CC BY
11
№ 12 (81)
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
декабрь, 2020 г.
ОПТИМИЗАЦИЯ ОСЕСИММЕТРИЧНЫХ УСЕЧЕННЫХ КОНИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК
Якубов Сабир Халмуродович
профессор
Каршинский инженерно-экономический институт, Республика Узбекистан, г. Карши E-mail: sabiryakubov@mail. ru
Латипов Зухриддин Ёкуб угли
ст. преподаватель Каршинский инженерно-экономический институт, Республика Узбекистан, г. Карши E-mail: zuhriddin. [email protected]
Холиёрова Хилола Комил кизи
ассистент
Каршинский инженерно-экономический институт, Республика Узбекистан, г. Карши
OPTIMIZATION OF AXISYMMETRIC TRUNCATED CONICAL SHELLS
Sabir Yakubov
Prof of Karshi engineering and economics institute,
Uzbekistan, Karshi
Zuhriddin Latipov
Senior lectures of Karshi engineering and economics institute,
Uzbekistan, Karshi
Xilola Xoliyorova
Assistent of Karshi engineering and economics institute,
Uzbekistan, Karshi
АННОТАЦИЯ
В народном хозяйстве широкое применение находят тонкостенных конструкций типа оболочек, это приводит к тому, что к ним предъявляются все более жесткие требования, которые связаны не только с экономией средств, материалов при возведении различных сооружений, но и с созданием конструкций минимального веса. В связи с этим актуальной задачей является проектирование конических оболочек минимального веса.
ABSTRACT
In the national economy, thin-walled structures such as shells are widely used, this leads to the fact that more and more stringent requirements are imposed on them, which are associated not only with saving money and materials during the construction of various structures, but also with the creation of structures of minimum weight. In this regard, an urgent task is the design of conical shells of minimum weight.
Ключевые слова: алгоритм, математические программирования, весовая оптимизация, конструкция, конические оболочки, толщина, целевая функция, минимальный вес
Keywords: algorithm, mathematical programming, weight optimization, design, conical shells, thickness, objective function, minimum weight.
Для решения разнообразных оптимизационных задач создан и бурно развивается аппарат математического программирования: линейного нелинейного, динамического, а также методы случайного поиска. Созданные на базе этих методов алгоритмы и программы позволяют решать определенные подклассы оптимизационных задач, которые тем шире,
чем универсальные алгоритмы. В общем виде задачи математического программирования ставятся следующим образом [1]. Требуется определить значения оптимизируемых параметров X = (х, X,•••, хп), сообщающих целевой функции
Библиографическое описание: Якубов С.Х., Латипов З.Ё., Холиёрова Х.К. Оптимизация осесимметричных усеченных конических оболочек // Universum: технические науки : электрон. научн. журн. 2020. 12(81). URL: https://7universum.com/ru/tech/archive/item/11128 (дата обращения: 24.12.2020).
№ 12 (81)
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
декабрь, 2020 г.
F(X) минимум (максимум) при соблюдении ограни-
чении
f (X) < 0, i = (0,m);j
fj (X) = о, j = (0д). J
(1)
Ограничения (1) образует некоторую область D существования решения оптимизационной задачи. Не уменьшая общности, задачи математического программирования можно записать в виде:
F(X)min = F(X*) < F(X);!
X е D. J
(2)
Универсальность алгоритма зависит от требований, предъявляемых к целевой функции и ограничениям, накладывающим алгоритм для успешного решения задачи (2). Так методы линейного программирования требуют линейности, а нелинейного -выпуклости F(X) и ограничений (1). Алгоритмы случайного поиска более универсальны, т.к. не предъявляют жестких требований к виду задачи (2) и могут решать многоэкстремальные задачи с невыпуклой многосвязанной областью D [1].
Оптимизационные задачи, в частности задачи оптимизации инженерных конструкций, как видно из анализа [1-4], предполагают использование широкого класса методов математического программирования от симплекс-алгоритма до глобальных алгоритмов случайного поиска. Постановка задач оптимизации и обратных задач расчета конкретных конструкций позволяет унифицировать методы их решения на основе применения перечисленных методов [1]. Стоит отметить, что подобные задачи обладают рядом особенностей по сравнению с абстрактными задачами математического программирования, что позволяет разработать новые алгоритмы или модифицировать известные методы с ускоренной сходимостью. Из этих особенностей можно выделить следующее. Во-первых, при весовой оптимизации конструкций минимум целевой функции всегда находится на одном или пересечении ограничений по прочности, жесткости, устойчивости рассматриваемых конструкций. Эта особенность позволяет производить параметрическую адаптацию алгоритмов поиска. Во-вторых, задача прямого расчета конструкции, как правило требует на несколько порядков больше затрат машинного времени, чем вычисление целевой функции. Отсюда - возможность структурной адаптации алгоритмов с целью максимально уменьшить количество прямых расчетов конструкций. В - третьих, как прямые расчеты, так и
обратные и оптимизационные для достаточно сложных конструкций производится при помощи численных методов. При этом очевидна целесообразность соотношения точности расчетной модели (которая может выражаться в количестве членов ряда координатных функций, узлов разностной сетки, конечных элементов) и положения поисковой системы в области поиска.
Практическая необходимость при проектировании различных объектов, в том числе, и инженерных конструкций, решать различные типы оптимизационных задач привела к созданию библиотек оптимизирующих программ, пакетов прикладных программ различных уровней и назначения. Собрание в одном пакете различных алгоритмов увеличивает класс решаемых оптимизационных задач, что, естественно, приводит к повышению эффективности применения компьютерной техники.
Инженерные конструкции и сооружения, включающие в себя конические оболочки, широко применяются в таких важных отраслях народного хозяйства, как ракетостроение, самолетостроение, турбостроение и т.д.
Так как к ним предъявляются все более жесткие требования связанные не только с экономией средств, материалов при возведении различных сооружений, но и с созданием конструкций минимального веса. В связи с этим актуальной задачей является проектирование конических оболочек минимального веса.
Весовая оптимизация инженерных конструкций предусматривает минимизацию веса этих конструкций при воздействии на них заданных систем внешних сил с соблюдением условий сохранения необходимой прочности, устойчивости, жесткости конструкций [2, 3].
Задача в общем виде может быть записана так:
F(x) = G ^ min;
Gmax <М ; P < P •
max _ kp'
Umax <[U 1,
(3)
где G - вес конструкции;
tf max - максимальные напряжения в конструкции; [а] - допускаемые напряжения; Pmax - максимальная сжимающая сила; Ркр - критическая сила;
Umax - максимальные перемещения в конструкции;
[U] - допускаемые перемещения.
№ 12 (81)
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
декабрь, 2020 г.
Рисунок 1. На высоту оболочки и величину радиуса отверстия при вершине (рис.1)
накладываются ограничения
Проверка ограничений (3) возможна лишь после решения системы дифференциальных уравнений равновесия или движения рассматриваемых конструкций с соответствующими начальными или граничными условиями.
Задача оптимизация конических оболочек ставится следующим образом [4]. Требуется перекрыть окружность радиусом R конической оболочкой, способной выдержать действующие внешние нагрузки Z(a) и Х(а), которая при этом будет иметь минимальный вес. На высоту оболочки и величину радиуса отверстия при вершине (рис.1) накладываются ограничения.
При этом вес оболочки - минимизируемая функция
a
G = 2пsinа-h(a)da
(4)
где у- удельный вес материала оболочки.
Оптимизируемые параметры такие: угол конусности оболочки О; координата отверстия при вершине а0; параметры, определяющие толщину оболочки. Система ограничений следующая:
О <О<О ;
h < h < h ;
min — — ' «max 5
Hmin < H < Hmax
r < r < Г '
min max'
^ <H;
_ a0 R
ao = —;a =—77 a sin 0
где аг интенсивность напряжений, определяемая по формуле
V2 2
+ а
(5)
Напряжения ар и аа вычисляются после решения прямой задачи расчета осесимметричной конической оболочки.
При решении приведенных ниже задач количество узлов сетки N принималось равным 50. Задачи решались при следующих значениях физических и геометрических характеристик оболочки:
Е=2,1106 кг/см2; у=0,3; [а]=2000 кг/см2; у=0,0078 кг/см3; R= 100 см.
Оболочка имеет жесткое защемление по обоим контурам. Оптимизация производилась с точностью 8=0,5%. Решены следующие задачи:
Задача 1. Произвести оптимизацию оболочки постоянной толщины под равномерно распределенной нормальной нагрузкой
7 = 10кг / см2; X = 0.
Система ограничений такая:
п/ 4 <О< 1,57;
0,1 <а < 0,5;
0 < И < 5см;
0 < Н < 100см;
10см < г < 50см; а < [а].
Результаты расчетов приведены в таблице 1.
R_ tg®
H = - a cos 0; г = а - cos ®-
2
=
№ 12 (81)
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
декабрь, 2020 г.
Таблица 1
Результаты расчетов
В лок. мин. G, кг О, рад. а0 h, см аГ кг / см2
1 200,94 1,1545 0,50 1,00 1999,3
2 435,98 1,5700 0,50 2,3723 1988
Задача 2. Оболочка постоянной толщины имеет Х=10-гоз@ кг/см2. Остальные параметры те же, что
нагрузку Z=10•sin@ кг/см2; и в задаче 1. Результаты расчетов приведены в табл. 2.
Таблица 2.
Результаты расчетов
В лок. мин. G, кг 0 а0 H, см amax кг / см2
1 198,16 1,18756 0,500 1,00 1996,6
2 255,78 1,1938 0,1717 1,000 1992
3 442,37 1,5686 0,500 2,407 1930
Задача 3. Оболочка линейно-переменной толщины находится под нагрузкой 2 = 10кг / см ; Х = 0. Толщина оболочки определяется по формуле
h = h0 + h
а-а
а - а
(6)
Ограничения следующие:
0,785 <©< 1,57;
0,1 <а < 0,5; 1 < h < 3см; 0 < H < 100; а. < Га1.
Результаты расчетов приведены в табл. 3.
Таблица 3.
Результаты расчетов
В лок. мин. G, кг 0 а0 ho, см hi, см amax кг / см2
1 182,19 1,0335 0,500 1,00 -0,2671 1996
2 241,48 0,9196 0,1320 1,00 -0,3222 1971
3 374,23 1,2998 0,1186 1,7285 -0,3739 1896
Задача 4. Определить минимальный вес оболочки Параметры и ограничения, как в задаче 3
линейно-переменной толщины под нагрузкой Результаты даны в таблице 4.
Z = 10 • sin Окг / см2; Х = 10 • cos Окг / см2.
Таблица 4.
Результаты
В лок. мин. G, кг 0 а0 ho, см hi, см amax кг / см2
1 164,34 0,9282 0,500 1,0438 -0,5897 1998
2 218,91 1,2056 0,500 1,0000 0,2026 1992
3 428,97 1,5700 0,500 2,4885 -0,2778 1991
4 499,03 1,5700 0,500 2,1692 0,4933 1998
Задача 5. Оптимизировать коническую оболочку, толщина которой меняется по закону
h = h + h sin
а-а г а-а -— + h--
а -а
а -а
(7)
Компоненты нагрузки имеют значения: 2 = 10кг/см2;Х = 0 . Ограничения такие:
0,785 <0< 1,57; 0,1 < 0,5; 1 < h <3; -1 < h < 1; -1 < h2 < 1; 0 < H < 100; 10 < r < 50; а < Га!
№ 12 (81)
AunÍ J-Ш, те:
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
декабрь, 2020 г.
Результаты расчетов приведены в табл. 5.
Таблица 5.
Результаты расчетов
В лок. мин. G, кг 0 ä0 h0, см h1, см h2, см of* кг / см2
1 186,25 1,0751 0,5000 1,0000 -0,10577 -0,0743 1999,98
2 209,75 1,0980 0,5000 1,0824 0,3959 -0,5732 1957
3 279,64 1,1557 0,4631 1,8750 -1,0000 0,1624 1988
4 328,01 1,2311 0,5000 1,0000 0,5002 0,6558 1972
5 435,09 1,5666 0,5000 2,4945 -0,4954 -0,7966 1939
6 306,83 1,1945 0,2392 1,2163 0,5443 -0,5439 1978
Кривые Gi(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся на рис. 2.
Рисунок 2. Кривые oi(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся
Задача 6. Оптимизировать коническую оболочку, z = 10 • sin ®кг / см2; Х = 10 • cos ®кг / см2.
с толщиной переменной, определяемой по формуле
(7), под нагру3кой Результаты расчетов приведены в таблице 6.
Таблица 6.
Результаты расчетов
В лок. мин. G, кг 0 а0 he, см h1, см h2, см of", кг / см2
1 145,15 0,8693 0,5000 1,000 -0,4656 -0,1805 1999,9
2 379,36 1,3587 0,5000 2,347 -1,0000 0,7254 1982
3 183,26 0,9374 0,5000 1,000 -0,8034 0,5670 1982
4 143,13 0,8205 0,5000 1,000 -0,2729 -0,4618 1999,97
5 172,32 0,9331 0,1497 1,000 -0,5635 0,1015 1947
6 411,20 1,5700 0,5000 3,016 -0,7621 -0,5295 1962
Кривые ai(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся на рис. 3.
Рисунок 3. Кривые oi(a), соответствующие 1,5,6 минимумам, приводятся
№ 12 (81)
universum:
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
декабрь, 2020 г.
Задача 6. Оптимизировать коническую оболочку, с толщиной переменной, определяемой по формуле (7), под нагрузкой
Z = 10 • sin ®кг / см2; Х = 10 • cos ®кг / см2. Результаты расчетов приведены в табл. 7.
Таблица 7.
Результаты расчетов
В лок. мин. G, кг © ао ho, см hi, см h2, см of", кг / см2
1 145,15 0,8693 0,5000 1,000 -0,4656 -0,1805 1999,9
2 379,36 1,3587 0,5000 2,347 -1,0000 0,7254 1982
3 183,26 0,9374 0,5000 1,000 -0,8034 0,5670 1982
4 143,13 0,8205 0,5000 1,000 -0,2729 -0,4618 1999,97
5 172,32 0,9331 0,1497 1,000 -0,5635 0,1015 1947
6 411,20 1,5700 0,5000 3,016 -0,7621 -0,5295 1962
Результаты вычислительных экспериментов по оптимизации осесимметричных усеченных коническую оболочку свидетельствует о том, что все найденные минимумы целевых функции находились на грани прочности и устойчивости, тогда как значения их весов значительно отличаются. Иначе говоря, обе исследуемые конструкции, обладая одинаковым запасом прочности, отличаются более 20%.
Применение для конических оболочек переменной толщины (в виде различных законов Ъ (а)) позволило в ряде случаев снизить вес конструкции ~ 27% по сравнению с оболочками постоянной толщины, что говорит оптимизация целесообразности применения переменной толщины, постановки и решения задач оптимизации при проектировании специальных оболочек минимального веса.
Список литературы:
1. Кабулов В.К., Назиров Ш.А., Якубов С.Х. Алгоритмизация решения оптимизационных задач. - Ташкент: Фан, 2008. - 204 с.
2. Nazirov Sh.A., Yakubov S.H. Structural complex configuration plate mathematical modeling and optimization // International Journal of Modern Engineering Research (IJMER), Vol.2, Issue.5, Sept.-0kt.2012.- pp. 2986-2991.
3. Shodmonkul Nazirov, Sabir Yakubov. Automation Engineering Design of Structures and Facilities // International Journal of Modern Engineering Research (IJMER) Vol.2, Issue.5, Sept.-0kt.2012. - pp. 2992-2997.
4. Yakubov S.H. Models and algorithms for decision making in computer-aided design engineering for constructions and buildings// Proceedings of Eleventh International Conference on Application of Fuzzy Systems and Soft Computing (Paris, France, September 2-3, 2014), «ICAFS - 2014», b - Quadrat Verlag, Paris, 2014.- pp. 111-118.
