Оптимизация контуров регулирования систем электропривода по типовым методикам Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 68-83-52

ОПТИМИЗАЦИЯ КОНТУРОВ РЕГУЛИРОВАНИЯ СИСТЕМ ЭЛЕКТРОПРИВОДА ПО ТИПОВЫМ МЕТОДИКАМ

Н.В. Кояин, О.П. Мальцева, Л.С. Удут

Томский политехнический университет E-mail: [email protected]

Проведено обобщение типовых методик оптимизации контуров регулирования систем электропривода, систематизированы и дополнены показатели качества при отработке управляющих и возмущающих воздействий. Рассмотрены модульный и линейный оптимумы настройки контуров.

Многоконтурные системы подчиненного регулирования с последовательной коррекцией находят широкое практическое применение в электроприводах как постоянного, так и переменного тока. В соответствии с принципом последовательной коррекции каждому звену объекта управления с большой постоянной времени должно соответствовать звено с обратной передаточной функцией в составе регулятора. Поскольку в составе объекта управления имеются инерционные звенья, то регулятор должен содержать соответствующее число форсирующих звеньев. Сложность объекта управления в контуре регулирования однозначно определяет сложность его регулятора. Если ограничиться пропорционально-интегрально-дифференциальным (ПИД)-регулятором как наиболее сложным, то речь может идти об оптимизации двух типов контуров с объектами управления, содержащими инерционное звено с малой постоянной времени Т и последовательно включенные с ним:

- инерционные звенья первого порядка (не более двух) с большими постоянными времени Т1>Т1>Т, (рис. 1, а);

- интегрирующее звено и не более одного инерционного звена с большими постоянными времени Т0>Т2>Т (рис. 1, б).

При настройке контура тип и параметры регулятора выбираются таким образом, что регулятор компенсирует большие инерционности объекта и приводит передаточную функцию контура к нормированному виду с учетом значения эквивалентной малой постоянной времени и выбранного критерия оптимизации. В практике наладки систем электропривода основное применение находят два критерия оптимальной настройки контуров по управлению: модульный (технический) оптимум (МО) и симметричный оптимум (СО). Впервые предложенные С. Кесслером в 50-е годы прошлого века [1, 2] и получившие широкое распространение в электроприводах постоянного тока, данные критерии и сегодня не утратили своей значимости. Простые и удобные для практического использования, обеспечивающие качественные показатели, удовлетворяющие в большинстве случаев предъявляемым требованиям, эти ставшие классическими методы притягивают к себе пристальное внимание специалистов в области систем управления, занимающихся проектированием и созданием качественных электроприводов, в том числе переменного тока, разработкой новых методов идентификации технологических процессов и настройки промышленных регуляторов [3-6]. Несмотря на многочисленные публикации, посвященные практической оптимизации

*-зад

О*

(-)

Wper (Р)

Wper (Р)

(-)

zi (-)

-ю-н

V p+1

z2 (-) z3 (-)

kl J \ / К , k 2 J \ / К , k3

V p+1 T2- p +1 T • p +1

voy

Z2 (-)

a

Z3 (-)

k 2 J \ / l

T2 • p +1 T 0 • P

voy

б

Рис. 1. Контур регулирования с объектом управления, содержащим: а) только инерционные звенья; б) интегрирующее звено

У

x

У

k

i

x

систем регулирования, ряд вопросов, касающихся выбора критериев оптимизации, качества отработки возмущающих воздействий, методики настройки систем с последовательно-параллельной коррекцией и т.д., остается по-прежнему нерешенным. Новые области практического применения требуют не только сравнительного анализа существующих методик оптимизации, но и дальнейшего их развития с учетом возрастающих требования к качеству регулирования и возможностей современной элементной базы.

Целью данной статьи является обобщение типовых методик оптимизации систем автоматизированного электропривода, систематизация и дополнение качественных показателей при отработке контуром регулирования управляющих и возмущающих воздействий.

Модульный оптимум настройки контура

Простейший оптимизированный по МО контур характеризуется наличием одного интегрирующего звена в контуре регулирования, представляет собой систему второго порядка и имеет следующие нормированные передаточные функции:

■ разомкнутого контура y(t) _

W (pb =

1

aT* p (T* p +1);

замкнутого контура по управлению

. y(t) _ 1 1

W (p)v

,(/) koyaT p T p +1) +1

1

1

koy aT* p2 + aT p +1'

(2)

где хзад(/) - задающее воздействие; у(() - выходная координата; коу - коэффициент обратной связи; а - коэффициент оптимизации; р - оператор дифференцирования.

Передаточная функция замкнутого контура по возмущению зависит от места приложения возмущающего воздействия

у(Л , аТ р(Т р +1)

^(р)в.зам = ттй=^о6(Р) Т% + +,, (3)

^(') аТи р + аТи р +1

где №^б(р) - передаточная функция части объекта управления, входящей в прямой канал отработки возмущения.

Передаточные функции оптимизированного по МО разомкнутого (1) и замкнутого по управлению (2) контура не зависят от состава объекта управления, а значения коэффициентов полинома знаменателя, как и для передаточной функции по возмущению (3), определяются только величиной малой постоянной времени объекта Т.

Вид и значения коэффициентов полинома числителя передаточной функции по возмущению (3) зависят от типа и параметров звеньев объекта упра-

вления, к входу которых приложено возмущающее воздействие. В результате реакция контура на возмущающее воздействие и установившаяся ошибка будут зависеть от места приложения воздействия. В дальнейшем в качестве основного возмущающего воздействия рассматривается приложенное к выходному звену объекта управления возмущение z3, что является наиболее характерным случаем для контуров регулирования систем управления электроприводов. По МО может быть оптимизирован любой из приведенных на рис. 1 контуров.

Оптимизация по МО контура с инерционными звеньями

Для настройки на МО контура с инерционными звеньями (рис. 1, а) в общем случае выбирается ПИД-регулятор с передаточной функцией

w (р) _к ^+1)(^+1)

per ^г / per

_ к.

ти Р

(тш р+D(T v, р +1) т Р '

из г

где к _

per кх к2 Кз коу

т

к _ 1

per к1 к2 кз ку a

(1) - коэффициент усиления регулятора;

т _ т _ т

из per 1

- постоянная времени изодрома (регулятора), с;

т _ т

1 vn 1 2

- постоянная времени упреждения, с;

ти _ат*

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

- постоянная времени интегрирования, с;

кь к2 и к3 - коэффициенты передачи звеньев прямой цепи;

- а=2 - коэффициент оптимизации контура по МО.

Если Т2=0, то применяется пропорционально-интегральный регулятор

^ Р +1 = , Тш р +1

W (р) _ к

per ^г / т

_ к .

per т р per т р

и У из -г

(9)

При T2=0 и T=0 применяется интегральный регулятор

Wper (р) _ кper —1— _ к 1

per „ ,vper „

т и Р тиз Р

(10)

Коэффициенты усиления и постоянные времени передаточных функций регуляторов (9) и (10) определяются соответственно по выражениям (5), (6) и (8).

Оптимизация по МО контура с интегрирующим звеном

Для настройки на МО контура, содержащего интегрирующее звено (рис. 1, б), в общем случае выбирается пропорционально-дифференциальный регулятор с передаточной функцией

^реДР) = крет(Туп Р + 1). (11)

Постоянная времени упреждения выбирается в соответствии с (7), а коэффициент усиления регулятора определяется по выражению

Т

кре = к, к2 коу аТ„ •

Если Т2=0, то применяется пропорциональный регулятор, коэффициент усиления которого определяется по выражению (12).

Частотные характеристики оптимизированных

по МО контуров

При условии равенства постоянных времени Т частотные характеристики оптимизированных в соответствии с МО контуров по управлению одинаковы (рис. 2). Полоса пропускания по модулю и фазе „(м) = „(Ф) = 0,71 рад п п Т ' с '

Частотные характеристики оптимизированных контуров по возмущению принципиально разные и зависят от параметров объекта управления (рис. 3, где ¿(а) - логарифмические амплитудно-частотные и ф(а>) - фазо-частотные характеристики).

Показатели качества работы оптимизированных по МО контуров при отработке управляющих воздействий

Оптимизированные по МО контуры регулирования имеют в прямом канале интегрирующее звено (в контуре рис. 1, а, в составе регулятора, а в контуре рис. 1, б, в составе объекта управления). Это обеспечивает замкнутому контуру астатизм первого порядка по управлению. При отработке управляющего воздействия контуры имеют нулевую установившуюся ошибку Дуу.уст и скоростную ошибку

=г

УСК к°у I ^

= 2Т

(13)

Ь

ь

юс =

юс =

Ь, дБ 40

20

Гц = 0,01 с, к а оу = 0,1

Ь(ю) | 1 | 1 МО . 1 .

1 1 1 0 ло з ю

-40 дБ/дек.

без вх. фильтра

-20 дБ/дек 1

-90

-180 ф, град

Ь, дБ 40

1000 ю, с-

б

-270 ф,град

47Ц 2Г|

СО

с вх. фильтром '

Гц = 0,01 с, коу = 0,1

Рис 2. Логарифмические частотные характеристики оптимизированного контура: а) разомкнутого (асимптотические); б) замкнутого по управлению

0

lg Ю

L, дБ Т1 = 0,1 с, Т^ = 0,01 с, k3 = 1 L, дБ Т0 = 0,1 с, = 0,01 с 40

20

0

-90

-180 ф, град

Рис. 3. Логарифмические частотные характеристики по возмущению z3 оптимизированного контура: а) с инерционными звеньями; б) с интегрирующим звеном

Реакция оптимизированного по МО контура 2-го порядка на управляющее воздействие определяется только величиной малой постоянной времени Т» и не зависит от других параметров контура и соотношения большой и малой постоянных времени объекта управления (рис. 4). Показатели отработки ступенчатых управляющих воздействий:

- перерегулирование о=4,32%;

- время первого и окончательного вхождения в 5% зону $=$=4,1 Т».

Переходные характеристики по управлению оптимизированных по МО контуров будут одинаковыми, если равны их малые постоянные времени Т» (рис. 4). При необходимости полностью исключить перерегулирование контур настраивается на так называемый линейный оптимум (ЛО).

Рис. 4. Переходные характеристики по управлению оптимизированного контура

Показатели качества работы оптимизированного по МО контура с инерционными звеньями при отработке возмущающих воздействий

Реакция оптимизированного по МО контура с инерционными звеньями в зависимости от места приложения возмущающего воздействия приведена на рис. 5, а. В таком контуре при отработке возмущения интегрирующее звено входит в цепь обратной связи, поэтому он является астатической системой по возмущению и обеспечивает нулевую статическую ошибку вне зависимости от места

приложения возмущающего воздействия: Дув.ус1=0. Значение максимальной динамической ошибки Дувмкс и время отработки ступенчатого возмущающего воздействия (окончательного вхождения в 10 % зону от Дувмакс) неоднозначно зависят от отношения постоянных времени Т1/ Т» и приведены для возмущающего воздействия г3 в виде графиков на рис. 6 в относительных единицах. В абсолютных единицах максимальная ошибка и время переходного процесса определяются по выражениям:

Ду = Ду* к3 Дг3; / = /* Т . (14)

■/ъ .макс ^в.макс 3 3> рв рв , V '

Приближенно время переходного процесса и максимальное значение динамической ошибки для возмущения 13 могут быть найдены следующим образом:

'рв «[2,4 + 2,3Т^Т»; (15)

Т

Ду ~ 1,93—7—»-тк3 Д^. (16)

* в.макс > / гх гр ч 3 3 ч)

Показатели качества работы оптимизированного по МО контура с интегрирующим звеном при отработке возмущающих воздействий

Оптимизированный по МО контур (рис. 1, б) является статической системой по возмущению и имеет при отработке возмущающего воздействия не равную нулю установившуюся ошибку (рис. 5, б). Реакция оптимизированного контура на скачок возмущающего воздействия в общем случае определяется не только малой постоянной времени Т , но также зависит от других параметров контура и от отношения постоянных времени Т0/Т .

Установившаяся и максимальная динамическая ошибки вне зависимости от места приложения возмущающего воздействия зависят от отношения постоянных времени Т0/Т , в частности для возмущения 13

у*, o.e. 0

-0,05 -0,10 -0,15 -0,20 -0,25

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 t/T^, о.

для z1

\ vÄ k1 = 10, T1 = 0,4 с

k 2 = k - k3 = 1, Т2 = 0,1, Тц = = 0,04 с 0,01 с

\для Z2

\ДЛЯ z3

Ув, o.e. 0

Ув, o.e. 0,05

0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 t/T^, o.e.

0

-0,05

-0,10

-0,15

-0,20 -0,25

25 t/T^, o.e.

1 0,05 1 0,2 0,

\

чдля Z1 чдля Z2 Для z3

ч

V

Рис. 5. Реакция оптимизированного контура на ступенчатое возмущающее воздействие в зависимости от места приложения возмущения: а) контур с инерционными звеньями, МО; б) контур с интегрирующим звеном, МО; в) контур с интегрирующим звеном, СО

, Т

ДУкуст =2 ^об

1 0

ДУв.макс = 2,134 k^ Т^,

J- П

(17)

(18)

где к'об - коэффициент усиления части объекта управления, входящей в прямой канал отработки возмущающего воздействия.

Лу

в.макс'

o.e. tpB. o e.

1,2 120

1,0 100

0,8 80

0,6 60

0,4 40

0,2 20

ло,

tpB

mo

—. / ^У в.макс f

mo ло

Следует отметить, что отношение /Д"'в'макс = 1,067

ДУ в.уст

остается всегда постоянным, а время отработки возмущения z3 зависит только от значения малой постоянной времени T^ tps=2,45 Z^. Переходная характеристика по возмущению приведена на рис. 7, где за базовое значение принято установившееся значение ошибки при оптимизации по линейному оптимуму.

АУв/АУвЛОуст, o.e.

0,5

CO

10

20 30

0 10 20 30 40 71/Гц, o.e.

Рис. 6. Показатели отработки ступенчатого возмущающего воздействия z3 оптимизированным контуром с инерционными звеньями

V/ MO

r

V ЛО

40 tТ^

0,25 0

-0,25 -0,5 -0,75 -1,0 -1,25

Рис. 7. Переходные характеристики по возмущению 13 оптимизированного контура с интегрирующим звеном

Оптимизация по линейному оптимуму

При настройке на ЛО выбирается коэффициент оптимизации а=4. Передаточные функции контура определяются выражениями (1-3). Частотные и переходные характеристики по управлению оптимизированных по ЛО контуров одинаковые, определяются только значением малой постоянной времени Т и приведены соответственно на рис. 2 и 4. Полоса пропускания замкнутых контуров по модулю и фазе:

(М) = 0,33 рад. ®п т , с .

гф) = 0,51 рад

п Т ' с '

Оптимизированные по ЛО контуры имеют следующие показатели качества отработки управляющих воздействий:

а ATJ d х

^ = dt _

= 4Т.

dy d t

(19)

АУв.

i 3,5-

T,|1 + -

-k3 Az3.

4T ^ 3 3

(21)

Логарифмические частотные и переходные характеристики по возмущению контура с инерционными звеньями, оптимизированного по ЛО, приведены соответственно на рис. 3, а, и рис. 6.

Контур с интегрирующим звеном при оптимизации по ЛО имеет следующие показатели отработки ступенчатых возмущающих воздействий:

Ay = Ay

s в.уст s в.

' т

= 4 k „-.A z;

об т7 >

■L П

tpB = 6,53 Т..

(22) (23)

Логарифмические частотные и переходные характеристики контура по возмущению приведены соответственно на рис. 3, б, и рис. 7.

А.Уу.уСТ = 0; СТ = 0%; $ = = 9,5 Т„.

Контур с инерционными звеньями, оптимизированный по ЛО, обеспечивает нулевую установившуюся ошибку по возмущению Аув.ус1=0, а значение максимальной ошибки Аувмкс и время отработки ступенчатого возмущения 13 неоднозначно зависят от отношения Т1/ Т и приведены в относительных единицах на рис. 6. В абсолютных единицах показатели качества работы контура определяются по выражениям (14). Время переходного процесса и максимальное значение динамической ошибки могут быть приближенно найдены следующим образом:

^ «[7,15 + 2,42 Ъ- Т (20)

Заключение

Настройка контура на модульный оптимум не является оптимальной ни по быстродействию, которое можно увеличить, повышая перерегулирование (коэффициент оптимизации контура а<2), ни по перерегулированию, которое можно уменьшить, снижая быстродействие (а>2). Однако такая оптимизация в большинстве случаев удовлетворяет требованиям к работе замкнутого контура по управлению в отношении и быстродействия, и перерегулирования. Благодаря этому, а также простоте реализации, модульный оптимум является наиболее распространенным способом оптимизации контуров регулирования в системах электропривода. По возмущению настройка контуров на модульный оптимум имеет явные недостатки: малое быстродействие контура с инерционными звеньями и наличие установившейся ошибки в контуре с интегрирующим звеном.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Kessler C. Über die Vorausberechnung optimal abgestimmter Regelkreise. Teil III. Die optimale Einstellung des Reglers nach dem Betragsoptimum // Regelungstechnik. - 1955. - B. 3. - H. 2. - S. 40-49.

2. Kessler C. Das symmetrische Optimum. Teil I und III // Regelungstechnik. - 1958. - B. 6. - H. 11. - S. 395-400; H. 12. -S. 432-436.

3. Voda A.A., Landau I.D. A method for the auto-calibration of PID controllers // Automatica. - 1995. - V. 31. - № 1. - P. 41-53.

4. O'Dwyer A. PI and PID controller tuning rules for time delay processes: a summary // Proc. of the Irish signals and systems conference. - N.U.I., Galway, 1999. - P. 331-346.

5. Preitl S. Precup, R.E. An extension oftuning relations after symmetrical optimum method for PI and PID controllers // Automatica. -1999. - V. 35. - № 10. - P. 1731-1736.

6. Vrancic D., Strmenic S., Hanus R. Improving disturbance rejection of PI controllers by means of the magnitude optimum method // ISA Transactions. - 2004. - V. 43. - № 1. - P. 73-74.