольника и его смещение вдоль горизонтальной оси
отражают временные характеристики пребывания соответствующего ВС в хабе.
Fit; 1,00
0,75 0,50 0,25 0,00
-20 0 20 40 t, мин.
Рис. 5. Функции распределения временных характеристик
Таблица 2. Оптимальное модельное расписание
k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ta ‘k ’ мин 30 15 19 24 11 20 9 0 1 6
td ‘k ’ мин 104 92 99 101 83 112 95 91 105 116
-20 0 20 40 60 80 100 I мин.
Рис. 6. Оптимальное модельное расписание
Решение модельной задачи было получено при наличии дополнительного ограничения, предполагающего равенство величин Atk для всех ВС одной категории. Оптимальные значения составляют для ВС I категории Д^ = 39 мин. и - для ВС II категории Д^/ = 35 мин., что вполне соответствует практике.
Оптимальное расписание наглядно отражает групповой характер движения ВС, являющийся одним из атрибутов хаба. ВС прибывают и отправляются тесными группами с малыми интервалами между ВПО, что требует высокой пропускной способности элементов летной полосы и технологических комплексов хаба. В среднем ВС I категории прибывают раньше, чем ВС II категории, и вылетают несколько позже, что объясняется большими временными затратами на их обслуживание.
Прокомментируем некоторые особенности модельного расписания. Значительно более поздний прилет и краткое время пребывания в хабе 1-го ВС объясняется малым числом трансферных авиасвязей, пассажиров которых перевозит рассматриваемое ВС. Как следует из таблицы 2, на 1-м ВС в хаб прибывают, кроме пассажиров, следующих далее транзитом, лишь пассажиры, пересаживающиеся на 6-е ВС. Это означает, что 1-е ВС может прибыть в хаб значительно позже других, чтобы
только «успеть» передать пассажиров на 6-е ВС. При этом, поскольку трансферные пассажиры с других ВС не пересаживаются на 1-е ВС, оно может не «ожидая» вылететь сразу же по завершении собственного обслуживания.
Более раннее прибытие 5-го ВС среди ВС II категории объясняется большим числом трансферных пассажиров, пересаживающихся с 5-го на 3-е ВС. Обеспечив эту пересадку и не имея большого числа вылетающих пассажиров, совершающих трансфер с других ВС, 5-е ВС может вылететь раньше других.
Аналогичными причинами объясняется ранний прилет 7-го ВС. Однако, в отличие от 5-го ВС, оно вынуждено «ждать» большое число «дорогостоящих» пассажиров с других ВС, чем объясняется его самое длительное пребывание в аэропорту среди ВС II категории.
В таблице 3 представлены полученные для рассмотренного набора исходных данных значения коэффициентов ^ ^ ^ .
Оптимальное решение обеспечивает значения коэффициента ^ , отражающего степень удовлетворенности пассажиров временем пребывания в хабе, не ниже 0,86. Самое большое относительное число опоздавших на стыковочный рейс пассажиров (самые низкие значения коэффициента ^ ) на авиасвязях с наибольшим числом пассажиров, где причиной опоздания являются большие временные затраты на обслуживание пассажиров. Судя по полученным значениям ^ , доля рейсов, для которых существует возможность вылета с опозданием, не превышает 4%. Полученные значения коэффициентов представляются вполне приемлемыми, не противоречащими практике.
Таблица 3. Результаты оптимизации
к,П / к/ кС
V і \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 0,99 1,00 - - - - 1,00 1,00 - - - - 0,96
2 - - - - 0,95 1,00 - 1,00 1,00 - 1,00 1,00 0,92 1,00 0,97
к,П / к,Т кС
V і \ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
3 - - 1,00 1,00 1,00 1,00 - - - 0,97 1,00 - - 0,97
4 - - - 1,00 1,00 - - - - 1,00 0,99 0,99 1,00 0,97
5 - - 1,00 0,99 - - - - 1,00 1,00 - - 0,96
6 - 0,98 1,00 - - - 0,98 1,00 1,00 1,00 - 1,00 0,99 - 0,97
7 - - - 0,98 0,99 - - - - - - 0,98
8 - 0,91 1,00 - - 0,99 1,00 0,89 1,00 0,96 1,00 - - 0,86 0,98 0,96
9 - 0,92 1,00 - - - - 0,95 1,00 - 0,91 1,00 - 0,97
10 - 1,00 0,98 - - - - 1,00 0,97 1,00 0,99 3 9 о1 о" - 0,98
Оптимизация расписания позволила в целом сохранить потенциальный трансферный пассажиропоток. Так, полученное модельное нечеткое суммарное число трансферных пассажиров, принесших доходы авиакомпании в течение волны, составившее Wоpt = (182; 520; 1148) пас., всего на 6-8% меньше их заданного
потенциального числа.
Оптимальное решение обеспечило значение нечеткого критерия Dopt =(1226; 7638; 17803) у.е. С целью оценки эффекта от
оптимизации, был произведен расчет величины С для исходных данных, имитирующих традиционное расписание не узлового аэропорта. Предполагалось, что описанные выше ВС прибывают в аэропорт в порядке возрастания номеров через каждые 10 мин., проходят обслуживание в течение 2 ч., а затем в той же последовательности через каждые 10 мин. вылетают из аэропор-
та. Определенное в этом случае нечеткое значение целевой функции составило D = (647; 4018; 9403) у.е., что почти в 2 раза ниже оптимального значения. Таким образом хабообразующая авиакомпания имеет возможность существенно повысить собственные доходы только за счет оптимизации расписания без каких бы то ни было финансовых затрат.
Продолжительность решения рассмотренной задачи оптимизации с использованием современной персональной вычислительной техники не превысила 12 мин.
6. Заключение
Представленные результаты подтверждают правомерность постановки и работоспособность предложенного алгоритма решения задачи совместной оптимизации параметров расписания и технологических графиков обслуживания ВС для аэропорта, действующего в рамках трансферной системы перевозок. Сочетание теоретико-вероятностного и нечетко-множественного подходов позволяет на базе стандартной вычислительной техники быстро получать оптимальные решения, учитывающие неопределенность исходных данных, доступных в условиях работы реальных аэропортовых и авиатранспортных предприятий.
Следует помнить, что рассмотренная задача является только одной из составляющих общей проблемы управления авиаперевозками в рамках трансферной системы, включающей такие оптимизационные подзадачи, как расстановка ВС по авиалиниям с учетом величин прямых и трансферных пассажиропотоков; определение частот движения ВС; распределение рейсов по интервалам времени, соответствующим волнам их прибытий-отправлений в хабе и др. Являясь итоговым этапом в процессе решения последовательности перечисленных задач, рассмотренная задача, несмотря на частный характер, имеет особую значимость. Ее грамотное решение служит залогом успешной реализации оптимальных решений всех предыдущих задач и, таким образом, позволяет обеспечить эффективность всей трансферной системы воздушных перевозок.
Литература
1. АДЛЕР Ю.П., МАРКОВА Е.В., ГРАНОВСКИЙ Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. - М.: Наука, 1976. - 279 с.
2. АНДРОНОВ А.М., ХИЖНЯК АН. Математические методы планирования и управления производственнохозяйственной деятельностью предприятий гражданской авиации. - М.: Транспорт, 1977. - 215 с.
3. ВАДЗИНСКИЙ Р.Н. Справочник по вероятностным распределениям. - СПб.: Наука, 2001. - 295 с.
4. ГЕРАСИМОВ В.А., ДОБРОНЕЦ Б.С., ШУСТРОВ М.Ю. Численные операции гистограммной арифметики и их применения // Автоматика и телемеханика. - 1991. - №2. -С. 83-88.
5. ГОЛЕНКО Д.И. Статистические методы сетевого планирования и управления. - М.: Наука, 1968. - 400 с.
6. ДЮБУА Д., ПРАД А. Теория возможностей. Приложения к представлению знаний в информатике. - М.: Радио и связь, 1990. - 288 с.
7. ПОТАПОВ И.В., РОМАНЕНКО В.А. Синтез оптимального управления трансферными авиаперевозками методами математического программирования // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2011. - №3 (19). - С. 75-87.
8. РУТКОВСКАЯ Д., ПИЛИНЬСКИЙ М., РУТКОВСКИЙ Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. - М.: Горячая линия-Телеком, 2006. - 452 с.
9. BERLEANT D. Automatically verified reasoning with both intervals and probability density functions // Interval Computations. - 1993. - №2. - P. 48-70.
10. CHENG-LUNG WU Airline operations and delay management : insight from airline economics, networks, and strategic schedule planning. - Ashgate, 2010. - 241 p.
11. DANESI A. Spatial concentration, temporal co-ordination and profitability of airline hub-and-spoke networks. Ph.D. thesis. -Universita di Bologna, 2006. - 143 p.
12. TEODOROVIC D., TRANI A., KANE A., BAIK H. Fuzzy mathematical programming model for optimizing airport capacity utilization // Journal of Air Transport Management. - 2002. -Vol. 8. - P. 73-87.
13. TZEU-CHEN HAN, CHENG-CHI CHUNG, GIN-SHUH LIANG Application of fuzzy critical path method to airports cargo ground operation systems // Journal of Marine Science and Technology. - 2006. - Vol. 14, №3. - P. 139-146.
14. YEH C.H., KUO Y.L. Evaluating passenger services of Asia-Pacific International Airports // Transportation Research. -2003. - Part E 39. - P. 35-45.
OPTIMIZING PARAMETERS OF TRANSFER AIR TRANSPORTATION SYSTEM TAKING INTO ACCOUNT FUZZY AND STOCHASTIC UNCERTAINTIES
Vladimir Romanenko, Samara State Aerospace University n.a. academician S.P. Korolyov (National Research University), Samara, Cand. Sci., associate professor, doctoral student (vla_rom@mail.ru).
Abstract: The fuzzy sets theory and probability theory are combined to solve a joint optimization problem of an aircrafts ’ timetable and a ground handling schedule for a hub-and-spokes system under uncertainty. A model example is considered.
Keywords: parametric optimization, fuzzy numbers, random numbers, hub airport.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В. В. Клочковым
